Bài báo trình bày một phương pháp điều khiển dự báo bền vững cho hệ phi tuyến Lur’e, một mô hình hệ phi tuyến phổ biến trong thực tế, với các tham số không được xác định chắc chắn. Các tham số được giả thiết thuộc một tập lồi đã biết. Bài toán được đưa về dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính có thể giải được bằng các công cụ tính toán hiện hành. Tín hiệu điều khiển tìm được dưới dạng tín hiệu phản hồi tuyến tính và được chứng minh là đảm bảo hệ sẽ ổn định tiệm cận tại gốc tọa độ.
JMST TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO BỀN VỮNG CHO HỆ PHI TUYẾN LURE THAM SỐ KHÔNG CHẮC CHẮN ROBUST MODEL PREDICTIVE CONTROL FOR UNCERTAIN LURE SYSTEMS NGUYỄN TIẾN BAN Khoa Điện cơ, Trường Đại học Hải Phòng Email liên hệ: bannguyentien@gmail.com Tóm tắt Bài báo trình bày phương pháp điều khiển dự báo bền vững cho hệ phi tuyến Lur’e, mơ hình hệ phi tuyến phổ biến thực tế, với tham số không xác định chắn Các tham số giả thiết thuộc tập lồi biết Bài toán đưa dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải cơng cụ tính tốn hành Tín hiệu điều khiển tìm dạng tín hiệu phản hồi tuyến tính chứng minh đảm bảo hệ ổn định tiệm cận gốc tọa độ Phương pháp minh họa ví dụ kèm kết mơ Từ khóa: MPC-Điều khiển dự báo, điều khiển phi tuyến, LMI, điều khiển tối ưu, điều khiển bền vững, hệ Lure Abstract This paper proposes a method to design a robust model predictive controller for an Lur’e system with uncertain parameters, which is popular in practice The uncertain parameters are assumed to belong to convex sets The problem is formulated as a Linear Matrix Inequalities, which can be solved by available solvers The result is a linear feedback control signal that can be proved to asymptotically stabilize the closed loop system The method is illustrated with an example with simulation results Phần mở đầu Điều khiển dự báo MPC nghiên cứu thời gian dài [1], [3], [4], [5], lĩnh vực điều khiển tuyến tính, MPC tỏ rõ trội lý thuyết thực tế Trong điều khiển dự báo MPC, bước tính, điều khiển giải toán tối ưu cho lời giải (u(0), u(1), … u(h)) đưa tín hiệu u(0) đến đối tượng Sau đó, trạng thái x(k) hệ cập nhật trình lặp lại Điều khiển dự báo MPC cho hệ phi tuyến từ lâu thu hút quan tâm lĩnh vực lý thyết điều khiển [1] Ưu điểm MPC so với phương pháp điều khiển phi tuyến khác tích hợp điều kiện ràng buộc toán (ví dụ giới hạn tín hiệu điều khiển trạng thái) trực tiếp vào toán điều khiển, lời giải trực tiếp từ phương pháp điều khiển phi tuyến khác cần phải kiểm tra điều kiện ràng buộc cách gián tiếp Điều khiến cho việc thiết kế điều khiển thuận lợi Tuy nhiên, nhược điểm điều khiển dự báo phi tuyến bước thời gian k, điều khiển cần giải toán tối ưu phi tuyến, việc u cầu phải tính tốn lớn Bên cạnh đó, tốn tối ưu phi tuyến nói chung thường khó để tìm lời giải tối ưu tồn cục Vì vậy, có đưa tốn tối ưu dạng có lời giải tồn cục thời gian tính tốn ngắn hướng nghiên cứu Keywords: MPC, nonlinear Control, LMI, optimal control, robust control, lure systems MPC LMI NMPC 42 Model Predictive Control - Bộ điều khiển dự báo; Linear Matrix Inequalties - Bất đẳng thức ma trận tuyến tính; Nonlinear Model Predictive Control - Bộ điều khiển dự báo phi tuyến Hình Mơ hình tay robot Mặt khác, thực tế, tham số đối tượng điều khiển thường chắn Chúng ta ước lượng giá trị nằm khoảng khơng nắm giá trị xác Việc JMST TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) không chắn làm tăng thêm độ khó cho tốn điều khiển phi tuyến nói chung Một cách tiếp cận với hệ phi tuyến có tham số khơng chắn sử dụng phương pháp điều khiển bền vững [1], [2] Vấn đề cần giải Hệ phi tuyến Lure phổ biến hệ thống điều khiển, ví dụ hệ thống tay máy robot linh hoạt [2], [6] Hình 1, mơ tả phương trình: 𝑥˙ (t)=Ax(𝑡)+Bu(𝑡)+Gg(𝑧(𝑡)), 𝑧(𝑡)=Hx(𝑡) (1) Trong đó: x, u vector biến trạng thái tín hiệu điều khiển; A, B ma trận trạng thái ma trận tín hiệu vào, có chiều n x n n x m A, B khơng biết rõ giá trị chắn, biết giá trị hai ma trận A, B thuộc tập lồi có đỉnh là: Trước hết, cần nhắc lại bổ đề chứng minh [2] mà sử dụng phần sau Chú ý phần này, cần tìm tín hiệu điều khiển tuyến tính có dạng u = Kx, giới hạn viết dạng sau: C={[𝑥 𝑇 𝑢𝑇 ]𝑇 ∈ 𝑅n+m : (𝑐𝑖𝑇 +d𝑇𝑖 𝐾)𝑥 ≤ 1,i=1,2, , 𝑙} (5) (A,B)=conv ((𝐴1 ,B1 ), (𝐴2 ,B2 ), , (𝐴𝜃 ,B𝜃 )) (1a) G H ma trận biết g(z) khâu phi tuyến bị giới hạn miền cho trước (sectorbounded, xem Hình 2), cụ thể, hàm số thỏa mãn điều kiện: 𝑇 (wz − 𝑔(𝑧)) 𝑔(𝑧) ≥ 0, (2) Trong w=diag(𝑤1 ,w2, ,w𝑝 ) ma trận số Bài tốn đặt tìm tín hiệu điều khiển u để tối ưu lượng tiêu thụ hệ, hay nói cách khác phiếm hàm mục tiêu J đại diện cho lượng hệ đạt giá trị nhỏ nhất, với: ∞ J = ∫𝑡 (𝑥(𝑡)𝑇 Qx(𝑡)+u(𝑡)𝑇 Ru(𝑡)) 𝑑𝑡, (3) Trong ma trận Q R ma trận trọng số đối xứng xác định dương, chọn trước Tín hiệu điều khiển trạng thái hệ phải nằm giới hạn kỹ thuật cho phép: 𝑥min 0, 𝑖 = 1,2, , 𝑙 (10) Áp dụng Bổ đề 1, ta thấy (10) thỏa mãn điều kiện (6), nghĩa ellipsoid E nằm miền C, tức điều kiện ràng buộc trạng thái tín hiệu điều khiển thỏa mãn Tiếp theo ta phải ellipsoid E tập bất biến (invariant set), qua khẳng định hệ ổn định tiệm cận với tín hiệu điều khiển u(t) = Kx(t) Thật vậy, xét hàm Lyapunov có dạng 𝑉(𝑥) = 𝑥 𝑇 𝑃𝑥 Hê kín tương ứng với đối tượng (1) ổn định nếu: 𝑉˙ = 𝑥 𝑇 (𝐴𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 + 𝐾 𝑇 𝐵𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐵𝑗 𝐾)𝑥 + 𝑔𝑇 𝐺 𝑇 𝑃𝑥 + 𝑥 𝑇 𝑃𝐺𝑔 < với j=1, ,θ (11) Viết (11) dạng ma trận, ta có: 𝑥 𝑇 𝐴𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 + 𝐾 𝑇 𝐵𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐵𝑗 𝐾 [𝑔] [ 𝑗 𝐺𝑇 𝑃 với j=1, ,θ 𝑃𝐺 𝑥 ] [𝑔] < (12) Áp dụng kỹ thuật biến đổi S-procedure (xem [2]), (12) thỏa mãn tồn 𝜏 > cho điều kiện sau thỏa mãn: 𝐴𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 + 𝐾 𝑇 𝐵𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐵𝑗 𝐾 𝑃𝐺 + 𝜏2𝐻 𝑇 𝑤 [ 𝑗 ]< 𝐺 𝑇 𝑃 + 𝜏2𝑤𝐻 −𝜏𝐼 với j=1, ,θ (13) Tiếp tục biến đổi (13) cách nhân vế trái với ma trận dường chéo 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑃 −1 , 𝐼) (vì ma trận 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑃 −1 , 𝐼) xác định dương nên dấu (13) khơng đổi) Sau 𝑃 −1 , 𝐾 X, Y 𝛼, ta dễ dàng thu công thức (8a) Đây điều cần chứng minh Dựa kết Định lý 1, định lý sau kết báo, tín hiệu điều khiển đảm bảo giữ hệ ổn định cực tiểu hóa hàm mục tiêu (3) 44 Định lý 2: Xét đối tượng điều khiển (1) thỏa mãn điều kiện (1a) (2) Bộ điều khiển dự báo giải toán tối ưu sau bước tính tốn tk, 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒𝛼𝑘,𝑋𝑘 ,𝑌𝑘 𝛼𝑘 (14) cho: [ 𝑥(𝑡𝑘 ) 𝑥 𝑇 (𝑡𝑘 ) ] > 0, 𝑋 + 𝑑𝑖𝑇 𝑌𝑘 )𝑇 với i=1, 2, …,l [ (𝑐𝑖𝑇 𝑋𝑘 (14a) 𝑐𝑖𝑇 𝑋𝑘 + 𝑑𝑖𝑇 𝑌𝑘 ] > 0, 𝑋𝑘 (14b) với j=1, ,θ (14c) sau đo đạc 𝑥(𝑡𝑘 ), sau tính 𝑃𝑘 = 𝛼𝑋𝑘−1 , 𝐾𝑘 = 𝑌𝑘 𝑋𝑘−1 Theo đó: (i) Bài toán tối ưu (14) tối ưu lồi cố định 𝜏 > Khi toán giải t = giải tk (tính khả thi tốn tối ưu), (ii) Giá trị 𝛼𝑘 chặn phiếm hàm mục tiêu (3) thời điểm tk, (iii) Nếu toán tối ưu khả thi t = 0, tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑘 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ [𝑡𝑘 , 𝑡𝑘+1 ] đảm bảo hệ ổn định tiệm cận Chứng minh: (i) Sử dụng điều kiện (14c) kỹ thuật biến đổi tương tự phần chứng minh cho Định lý 1, ta thấy điều kiện (14c) thỏa mãn khi: 𝑥 𝑇 (𝐴𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 𝐾 𝑇 𝐵𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐵𝑗 𝐾 + 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾)𝑥 + 𝑔𝑇 𝐺 𝑇 𝑃𝑥 + 𝑥 𝑇 𝑃𝐺𝑔 < với j=1, ,θ (15) Xét hàm Lyapunov có dạng 𝑉𝑘 (𝑥) = 𝑥 𝑇 𝑃𝑘 𝑥 Đạo hàm bậc hàm có dạng 𝑉˙ = 𝑥 𝑇 (𝐴𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 𝐾 𝑇 𝐵𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐵𝑗 𝐾)𝑥 + 𝑔𝑇 𝐺 𝑇 𝑃𝑥 + 𝑥 𝑇 𝑃𝐺𝑔 với j=1, ,θ (16) Do ma trận Q R ma trận xác định dương nên điều kiện (15) thỏa mãn 𝑉˙ xác định âm t >tk (15) (16) đảm bảo rằng: 𝑥(𝑡𝑘+1 )𝑇 𝑃𝑘 𝑥(𝑡𝑘+1 ) < 𝑥(𝑡𝑘 )𝑇 𝑃𝑘 𝑥(𝑡𝑘 ) (17) Kết hợp với điều kiện (14a), (17) rằng: 𝑥(𝑡𝑘+1 )𝑇 𝑃𝑘 𝑥(𝑡𝑘+1 ) < 𝑥(𝑡𝑘 )𝑇 𝑃𝑘 𝑥(𝑡𝑘 ) < 𝛼 (18) JMST TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) (18) cho thấy nghiệm toán giải 𝑡𝑘 nghiệm toán giải 𝑡𝑘+1 , tức toán giải 𝑡𝑘 tồn lời giải tai 𝑡𝑘 Với k 0, ta có kết luận (i) (ii) (15) viết dạng: 𝑥 𝑇 (𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾)𝑥 < −𝑥 𝑇 (𝐴𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴𝑗 𝐾 𝑇 𝐵𝑗𝑇 𝑃 + 𝑃𝐵𝑗 𝐾)𝑥 − 𝑔𝑇 𝐺 𝑇 𝑃𝑥 − 𝑥 𝑇 𝑃𝐺𝑔 với j=1, ,θ Như hàm g(x) nằm miền ≤ 𝑔(𝑧) ≤ 2𝑧, thỏa mãn điều kiện (2) với w=2 Trạng thái ban đầu hệ x0=(1.2,0,0,0) Yêu cầu điều khiển gốc tọa độ với |𝑢| < 1, |𝑥1 | < 𝜋⁄2 , |𝑥3 | < 𝜋⁄2 (24) Ma trận Q R chọn Q=diag(1,0.1,1,0.1), R=0,1 (19) Chú ý 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑘 𝑥(𝑡) vế phải (19) 𝑉˙ , (19) là: 𝑥 𝑇 𝑄𝑥 + 𝑢𝑇 𝑅𝑢 < −𝑉˙ (20) Tích phân hai vế (20) từ 𝑡𝑘 đến ∞, ta có 𝐽(𝑡𝑘 ) < 𝑥(𝑡𝑘 )𝑇 𝑃𝑘 𝑥(𝑡𝑘 ), so sánh với (18) có: 𝐽(𝑡𝑘 ) < 𝛼𝑘 (21) Như vậy, hàm mục tiêu bị chặn giá trị 𝛼𝑘 𝑡𝑘 Ý nghĩa kết luận giải tốn (14) để cực tiểu hóa giá trị 𝛼𝑘 , cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu (iii) Với hàm Lyapunov chọn, miền (𝑡𝑘 , 𝑡𝑘+1 ) đạo hàm xác định âm, tức hàm Lyapunov giảm Chúng ta cần điểm khơng liên tục 𝑡𝑘+1 hàm Lyapunov giảm không tăng Thật vậy, kết luận chứng minh (i) nên dẫn tới: 𝑥(𝑡𝑘+1 )𝑇 𝑃𝑘+1 𝑥(𝑡𝑘+1 ) < 𝑥(𝑡𝑘 )𝑇 𝑃𝑘 𝑥(𝑡𝑘 ) (22) Như vậy, hệ kín ổn định tiệm cận với tín hiệu điều khiển uk= Kk xk Định lý cách thức hoạt động điều khiển Tại thời điểm tk điều khiển đo giá trị trạng thái xk, giải toán tối ưu (14) để thu giá trị ma trận Kk đưa tín hiệu điều khiển uk= Kk xk Sau q trình lại lặp lại Hình Kết mơ tín hiệu điều khiển đại lượng Ví dụ kết mơ Trong phần ví dụ trình bày để minh họa phương pháp thiết kế điều khiển dự báo bền vững trình bày Xét đối tượng điều khiển tay máy robot (Hình 1) mơ tả phương trình tốn sau: 𝑥˙1 = 𝑥2 𝑥˙2 = −(48.6 − 𝛿)𝑥1 − 1.25𝑥2 + 48.6𝑥3 + 21.6𝑢 (22) 𝑥˙3 = 𝑥4 𝑥˙4 = 19.5𝑥1 − 16.7𝑥3 − 3.33𝑔(𝑥3 ) Trong 𝛿 tham số khơng chắn, thay đổi từ 0,1 đến Hàm số g(z) hàm phi tuyến, có dạng: 𝑔(𝑧) = 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛(𝑧) (23) Hình Kết mơ trạng thái hệ Kết luận Bài báo trình bày phương pháp điều khiển dự báo bền vững dựa LMI dành cho hệ Lur’e có tham số không chắn điều kiện ràng buộc trạng thái tín hiệu điều khiển Bằng chứng minh tốn học rõ ràng ví dụ minh họa mô phỏng, báo cho thấy phương pháp thiết kế điều khiển giải toán đề Bài báo bước đầu nghiên cứu mở rộng sau Thứ nhất, nghiên cứu mở rộng cho toán với hệ rời rạc Thứ hai, định lý nêu 45 TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) điều kiện đủ nên lời giải dư địa để cải thiện Ví dụ, q trình điều khiển, thơng tin hệ cập nhật để giảm tính khơng chắn tham số hệ, qua chất lượng điều khiển cải thiện Thứ ba, phương pháp dựa LMI với cửa sổ dự báo đến vô cùng, sử dụng phương pháp điều khiển dự báo với cửa sổ hữu hạn so sánh kết hai phương pháp điều khiển, đánh giá phương pháp cho kết tốt mặt lý thuyết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Basil Kouvaritakis, Mark Cannon: Model Predictive Control, Nhà xuất Springer, 2016 [2] Stephen Boyd, Laurent El Ghaoui, Eric Feron, Venkataramanan Balakrishnan: Linear matrix inequalities in system and control theory, Nhà xuất SIAM, 1994 [3] Rolf Findeisen, Frank Allgöwer, Lorenz T Biegler: Assessment and Future Directions of Nonlinear Model Predictive Control (Lecture Notes in Control and Information Sciences), NXB Springer, 2007 [4] Sasa V Rakovic, William S Levine: Handbook of Model Predictive Control, NXB Birkhause, 2019 [5] Lars Grune, Jurgen Pannek: Nonlinear Model Predictive Control: Theory and Algorithms, NXB Springer, 2017 [6] [Christoph Böhm: Predictive Control using Semidefinite Programming - Efficient Approaches for Periodic Systems and Lur'e Systems, Luận án Tiến Sĩ, Đại học Stuttgart, 2011 Ngày nhận bài: Ngày nhận sửa lần 01: Ngày nhận sửa lần 02: Ngày duyệt đăng: 46 09/01/2020 14/02/2020 05/03/2020 15/03/2020 JMST ... số g(z) hàm phi tuyến, có dạng: