1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Tổng ôn số phức

18 24 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 18
Dung lượng 542,97 KB

Nội dung

Tổng ôn số phức với các công thức quan trọng cần nắm vững và một số bài tập vận dụng từ các trường THPT trong cả nước giúp nắm chắc kiến thức. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.

TỔNG ÔN SỐ PHỨC CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG CẦN NẮM VỮNG z1 + z2 = z1 + z2 z1.z2 = z1.z2 z1 z2 = z1.z2 z1 z1 = z z2 z = −z = z z z = z ( z1.z2 = ( z1 z2 ) z1.z2 z z1 = z2 z2 ) z1 − z2 ≤ z1 − z2 ≤ z1 + z2 Re ( z ) = z+z z−z , Im ( z ) = 2 − z ≤ { Re ( z ) , Im ( z ) } ≤ z z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2 ( ) 2 Câu 1. Cho số phức  z = a + bi  thỏa mãn điều kiện  z + = z  Đặt  P = b − a − 12  Mệnh  đề nào dưới đây đúng? ( ) A.  P = z − ( ) 2 ( B.  P = z − ) ( C.  P = z − ) D.  P = z − (THPT ĐẶNG THÚC HỨA ­ NGHỆ AN) Lời giải Cách 1. Đặt  z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − b + 2abi ⇒ z + = a − b + + 2abi ( Khi đó, giả thiết  z + = z ⇔ a − b + ) + 4a 2b = ( a + b ) ⇔ ( b − a ) = 16 − ( a + b ) + ( a + b ) ( ) ⇒ P = ( a + b ) − ( a + b ) + = z − z + = z −   2 ( Cách 2. Từ giả thiết, ta có  z + = z ) 2 ⇔ ( z + ) ( z + ) = z = z z ⇔ z z + z + z + 16 = z.z ⇔ ( z.z ) − 4.z.z + = − 12 − ( z + z ) ( ⇔ ( z.z − ) = −12 − ( z + z ) ⇔ − 12 − ( z + z ) = z − 2 ( 2 2 Đặt  z = a + bi → z = a − bi ⇒ z + z = a − b ( ( ) ) ) ) ( 1) ( 2) Từ  ( 1) , ( )  suy ra  P = b − a − 12 = z −  Chọn D Câu 2. Cho các số phức  z1 =/ 0, z2 =/   thỏa mãn điều kiện  Tính giá trị của biểu thức  P = A.  B.  1 + =   z1 z2 z1 + z2 z1 z + z2 z1 C.  2 D.   (THPT ĐẶNGTHÚC HỨA ­ NGHỆ AN) Lời giải Cách 1. Ta có  1 z + z2 + = ⇔ = ⇔ ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = z1 z2 z1 z2 z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 ⇔ ( z1 ) + 2.z1 z2 + ( z2 ) 2 z1 z  z  z = ⇔   +   + = ⇔ = i −  hoặc  = −1 − i z2 z2  z2   z2  Khi đó  P = z1 z 1 + = i −1 + = i −1 + = 2+ =   z2 z1 i −1 i −1 2 Cách 2. Chọn  z1 = i ⇒ 1 1− i z + = ⇒ z2 = ⇒ = 2⇒P=  Chọn D i z2 i + z 2 z2 Câu 3. Cho số phức  z ≠  thỏa mãn  A.  B.  26 26 iz − ( 3i + 1) z = z  Số phức  w = iz  có mơđun là 1+ i C.  D.  (THPT PHẠM HỒNG THÁI ­ HÀ NỘI) Lời giải ( ) 2 Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó giả thiết  ⇔ i ( x + yi ) − ( 3i + 1) ( x − yi ) = ( + i ) x + y ⇔ xi − y − xi − y − x + yi = − x − y + ( y − x ) i = x + y + ( x + y ) i 2 2 ( 1)  Lấy  ( 1) − ( ) , ta được  − x − y − ( − x + y ) = ⇔ x = y ( 2) 2 −  x − 4y = x + y ⇒ 2 − x + y = x + y y = 0⇒ x = Thế  x = y  vào phương trình  ( 1) , ta có  26 y = − y ⇔   y = − ⇒ x = − 45 26 26  45 26  45  − i⇒ w = i  − − i  = − 5i = 26  Chọn C.  Vậy  z = x + yi = − 26 26  26 26  Câu 4. Cho số phức  z  thỏa mãn điều kiện  z − =  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z +i + z −2−i B.  max T = A.  max T =    C.  max T = D.  max T =  (THPT CHU VĂN AN ­ HÀ NỘI) Lời giải Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có  z − = ⇔ x − + yi = ⇔ ( x − 1) + y2 = ⇔ ( x − 1) + y = ⇔ x − x + + y = ⇔ x + y = x + ( ∗) Lại có  T = z + i + z − − i = x + ( y + 1) i + x − + ( y − 1) i = x + ( y + 1) + ( x − 2) + ( y − 1) = x + y + y + + x + y − x − y + Kết hợp với  ( ∗) , ta được  T = x + y + + − x − y = ( x + y ) + + − ( x + y ) Đặt  t = x + y , khi đó  T = f ( t ) = 2t + + − 2t  với  t ∈ [ − 1;1] Ta có  f ' ( t ) = 1 − ; f ' ( t ) = ⇔ t = ⇒ f ( t ) max = f ( 1) =  Chọn B.  2t + − 2t Câu 5. Tìm mơđun của số phức  z  biết  z − = ( + i ) z − ( + z ) i A.  z = B.  z = C.  z = D.  z = (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH) Lời giải ( ) ( ∗) Cách 1. Từ giả thiết, ta có  z − = z + i z − 4i − 3zi ⇔ z ( + 3i ) = z + + z − i ( ) Lấy môđun hai vế của  ( ∗) , ta được  z ( + 3i ) = z + + z − i ( z + ) + ( z − ) ⇔ z 10 = ( z + ) + ( z − ) = ( z + ) + ( z − ) ⇔ z = 32 ⇔ z = ⇒ z =  Chọn C.  ⇔ z + 3i = ⇔ 10 z 2 2 2 2 Cách 2. Ta biến đối  z − = ( + i ) z − ( + z ) i ⇔ z = (1+ i) Thử lần lượt với các đáp án, ta thấy z − 4i + + 3i + i − 4i + − 3i 85 = =− − i⇒ z = ≠  (loại) + 3i + 3i 5 ( + i ) − 4i + 12 10 z =4→ z = = = − i⇒ z = ≠  (loại) + 3i + 3i 5 ( + i ) − 4i + − 2i z =2→ z = = = − 2i ⇒ z =  (chọn).  + 3i + 3i z =1→ z = Câu 6. Cho số phức  z ≠  sao cho  z  không phải là số thực và  w = giá trị biểu thức  z 1+ z A.  z  là số thực. Tính 1+ z2 B.  D.  C. 2 (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ­ HUẾ) Lời giải 1 Cách 1. Tư duy nhanh.  w  là số thực  →  là số thực  → z +  là số thực.  w z z 1 = Mà dễ thấy  z + z  là số thực nên  z = ⇔ z z = ⇔ z = ⇔ z = ⇒ z 1+ z Cách 2. Ta có biến đổi  Cách 3. Chọn  w = z z = ⇔ z + z z = z + z z ⇔ z − z = ( z − z ) z z 2 1+ z 1+ z z z − z = ⇔ ⇔ z z = ⇔ z = ⇒ = 2 1+ z  z.z = z z 1 = ⇔ ( z − 1) = ⇔ z = ⇒ z = ⇒ =  Chọn B.  2 1+ z 2 1+ z Câu 7. Xét số phức  z  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là  M , M ′  Số phức  z (4 + 3i )   và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là  N , N ′  Biết rằng  M , M ′, N , N ′  là bốn  đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của  z + 4i − A.     B.  C.  D.  13 (THPT CHUYÊN LÀO CAI) Lời giải  N ( x − y;3 x + y )  N ' ( x − y; − x − y ) Gọi  M ( x; y ) → M ' ( x; − y )  và  ( + 3i ) z = x − y + ( 3x + y ) i ⇒  Dễ thấy  MM ' P NN '  vì cùng vng góc với  Ox  nên để  MM ' N ' N  là hình chữ nhật  MM ' = NN '  Khi và chỉ khi   MN = M ' N ' ⇒ x + y = ⇒ z = x − xi ⇒ z + 4i − =  MN POx  Ta có  ( x − ) + ( x − ) = 2 + ( x − 4) 1 1 ( x − ) + ≥ ⇒ z + 4i − =  Chọn C.  2 2 Câu 8. Tính mơđun của số phức  z , biết  A.  ( x − 5) 13 B.  z z −i + iz + = z 1− i C.  D.  (THPT N MƠ A ­ NINH BÌNH) Lời giải ( 1+ i) ( z − i) = z −i z Dễ thấy  z.z = z ⇔ z = , khi đó giả thiết  ⇔ iz + z + = ⇔ iz + z + 1− i z ⇔ 2iz + z + z − i + iz − i = ⇔ ( 3i + 1) z + z = i − ( ∗) 2 Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )  suy ra  z = x − yi , do đó  ( ∗) ⇔ ( 3i + 1) ( x + yi ) + x − yi = i − x = 3x =  ⇔ xi − y + x + yi + x − yi = i − ⇔ x − y + 3xi = i − ⇒  ⇔ 2 x − y = −1  y =  i i Vậy  z = ⇒ z = =  Chọn C.  3 10 − + i  Mệnh đề nào sau đây đúng? z 3 A.  < z <                B.  < z <                C.  z >                     D.  z < 2 2 Câu 9. Xét số phức  z  thỏa mãn  ( + 2i ) z = (THPT NHÂN CHÍNH ­ HÀ NỘI) Lời giải 10 10 − + i ⇔ ( + 2i ) z + − i = z z 10 10 ⇔ z + z i + 2−i = ⇔ z + + ( z − 1) i = ( ∗) z z 2 10 Lấy môđun hai vế của  ( ∗) , ta được  ( ∗) ⇔ ( z + ) + ( z − 1) = z Cách 1. Từ giả thiết, ta có  ( + 2i ) z = 10 ⇔ t ( 5t + ) = 10 ⇔ t + t − = ⇔ t = t Vậy môđun của số phức  z  bằng  ⇒ < z <   2 Cách 2. Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm  z Đặt  t = z , ta có  ( t + 2) + ( 2t − 1) = Cách 3. Đặt  z = a + bi ( a, b ∈ ¡ )  và  c = z , thay vào đẳng thức đã cho thì  ( a − bi ) 10 − + i 10 − + i ⇔ ( + 2i ) c = a + bi c2  a 10 b 10  ⇔ c − + + i  2c + − 1 = c c    a 10  a 10 c − + = c + = 10 ( a + b ) 10   c c ⇔ Suy ra    nên  ( c + ) + ( − 2c ) = = c4 c  2c + b 10 − = 1 − 2c = b 10   c c  Giải ra ta có  c = ±  mà  c >  nên  c =  hay  z =  Do đó  < z <  Chọn B.  2 Gt ⇔ ( + 2i ) c = Câu 10. Cho số phức  z  thỏa mãn  z + A.     =  Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  z   z B.  C.  13 D.  (TỐN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8) Lời giải Ta có  a = z + 1  1  ⇔ a2 = z + =  z +  z +  z z z  z  = z + ( ) z2 + ( z ) z 2 + z z + ( z + z ) − z +1 = z 2  − a + a2 + a + a2 +  ;  2   Khi đó  z − z a + + = − ( z + z ) ≤ ⇒ z ∈  Vậy  max z = 2 a + a2 + − a + a2 + ; z = ⇒ M + m = a + = 13  Chọn C 2 Câu 11. Xét số phức  z  thỏa mãn  z − + z − i ≤ 2  Mệnh đề nào dưới đây đúng? A.  < z < 2 B.  z > C.  z < D.  < z < 2 (TỐN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8) Lời giải Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức số phức, ta có  u + v ≥ u + v ≥ u − v ( ) Khi đó  2 ≥ z − + z − i = z − + z − i + z − i ≥ z − − ( z − i ) + z − i = i − + z − i = 2 + z − i ⇔ z − i ≤ ⇒ z = i ⇒ z =   Cách 2. Sử dụng hình học, giả sử điểm  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )  có điểm biểu diễn là  M ( x; y ) Số phức  z −  có điểm biểu diễn là  A ( x − 1; y ) ,  z − i  có điểm biểu diễn là  B ( x; y − 1) uuur ( 1)  vì  AB = ( 1; −1) ⇒ AB = Mặt khác  2.OA + 3.OB = ( OA + OB ) + OB ≥ AB + OB ( ) Ta có  z − + z − i ≤ 2 ⇔ 2.OA + 3.OB ≤ AB x = ⇒ z =i y =1 Từ  ( 1) , ( )  suy ra  AB ≥ AB + OB ⇔ OB ≤ ⇒ OB = ⇒ O ≡ B ( 0;0 ) ⇒  Vậy môđun của số phức  z  là  z = i =  Chọn D.  Câu 12. Cho số phức  z  thỏa mãn  z − z + = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1)   Tính  | w | , với số phức  w = z − + 2i A.  | w |= B.  | w |= C.  | w |= D.  | w |= (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ­ ĐỒNG NAI) Lời giải Ta có  z − z + = ( z − 1) + = ( z − 1) − ( 2i ) = ( z − + 2i ) ( z − − 2i ) 2  z = − 2i  z − − 2i = z + 3i − Khi đó, giả thiết  ⇔ ( z − + 2i ) ( z − − 2i ) = ( z − + 2i ) ( z + 3i − 1) ⇔  TH1. Với  z = − 2i , ta có  w = z − + 2i = − 2i − + 2i = − ⇒ w = ( ∗) , đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có  TH2. Với  z − − 2i = z + 3i − 1 2 2 x − + ( y − ) i = x − + ( y + 3) i ⇔ ( x − 1) + ( y − ) = ( x − 1) + ( y + ) ⇔ y = − Do đó  w = z − + 2i = x − i − + 2i = x − + i ⇒ w = ( x − ) + ≥  Chọn A.  2 ( ∗) ⇔ Câu 13. Cho số phức  z  thỏa mãn  z =  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z +1 + z −1 A.  max T = B.  max T = 10 Cách 1. Gọi  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ C.  max T = D.  max T =  (THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ ­ HÀ NỘI) Lời giải ) ⇒ M ( x; y ) 2 Và  A ( −1;0 ) , B ( 1;0 )  Ta có  z = ⇒ x + yi = ⇔ x + y = ⇒ M  thuộc đường tròn đường kính  AB ⇒ MA2 + MB = AB =  Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có T = MA + 2MB ≤ (1 + 22 ) ( MA2 + MB ) = 5.4 = Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức  max T =  Chọn A.  Cách 2. Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Mặt khác  z = ⇔ )⇒ z +1 = ( x + 1) + y  và  z − = ( x − 1) + y2 x + y = ⇔ x + y = , khi đó  T= ≤ ( x + 1) (1 2 ( x − 1) + y2 + 2 + y2 + 22 ) ( x + 1) + y + ( x − 1) + y    2 = 10 ( x + y + 1) = 10.2 = ⇒ max T = Câu 14. Cho  z1 ,  z2  là hai số phức thỏa mãn  z − i = + iz , biết  z1 − z2 =  Tính giá trị của biểu  thức  P = z1 + z2 A.  P = B.  P = C.  P = D.  P =  (THPT THANH CHƯƠNG I ­ NGHỆ AN) Lời giải Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có  z − i = + iz ⇔ x + ( y − 1) i = − y + xi ⇔ x + ( y − 1) = ( − y) 2 + x2 ⇔ 4x2 + y2 − y + = − y + y + x2 ⇔ x + y = ⇒ z = ⇒ z1 = z2 =  Sử dụng công thức (chứng minh ở câu 16)  ( 2 z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 ) ⇒ z +z ( 2 = z1 + z2 ) − z −z 2 =  Chọn D.  Câu 15. Cho ba số  phức  z1 ; z2 ; z3  thỏa mãn điều kiện  z1 = z2 = z3 =  và  z1 + z2 + z3 =  Tính  giá trị biểu thức  A = z12 + z22 + z32 A.  B.  C.  −1 D.  + i (THPT CHUN BIÊN HỊA ­ HÀ NAM) Lời giải Ta có  A = z12 + z22 + z32 = ( z1 + z2 + z3 ) − ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = − ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 )  z z z  1 1 = − z1 z2 z3  + +  = − z1 z2 z3  + +  = − z1 z2 z3 ( z1 + z2 + z3 ) z3   z1 z2 z3   z1 z2 Mặt khác  z1 + z2 + z3 = ⇒ z1 + z + z3 =  suy ra  A =  Chọn B.  Câu 16. Với hai số  phức  z1  và  z2  thỏa mãn  z1 + z2 = + 6i  và  z1 − z2 =  Tìm giá trị  lớn nhất  của  P = z1 + z2   A.  P = + B.  P = 26 C.  P = D.  P = 34 + (THPT CHUN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ­ LẦN 4) Lời giải  Bổ đề. Cho hai số phức  z1  và  z2 , ta ln có  z1 + z2 + z1 − z2 Chứng minh. Sử dụng công thức  z1 + z2 ( ) ( ) ( = z1 + z2 ) ( ∗) = ( z1 + z2 ) z1 + z2  và  z.z = z  Khi đó  ( z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z2 2 ) = z1.z1 + z1.z2 + z1.z2 + z z2 + z1.z1 − z1.z2 − z1.z2 + z2 z2 ) ( ( 2 ) = z1.z1 + z2 z2 = z1 + zđpcm →  Áp dụng  ( ∗) , ta được  z1 + z2 + z1 − z2 2 = ⇒ z1 − z2 = − ( ( 3) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  P = z1 + z2 ≤ z1 + z2 2 = ⇒ z1 − z2 = ) =2 26  Chọn B.  Câu 17. Cho  P ( z ) là một đa thức với hệ số thực. Nếu số phức  z  thỏa mãn  P ( z ) =  thì ( ) A.  P z = 1 z 1 z B.  P   =   C.  P   = ( )        D.  P z = (THPT CHUYÊN TỈNH HÀ NAM) Lời giải  z = + 2i  z = − 2i 2 Chọn hàm số  P ( z ) = z − z +  Phương trình  P ( z ) = ⇔ z − z + = ⇔  Xét với số phức  z = + 2i , ta có z = + 2i =  suy ra  P ( z ) = z − z + = ( 5) − + = 10 − ≠ 112 16 1 1 + i ≠ = = − i  suy ra  P   = − + = z 25 25 z + 2i 5 z z 112 16 1 1 − i ≠ = = + i  suy ra  P   = − + = z 25 25 z − 2i 5 z z z = − 2i  suy ra  P ( z ) = z − z + = ( − 2i ) − ( − 2i ) + =  Chọn D.  2z − i  Mệnh đề nào sau đây đúng? + iz C.  A <   D.  A > Câu 18. Cho số phức  z  thỏa mãn  z ≤  Đặt  A = A.  A ≤   B.  A ≥   (THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải 2z − i ⇔ A ( + iz ) = z − i ⇔ A + Azi = z − i + iz 2A + i 2A + i ≤ ⇔ A + i ≤ Ai − ⇔ A + i = z ( Ai − ) ⇔ z =  Mà  z ≤ ⇒ Ai − Ai − Từ giả thiết, ta có  A = Đặt  A = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó  ( ∗) ⇔ ⇔ x + ( y + 1) ≤ ( y + 2) Vậy môđun của  A = ( ∗) x + ( y + 1) i ≤ − y − + xi + x ⇔ x + y + y + ≤ x + y + y + ⇔ x + y ≤ x + y ≤  Chọn A.  Câu 19. Cho số phức  z  thỏa mãn  z =  và điểm   trong hình vẽ bên  A là điểm biểu diễn của  z  Biết rằng trong hình vẽ  bên, điểm biểu diễn   là một trong bốn điểm  M ,  N ,  P ,  Q  Khi đó điểm  iz biểu diễn của số phức  w  là A. điểm  Q                                      B. điểm  M   C. điểm  N                                      D. điểm  P của số phức  w = (THPT CHUYÊN ĐH VINH LẦN 1) ⇔ x + y =  và  x > y  (hình vẽ) 2 i ( x − yi ) i i y + xi =− =− = − y − x.i Ta có  w = = − = − iz z x + yi x + y2 ( x + yi ) ( x − yi ) Đặt  z = x + yi ( x, y > ) , khi đó  z = x2 + y = Vì  x, y >  nên điểm biểu diễn số phức  w  là  ( − y; − x )  đều có hồnh độ, tung độ âm Đồng thời  x > y ⇔ − y > − x ⇒ xw < yw <  và  w = x + y = = z Dựa vào hình vẽ, điểm  P  chính là điểm cần tìm vì điểm  N  tuy thỏa mãn  xw < yw <  nhưng độ  dài  ON  xấp xỉ bằng độ dài  OA  Chọn D.  Câu 20.  Cho sô ph ́ ưć   z = x + yi ( x, y ∈ ¡ )   thoa mãn ̉   z − + 8i =   và có mơđun nhỏ  nhât. Tinh ́ ́   tổng  x + y A.  x + y = −   B.  x + y = −1 C.  x + y =      D.  x + y = (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM) Lời giải Dựa vào ví dụ, ta phát triển dạng tốn Min – Max số phức như sau Tập hợp các điểm  M ( z )  thỏa mãn điều kiện  z − ( a + bi ) = R   ( R > )  là đường tròn  ( C )  có  tâm  I ( a; b )  và bán kính  R Chứng minh. Gọi  z = x + yi ,  ( x, y ∈ ¡ ) Theo giả thiết  z − ( a + bi ) = R ⇔ ( x − a ) + ( y − b ) i = R ( x − a) + ( y − b) = R ⇔ ( x − a ) + ( y − b) Vậy tập hợp các điểm  M ( z )  là đường tròn  ( C )  có tâm  I ( a; b )  và bán kính  R ⇔ 2 2 = R2 Ví dụ 21. Trong các số phức  z  thỏa mãn điều kiện  z − − 4i =  Tìm  max z A.  max z = B.  max z = C.  max z = D.  max z = 13 Hướng dẫn giải Tập hợp các điểm  M ( z )  là đường tròn  ( C )  có tâm  I ( 2; )  và bán kính  R = Vậy  max z = OM = OI + R = 2 + + =  Chọn A * Hỏi thêm: a) Tìm  z z = ON = OI − R = 22 + 42 − = b) Tìm số phức  z  có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất Phương trình đường thẳng  OI  là  y = x Tọa độ hai điểm  M ,  N  là nghiệm của hệ phương trình  y = x  y = 2x x = x = ⇔ ⇔ ;   2 y = y = x − 20 x + 15 = x − + y − = ( ) ( )     Số phức  z  có mơđun lớn nhất là  z = + 6i  tương ứng với điểm  M ( 3;6 ) Số phức  z  có mơđun nhỏ nhất là  z = + 2i  tương ứng với điểm  N ( 1; ) Ví dụ 22. Trong các số phức  z  thỏa mãn điều kiện  z − 5i ≤  Nếu số phức  z  có mơđun nhỏ nhất  thì phần ảo bằng bao nhiêu? A.  B.  Hướng dẫn giải C.  Tập hợp các điểm  M ( z )  là hình tròn  ( C )  tâm  I ( 0;5 )   và bán kính  R = Số phức  z  có mơđun nhỏ nhất là  z = 2i  ứng với điểm  N ( 0;2 )   Chọn C Tổng quát. Trong các số phức  z  thỏa mãn  z − z1 = r1   ( r1 > )  Tìm  giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  P = z − z2 Gọi  I ( z1 ) ;  N ( z2 )  và  M ( z )  Tính  IN = z1 − z2 = r2   Khi đó,  max P = NM = r1 + r2  và  P = NM = r1 − r2 D.  Áp dụng Câu 1 (THPT   CHUYÊN   KHTN  –  LẦN   1)  Trong     số   phức   z   thỏa   mãn   điều   kiện  ( + i ) z + − 7i A.  max z = =  Tìm  max z B.  max z = C.  max z = D.  max z = Hướng dẫn giải Ta có  ( + i ) z + − 7i = ⇔ + i z + − 7i = ⇔ z − ( + 4i ) = 1+ i Vì  ( + 4i ) − =  nên  max z = r1 + r2 = + =  Chọn D Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất của  z  biết rằng  z  thỏa mãn điều kiện  A.  max z = B.  max z = − − 3i z +1 = − 2i C.  max z = D.  max z = Hướng dẫn giải Ta có  − − 3i z + = ⇔ − iz + = ⇔ − i z + = ⇔ z − ( − i) = − 2i −i Vì  ( − i ) − =  nên  max z = r1 + r2 = + =  Chọn B Câu 3 Trong     số   phức   z   thỏa   mãn   điều   kiện   z − − 4i = z − 2i   Biết     số   phức  z = x + yi ,  ( x, y ∈ ¡ )  có mơđun nhỏ nhất. Tính  P = x + y A.  P = 10 B.  P = C.  P = 16 Hướng dẫn giải D.  P = 26 Gọi  z = x + yi ,  ( x, y ∈ ¡ )  Ta có  z − − 4i = z − 2i ⇔ ( x − ) + ( y − ) i = x + ( y − ) i ⇔ ( x − 2) 2 2 + ( y − ) = x + ( y − ) ⇔ x − x + + y − y + 16 = x + y − y + 2 ⇔ x + y − 16 = ⇔ y = − x Do đó  z = x + y = x + ( − x ) = x − x + 16 = ( x − ) + ≥ 2 2 Dấu  " = "  xảy ra  ⇔ x = ⇒ y =  Vậy  P = 22 + 22 =  Chọn B Câu 4 (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức  z  thỏa mãn  z − + z + = 10  Giá trị lớn nhất  và giá trị nhỏ nhất của  z  lần lượt là A.  10  và  Gọi  z = x + yi ,  ( x, y ∈ ¡ B.   và  C.   và  Hướng dẫn giải )  Theo giả thiết, ta có  z − + z + = 10 Gọi  M ( x; y ) ,  F1 ( − 4;0 )  và  F2 ( 4;0 ) D.   và  Khi đó  ( ∗ ) ⇔ MF1 + MF2 = 10  nên tập hợp các điểm  M ( z )  là đường elip  ( E ) Ta có  c = ;  2a = 10 ⇔ a =  và  b = a − c = x2 y2 + =1 25 Vậy  max z = OA = OA ' =  và  z = OB = OB ' =  Chọn D Do đó, phương trình chính tắc của  ( E )  là  Câu 5 Biết số phức  z = x + yi ,  ( x, y ∈ ¡ )  thỏa mãn đồng thời điều kiện  z − ( + 4i ) =  và  2 biểu thức  P = z + − z − i  đạt giá trị lớn nhất. Tính  z B.  z = 50 A.  z = 33 C.  z = 10 D.  z = Hướng dẫn giải Tập hợp các điểm  M ( z )  là đường tròn  ( C )  có tâm  I ( 3; )  và bán kính  R = 2 2 Ta có  P = ( x + ) + yi − x + ( y − 1) i = ( x + ) + y −  x + ( y − 1)  2  = x + y + ⇔ x + y + − P = 0   ( ∆) Ta tìm  P  sao cho đường thẳng  ∆  và đường tròn  ( C ) có điểm chung  ⇔ d ( I ; ∆ ) ≤ R   ⇔ 12 + + − P 20 ≤ ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ −10 ≤ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 4 x + y − 30 = x = ⇔ 2 y = −5 ( x − 3) + ( y − ) = Do đó  max P = 33  Dấu  " = "  xảy ra  ⇔  Vậy  z = 52 + 52 =  Chọn D.  Câu 23. Cho hai số phức  z1 ,  z  thoả mãn điều kiện  z1 = z2 = z1 − z2 =   2 z  z  Tính giá trị của biểu thức  P =   +    z2   z1  A.  P = − i B.  P = −1 − i C.  P = −1 D.  P = + i (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH) Lời giải Từ giả thiết, ta có  z1 = z2 = z1 − z2 = ⇔ z1 z = −1 = z2 z2  x= 2  2  x + y =  z1 x + y =  = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó   ⇔ ⇔ Đặt  w = 2 z2  ( x − 1) + y =  x + y = x y = ±  2 1 i 3 1 i 3 Khi đó  P = w + =  +  + −  = −  Chọn C.  w  2   2  Câu 24. Tính tích mơđun của tất cả  các số  phức  z  thỏa mãn  z − = z + + i ,  đồng thời điểm  biểu diễn  z  trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm  I ( 1;1) , bán kính  R A.  B.  C.  D.  (SỞ GD&ĐT THANH HÓA) Lời giải Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó  z − = z + + i ⇔ x − + y.i = x + − ( y − 1) i ⇔ ( x − 1) + y = ( x + 1) + ( y − 1) ⇔ 3x + y − x + y − = 2 Mà điểm biểu diễn  M ( z ) ∈ ( C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ x + y − x − y − = 2 ( 1) ( 2) Lấy  ( 1) − ( ) , ta được  x + y − x + y − − 3x − y + x + y + = ⇔ y = − Thế  y = −  vào phương trình  ( ) , ta có  x =  z1 = − i x2 − 2x = ⇔  ⇒ ⇒ z1 z2 = − i − i =  Chọn C  x =  z2 = − i Câu 25. Cho các số phức  z , w  thỏa mãn  z + − 2i = z − 4i , w = iz +  Giá trị nhỏ nhất của biểu  thức  w  là A.  2 B.  2   C.  D.    (THPT CHUYÊN ĐH VINH ­ LẦN 2) Lời giải Đặt  z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , khi đó  z + − 2i = a + + ( b − ) i  và  z − 4i = a + ( b − ) i 2 Nên ta có  ( a + ) + ( b − ) = a + ( b − ) ⇔ a + b = ⇔ b = − a Khi đó  w = iz + = ( a + bi ) i + = − b + ⇒ w = a + ( b − 1) = a + ( a − 1) 2 1 1 2  Dễ thấy  a + ( a − 1) =  a −  + ≥ ⇒ w ≥ ⇒ w =  Chọn A.  2 2 2  2 Câu 26. Gọi  z1 ,  z2  là hai nghiệm của phương trình  z + z + =   Tính giá trị của biểu thức  P = z12017 + z2 2017   A.  P = B.  P = −1 C.  P = D.  P = (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ­ LẦN 4) Lời giải Ta có  z + z + = ⇔ z = − i 2017 2017 ± ⇒ z = ⇒ z = ⇒ P = ( z1 ) + ( z2 ) =  Chọn D 2 Câu 27. Cho số phức  z  thỏa mãn  ( + 3i ) z − ( + 2i ) z = − i  Tìm mơđun của  z A.  z =   B.  z =   C.  z = D.  z =  (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN ­ LẦN 4) Lời giải Cách 1. Đặt  z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , khi đó giả thiết trở thành Gt ⇔ ( + 3i ) ( a + bi ) − ( + 2i ) ( a − bi ) = − i  a − 5b = ⇔ a − 5b + ( a + 3b ) i = − i ⇔   a + 3b = −1 a = ⇒ ⇒ z = − i ⇒ z = b = −1 Cách 2. Xử lý bằng casio giống bài toán sau: Cho số phức  z − ( + 3i ) z = − 9i  Tích phần thực và  phần ảo của số phức  z  bằng B.  −1 A.  D.  − C.  Đặt  z = X + Yi → z = X − Yi  Khi đó  w = X + Yi − ( + 3i ) ( X − Yi ) − + 9i = ( ∗) Thao tác trên máy tính Màn hình hiển thị Ấn w ® ®  Đưa về tính số phức Nhập vế trái của phương trình  ( * )   X +Y i - ( + 3i ) ( X - Y i ) - + 9i Sau đó, gán giá trị  X = 100, Y = 0, 01 ®1 0 ®r ®0 Ấn r ® q ®0 ®= 10103 29097 i = - 101, 03 - 290, 97i 100 100 ìï 101, 03 = 100 + + 0, 03 = X + 3Y + ï Mặt khác, ta có  í ïï 290, 97 = 300 - - 0, 03 = 3X - 3Y - ỵ ìï X + 3Y = - ìï X = Þ w = - ( X + 3Y + 1) - ( 3X - 3Y - 9) i = Û ïí Û ïí ïï X - Y = ïï Y = - ỵ ỵ Khi đó  w = - Câu 28. Có bao nhiêu số phức  z  thỏa mãn đồng thời điều kiện  z.z + z =  và  z = ? A.  B.  C.  D.  (THPT CHUYÊN LAM SƠN ­ THANH HÓA) Lời giải Đặt  z = a + bi ( a; b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi ⇒ z.z = ( a − bi ) ( a + bi ) = a + b 2 2  a + b + a + bi = a + b =  a + b = ⇔ ⇒ Khi đó, giả thiết  ⇔  2  a + bi =  a + + bi = ( a + ) + b = a + b = a + b2 = a = − ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ z = −  Chọn D   2 b = a = − a + − a = ( )    Câu 29. Cho số phức  w  và hai số thực  a ,  b  Biết  z1 = w + 2i  và  z2 = w −  là hai nghiệm phức  của phương trình  z + az + b =  Tính  T = z1 + z2 A.  T = 13 B.  T = Đặt  w = m + ni ( m; n ∈ ¡ 97 C.  T = 85 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ­ QUẢNG TRỊ) Lời giải  z1 = w + 2i = m + ( n + ) i ) ⇒  D.  T = 13  z2 = w − = 2m − + 2ni  3n + = n = − ⇒ Ta có  z1 + z2 = 3m − + ( 3n + ) i = − a  là số thực  ⇒  3m − ≠ m ≠    4  Lại có  z1 z2 =  m + i  2m − + i  = b  là số thực  ⇒ ( 2m − 3) − m = ⇒ m = 3   3  Do đó  z1 = + 4 97 i; z2 = − i ⇒ T = z1 + z2 =  Chọn B 3 Câu 30. Cho số phức  z  thỏa mãn  ( z + 1) ( z − 2i )  là một số thuần ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức  z  là một đường tròn có diện tích bằng A.  5π B.  5π Đặt  z = x + yi ( x; y ∈ ¡ C.  5π D.  25π (THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM ­ QUẢNG NAM) Lời giải ) ⇒ ( z + 1) ( z − 2i ) = x + y + x + y − ( x + y + ) i Theo giả thiết  ( z + 1) ( z − 2i )  là số thuần ảo, suy ra 2 x + y + ≠ 1  ⇔ x + x + + y + y + = ⇔  x +  + ( y + 1) =  2 4 2  x + y + x + y = 5π ⇒  tập hợp điểm biểu diễn số phức  z  là một đường tròn có diện tích bằng   Chọn B z − z +1 , trong đó  z  là số phức thỏa mãn z2 uuuruuur ( − i ) ( z + 2i ) = − i + 3z  Gọi  N  là điểm trong mặt phẳng sao cho  Ox,ON = 2ϕ , trong đó uur uuuur uuuur ϕ = Ox, OM  là góc lượng giác tạo thành khi quay tia  Ox  tới vị trí tia  OM  Điểm  N Câu 31. Gọi  M  là điểm biểu diễn số phức  w = ( ( ) nằm trong góc phần tư nào? A. Góc phần tư thứ  ( I ) ) B. Góc phần tư thứ  ( IV ) C. Góc phần tư thứ  ( III ) D. Góc phần tư thứ  ( II ) (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ­ ĐỒNG THÁP) Lời giải Từ giả thiết, ta có  ( − i ) ( z + 2i ) = − i + 3z ⇔ z + 2i − iz + = − i + 3z z − z + casio 33 56 ⇔ ( i + ) z = 3i ⇔ z = + i ⇒ w =  → w= − i 5 z 45 45 y Sử dụng lý thuyết nếu  z = x + yi → P ( x; y ) → tan ϕ =  với  ϕ  là góc tạo bởi chiều dương x uuuur trục hồnh với vectơ  OM 33 56 56 3696 2047 Khi đó  w = − i ⇒ tan ϕ = − ⇒ sin 2ϕ = − ; cos 2ϕ = − 45 45 33 4225 4225 Vậy điểm  N  thuộc góc phần tư thứ  ( IV )  Chọn B.  Câu 32. Cho số phức  z  thỏa mãn  z − − 3i =  Giá trị lớn nhất của  z + + i  là  A.  13 + B.  C.  D.  13 +  (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ­ NGHỆ AN) Lời giải Đặt  z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , ta có  z − − 3i = ⇔ ( a − ) + ( b − 3) i = ⇔ ( a − 2) + ( b − 3) = ⇔ ( a − ) + ( b − ) = 2 ( ∗) a − = sin t 2  (vì  ( ∗) ⇔ sin t + cos t = ). Khi đó  z + + i = ( a + 1) + ( − b ) i b − = cos t Đặt   = ( a + 1) + ( − b ) →  xét biểu thức  P = ( a + 1) + ( − b ) 2 Ta có  ( a + 1) + ( − b ) = ( sin t + 3) + ( cos t + ) = sin t + 6sin t + + cos t + cos t + 2 2 = ( sin t + cos t ) + 13 + 6sin t + cos t = 14 + 6sin t + cos t = P ( Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  ( 6sin t + cos t ) ≤ 62 + 2 ) ( sin t + cos t ) ⇔ ( 6sin t + cos t ) ≤ 52 ⇔ 6sin t + cos t ≤ 52 = 13 ⇒ P ≤ 14 + 13 Vậy  z + + i = ( a + 1) + ( − b ) ≤ 14 + 13 = ( ) 13 + = 13 +  Chọn A Câu 33. Có bao nhiêu số phức  z  thỏa mãn  z − i =  và  z  là số thuần ảo A. 3 B. 1 C. 4 D. 2  (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU ­ NGHỆ AN) Lời giải Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , khi đó  z − i = ⇔ x + ( y − 1) i = ⇔ x + ( y − 1) = ( ∗ )  x2 − y = x = y ≠ ⇔ x = − y ≠  xy ≠ Ta có  z = ( x + yi ) = x − y + xyi  là số thuần ảo nên   1± TH1. Với  x = y , thế vào  ( ∗) , ta được  x + ( x − 1) = ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 ± TH2. Với  x = − y , thế vào  ( ∗) , ta được  x + ( x + 1) = ⇔ x + x − = ⇔ x = Vậy có   số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.  Câu 34. Cho hai số phức  z1 ,  z2  thỏa mãn  z1 , z2 ≠ ;  z1 + z2 ≠  và  giá trị của biểu thức  A.  1 = +  Tính z1 + z2 z1 z2 z1 z2 2 B.  C.  D.    (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG) Lời giải Từ giả thiết, ta có  1 2z + z = + ⇔ = ⇔ z1 z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 z1 z2 ⇔ z1 z2 = z12 + z1 z2 + z1 z2 + z22 ⇔ z12 + z1 z2 + z22 = z  z  z i z i ⇔ 2  + 2  +1 = ⇔ = − ± ⇒ = − ± =  Chọn A.  z z z 2 z 2  2  2 2 10 + − 3i  Biết tập hợp các điểm biểu z diễn cho số phức  w = ( − 4i ) z − + 2i  là đường tròn  I , bán kính  R  Khi đó Câu 35. Cho thỏa mãn  z ∈ £  thỏa mãn  ( + i ) z = A.  I ( −1; −2 ) , R = B.  I ( 1; ) , R = C.  I ( −1; ) , R = D.  I ( 1; −2 ) , R = (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG) Lời giải 10 10 ⇔ ( z − 1) + ( z + 3) i = z z 2 10 ⇒ z = Lấy môđun hai vế  ( ∗) , ta được  ( z − 1) + ( z + 3) = z Từ giả thiết, ta có  ( + i ) z − + 3i = ( ∗) Lại có  w = ( − 4i ) z − + 2i ⇔ w + − 2i = ( − 4i ) z ⇔ w + − 2i = ( − 4i ) z ⇔ w + − 2i = − 4i z = z = ⇒  tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức  w  là đường tròn tâm  I ( − 1; )  và bán kính  R =  Chọn C.  ( ) Câu 36. Cho số phức  z  thỏa mãn  z ( + 4i ) z − + 3i  − =  Giá trị của  z  là A.  B.  C.  2 D.  (THPT HÀ HUY TẬP) Cách 1. Đặt  z = x + yi ( x, y ∈ ¡ Lời giải ) ⇒ z = x − yi , dựa vào giả thiết tìm nghiệm  x, y 5 ⇔ ( z − ) + ( z + 3) i = z z 2 Lấy môđun hai vế, ta được  ( z − ) + ( z + ) =  mà  z = z , khi đó  z 2 ( z − ) + ( z + 3) = 502 →  đến đây có thể giải trực tiếp bằng cách đặt  t = z z Cách 2. Ta có, giả thiết  ⇔ ( + 4i ) z − + 3i = Hoặc sử dụng máy tính casio bằng việc thử các đáp án, để thấy được  z = ( + 4i ) z + ( 3i − ) z 5 Cách 3. Ta có biến đổi  ( + 4i ) z − + 3i = = z ⇔ z = z z 2 Thử lần lượt với các đáp án, ta thấy  z =2→ z = ( + 4i ) + ( 3i − ) = z = 2→z= ( + 4i ) + ( 3i − ) z =2 2→z= 2 ( + 4i ) + ( 3i − ) z =1⇒ z = → z = 2 = + 11 i ⇒ z = 10  (loại) −4+3 3+ + i ⇒ z =  (loại) 5 ⇒ z =  (loại) + 4i + 3i − =− + i ⇒ z =  (chọn). Chọn D.  10 10 Câu 37. Cho số phức  z  thỏa mãn điều kiện  z − + 4i ≤  Trong mặt phẳng  Oxy  tập hợp điểm biểu diễn số phức  w = z + − i  là hình tròn có diện tích bằng A.  S = 9π B.  S = 12π C.  S = 16π D.  S = 25π (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO ­ NINH BÌNH) Lời giải Cách 1. Đặt  w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có  x + yi = z + − i ⇔ z = x − + ( y + 1) i ( 1) Từ giả thiết, ta thấy rằng  z − + 4i ≤ ⇔ z − + 4i ≤ ⇔ z − + 8i ≤ ( ) Từ  ( 1) , ( )  suy ra  x − + ( y + 1) i − + 8i ≤ ⇔ x − + ( y + ) i ≤ ⇔ ( x − 7) + ( y + ) ≤ ⇔ ( x − ) + ( y + ) ≤ 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức  w  là hình tròn bán kính  R = ⇒ S = π R = 16π   w −1 + i w −1 + i =z⇔ − + 4i = z − + 4i 2 w − + 9i w − + 9i w − + 9i ⇔ = z − + 4i ⇔ = z − + 4i ⇔ ≤ ⇔ w − + 9i ≤ 2 ⇒  tập hợp điểm biểu diễn số phức  w  là hình tròn bán kính  R = ⇒ S = 16π  Chọn C.  Cách 2. Ta có  w = z + − i ⇔ Câu 38. Biết số phức  z = x + yi, ( a, b ∈ ¡ )  thỏa mãn điều kiện  z − − 4i = z − 2i  đồng thời có mơđun nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức  M = x + y A.  M = B.  M = 10 C.  M = 16 D.  M = 26 (THPT CHUN VÕ NGUN GIÁP ­ QUẢNG BÌNH) Câu 39. Gọi  H  là hình biểu diễn tập hợp các số phức  z  trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  sao cho  z − z ≤ , và số phức  z  có phần ảo khơng âm. Tính diện tích hình  H A.  3π B.  3π C.  3π D.  6π (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP ­ QUẢNG BÌNH) Câu 40. Trong các số phức  z  thỏa mãn  z − ( + 4i ) = , gọi  z1  và  z2  là số phức có mơđun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức  z1  và  z2  bằng A.  8i C.  − B.  D.  (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH) Câu 41. Cho số phức  z; w  khác 0 sao cho  z − w = z = w  Phần thực của số phức  u = A.  a = − B.  a = z w D.  a = C.  a = (THPT CHUYÊN ĐH VINH – LẦN 3) Câu 42. Cho số phức  z  thỏa mãn  ( − 4i ) z − =  Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc  z tọa độ đến điểm biểu diễn số phức  z  thuộc tập nào?  9 4   A.   ; +∞    1 5 4 4 B.   ;      1 4 1 9 2 4 C.   0;    D.   ;    (SỞ GD&ĐT BẮC NINH) Câu 43. Cho số phức  z  có mơđun  z =  Giá trị lớn nhất của biểu thức  P = + z + − z A.  10   B.  10   C.    D.    (SỞ GD&ĐT BẮC NINH) Câu 44.  Nếu hai số  phức   z1 , z2   thỏa mãn   z1 z2 ≠     z1 = z2 =   thì số  phức   w = phần ảo bằng A.         B.        C.  −1   D.    z1 + z2   có  + z1 z2 Câu 45. Cho số phức  z  thỏa mãn điều kiện  z =  Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất của biểu  thức  P = + z + − z + z  Tổng  M + m  gần với giá trị nào sau đây nhất? A.    B.    C.    D.  ... ⇒ z = ⇒ =  Chọn B.  2 1+ z 2 1+ z Câu 7. Xét số phức z  và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là  M , M ′ Số phức z (4 + 3i )   và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là ... (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP ­ QUẢNG BÌNH) Câu 40. Trong các số phức z  thỏa mãn  z − ( + 4i ) = , gọi  z1  và  z2  là số phức có mơđun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1  và  z2  bằng A.  8i C.  −...     Số phức z  có mơđun lớn nhất là  z = + 6i  tương ứng với điểm  M ( 3;6 ) Số phức z  có mơđun nhỏ nhất là  z = + 2i  tương ứng với điểm  N ( 1; ) Ví dụ 22. Trong các số phức z  thỏa mãn điều kiện 

Ngày đăng: 15/05/2020, 20:58

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w