Các dạng toán hay về lượng giác

Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC  Công thức lượng giác cơ bản sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = α 2 cos 1 Zkk ∈+≠ , 2 π π α 1 + cot 2 α = α 2 sin 1 Zkk ∈≠ , πα tan α .cot α = 1 Zkk ∈≠ , 2 π α  Cung đối nhau cos(- α ) = cos α sin(- α ) = -sin α tan(- α ) = -tan α cot(- α ) = - α  Cung bù nhau sin )( απ − = sin α cos )( απ − = -cos α tan )( απ − = -tan α cot )( απ − = -cot α  Cung hơn kém π sin )( απ + = - sin α cos )( απ + = -cos α tan )( απ + = tan α cot )( απ + = cot α  Cung phụ nhau sin ) 2 ( α π − = cos α cos ) 2 ( α π − = sin α tan ) 2 ( α π − = cot α cot ) 2 ( α π − = tan α  Công thức cộng cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tan(a – b) = ba ba tantan1 tantan + − tan(a + b) = ba ba tantan1 tantan − +  Công thức nhân đôi  Công thức nhân ba 2 2 2 2 3 3 3 2 sin 2 2sin .cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin 3tan tan tan3 = 1 3tan a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = − = − = − = − = − − −  Công thức hạ bậc cos 2 a = 2 2cos1 a + sin 2 a = 2 2cos1 a − tan 2 a = a a 2cos1 2cos1 + −  Công thức biến đổi tích thành tổng cosa cosb = [ ] 1 cos( ) cos( ) 2 a b a b+ + − sina sinb = - [ ] 1 cos( ) cos( ) 2 a b a b+ − − sina cosb = [ ] 1 sin( ) sin( ) 2 a b a b+ + − Công thức biến đổi tổng thành tích cosu + cosv = 2cos 2 vu + cos 2 vu − cosu - cosv = -2sin 2 vu + sin 2 vu − sinu + sinv = 2sin 2 vu + cos 2 vu − sinu - sinv = 2cos 2 vu + sin 2 vu − công thức tính sina , cosa , tana theo tan 2 a t = 2 2 2 2 2 1- 2 sin ; cos ; tan . 1 1 1 t t t a a a t t t = = = + + − Phương trình lượng giác Phương trình LG cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k π π π = +  ⇔  = − +  * cosu=cosv⇔u=±v+k2 π * tanu=tanv ⇔ u=v+k π * cotu=cotv ⇔ u=v+k π ( ) Zk ∈ . Đặc biệt + sinx = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z + sinx = 1 ⇔ x = π π 2 2 k + , k ∈ Z + sinx = -1 ⇔ x = - π π 2 2 k + , k ∈ Z + cosx = 0 ⇔ x = π π k + 2 , k ∈ Z + cosx = 1 ⇔ x = k2 π , k ∈ Z + cosx = -1 ⇔ x =(2k + 1) π , k ∈ Z Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin 2 x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos 2 x+b.cosx+c=0, a.tan 2 x+b.tanx+c=0, a.cot 2 x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2 2 2 a b c+ ≥ . C ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt tan b a α = , ta được: sinx+tan α cosx= cos c a α ⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos c a α ⇔ sin(x+ α )= cos c a α sin ϕ = ñaët . C ách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ , ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + Đặt: 2 2 2 2 cos ; sin a b a b a b β β = = + + . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 cos sin sin cos c x x a b β β + = + hay ( ) 2 2 sin sin c x a b β ϕ + = = + ñaët . Cách 3: Đặt tan 2 x t = . 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=d (*). Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với 2 x k π π = + . + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được: atan 2 x+btanx+c=d(1+tan 2 x). Chú ý: 2 2 1 tan 1 2 cos x x k x π π   = + ≠ +  ÷   Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc asin 2 x + bsinx. cosx + ccos 2 x = d ⇔ a. 2 2cos1 x − + b. 2 2sin x + c. 2 2cos1 x + = d ⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx+ cosx. Điều kiện | t | 2≤ . Ta có sinx.cosx = 2 1 2 t − Đặt t= sinx-cosx. Điều kiện | t | 2≤ . Ta có sinx.cosx = 2 1 2 t− sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x π π π π     + = + = −  ÷  ÷         − = − = − +  ÷  ÷     RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình sinx = a (1) • Nếu a >1 thì phương trình (1) vô nghiệm. • Nếu a ≤ 1: gọi α là cung thoả mãn sin α = a. Khi đó sinx = a ⇔ sinx = sin α ⇔ )( 2 2 Zk kx kx ∈    +−= += παπ πα Nếu α thoả mãn điều kiện - 2 π ≤ α ≤ 2 π và sin α = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó nghiệm của phương trình (1) là )( 2arcsin 2arcsin Zk kax kax ∈    +−= += ππ π Phương trình sinx = sin 0 β )( 360180 360 000 00 Zk kx kx ∈     +−= += ⇔ β β Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. 2. Phương trình cosx = a (2) • Nếu a >1 thì phương trình (2) vô nghiệm. • Nếu a ≤ 1: gọi α là cung thoả mãn cos α = a. Khi đó cosx = a ⇔ cosx = cos α ⇔ )( 2 2 Zk kx kx ∈    +−= += πα πα Nếu α thoả mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó nghiệm của phương trình (2) là )( 2cos 2cos Zk kaarcx kaarcx ∈    +−= += π π Phương trình cosx = cos 0 β )( 360 360 00 00 Zk kx kx ∈     +−= += ⇔ β β 3. Phương trình tanx = a (3) Điều kiện Zkkx ∈+≠ , 2 π π Gọi α là cung thoả mãn tan α = a. Khi đó tanx = a α tantan =⇔ x )(, Zkkx ∈+=⇔ πα Nếu α thoả mãn điều kiện - 2 π < α < 2 π và tan α = a thì ta viết α = arctana. Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + k π , ( Zk ∈ ) Phương trình tanx = tan 0 β )(180 00 Zkkx ∈+=⇔ β 4. Phương trình cotx = a (4) Điều kiện Zkkx ∈≠ , π Gọi α là cung thoả mãn cot α = a. Khi đó cotx = a α cotcot =⇔ x )(, Zkkx ∈+=⇔ πα Nếu α thoả mãn điều kiện 0< α < π và cot α = a thì ta viết α = arccota. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + k π , ( Zk ∈ ) Phương trình cotx = cot 0 β )(180 00 Zkkx ∈+=⇔ β Phương trình LG cơ bản * sinu=sinv 2 2 u v k u v k π π π = +  ⇔  = − +  * cosu=cosv⇔u=±v+k2 π * tanu=tanv ⇔ u=v+k π * cotu=cotv ⇔ u=v+k π ( ) Zk ∈ . B. Ví dụ và bài tập VD1: Giải các phương trình sau: a. sinx = 2 3 b. sin2x = 4 1 c. cos(2x + 4 π )= 2 1 − d. tan(x – 60 0 ) = 3 1 e. cot(x - 3 π )= 5 f. cos(x -75 0 ) = -1 *g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0 Giải a. sinx = 2 3 3 sinsin π =⇔ x Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ π π π π π 2 3 2 3 Zk kx kx ∈       += += ⇔ π π π π 2 3 2 2 3 Vậy nghiệm của phương trình sinx = 2 3 là: Zk kx kx ∈       += += π π π π 2 3 2 2 3 b. sin2x = 4 1 Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ ππ π 2 4 1 arcsin2 2 4 1 arcsin2 Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ π π π 4 1 arcsin 2 1 2 4 1 arcsin 2 1 Vậy nghiệm của PT sin2x = 4 1 là: Zk kx kx ∈       +−= += π π π 4 1 arcsin 2 1 2 4 1 arcsin 2 1 c. cos(2x + 4 π )= 2 1 − ⇔ cos(2x + 4 π )= cos 3 2 π Zk kx kx ∈       +−=+ +=+ ⇔ π ππ π ππ 2 3 2 4 2 2 3 2 4 2 Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ π π π π 24 11 24 5 Vậy nghiệm của Pt cos(2x + 4 π )= 2 1 − là: Zk kx kx ∈       +−= += π π π π 24 11 24 5 d. tan(x – 60 0 ) = 3 1 00 30tan)60tan( =−⇔ x Zkkx ∈+=−⇔ 000 1803060 Zkkx ∈+=⇔ 00 18090 Vậy nghiệm của Pt tan(x – 60 0 ) = 3 1 là: Zkkx ∈+= 00 18090 e. cot(x - 3 π )= 5 Zkkarcx ∈+=−⇔ π π 5cot 3 Zkkarcx ∈++=⇔ π π 5cot 3 Vậy nghiệm của Pt cot(x - 3 π )= 5 là: Zkkarcx ∈++= π π 5cot 3 f. cot(x -75 0 ) = -1 Zkkx ∈+−=−⇔ 000 1804575 Zkkx ∈+=⇔ 00 18030 Vậy nghiệm của Pt cot(x -75 0 ) = -1 là: Zkkx ∈+= 00 18030 g. tan3x = tanx Điều kiện Zk kx kx ∈        +≠ +≠ π π π π 2 2 3 ⇔ Zk kx kx ∈        +≠ +≠ π π ππ 2 36 Ta có tan3x = tanx ⇔ 3x = x +l π ⇔ x = l )( 2 Zl ∈ π Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = m π (m Z ∈ ) h. tan5x – cotx = 0 Điều kiện )( 2 5 Zk kx kx ∈      ≠ +≠ π π π ⇔ )( 510 Zk kx kx ∈      ≠ +≠ π ππ Ta có . tan5x = cotx ⇔ tan5x = tan( ) 2 x − π ⇔ 5x = x − 2 π + l π (l ∈ Z) ⇔ x = 12 π + l 6 π (l ∈ Z) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = 12 π + l 6 π (l ∈ Z) Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a. cos(3x - 6 π )= - 2 2 b. cos(x -2) = 5 2 c. cos(2x + 50 0 ) = 2 1 d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e. tan2x = tan 6 5 π f. tan(3x -30 0 ) = - 3 3 g. cot(4x - 6 π )= 3 h. sin(3x- 45 0 ) = 2 1 i. sin(2x +10 0 )= sinx k. (cot 3 x -1)(cot 2 x +1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 m. cot( 53 2 π + x )= -1 n. sin(2x -15 0 ) = - 2 2 p. sin4x = 3 π q. cos(x + 3) = 3 2 r. cos2x cot(x - 4 π )= 0 s. cos3x = 4 π t. tan( 8 tan) 42 ππ =− x u. cos3x – sin2x = 0 v. sin3x + sin5x = 0 Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0 d. 2sinx + 2 sin2x = 0 e. sin 2 2x + cos 2 3x = 1 f. sin3x + sin5x = 0 g. sin(2x +50 0 ) = cos(x +120 0 ) h. cos3x – sin4x = 0 *i. tan(x - 5 π ) + cotx = 0 *j. tan5x = tan3x VD1: Giải các phương trình sau: a. 2sinx – 2 = 0 b. 2tanx – 5 = 0 c. ( 3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d. 2sin 2 x – sin2x = 0 Giải a. 2sinx – 2 = 0 ⇔ 2sinx = 2 ⇔ sinx = 2 2 ⇔ sinx = sin 4 π ⇔ )( 2 4 2 4 Zk kx kx ∈       +−= += π π π π π ⇔ )( 2 4 3 2 4 Zk kx kx ∈       += += π π π π Vậy nghiệm của phương trình là: )( 2 4 3 2 4 Zk kx kx ∈       += += π π π π b. 2tanx – 5 = 0 ⇔ 2tanx = 5 ⇔ tanx = 2 5 ⇔ x = arctan 2 5 + k π (k ∈ Z) Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan 2 5 + k π (k ∈ Z) c. ( 3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 ⇔    =− =− )2(01cos2 )1(03cot3 x x (1) ⇔ 3 cotx = 3 ⇔ cotx = 3 ⇔ cotx = cot 6 π ⇔ x = 6 π + k π (k ∈ Z) (2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = 2 1 ⇔ cosx = cos 3 π ⇔ )( 2 3 2 3 Zk kx kx ∈       +−= += π π π π Vậy nghiệm của phương trình là: )( 2 3 2 3 6 Zk kx kx kx ∈          +−= += += π π π π π π d. 2sin 2 x – sin2x = 0 ⇔ 2sin 2 x – 2sinx.cosx = 0 ⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0 ⇔    =− = 0cossin 0sin xx x ⇔    = = xx kx cossin π ⇔     −= = ) 2 sin(sin xx kx π π ⇔ )( 2 2 Zk kxx kx ∈     +−= = π π π ⇔ )( 4 Zk kx kx ∈     += = π π π Vậy nghiệm của phương trình là: )( 4 Zk kx kx ∈     += = π π π Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx + 3 = 0 c. 1 - 3 tan(5x + 20 0 ) =0 d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)= 4 π f. cos(x + 5 2 π )= 3 π g. (2cosx + 2 )(tan(x +10 0 ) - 3 ) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0 i. 8sinx.cosx.cos2x = 3 j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0 l. 3tan 2 x + 3 tanx = 0 m. 4sin2x – sin 2 2x = 0 n. 3 - 2sin3x = 0 p. cot(x + 4 π ) = 1 q. cos 2 (x – 30 0 ) = 4 3 r. 8cos 3 x – 1 = 0 Bài tập 2*: Giải các phương trình sau: a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x + 4 π ) = -1 c. 0 2cos1 2sin = + x x VD2: Giải các phương trình sau: a. 2sin 2 x – 5sinx – 3 = 0 b. cot 2 2x – 4cot2x +3 = 0 c. 2cos 2 x +3sinx - 3 = 0 d. tan 4 x + 4tan 2 x - 5 = 0 Giải a. 2sin 2 x – 5sinx – 3 = 0 Đặt t = sinx ( điều kiện -1 ≤ t ≤ 1) thay vào phương trình ta được: 2t 2 – 5t -3 = 0     −= = ⇔ )( 2 1 )(3 nhânt loait Với t = - 2 1 ta được sinx = - 2 1 ⇔ sinx = sin(- 6 π ) ⇔ )( 2 6 7 2 6 Zk kx kx ∈       += +−= π π π π Vậy nghiệm của phương trình là: )( 2 6 7 2 6 Zk kx kx ∈       += +−= π π π π b. cot 2 2x – 4cot2x -3 = 0 ⇔    = = 32cot 12cot x x ⇔ )( 3cot2 1cot2 Zk karcx karcx ∈    += += π π ⇔ )( 2 3cot 2 1 2 1cot 2 1 Zk karcx karcx ∈       += += π π Vậy nghiệm của phương trình là: )( 2 3cot 2 1 2 1cot 2 1 Zk karcx karcx ∈       += += π π c. 2cos 2 x +3sinx - 3 = 0 ⇔ 2(1 – sin 2 x) + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2 – 2sin 2 x + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2sin 2 x – 3sinx + 1 = 0 ⇔     = = 2 1 sin 1sin x x Với sinx = 1 ⇔ x = )(2 2 Zkk ∈+ π π Với sinx = 2 1 ⇔ sinx = sin 6 π ⇔ )( 2 6 5 2 6 Zk kx kx ∈       += += π π π π Vậy nghiệm của pt là: )( 2 2 2 6 5 2 6 Zk kx kx kx ∈          += += += π π π π π π d. tan 4 x + 4tan 2 x - 5 = 0 ⇔     −= = )(5tan 1tan 2 2 loaix x ⇔ 1tan ±= x ⇔ )( 4 Zkkx ∈+±= π π Vậy nghiệm của pt là: )( 4 Zkkx ∈+±= π π Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a. 3cos 2 x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin 2 x – 4sinx – 3 = 0 c. cot 2 x – 4cotx + 3 = 0 d. tan 2 x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0 e. 5cos 2 x + 7sinx – 7 = 0 f. tan 4 x – 4tan 2 x + 3 = 0 g. sin 3 x + 3sin 2 x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0 i. sin 2 2x – 2cos 2 x + 4 3 = 0 j. 4cos 4 2x – 7cos 2 2x + 3 = 0 VD3: Giải các phương trình sau: a. 3 sinx + cosx = 2 b. cos3x – sin3x = 1 c. 3sin2x + 4cos2x = 5 d. 2 sinx – cosx = 3 Giải a. 3 sinx + cosx = 2 Chia hai vế pt trên cho 2 2 13 + = 2 ta được 2 3 sinx + 2 1 cosx = 1 ⇔ cos 6 π .sinx + sin 6 π .cosx = 1 ⇔ sin(x + 6 π ) = 1 ⇔ x + 6 π = 2 π + k2 π ⇔ x = 3 π + k2 π Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = 3 π + k2 π b. cos3x – sin3x = 1 Chia hai vế pt trên cho 22 )1(1 −+ = 2 ta được 2 1 cos3x - 2 1 sin3x = 2 1 ⇔ cos 4 π cos3x - sin 4 π sin3x = 2 1 ⇔ cos(3x + 4 π ) = 2 1 ⇔ cos(3x + 4 π ) = cos 4 π ⇔       +−=+ +=+ π ππ π ππ 2 44 3 2 44 3 kx kx ⇔ )( 3 2 6 3 2 Zk kx kx ∈       +−= = ππ π Vậy ngiệm của phương trình trên là: )( 3 2 6 3 2 Zk kx kx ∈       +−= = ππ π c. 3sin2x + 4cos2x = 5 Chia hai vế pt cho 22 43 + = 5 ta được 5 3 sin2x + 5 4 cos2x = 1 Kí hiệu α là cung mà sin α = 5 4 , cos α = 5 3 ta được sin2x cos α + sin α cos2x = 1 ⇔ sin(2x + α ) = 1 ⇔ 2x + α = 2 π + k2 π ⇔ x = 4 π - 2 α + k π Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = 4 π - 2 α + k π (với sin α = 5 4 , cos α = 5 3 ) d. 2 sinx – cosx = 3 Ta có 2 2 + (-1) 2 = 3 <3 2 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm. Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a. sinx + 3 cosx = 2 b. 2sinx – 5cosx = 5 c. 2cosx – sinx = 2 d. sin5x + cos5x = -1 e. 3sinx – 4cosx = 1 f. 2sin 2 x + 3 sin2x = 3 g. sin5x + cos5x = 2 cos13x h. sinx = 2 sin3x – cosx VD4: Giải các phương trình sau: a. 2sin 2 x + 4sinx.cosx – 4cos 2 x = 1 b. 4cos 2 x + 3sinxcosx – sin 2 x = 3 Giải a. 2sin 2 x + 4sinx.cosx – 4cos 2 x = 1 Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx ≠ 0 chia hai vế phương trình trên cho cos 2 x ta được: 2tan 2 x + 4tanx – 4 = 1 + tan 2 x ⇔ tan 2 x + 4tanx – 5 = 0 ⇔    −= = 5tan 1tan x x ⇔ )( )5arctan( 4 Zk kx kx ∈     +−= += π π π Vậy nghiệm của phương trình là: )( )5arctan( 4 Zk kx kx ∈     +−= += π π π b. 4cos 2 x + 3sinxcosx – sin 2 x = 3 Áp dụng công thức hạ bậc ta được 4. 2 2cos1 x + + 3. 2 2sin x – 2 2cos1 x − = 3 ⇔ sin2x + cos2x = 1 ⇔ 2 sin(2x + 4 π ) = 1 ⇔ sin(2x + 4 π ) = 2 1 [...]... lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều... 2: Giải các phương trình sau: a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = 0 d 2sinx + 2 sin2x = 0 e sin22x + cos23x = 1 f sin3x + sin5x = 0 g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0 *i tan(x - π 5 ) + cotx = 0 *j tan5x = tan3x Một số phương trình LG thường gặp 1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để... kπ π ⇒ 4 ⇒ x = k (k ∈ ) ⇒   4  x = kπ  x = kπ Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là: π 3π 5π 7π x1 = ; x2 = ; x3 = π ; x4 = ; x5 = 4 4 4 4 2 Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x) Giải: Ta có: 1 + sin2x = 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]  1 2  = 2  1 − sin 2 x ÷  2  = 2 – sin22x... = = sin ϕ hay sin ( x + β ) = a2 + b2 a 2 + b2 x Cách 3: Đặt t = tan 2 3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d (*) π Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x = + kπ 2 + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=d(1+tan2x) 1 π   = tan 2 x + 1  x ≠ + kπ ÷ Chú ý: 2 2 cos x   Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc asin2x + bsinx cosx... sin x + cos x Bài 18 Giải các phương trình g cos x sin x + sin x + cos x = 1 (ĐH QGHN 97) 1 ( t anx + cotx ) = 1 2 d tan 3 x + cot 3 x + tan 2 x + cot 2 x = 1 2 2 a ( t anx+7 ) t anx + ( co t x+7 ) co t x = -14 b tan x + cot x − c tan 2 x + cot 2 x − t anx + cotx = 2 ` 3 3 e tan x + cot x + 1 =3 sin 2 x g 3 + tan x + 3 + cot x = 4 VI Phương trình lượng giác khác Bài 19 Giải các phương trình a cos5xcos3... Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c t 2 −1 Cách giải: Đặt t= sinx+ cosx Điều kiện | t | ≤ 2 Ta có sinx.cosx = 2 2 1− t Đặt t= sinx-cosx Điều kiện | t | ≤ 2 Ta có sinx.cosx = 2  π  π sin x + cos x = 2 sin  x + ÷ = 2 cos  x − ÷  4  4  π  π sin x − cos x = 2 sin  x − ÷ = − 2 cos  x + ÷  4  4 VD1: Giải các phương trình sau: a 2sinx – 2 = 0 c (... nghiệm của phương trình là:   x = 3π + k 2π  4  Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a 4sinx – 3 = 0 b 3cotx + 3 = 0 c 1 - d 2cos3x + 1 = 0 f cos(x + e sin(3x + 1)= π 4 Bài tập 2*: Giải các phương trình sau: a tan3x tanx = 1 b cot2x cot(x + π 4 ) = -1 (k ∈ Z ) 3 tan(5x + 200) =0 c 2π π )= 5 3 sin 2 x =0 1 + cos 2 x VD2: Giải các phương trình sau: a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b cot22x – 4cot2x +3 =... 2sin  − x ÷cos ( x + π ) = 1  2 Bài 13 Giải các phương trình  2  ( ) 2 2 a 3 sin x + 8 s inxcosx + 8 3 − 9 cos x = 0 ( ) 2 c 2 sin x + 3 + 3 s inxcosx + ( ) 3 − 1 cos 2 x = −1 Bài 14 Giải các phương trình a 2 sin 2 x + 4cos 3 x = 3 s inx π 3 c sin  x + ÷ = 2 s inx  2 2 b sin x + s in2x - 2cos x = 4 e sin 3 x + cos3 x = sin x − cos x Bài 15 Giải các phương trình a sin x sin 2 x + sin 3x = 6cos... c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt = tan α , ta được: sinx+tanαcosx= cos α a a c c ñaët ⇔ sinx cos α + sin α cosx= cos α ⇔ sin(x+ α )= cos α = sin ϕ a a 2 2 Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a + b , ta được: a b c sin x + cos x = a2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2 a b = cos β ; = sin β Khi đó phương trình tương đương: Đặt: 2 2 2 a +b a + b2 ñaët c c cos β sin x + sin β cos x = = sin ϕ hay. .. sin 4 x Bai 11 Tìm GTLN và GTNN của hàm số : sin x + 2 cos x + 1 a y = sin x + cos x + 2 sin x b y = cos x + 3 Bài 11’ Tìm các giá trị của x để y = c y= 1 + sin x là số nguyên 2 + cos x 4sin 2 x π 2 + sin(2 x + ) 6 IV Phương trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx Bài 12 Giải các phương trình: a 6 sin 2 x + s inxcosx - cos 2 x = 2 b 2 sin 2 2 x − 3 s in2xcos2x + cos 2 2 x = 2 c 2 3cos 2 x + 6 s inxcosx . hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương. hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương