Tổng ôn số phức với các công thức quan trọng cần nắm vững và một số bài tập vận dụng từ các trường THPT trong cả nước giúp nắm chắc kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.
TỔNG ÔN SỐ PHỨC CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG CẦN NẮM VỮNG z1 + z2 = z1 + z2 z1.z2 = z1.z2 z1 z2 = z1.z2 z1 z1 = z z2 z = −z = z z z = z ( z1.z2 = ( z1 z2 ) z1.z2 z z1 = z2 z2 ) z1 − z2 ≤ z1 − z2 ≤ z1 + z2 Re ( z ) = z+z z−z , Im ( z ) = 2 − z ≤ { Re ( z ) , Im ( z ) } ≤ z z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2 ( ) 2 Câu 1. Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện z + = z Đặt P = b − a − 12 Mệnh đề nào dưới đây đúng? ( ) A. P = z − ( ) 2 ( B. P = z − ) ( C. P = z − ) D. P = z − (THPT ĐẶNG THÚC HỨA NGHỆ AN) Lời giải Cách 1. Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − b + 2abi ⇒ z + = a − b + + 2abi ( Khi đó, giả thiết z + = z ⇔ a − b + ) + 4a 2b = ( a + b ) ⇔ ( b − a ) = 16 − ( a + b ) + ( a + b ) ( ) ⇒ P = ( a + b ) − ( a + b ) + = z − z + = z − 2 ( Cách 2. Từ giả thiết, ta có z + = z ) 2 ⇔ ( z + ) ( z + ) = z = z z ⇔ z z + z + z + 16 = z.z ⇔ ( z.z ) − 4.z.z + = − 12 − ( z + z ) ( ⇔ ( z.z − ) = −12 − ( z + z ) ⇔ − 12 − ( z + z ) = z − 2 ( 2 2 Đặt z = a + bi → z = a − bi ⇒ z + z = a − b ( ( ) ) ) ) ( 1) ( 2) Từ ( 1) , ( ) suy ra P = b − a − 12 = z − Chọn D Câu 2. Cho các số phức z1 =/ 0, z2 =/ thỏa mãn điều kiện Tính giá trị của biểu thức P = A. B. 1 + = z1 z2 z1 + z2 z1 z + z2 z1 C. 2 D. (THPT ĐẶNGTHÚC HỨA NGHỆ AN) Lời giải Cách 1. Ta có 1 z + z2 + = ⇔ = ⇔ ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = z1 z2 z1 z2 z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 ⇔ ( z1 ) + 2.z1 z2 + ( z2 ) 2 z1 z z z = ⇔ + + = ⇔ = i − hoặc = −1 − i z2 z2 z2 z2 Khi đó P = z1 z 1 + = i −1 + = i −1 + = 2+ = z2 z1 i −1 i −1 2 Cách 2. Chọn z1 = i ⇒ 1 1− i z + = ⇒ z2 = ⇒ = 2⇒P= Chọn D i z2 i + z 2 z2 Câu 3. Cho số phức z ≠ thỏa mãn A. B. 26 26 iz − ( 3i + 1) z = z Số phức w = iz có mơđun là 1+ i C. D. (THPT PHẠM HỒNG THÁI HÀ NỘI) Lời giải ( ) 2 Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó giả thiết ⇔ i ( x + yi ) − ( 3i + 1) ( x − yi ) = ( + i ) x + y ⇔ xi − y − xi − y − x + yi = − x − y + ( y − x ) i = x + y + ( x + y ) i 2 2 ( 1) Lấy ( 1) − ( ) , ta được − x − y − ( − x + y ) = ⇔ x = y ( 2) 2 − x − 4y = x + y ⇒ 2 − x + y = x + y y = 0⇒ x = Thế x = y vào phương trình ( 1) , ta có 26 y = − y ⇔ y = − ⇒ x = − 45 26 26 45 26 45 − i⇒ w = i − − i = − 5i = 26 Chọn C. Vậy z = x + yi = − 26 26 26 26 Câu 4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z +i + z −2−i B. max T = A. max T = C. max T = D. max T = (THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI) Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có z − = ⇔ x − + yi = ⇔ ( x − 1) + y2 = ⇔ ( x − 1) + y = ⇔ x − x + + y = ⇔ x + y = x + ( ∗) Lại có T = z + i + z − − i = x + ( y + 1) i + x − + ( y − 1) i = x + ( y + 1) + ( x − 2) + ( y − 1) = x + y + y + + x + y − x − y + Kết hợp với ( ∗) , ta được T = x + y + + − x − y = ( x + y ) + + − ( x + y ) Đặt t = x + y , khi đó T = f ( t ) = 2t + + − 2t với t ∈ [ − 1;1] Ta có f ' ( t ) = 1 − ; f ' ( t ) = ⇔ t = ⇒ f ( t ) max = f ( 1) = Chọn B. 2t + − 2t Câu 5. Tìm mơđun của số phức z biết z − = ( + i ) z − ( + z ) i A. z = B. z = C. z = D. z = (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH) Lời giải ( ) ( ∗) Cách 1. Từ giả thiết, ta có z − = z + i z − 4i − 3zi ⇔ z ( + 3i ) = z + + z − i ( ) Lấy môđun hai vế của ( ∗) , ta được z ( + 3i ) = z + + z − i ( z + ) + ( z − ) ⇔ z 10 = ( z + ) + ( z − ) = ( z + ) + ( z − ) ⇔ z = 32 ⇔ z = ⇒ z = Chọn C. ⇔ z + 3i = ⇔ 10 z 2 2 2 2 Cách 2. Ta biến đối z − = ( + i ) z − ( + z ) i ⇔ z = (1+ i) Thử lần lượt với các đáp án, ta thấy z − 4i + + 3i + i − 4i + − 3i 85 = =− − i⇒ z = ≠ (loại) + 3i + 3i 5 ( + i ) − 4i + 12 10 z =4→ z = = = − i⇒ z = ≠ (loại) + 3i + 3i 5 ( + i ) − 4i + − 2i z =2→ z = = = − 2i ⇒ z = (chọn). + 3i + 3i z =1→ z = Câu 6. Cho số phức z ≠ sao cho z không phải là số thực và w = giá trị biểu thức z 1+ z A. z là số thực. Tính 1+ z2 B. D. C. 2 (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ) Lời giải 1 Cách 1. Tư duy nhanh. w là số thực → là số thực → z + là số thực. w z z 1 = Mà dễ thấy z + z là số thực nên z = ⇔ z z = ⇔ z = ⇔ z = ⇒ z 1+ z Cách 2. Ta có biến đổi Cách 3. Chọn w = z z = ⇔ z + z z = z + z z ⇔ z − z = ( z − z ) z z 2 1+ z 1+ z z z − z = ⇔ ⇔ z z = ⇔ z = ⇒ = 2 1+ z z.z = z z 1 = ⇔ ( z − 1) = ⇔ z = ⇒ z = ⇒ = Chọn B. 2 1+ z 2 1+ z Câu 7. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M ′ Số phức z (4 + 3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N , N ′ Biết rằng M , M ′, N , N ′ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của z + 4i − A. B. C. D. 13 (THPT CHUYÊN LÀO CAI) Lời giải N ( x − y;3 x + y ) N ' ( x − y; − x − y ) Gọi M ( x; y ) → M ' ( x; − y ) và ( + 3i ) z = x − y + ( 3x + y ) i ⇒ Dễ thấy MM ' P NN ' vì cùng vng góc với Ox nên để MM ' N ' N là hình chữ nhật MM ' = NN ' Khi và chỉ khi MN = M ' N ' ⇒ x + y = ⇒ z = x − xi ⇒ z + 4i − = MN POx Ta có ( x − ) + ( x − ) = 2 + ( x − 4) 1 1 ( x − ) + ≥ ⇒ z + 4i − = Chọn C. 2 2 Câu 8. Tính mơđun của số phức z , biết A. ( x − 5) 13 B. z z −i + iz + = z 1− i C. D. (THPT N MƠ A NINH BÌNH) Lời giải ( 1+ i) ( z − i) = z −i z Dễ thấy z.z = z ⇔ z = , khi đó giả thiết ⇔ iz + z + = ⇔ iz + z + 1− i z ⇔ 2iz + z + z − i + iz − i = ⇔ ( 3i + 1) z + z = i − ( ∗) 2 Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) suy ra z = x − yi , do đó ( ∗) ⇔ ( 3i + 1) ( x + yi ) + x − yi = i − x = 3x = ⇔ xi − y + x + yi + x − yi = i − ⇔ x − y + 3xi = i − ⇒ ⇔ 2 x − y = −1 y = i i Vậy z = ⇒ z = = Chọn C. 3 10 − + i Mệnh đề nào sau đây đúng? z 3 A. < z < B. < z < C. z > D. z < 2 2 Câu 9. Xét số phức z thỏa mãn ( + 2i ) z = (THPT NHÂN CHÍNH HÀ NỘI) Lời giải 10 10 − + i ⇔ ( + 2i ) z + − i = z z 10 10 ⇔ z + z i + 2−i = ⇔ z + + ( z − 1) i = ( ∗) z z 2 10 Lấy môđun hai vế của ( ∗) , ta được ( ∗) ⇔ ( z + ) + ( z − 1) = z Cách 1. Từ giả thiết, ta có ( + 2i ) z = 10 ⇔ t ( 5t + ) = 10 ⇔ t + t − = ⇔ t = t Vậy môđun của số phức z bằng ⇒ < z < 2 Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z Đặt t = z , ta có ( t + 2) + ( 2t − 1) = Cách 3. Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) và c = z , thay vào đẳng thức đã cho thì ( a − bi ) 10 − + i 10 − + i ⇔ ( + 2i ) c = a + bi c2 a 10 b 10 ⇔ c − + + i 2c + − 1 = c c a 10 a 10 c − + = c + = 10 ( a + b ) 10 c c ⇔ Suy ra nên ( c + ) + ( − 2c ) = = c4 c 2c + b 10 − = 1 − 2c = b 10 c c Giải ra ta có c = ± mà c > nên c = hay z = Do đó < z < Chọn B. 2 Gt ⇔ ( + 2i ) c = Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z + A. = Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z z B. C. 13 D. (TỐN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8) Lời giải Ta có a = z + 1 1 ⇔ a2 = z + = z + z + z z z z = z + ( ) z2 + ( z ) z 2 + z z + ( z + z ) − z +1 = z 2 − a + a2 + a + a2 + ; 2 Khi đó z − z a + + = − ( z + z ) ≤ ⇒ z ∈ Vậy max z = 2 a + a2 + − a + a2 + ; z = ⇒ M + m = a + = 13 Chọn C 2 Câu 11. Xét số phức z thỏa mãn z − + z − i ≤ 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. < z < 2 B. z > C. z < D. < z < 2 (TỐN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8) Lời giải Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức số phức, ta có u + v ≥ u + v ≥ u − v ( ) Khi đó 2 ≥ z − + z − i = z − + z − i + z − i ≥ z − − ( z − i ) + z − i = i − + z − i = 2 + z − i ⇔ z − i ≤ ⇒ z = i ⇒ z = Cách 2. Sử dụng hình học, giả sử điểm z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) có điểm biểu diễn là M ( x; y ) Số phức z − có điểm biểu diễn là A ( x − 1; y ) , z − i có điểm biểu diễn là B ( x; y − 1) uuur ( 1) vì AB = ( 1; −1) ⇒ AB = Mặt khác 2.OA + 3.OB = ( OA + OB ) + OB ≥ AB + OB ( ) Ta có z − + z − i ≤ 2 ⇔ 2.OA + 3.OB ≤ AB x = ⇒ z =i y =1 Từ ( 1) , ( ) suy ra AB ≥ AB + OB ⇔ OB ≤ ⇒ OB = ⇒ O ≡ B ( 0;0 ) ⇒ Vậy môđun của số phức z là z = i = Chọn D. Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn z − z + = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1) Tính | w | , với số phức w = z − + 2i A. | w |= B. | w |= C. | w |= D. | w |= (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI) Lời giải Ta có z − z + = ( z − 1) + = ( z − 1) − ( 2i ) = ( z − + 2i ) ( z − − 2i ) 2 z = − 2i z − − 2i = z + 3i − Khi đó, giả thiết ⇔ ( z − + 2i ) ( z − − 2i ) = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1) ⇔ TH1. Với z = − 2i , ta có w = z − + 2i = − 2i − + 2i = − ⇒ w = ( ∗) , đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có TH2. Với z − − 2i = z + 3i − 1 2 2 x − + ( y − ) i = x − + ( y + 3) i ⇔ ( x − 1) + ( y − ) = ( x − 1) + ( y + ) ⇔ y = − Do đó w = z − + 2i = x − i − + 2i = x − + i ⇒ w = ( x − ) + ≥ Chọn A. 2 ( ∗) ⇔ Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z +1 + z −1 A. max T = B. max T = 10 Cách 1. Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ C. max T = D. max T = (THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ HÀ NỘI) Lời giải ) ⇒ M ( x; y ) 2 Và A ( −1;0 ) , B ( 1;0 ) Ta có z = ⇒ x + yi = ⇔ x + y = ⇒ M thuộc đường tròn đường kính AB ⇒ MA2 + MB = AB = Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có T = MA + 2MB ≤ (1 + 22 ) ( MA2 + MB ) = 5.4 = Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức max T = Chọn A. Cách 2. Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Mặt khác z = ⇔ )⇒ z +1 = ( x + 1) + y và z − = ( x − 1) + y2 x + y = ⇔ x + y = , khi đó T= ≤ ( x + 1) (1 2 ( x − 1) + y2 + 2 + y2 + 22 ) ( x + 1) + y + ( x − 1) + y 2 = 10 ( x + y + 1) = 10.2 = ⇒ max T = Câu 14. Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn z − i = + iz , biết z1 − z2 = Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2 A. P = B. P = C. P = D. P = (THPT THANH CHƯƠNG I NGHỆ AN) Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có z − i = + iz ⇔ x + ( y − 1) i = − y + xi ⇔ x + ( y − 1) = ( − y) 2 + x2 ⇔ 4x2 + y2 − y + = − y + y + x2 ⇔ x + y = ⇒ z = ⇒ z1 = z2 = Sử dụng công thức (chứng minh ở câu 16) ( 2 z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 ) ⇒ z +z ( 2 = z1 + z2 ) − z −z 2 = Chọn D. Câu 15. Cho ba số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = và z1 + z2 + z3 = Tính giá trị biểu thức A = z12 + z22 + z32 A. B. C. −1 D. + i (THPT CHUN BIÊN HỊA HÀ NAM) Lời giải Ta có A = z12 + z22 + z32 = ( z1 + z2 + z3 ) − ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = − ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) z z z 1 1 = − z1 z2 z3 + + = − z1 z2 z3 + + = − z1 z2 z3 ( z1 + z2 + z3 ) z3 z1 z2 z3 z1 z2 Mặt khác z1 + z2 + z3 = ⇒ z1 + z + z3 = suy ra A = Chọn B. Câu 16. Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i và z1 − z2 = Tìm giá trị lớn nhất của P = z1 + z2 A. P = + B. P = 26 C. P = D. P = 34 + (THPT CHUN KHOA HỌC TỰ NHIÊN LẦN 4) Lời giải Bổ đề. Cho hai số phức z1 và z2 , ta ln có z1 + z2 + z1 − z2 Chứng minh. Sử dụng công thức z1 + z2 ( ) ( ) ( = z1 + z2 ) ( ∗) = ( z1 + z2 ) z1 + z2 và z.z = z Khi đó ( z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z2 2 ) = z1.z1 + z1.z2 + z1.z2 + z z2 + z1.z1 − z1.z2 − z1.z2 + z2 z2 ) ( ( 2 ) = z1.z1 + z2 z2 = z1 + zđpcm → Áp dụng ( ∗) , ta được z1 + z2 + z1 − z2 2 = ⇒ z1 − z2 = − ( ( 3) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được P = z1 + z2 ≤ z1 + z2 2 = ⇒ z1 − z2 = ) =2 26 Chọn B. Câu 17. Cho P ( z ) là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức z thỏa mãn P ( z ) = thì ( ) A. P z = 1 z 1 z B. P = C. P = ( ) D. P z = (THPT CHUYÊN TỈNH HÀ NAM) Lời giải z = + 2i z = − 2i 2 Chọn hàm số P ( z ) = z − z + Phương trình P ( z ) = ⇔ z − z + = ⇔ Xét với số phức z = + 2i , ta có z = + 2i = suy ra P ( z ) = z − z + = ( 5) − + = 10 − ≠ 112 16 1 1 + i ≠ = = − i suy ra P = − + = z 25 25 z + 2i 5 z z 112 16 1 1 − i ≠ = = + i suy ra P = − + = z 25 25 z − 2i 5 z z z = − 2i suy ra P ( z ) = z − z + = ( − 2i ) − ( − 2i ) + = Chọn D. 2z − i Mệnh đề nào sau đây đúng? + iz C. A < D. A > Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Đặt A = A. A ≤ B. A ≥ (THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải 2z − i ⇔ A ( + iz ) = z − i ⇔ A + Azi = z − i + iz 2A + i 2A + i ≤ ⇔ A + i ≤ Ai − ⇔ A + i = z ( Ai − ) ⇔ z = Mà z ≤ ⇒ Ai − Ai − Từ giả thiết, ta có A = Đặt A = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó ( ∗) ⇔ ⇔ x + ( y + 1) ≤ ( y + 2) Vậy môđun của A = ( ∗) x + ( y + 1) i ≤ − y − + xi + x ⇔ x + y + y + ≤ x + y + y + ⇔ x + y ≤ x + y ≤ Chọn A. Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn z = và điểm trong hình vẽ bên A là điểm biểu diễn của z Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn là một trong bốn điểm M , N , P , Q Khi đó điểm iz biểu diễn của số phức w là A. điểm Q B. điểm M C. điểm N D. điểm P của số phức w = (THPT CHUYÊN ĐH VINH LẦN 1) ⇔ x + y = và x > y (hình vẽ) 2 i ( x − yi ) i i y + xi =− =− = − y − x.i Ta có w = = − = − iz z x + yi x + y2 ( x + yi ) ( x − yi ) Đặt z = x + yi ( x, y > ) , khi đó z = x2 + y = Vì x, y > nên điểm biểu diễn số phức w là ( − y; − x ) đều có hồnh độ, tung độ âm Đồng thời x > y ⇔ − y > − x ⇒ xw < yw < và w = x + y = = z Dựa vào hình vẽ, điểm P chính là điểm cần tìm vì điểm N tuy thỏa mãn xw < yw < nhưng độ dài ON xấp xỉ bằng độ dài OA Chọn D. Câu 20. Cho sô ph ́ ưć z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thoa mãn ̉ z − + 8i = và có mơđun nhỏ nhât. Tinh ́ ́ tổng x + y A. x + y = − B. x + y = −1 C. x + y = D. x + y = (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM) Lời giải Dựa vào ví dụ, ta phát triển dạng tốn Min – Max số phức như sau Tập hợp các điểm M ( z ) thỏa mãn điều kiện z − ( a + bi ) = R ( R > ) là đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) và bán kính R Chứng minh. Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) Theo giả thiết z − ( a + bi ) = R ⇔ ( x − a ) + ( y − b ) i = R ( x − a) + ( y − b) = R ⇔ ( x − a ) + ( y − b) Vậy tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) và bán kính R ⇔ 2 2 = R2 Ví dụ 21. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = Tìm max z A. max z = B. max z = C. max z = D. max z = 13 Hướng dẫn giải Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn ( C ) có tâm I ( 2; ) và bán kính R = Vậy max z = OM = OI + R = 2 + + = Chọn A * Hỏi thêm: a) Tìm z z = ON = OI − R = 22 + 42 − = b) Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất Phương trình đường thẳng OI là y = x Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình y = x y = 2x x = x = ⇔ ⇔ ; 2 y = y = x − 20 x + 15 = x − + y − = ( ) ( ) Số phức z có mơđun lớn nhất là z = + 6i tương ứng với điểm M ( 3;6 ) Số phức z có mơđun nhỏ nhất là z = + 2i tương ứng với điểm N ( 1; ) Ví dụ 22. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5i ≤ Nếu số phức z có mơđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu? A. B. Hướng dẫn giải C. Tập hợp các điểm M ( z ) là hình tròn ( C ) tâm I ( 0;5 ) và bán kính R = Số phức z có mơđun nhỏ nhất là z = 2i ứng với điểm N ( 0;2 ) Chọn C Tổng quát. Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 ( r1 > ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = z − z2 Gọi I ( z1 ) ; N ( z2 ) và M ( z ) Tính IN = z1 − z2 = r2 Khi đó, max P = NM = r1 + r2 và P = NM = r1 − r2 D. Áp dụng Câu 1 (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện ( + i ) z + − 7i A. max z = = Tìm max z B. max z = C. max z = D. max z = Hướng dẫn giải Ta có ( + i ) z + − 7i = ⇔ + i z + − 7i = ⇔ z − ( + 4i ) = 1+ i Vì ( + 4i ) − = nên max z = r1 + r2 = + = Chọn D Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện A. max z = B. max z = − − 3i z +1 = − 2i C. max z = D. max z = Hướng dẫn giải Ta có − − 3i z + = ⇔ − iz + = ⇔ − i z + = ⇔ z − ( − i) = − 2i −i Vì ( − i ) − = nên max z = r1 + r2 = + = Chọn B Câu 3 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Biết số phức z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) có mơđun nhỏ nhất. Tính P = x + y A. P = 10 B. P = C. P = 16 Hướng dẫn giải D. P = 26 Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) Ta có z − − 4i = z − 2i ⇔ ( x − ) + ( y − ) i = x + ( y − ) i ⇔ ( x − 2) 2 2 + ( y − ) = x + ( y − ) ⇔ x − x + + y − y + 16 = x + y − y + 2 ⇔ x + y − 16 = ⇔ y = − x Do đó z = x + y = x + ( − x ) = x − x + 16 = ( x − ) + ≥ 2 2 Dấu " = " xảy ra ⇔ x = ⇒ y = Vậy P = 22 + 22 = Chọn B Câu 4 (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là A. 10 và Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ B. và C. và Hướng dẫn giải ) Theo giả thiết, ta có z − + z + = 10 Gọi M ( x; y ) , F1 ( − 4;0 ) và F2 ( 4;0 ) D. và Khi đó ( ∗ ) ⇔ MF1 + MF2 = 10 nên tập hợp các điểm M ( z ) là đường elip ( E ) Ta có c = ; 2a = 10 ⇔ a = và b = a − c = x2 y2 + =1 25 Vậy max z = OA = OA ' = và z = OB = OB ' = Chọn D Do đó, phương trình chính tắc của ( E ) là Câu 5 Biết số phức z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) thỏa mãn đồng thời điều kiện z − ( + 4i ) = và 2 biểu thức P = z + − z − i đạt giá trị lớn nhất. Tính z B. z = 50 A. z = 33 C. z = 10 D. z = Hướng dẫn giải Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn ( C ) có tâm I ( 3; ) và bán kính R = 2 2 Ta có P = ( x + ) + yi − x + ( y − 1) i = ( x + ) + y − x + ( y − 1) 2 = x + y + ⇔ x + y + − P = 0 ( ∆) Ta tìm P sao cho đường thẳng ∆ và đường tròn ( C ) có điểm chung ⇔ d ( I ; ∆ ) ≤ R ⇔ 12 + + − P 20 ≤ ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ −10 ≤ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 4 x + y − 30 = x = ⇔ 2 y = −5 ( x − 3) + ( y − ) = Do đó max P = 33 Dấu " = " xảy ra ⇔ Vậy z = 52 + 52 = Chọn D. Câu 23. Cho hai số phức z1 , z thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z1 − z2 = 2 z z Tính giá trị của biểu thức P = + z2 z1 A. P = − i B. P = −1 − i C. P = −1 D. P = + i (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH) Lời giải Từ giả thiết, ta có z1 = z2 = z1 − z2 = ⇔ z1 z = −1 = z2 z2 x= 2 2 x + y = z1 x + y = = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó ⇔ ⇔ Đặt w = 2 z2 ( x − 1) + y = x + y = x y = ± 2 1 i 3 1 i 3 Khi đó P = w + = + + − = − Chọn C. w 2 2 Câu 24. Tính tích mơđun của tất cả các số phức z thỏa mãn z − = z + + i , đồng thời điểm biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm I ( 1;1) , bán kính R A. B. C. D. (SỞ GD&ĐT THANH HÓA) Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó z − = z + + i ⇔ x − + y.i = x + − ( y − 1) i ⇔ ( x − 1) + y = ( x + 1) + ( y − 1) ⇔ 3x + y − x + y − = 2 Mà điểm biểu diễn M ( z ) ∈ ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ x + y − x − y − = 2 ( 1) ( 2) Lấy ( 1) − ( ) , ta được x + y − x + y − − 3x − y + x + y + = ⇔ y = − Thế y = − vào phương trình ( ) , ta có x = z1 = − i x2 − 2x = ⇔ ⇒ ⇒ z1 z2 = − i − i = Chọn C x = z2 = − i Câu 25. Cho các số phức z , w thỏa mãn z + − 2i = z − 4i , w = iz + Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là A. 2 B. 2 C. D. (THPT CHUYÊN ĐH VINH LẦN 2) Lời giải Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , khi đó z + − 2i = a + + ( b − ) i và z − 4i = a + ( b − ) i 2 Nên ta có ( a + ) + ( b − ) = a + ( b − ) ⇔ a + b = ⇔ b = − a Khi đó w = iz + = ( a + bi ) i + = − b + ⇒ w = a + ( b − 1) = a + ( a − 1) 2 1 1 2 Dễ thấy a + ( a − 1) = a − + ≥ ⇒ w ≥ ⇒ w = Chọn A. 2 2 2 2 Câu 26. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z + z + = Tính giá trị của biểu thức P = z12017 + z2 2017 A. P = B. P = −1 C. P = D. P = (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN LẦN 4) Lời giải Ta có z + z + = ⇔ z = − i 2017 2017 ± ⇒ z = ⇒ z = ⇒ P = ( z1 ) + ( z2 ) = Chọn D 2 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn ( + 3i ) z − ( + 2i ) z = − i Tìm mơđun của z A. z = B. z = C. z = D. z = (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN LẦN 4) Lời giải Cách 1. Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , khi đó giả thiết trở thành Gt ⇔ ( + 3i ) ( a + bi ) − ( + 2i ) ( a − bi ) = − i a − 5b = ⇔ a − 5b + ( a + 3b ) i = − i ⇔ a + 3b = −1 a = ⇒ ⇒ z = − i ⇒ z = b = −1 Cách 2. Xử lý bằng casio giống bài toán sau: Cho số phức z − ( + 3i ) z = − 9i Tích phần thực và phần ảo của số phức z bằng B. −1 A. D. − C. Đặt z = X + Yi → z = X − Yi Khi đó w = X + Yi − ( + 3i ) ( X − Yi ) − + 9i = ( ∗) Thao tác trên máy tính Màn hình hiển thị Ấn w ® ® Đưa về tính số phức Nhập vế trái của phương trình ( * ) X +Y i - ( + 3i ) ( X - Y i ) - + 9i Sau đó, gán giá trị X = 100, Y = 0, 01 ®1 0 ®r ®0 Ấn r ® q ®0 ®= 10103 29097 i = - 101, 03 - 290, 97i 100 100 ìï 101, 03 = 100 + + 0, 03 = X + 3Y + ï Mặt khác, ta có í ïï 290, 97 = 300 - - 0, 03 = 3X - 3Y - ỵ ìï X + 3Y = - ìï X = Þ w = - ( X + 3Y + 1) - ( 3X - 3Y - 9) i = Û ïí Û ïí ïï X - Y = ïï Y = - ỵ ỵ Khi đó w = - Câu 28. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z + z = và z = ? A. B. C. D. (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA) Lời giải Đặt z = a + bi ( a; b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi ⇒ z.z = ( a − bi ) ( a + bi ) = a + b 2 2 a + b + a + bi = a + b = a + b = ⇔ ⇒ Khi đó, giả thiết ⇔ 2 a + bi = a + + bi = ( a + ) + b = a + b = a + b2 = a = − ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ z = − Chọn D 2 b = a = − a + − a = ( ) Câu 29. Cho số phức w và hai số thực a , b Biết z1 = w + 2i và z2 = w − là hai nghiệm phức của phương trình z + az + b = Tính T = z1 + z2 A. T = 13 B. T = Đặt w = m + ni ( m; n ∈ ¡ 97 C. T = 85 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ) Lời giải z1 = w + 2i = m + ( n + ) i ) ⇒ D. T = 13 z2 = w − = 2m − + 2ni 3n + = n = − ⇒ Ta có z1 + z2 = 3m − + ( 3n + ) i = − a là số thực ⇒ 3m − ≠ m ≠ 4 Lại có z1 z2 = m + i 2m − + i = b là số thực ⇒ ( 2m − 3) − m = ⇒ m = 3 3 Do đó z1 = + 4 97 i; z2 = − i ⇒ T = z1 + z2 = Chọn B 3 Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn ( z + 1) ( z − 2i ) là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng A. 5π B. 5π Đặt z = x + yi ( x; y ∈ ¡ C. 5π D. 25π (THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM) Lời giải ) ⇒ ( z + 1) ( z − 2i ) = x + y + x + y − ( x + y + ) i Theo giả thiết ( z + 1) ( z − 2i ) là số thuần ảo, suy ra 2 x + y + ≠ 1 ⇔ x + x + + y + y + = ⇔ x + + ( y + 1) = 2 4 2 x + y + x + y = 5π ⇒ tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có diện tích bằng Chọn B z − z +1 , trong đó z là số phức thỏa mãn z2 uuuruuur ( − i ) ( z + 2i ) = − i + 3z Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho Ox,ON = 2ϕ , trong đó uur uuuur uuuur ϕ = Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm N Câu 31. Gọi M là điểm biểu diễn số phức w = ( ( ) nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ ( I ) ) B. Góc phần tư thứ ( IV ) C. Góc phần tư thứ ( III ) D. Góc phần tư thứ ( II ) (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP) Lời giải Từ giả thiết, ta có ( − i ) ( z + 2i ) = − i + 3z ⇔ z + 2i − iz + = − i + 3z z − z + casio 33 56 ⇔ ( i + ) z = 3i ⇔ z = + i ⇒ w = → w= − i 5 z 45 45 y Sử dụng lý thuyết nếu z = x + yi → P ( x; y ) → tan ϕ = với ϕ là góc tạo bởi chiều dương x uuuur trục hồnh với vectơ OM 33 56 56 3696 2047 Khi đó w = − i ⇒ tan ϕ = − ⇒ sin 2ϕ = − ; cos 2ϕ = − 45 45 33 4225 4225 Vậy điểm N thuộc góc phần tư thứ ( IV ) Chọn B. Câu 32. Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn nhất của z + + i là A. 13 + B. C. D. 13 + (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN) Lời giải Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , ta có z − − 3i = ⇔ ( a − ) + ( b − 3) i = ⇔ ( a − 2) + ( b − 3) = ⇔ ( a − ) + ( b − ) = 2 ( ∗) a − = sin t 2 (vì ( ∗) ⇔ sin t + cos t = ). Khi đó z + + i = ( a + 1) + ( − b ) i b − = cos t Đặt = ( a + 1) + ( − b ) → xét biểu thức P = ( a + 1) + ( − b ) 2 Ta có ( a + 1) + ( − b ) = ( sin t + 3) + ( cos t + ) = sin t + 6sin t + + cos t + cos t + 2 2 = ( sin t + cos t ) + 13 + 6sin t + cos t = 14 + 6sin t + cos t = P ( Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được ( 6sin t + cos t ) ≤ 62 + 2 ) ( sin t + cos t ) ⇔ ( 6sin t + cos t ) ≤ 52 ⇔ 6sin t + cos t ≤ 52 = 13 ⇒ P ≤ 14 + 13 Vậy z + + i = ( a + 1) + ( − b ) ≤ 14 + 13 = ( ) 13 + = 13 + Chọn A Câu 33. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − i = và z là số thuần ảo A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN) Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó z − i = ⇔ x + ( y − 1) i = ⇔ x + ( y − 1) = ( ∗ ) x2 − y = x = y ≠ ⇔ x = − y ≠ xy ≠ Ta có z = ( x + yi ) = x − y + xyi là số thuần ảo nên 1± TH1. Với x = y , thế vào ( ∗) , ta được x + ( x − 1) = ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 ± TH2. Với x = − y , thế vào ( ∗) , ta được x + ( x + 1) = ⇔ x + x − = ⇔ x = Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C. Câu 34. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 , z2 ≠ ; z1 + z2 ≠ và giá trị của biểu thức A. 1 = + Tính z1 + z2 z1 z2 z1 z2 2 B. C. D. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG) Lời giải Từ giả thiết, ta có 1 2z + z = + ⇔ = ⇔ z1 z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 z1 z2 ⇔ z1 z2 = z12 + z1 z2 + z1 z2 + z22 ⇔ z12 + z1 z2 + z22 = z z z i z i ⇔ 2 + 2 +1 = ⇔ = − ± ⇒ = − ± = Chọn A. z z z 2 z 2 2 2 2 10 + − 3i Biết tập hợp các điểm biểu z diễn cho số phức w = ( − 4i ) z − + 2i là đường tròn I , bán kính R Khi đó Câu 35. Cho thỏa mãn z ∈ £ thỏa mãn ( + i ) z = A. I ( −1; −2 ) , R = B. I ( 1; ) , R = C. I ( −1; ) , R = D. I ( 1; −2 ) , R = (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG) Lời giải 10 10 ⇔ ( z − 1) + ( z + 3) i = z z 2 10 ⇒ z = Lấy môđun hai vế ( ∗) , ta được ( z − 1) + ( z + 3) = z Từ giả thiết, ta có ( + i ) z − + 3i = ( ∗) Lại có w = ( − 4i ) z − + 2i ⇔ w + − 2i = ( − 4i ) z ⇔ w + − 2i = ( − 4i ) z ⇔ w + − 2i = − 4i z = z = ⇒ tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn tâm I ( − 1; ) và bán kính R = Chọn C. ( ) Câu 36. Cho số phức z thỏa mãn z ( + 4i ) z − + 3i − = Giá trị của z là A. B. C. 2 D. (THPT HÀ HUY TẬP) Cách 1. Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Lời giải ) ⇒ z = x − yi , dựa vào giả thiết tìm nghiệm x, y 5 ⇔ ( z − ) + ( z + 3) i = z z 2 Lấy môđun hai vế, ta được ( z − ) + ( z + ) = mà z = z , khi đó z 2 ( z − ) + ( z + 3) = 502 → đến đây có thể giải trực tiếp bằng cách đặt t = z z Cách 2. Ta có, giả thiết ⇔ ( + 4i ) z − + 3i = Hoặc sử dụng máy tính casio bằng việc thử các đáp án, để thấy được z = ( + 4i ) z + ( 3i − ) z 5 Cách 3. Ta có biến đổi ( + 4i ) z − + 3i = = z ⇔ z = z z 2 Thử lần lượt với các đáp án, ta thấy z =2→ z = ( + 4i ) + ( 3i − ) = z = 2→z= ( + 4i ) + ( 3i − ) z =2 2→z= 2 ( + 4i ) + ( 3i − ) z =1⇒ z = → z = 2 = + 11 i ⇒ z = 10 (loại) −4+3 3+ + i ⇒ z = (loại) 5 ⇒ z = (loại) + 4i + 3i − =− + i ⇒ z = (chọn). Chọn D. 10 10 Câu 37. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 4i ≤ Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + − i là hình tròn có diện tích bằng A. S = 9π B. S = 12π C. S = 16π D. S = 25π (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO NINH BÌNH) Lời giải Cách 1. Đặt w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có x + yi = z + − i ⇔ z = x − + ( y + 1) i ( 1) Từ giả thiết, ta thấy rằng z − + 4i ≤ ⇔ z − + 4i ≤ ⇔ z − + 8i ≤ ( ) Từ ( 1) , ( ) suy ra x − + ( y + 1) i − + 8i ≤ ⇔ x − + ( y + ) i ≤ ⇔ ( x − 7) + ( y + ) ≤ ⇔ ( x − ) + ( y + ) ≤ 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn bán kính R = ⇒ S = π R = 16π w −1 + i w −1 + i =z⇔ − + 4i = z − + 4i 2 w − + 9i w − + 9i w − + 9i ⇔ = z − + 4i ⇔ = z − + 4i ⇔ ≤ ⇔ w − + 9i ≤ 2 ⇒ tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn bán kính R = ⇒ S = 16π Chọn C. Cách 2. Ta có w = z + − i ⇔ Câu 38. Biết số phức z = x + yi, ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i đồng thời có mơđun nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức M = x + y A. M = B. M = 10 C. M = 16 D. M = 26 (THPT CHUN VÕ NGUN GIÁP QUẢNG BÌNH) Câu 39. Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho z − z ≤ , và số phức z có phần ảo khơng âm. Tính diện tích hình H A. 3π B. 3π C. 3π D. 6π (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP QUẢNG BÌNH) Câu 40. Trong các số phức z thỏa mãn z − ( + 4i ) = , gọi z1 và z2 là số phức có mơđun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 bằng A. 8i C. − B. D. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH) Câu 41. Cho số phức z; w khác 0 sao cho z − w = z = w Phần thực của số phức u = A. a = − B. a = z w D. a = C. a = (THPT CHUYÊN ĐH VINH – LẦN 3) Câu 42. Cho số phức z thỏa mãn ( − 4i ) z − = Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc z tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào? 9 4 A. ; +∞ 1 5 4 4 B. ; 1 4 1 9 2 4 C. 0; D. ; (SỞ GD&ĐT BẮC NINH) Câu 43. Cho số phức z có mơđun z = Giá trị lớn nhất của biểu thức P = + z + − z A. 10 B. 10 C. D. (SỞ GD&ĐT BẮC NINH) Câu 44. Nếu hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 ≠ z1 = z2 = thì số phức w = phần ảo bằng A. B. C. −1 D. z1 + z2 có + z1 z2 Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất của biểu thức P = + z + − z + z Tổng M + m gần với giá trị nào sau đây nhất? A. B. C. D. ... ⇒ z = ⇒ = Chọn B. 2 1+ z 2 1+ z Câu 7. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M , M ′ Số phức z (4 + 3i ) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là ... (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP QUẢNG BÌNH) Câu 40. Trong các số phức z thỏa mãn z − ( + 4i ) = , gọi z1 và z2 là số phức có mơđun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 bằng A. 8i C. −... Số phức z có mơđun lớn nhất là z = + 6i tương ứng với điểm M ( 3;6 ) Số phức z có mơđun nhỏ nhất là z = + 2i tương ứng với điểm N ( 1; ) Ví dụ 22. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện