skkn xây dựng và sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong dạy học ứng dụng của tích phân nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến tỉnh Ninh Bình I Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tơi gồm: Trình STT Họ tên Nơi cơng tác Chức danh độ chuyên môn Nguyễn Minh Đức THPT Hoa Lư A Giáo viên Đồn Thịnh THPT Phó hiệu Khánh Ngọc Nguyễn Huệ trưởng Tỉ lệ % đóng góp vào việc tạo sáng kiến Thạc sĩ 50% Thạc sĩ 50% Ghi Tác giả Đồng tác giả Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Xây dựng sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan dạy học Ứng dụng tích phân nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh” II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Lĩnh vực Giáo dục (Giảng dạy mơn Tốn cấp THPT) III Nội dung sáng kiến Giải pháp cũ thường làm Qua khảo sát cách thức giảng dạy nội dung này, nhận thấy cách mà giáo viên thường tiến hành sau: - Cung cấp lý thuyết sách giáo khoa - Đưa số ví dụ minh họạ theo hình thức tự luận, ví dụ đưa thường yêu cầu học sinh áp dụng cơng thức cách máy móc Giáo viên chưa có mở rộng hay khai thác ví dụ cách hiệu - Cho tập nhà, chủ yếu tập tự luận sách giáo khoa sách tập Bài tập trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân sách giáo khoa sách tập nên học sinh rèn luyện kỹ làm tập trắc nghiệm - Giáo viên thường dừng lại việc dạy cho học sinh ứng dụng hình học tích phân mà chưa khai thác việc sử dụng tích phân để giải tốn thực tiễn Vì vậy, thực nghiệm nhận thấy cách làm có số điểm tồn sau: - Học sinh học tập cách thụ động, khơng có liên hệ kiến cũ kiến thức vận dụng lý thuyết vào làm tập hạn chế Khơng phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh - Học sinh thường nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kỹ “chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải - Học sinh rèn luyện kỹ giải tốn trắc nghiệm, kỹ tìm tòi, mở rộng tốn Học sinh lúng túng, ngại khó trước tốn mới, dạng tốn - Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập ít, “chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng, vật tròn xoay học - Học sinh chưa thấy ứng dụng tích phân vào thực tế sống Do đó, học sinh chưa thấy hứng thú học tập Giải pháp cải tiến Nhằm khắc phục khó khăn trên, đưa giải pháp dạy phần ứng dụng tích phân sau: - Cung cấp cho học sinh kiến thức ứng dụng tích phân hình học, mơn học khác thực tế sống mà không đề cập đến sách giáo khoa (Phụ lục 1: Cơ sở lí thuyết ứng dụng tích phân) - Đưa ví dụ minh họa cho ứng dụng hình thức trắc nghiệm Sau đó, giáo viên phân tích phương án nhiễu dựa sai lầm học sinh thường mắc phải, hướng dẫn học sinh cách khai thác mở rộng toán xây dựng toán trắc nghiệm khác tương tự (Phụ lục 2: Phân tích số sai lầm thường gặp giải tốn Ứng dụng tích phân) - Từ tập tự tuận SGK sách tập Giải tích 12, giáo viên chia nhóm phân cơng nhiệm vụ cho nhóm xây dựng phương án phương án nhiễu cho toán để tạo thành hệ thống câu hỏi trắc nghiệm Ngoài ra, giáo viên đề xuất tập tự luận SGK, yêu cầu học sinh xây dựng thành câu hỏi trắc nghiệm (Phụ lục 3: Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm từ tập tự luận SGK sách tập Giải tích 12) - Đưa vào toán liên hệ thực tế, tốn chuyển động toán thực tế sống Hướng dẫn học sinh ứng dụng tích phân để giải tốn (Phụ lục 4: Một số toán thực tế ứng dụng tích phân) - Yêu cầu học sinh sưu tầm toán thực tế ứng dụng tích phân có đề thi minh họa đề thi thử THPT Quốc gia Sau đó, học sinh trình bày lời giải cho tốn (Sáng kiến gồm 16 ví dụ minh họa có phân tích sai lầm 130 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án hướng dẫn giải câu vận dụng , vận dụng cao) * Ưu điểm giải pháp mới: - Từ việc phân tích phương án nhiễu ví dụ minh họa học sinh tránh sai lầm hay mắc phải giải tốn ứng dụng tích phân - Thơng qua việc xây dựng câu hỏi trắc nghiệm từ tập tự luận học sinh khắc sâu kiến thức ứng dụng tích phân, đồng thời phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh học tập - Học sinh thấy ứng dụng tích phân thực tiễn sống Từ đó, học sinh thấy tốn học thật gần gũi với sống, giúp em hứng thú học tập, ghi nhớ kiến thức cách có chủ đích, đồng thời kích thích ham muốn tìm tòi, khám phá em - Học sinh rèn luyện kỹ giải toán trắc nghiệm, kỹ phân tích, tìm tòi mở rộng tốn - Nâng cao khả làm việc nhóm, khả soạn thảo văn tốn học, kỹ sử dụng cơng nghệ thơng tin phần mềm tốn học Mathtype, Geogebra IV Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Hiệu kinh tế Qua ý kiến nhận xét học sinh, đồng nghiệp sử dụng sáng kiến làm tài liệu tham khảo học tập nghiên cứu, hiệu kinh tế dự kiến mà sáng kiến mang lại lớn như: - Tiết kiệm nhiều thời gian công sức tìm tòi tài liệu giáo viên học sinh giảng dạy học tập mơn Tốn - Tiết kiệm nhiều chi phí mua tài liệu sưu tầm tài liệu Hiệu xã hội - Làm cho học sinh thấy gần gũi, mối quan hệ mật thiết mơn Tốn học với mơn học khác, với vấn đề thực tiễn sống - Thơng qua giải tốn trắc nghiệm, rèn luyện cho học sinh phương pháp tư nhanh, xác Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Rèn luyện phát triển cho em kỹ làm việc nhóm, kỹ giao tiếp, kỹ sử dụng công nghệ thông tin - Đáp ứng mục tiêu giáo dục theo định hướng phát triển lực, mục tiêu chiến lược phát triển giáo dục 2011 -2020 Từ đào tạo hệ học sinh - chủ nhân tương lai đất nước có đầy đủ phẩm chất lực cần thiết tìm giải pháp tối ưu để thực nhiệm vụ có cách ứng xử phù hợp bối cảnh phức tạp - Là nguồn tài liệu phong phú bổ ích q trình giảng dạy giáo viên Do đó, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học theo yêu cầu đổi giáo dục nước nhà - Việc dạy học cho học sinh theo hướng liên hệ thực tế góp phần tạo hứng thú, lơi học sinh, giúp học sinh đào sâu, nhớ lâu kiến thức Thực việc đổi có tác dụng mạnh mẽ đến tư tưởng, tình cảm em Từ đó, em có lòng say mê ham thích mơn tốn nhiều Giáo viên thay đổi nhận thức học sinh: học sinh thấy môn tốn khơng phải mơn học q khó khơ khan số em nghĩ mà mơn học đầy tính hấp dẫn lí thú - Kết thực nghiệm thể tính hiệu tính khả thi đề tài: Chúng tơi tiến hành cho học sinh bốn lớp trường THPT Hoa Lư A là: 12A, 12B, 12E, 12M hai lớp trường THPT Nguyễn Huệ là: 12B 12E làm kiểm tra 60 phút Trình độ nhận thức lớp 12A 12 B; 12E 12M trường THPT Hoa Lư A hai lớp 12B 12E trường THPT Nguyễn Huệ đánh giá tương đương Lớp thực nghiệm: 12A, 12E (THPT Hoa Lư A), 12E (THPT Nguyễn Huệ); lớp đối chứng: 12B, 12M (THPT Hoa Lư A), 12B (THPT Nguyễn Huệ) Về kết kiểm tra Trường THPT Hoa Lư A: Lớp/Điểm Đối chứng Thực nghiệm Yếu TB Khá Giỏi 12 B 21,3% 53,2% 14,9% 10,6% 12 M 24,4% 51,1% 15,6% 8,9% 12 A 6,4% 38,3% 34% 21,3% 12 E 7,5% 40% 32,5% 20% Yếu TB Khá Giỏi Trường THPT Nguyễn Huệ: Lớp/Điểm Đối chứng 12 B 20,3% 50,6% 17,6% 11,5 % Thực nghiệm 12 E 5,5 % 33,5% 35,5% 25,5% Phân tích kết kiểm tra *) Trường THPT Hoa Lư A: - Các lớp đối chứng: + Lớp 12B có 78,7 % đạt điểm từ trung bình trở lên, có 25,5% đạt khá, giỏi + Lớp 12M có 75.6 % đạt điểm từ trung bình trở lên, có 24,5% đạt khá, giỏi - Các lớp thực nghiệm: + Lớp 12A có 93,6 % đạt điểm từ trung bình trở lên, 55,3% đạt khá, giỏi + Lớp 12 E có 92,5 % đạt điểm từ trung bình trở lên, 52,5% đạt khá, giỏi *) Trường THPT Nguyễn Huệ: - Lớp đối chứng (12B) có 79,7 % đạt điểm từ trung bình trở lên, có 29,1 % đạt khá, giỏi - Lớp thực nghiệm (12E) có 94,5 % đạt điểm từ trung bình trở lên, có 61 % đạt khá, giỏi Nhận xét - Các lớp đối chứng: + Kĩ làm tập trắc nghiệm chưa tốt, em nhiều thời gian để làm câu hỏi trắc nghiệm, có nhiều học sinh lựa chọn phải phương án nhiễu Số học sinh làm tốn thực tế Nhiều em lúng túng việc xây dựng câu hỏi trắc nghiệm, phương án nhiễu đưa chưa tốt; phần lớn em đưa phương án nhiễu cách tùy ý chưa phân tích phương án nhiễu xây dựng - Các lớp thực nghiệm: + Đa số học sinh tránh sai lầm thường gặp giải tốn ứng dụng tíc phân Từ đó, em có kỹ làm tập trắc nghiệm cách nhanh xác biết phân tích để loại bỏ phương án nhiễu Nhiều học sinh làm toán thực tế + Dựa tập tự luận, sở phân tích sai lầm thường gặp giải toán học sinh biết cách xây dựng câu hỏi trắc nghiệm với phương án nhiễu tốt - Về kết thi THPT QG năm 2017 – 2018: Năm học 2017- 2018 năm thứ hai Bộ giáo dục áp dụng hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia Mặc dù đề thi đánh giá tương đối khó so với năm học 2016-2017 lớp áp dụng sáng kiến vào giảng dạy ôn thi THPT QG đạt kết cao, nhiều em đạt điểm môn toán cao (trên 7) đỗ vào trường đại học tốp (các trường Y dược, quân đội, kinh tế ) + THPT Hoa Lư A: Điểm 7 8 Lớp 5 12A 100% 70% 35% Áp dụng SK 12E 95% 60% 20% Áp dụng SK 12B 70% 40% 4,5% Không áp dụng SK 12M 50% 20% 0% Không áp dụng SK + THPT Nguyễn Huệ: Điểm Lớp 5 7 8 12E 96% 75% 30% Áp dụng SK 12B 75 % 35% 4% Không áp dụng SK - Về thi HSG cấp tỉnh năm học 2017 – 2018: Đề thi HSG lần cấp tỉnh gồm phần: 56 câu trắc nghiệm (14 điểm) câu tự luận (6 điểm) Do phần trắc nghiệm chiếm điểm phần lớn nên đòi hỏi học sinh phải có kỹ giải tốn trắc nghiệm nhanh xác Cả hai trường đạt tốt kì thi, cụ thể: Trường THPT Hoa Lư A em thi đạt giải (2 giải nhì, giải ba) xếp thứ 24 trường toàn tỉnh; trường THPT Nguyễn Huệ đạt giải (1 giải nhì, giải ba) xếp thứ 24 trường toàn tỉnh V Điều kiện khả áp dụng - Điều kiện sở vật chất: + Để thực giải pháp cải tiến nói trên, khơng cần tốn nhiều kinh phí, cần GV có ý thức say mê, tìm tòi, tích cực đổi phương pháp dạy học + Tài liệu biên soạn phần mềm Word 2007 Mathtype 6.9 nên tương thích với tất dòng máy tính, phù hợp với tình hình cơng tác dạy học - Khả áp dụng: + Áp dụng dạy ôn thi ôn thi THPT QG + Áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT tồn tỉnh Giải pháp có tính khả thi cao, nhân rộng trường trung học phổ thơng, giáo viên áp dụng giảng dạy mơn tốn chun đề khác chương trình THPT Chúng tơi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./ Ninh Bình, ngày 10 tháng 10 năm 2018 Xác nhận BGH NHÓM TÁC GIẢ Nguyễn Minh Đức Đoàn Thịnh Khánh Ngọc PHỤ LỤC CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tính diện tích hình phẳng a) Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Cho hàm số y = f ( x) liên tục đoạn  a; b Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b tính cơng thức b S =  f ( x) dx (*) a Lưu ý: b - Nếu f ( x) = vô nghiệm (a; b) S =  f ( x) dx = a b  f ( x)dx a - Nếu f ( x) = có nghiệm c  (a; b) b S =  f ( x) dx = a c b a c  f ( x)dx +  f ( x)dx b) Hình phẳng giới hạn hai đường cong Cho hai hàm số y = f1 ( x) y = f ( x) liên tục đoạn  a; b Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f1 ( x) y = f ( x) hai đường thẳng x = a, x = b là: b S =  f1 ( x) − f ( x) dx (**) a Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối công thức (**) thực tương tự cơng thức (*) Tính thể tích a) Thể tích vật thể Cắt vật thể V hai mặt phẳng ( P ) (Q) vng góc với trục Ox x = a, x = b (a  b) Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox điểm x ( a  x  b) cắt V theo thiết diện có diện tích S ( x) Giả sử S ( x) liên tục đoạn  a; b Thể tích V vật thể V giới hạn hai mặt phẳng ( P ) (Q) tính cơng thức: b V =  S ( x)dx a b) Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b Vx =   f ( x)dx a Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục Oy hai đường thẳng y = c, y = d quay xung quanh trục Oy là: d Vy =   g ( y )dy c Bài toán chuyển động vật Giả sử phương trình chuyển động vật s = s (t ) (đơn vị độ dài) Khi đó, phương trình vận tốc vật chuyển động v(t ) = s ' (t ) (đơn vị độ dài / đơn vị thời gian) gia tốc vật a(t ) = v ' (t ) = s '' (t ) Do đó, cơng thức tính vận tốc vật chuyển động thời điểm t = b theo vận tốc vật chuyển động thời điểm t = a là: b v(b) = v(b) − v(a) + v(a) =  a(t )dt + v(a) a Quãng đường vật từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b tính cơng thức b s = s(b) − s(a) =  v(t )dt a PHỤ LỤC PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN - Học sinh sử dụng sai cơng thức tính diện tích thể tích, chẳng hạn: + Học sinh nhớ nhầm cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số b y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b S =  f ( x ) dx S = a  b a f ( x)dx + Học sinh nhớ nhầm cơng thức tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành b V =  f ( x)dx (quên nhân với π ) a + Khi tính thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng quanh trục Oy , học sinh học sinh nhầm với cơng thức tính thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng quanh trục Ox , học sinh quên không rút x theo y , không đổi cận theo biến y + Học sinh cho cơng thức tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục b hoành V = π  ( f ( x) − g ( x)) dx a - Học sinh sai sót việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh cho b  b f ( x) dx = a  f ( x)dx (Công thức hàm số f ( x ) không đổi dấu đoạn a  a; b ) phá dấu giá trị tuyệt đối sai - Học sinh giải phương trình hồnh độ giao điểm sai, học sinh lấy cận tích phân sai khơng để ý tới tập xác định hàm số cho - Trong số toán phải vẽ đồ thị để xác định hình phẳng, học sinh đọc vẽ đồ thị hàm số sai - Học sinh tính tích phân sai Trong tốn trắc nghiệm, khắc phục sai lầm này, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án Một số ví dụ minh họa: Khi biên soạn câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn, phương án nhiễu đưa tùy tiện Giáo viên cần dự đoán hướng làm sai học sinh để đưa phương án nhiễu Vì giáo viên cần phải nghiên cứu, tìm hiểu sai lầm học sinh mắc phải làm tập nội dung Ví dụ (Đề tham khảo 2017) Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường y = f ( x ), trục hoành hai đường thẳng x = −1, x = 2 −1 (như hình vẽ bên) Đặt a =  f ( x)dx, b =  f ( x)dx Mệnh đề đúng? A S = b − a B S = b + a C S = −b + a D S = −b − a Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ, suy f ( x)  0, x  0; 2 f ( x)  0, x   −1;0 Diện tích hình phẳng cần tìm : 2 −1 −1 −1 S =  f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx = −  f ( x)dx +  f ( x)dx = −a + b Vậy đáp án A Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhớ sai cơng thức tính diện tích hình phẳng: 2 −1 −1 S =  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx =a + b Phương án C: Học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối sai: 2 −1 −1 −1 S =  f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx =  f ( x)dx −  f ( x)dx = a − b Phương án D: Học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối sai: 2 −1 −1 −1 S =  f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx = −  f ( x)dx −  f ( x)dx = −a − b Nhận xét: - Qua ví dụ 1, giáo viên rèn luyện cho học sinh kĩ đọc đồ thị hàm số, kĩ chia nhỏ hình vẽ để tính diện tích Dựa vào đồ thị, học sinh xét dấu hàm số y = f ( x ), từ học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối suy phương án - Giáo viên hướng dẫn học sinh tạo câu hỏi trắc nghiệm cách chọn hàm f ( x ) cụ thể thay đổi đường thẳng x = −1, x = , chẳng hạn chọn f ( x) = x ta toán sau: Bài Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường y = x , trục hoành hai đường thẳng x = −1, x = (hình vẽ) Tính S A S = 17 B S = 15 C S = D S = 10 Bài Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường y = x , trục hoành hai đường thẳng x = −1, x = k (k  0) (hình vẽ) Tìm k để S = C k = B k = A k = D k = Để giải hai toán trên, học sinh khơng cần sử dụng hình vẽ mà sử dụng ln cơng thức tính diện tích hình phẳng, sau lập bảng xét dấu để tính tích phân hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp thể rõ qua ví dụ minh họa sau: Ví dụ Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) trục Ox , mệnh đề đúng? 3 A S =  f ( x)dx B S = 1 C S =  f ( x)dx  f ( x)dx  2 D S =  f ( x)dx −  f ( x)dx f ( x)dx Hướng dẫn giải: x = Xét phương trình: f ( x) =  ( x − 1)( x − 2)( x − 3) =   x =   x = Bảng xét dấu hàm số f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x f ( x) + - Diện tích hình phẳng (H) là: 3 1 2 S =  f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx =  f ( x)dx −  f ( x)dx Vậy đáp án C Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh nhớ sai cơng thức tính diện tích hình phẳng: S =  f ( x)dx Phương án B: Học sinh ngộ nhận sai tính chất giá trị tuyệt đối: S =  f ( x) dx =  f ( x)dx Phương án D: Học sinh xét dấu hàm f ( x ) sai: 11 3 1 2 S =  f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx = − f ( x)dx +  f ( x)dx Nhận xét: Trong trường hợp toán chưa cho sẵn hình vẽ chưa cho sẵn cận lấy tích phân, học sinh phải giải phương trình hồnh độ giao điểm để xác định cận lấy tích phân cơng thức tính diện tích thể tích Tuy nhiên, có khơng học sinh xác định cận sai Ví dụ Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x3 , trục hoành, trục tung đường thẳng x = A S = 40 D S = 32 C S = 44 B S = 36 Hướng dẫn giải: x = Xét phương trình: x3 − x =    x = 2 S =  x − x3 dx = 40 Diện tích hình phẳng cần tìm : Vậy đáp án A Phân tích phương án nhiễu: Phương án C: Học sinh lấy cận sai S =  4x − x dx = 44 −2 Phương án D: Học sinh nhầm cơng thức tính diện tích hình phẳng S =  (4 x − x )dx = 32 Phương án B: Học sinh vừa nhầm công thức vừa lấy cận sai S =  (4 x − x )dx = 36 −2 Ví dụ Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 − , trục hồnh đường thẳng x = Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox A V = 16 B V = 20 C V = 16 D V = 20 Hướng dẫn giải: Xét phương trình: x − = có nghiệm - Thể tích V khối tròn xoay là: V =   ( x − 1)dx = 20  Vậy đáp án D 12 Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh lấy cận từ −1 đến Điều khơng khoảng ( −1;1) hàm số y = x2 − không xác định, V =   ( x − 1)dx = −1 16  Phương án B: Học sinh qn khơng nhân với  cơng thức tính thể tích khối tròn xoay Phương án C: Học sinh vừa lấy cận sai vừa quên không không nhân với  V =  ( x − 1)dx = −1 16 Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh việc xác định cận tích phân cơng thức tính diện tích hình phẳng cơng thức tính thể tích Để học sinh thấy rõ sai lầm, giáo viên nên yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số, xác định hình phẳng cho Đồng thời, giáo viên lưu ý học sinh phải nhớ xác công thức, tránh việc nhầm lẫn công thức viết thiếu cơng thức Ví dụ Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + cos x , trục hoành đường thẳng x = 0, x =  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V =  −1 D V =  + C V = ( + 1) B V = ( − 1) Hướng dẫn giải:    Ta có: V =   ( + cos x ) dx =   (2 + cos x)dx =  ( x + sin x ) 02 =  ( + 1) 0 Vậy đáp án C Phân tích phương án nhiễu: Phương án D: Học sinh quên không nhân với  Phương án B: Học sinh nhầm lẫn nguyên hàm đạo hàm hàm y = cos x nên cho  cos xdx = − sin x + C   2 0  Do đó: V =   ( + cos x )2 dx =   (2 + cos x)dx =  ( x − sin x ) 02 =  ( − 1) Phương án A: Học sinh vừa quên không nhân với  vừa nhầm lẫn nguyên hàm đạo hàm hàm y = cos x nên:   2  V =  ( + cos x ) dx =  (2 + cos x)dx = ( x − sin x ) 02 =  − 0 13 Ví dụ (SBT Giải tích 12) Tính thể tích V khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = ln x, y = 0, x = e quay quanh trục Oy A V = π ( e − ) B V = e2 + π C V = e2 − π D V = e − 4e + π Hướng dẫn giải: Ta có: y = ln x  x = e y Tính thể tích V khối tròn xoay sinh V =   (e2 − e2 y )dy = e2 +  Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh sử dụng cơng thức tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng quay quanh Ox : e V =   (ln x)2 dx = ( e − ) Phương án C: Do học sinh xác định sai hình phẳng dẫn đến viết sai cơng thức tính thể y tích V =   (e ) dy = e2 −  y Phương án D: Học sinh sử dụng sai cơng thức tính thể tích V =   (e − 1) dy = Ví dụ Cho hình phẳng (H) giới hạn cung tròn có e2 − 4e +  y bán kính R = , đường cong y = − x trục hoành (miền gạch ngang hình bên) Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) xung quanh trục hoành 77 A V = C V = 77 -2 O x 53 B V =  D V =  + 14 Hướng dẫn giải: Cung tròn tâm O bán kính R = có phương trình y = − x , ( −  x  0) Từ hình vẽ, ta tích V khối tròn xoay thu là: 14 −2 V =   (4 − x )dx +   (4 − x)dx = 77  Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Viết sai phương trình cung tròn tâm O bán kính R = y = − x , ( −  x  0) Do đó: V =   (2 − x )dx +   (4 − x)dx = −2 53  Phương án C: Học sinh quên không nhân với  : −2 V =  (4 − x )dx +  (4 − x)dx = 77 Phương án D: Học sinh nhầm sang cơng thức tính diện tích: V=  −2 − x dx +  − xdx =  + 14 Ví dụ Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = x , y = − x trục Ox A B +6 C D −7 Hướng dẫn giải: Vẽ hình phẳng cần tính diện tích hệ trục tọa độ Oxy S =  xdx +  ( − x )dx = Từ hình vẽ, ta có Chọn phương án A Phân tích phương án nhiễu: Do học sinh khơng vẽ hình nên học sinh khơng xác định hình phẳng cho, dẫn đến học sinh áp dụng sai công thức xác định cận sai Cụ thể: 2 0 Phương án B: S =  xdx +  ( − x )dx = Phương án C: S =  x − (2 − x) dx = x − (2 − x) dx = −7 Phương án D: S =  +6 15 Ví dụ Tính thể tích V khối tròn xoay quay hình phẳng ( H ) giới hạn parabol (P): y = x đường thẳng d : y = x + quanh trục Ox A V = 72 B V = 9 C V = 81 10 D V = 72 Hướng dẫn giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d parabol (P) là:  x = −1 x2 = x +  x2 − x − =   x = Từ hình vẽ, ta có 2 V =   ( x + 2) dx −   ( x )2 dx = −1 −1 72 Đáp án A Phân tích phương án nhiễu: Phương án B: Học sinh nhầm công thức tính: V =   x − ( x + 2) dx = −1 2 Phương án C: Học sinh nhầm công thức: V =   [x − ( x + 2)] dx = −1 9 81 10 Phương án D: Học sinh quên không nhân với  Nhận xét: - Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số y = f ( x ), y = g ( x), y = h( x) tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn hai đường trở lên (chẳng hạn y = f ( x), y = g ( x) ) ta vẽ đồ thị hàm số hệ trục tọa độ Oxy , xác định hình phẳng cho Dựa vào hình vẽ, ta chia hình phẳng cho thành hình phẳng nhỏ , suy cơng thức tính diện tích thể tích cần tìm - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng (H) giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) đường thẳng x = a, x = b (a  b) xung quanh trục hồnh tính b 2 cơng thức: V =   f ( x) − g ( x) dx a Ví dụ 10 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x =  , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x với 16 0 x  thiết diện tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vuông 2x sin x A V =   C V = 1 −    4 2     1 −   B V = 1 −   4  4 D V = 2   1 −   4 Hướng dẫn giải: Diện tích thiết diện tam giác vuông : S ( x ) = x sin x p Thể tích V phần vật thể là: V = ò x sin xdx = 2ổ ỗỗ1 - p ữ ữ ữ ç è 4ø Chọn đáp án D Phân tích phương án nhiễu: Phương án A: Học sinh nhớ sai cơng thức tính thể tích (nhân thêm với  ):  V =   x sin xdx Phương án B: Học sinh tính sai diện tích thiết diện tam giác vuông ( quên chia cho 2): S ( x) = x sin x Phương án C: Học sinh vừa tính sai diện tích thiết diện tam giác vuông (quên chia cho 2) vừa nhớ sai cơng thức tính thể tích vật thể Nhận xét : Qua ví dụ trên, giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng câu hỏi trắc nghiệm tương tự cách thay đổi số liệu cạnh thiết diện, thay đổi hình dạng thiết diện tam giác đều, hình vng, hình chữ nhật 17 PHỤ LỤC XÂY DỰNG CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỪ BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 - Qua ví dụ minh họa, học sinh hiểu sâu sắc ứng dụng tích phân hình học, mơn học khác thực tế sống Từ việc phân tích ví dụ minh họa, giáo viên chia lớp thành nhóm yêu cầu nhóm xây dựng tập trắc nghiệm tương tự, xây dựng câu hỏi trắc nghiệm từ toán tự luận phần ứng dụng tích phân sách giáo khoa sách tập giải tích 12 chương trình từ tập tự luận giáo viên đề xuất Đồng thời, giáo viên yêu cầu học sinh sưu tầm toán thực tế ứng dụng tích phân đề thi thử THPT Quốc gia, tài liệu tham khảo - Giáo viên tiến hành chia nhóm: 36 học sinh lớp 12E chia thành nhóm, nhóm gồm học sinh, nhóm phải đảm bảo độ đồng trình độ Mỗi nhóm cử nhóm trưởng, thư ký để ghi chép cụ thể phân công công việc, tiến trình, trình tham gia thành viên nhóm - Giáo viên phân cơng cơng việc: Nhóm thực STT Nội dung công việc Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân Nhóm để tính diện tích hình phẳng Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân Nhóm để tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay Xây dựng sưu tầm câu hỏi trắc nghiệm ứng dụng Nhóm tích phân tốn chuyển động Sưu tầm giải toán thực tế ứng dụng tích Nhóm phân - Các nhóm học sinh tiến hành làm việc theo nhóm Sau nhóm hồn thành cơng việc, giáo viên tổ chức tiết học cho nhóm báo cáo kết văn Word, cử đại diện nhóm phân tích số câu hỏi điển hình Các học sinh khác lớp theo dõi, nhận xét bổ sung Giáo viên đánh giá, nhận xét xác hóa câu hỏi trắc nghiệm nhóm báo cáo Giáo viên tổng hợp kết nhóm thành tài liệu hồn chỉnh theo chủ đề 18 PHỤ LỤC MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Để góp phần nâng cao khả tư duy, sáng tạo học sinh tạo hứng thú cho học sinh học tập mơn tốn giáo viên cần trọng việc khai thác toán thực tế vào giảng dạy Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia năm gần đây, thường xuyên xuất tốn thực tế mang tính vận dụng cao, đặc biệt tốn ứng dụng tích phân Các tốn cho thấy tốn học gắn bó mật thiết với thực tiễn sống với nhiều môn khoa học khác vật lý, y học, sinh học Để giải tốn đó, học sinh cần có kỹ phân tích, tổng hợp kiến thức tốt vận dụng linh hoạt công thức học tích phân Ví dụ 11 Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị công thức vA (t ) = 16 − 4t ( đơn vị tính m/s), thời gian t tính giây Hỏi để tơ A B đạt khoảng cách an toàn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách ô tô B khoảng mét? A 33 m B 32 m C 65 m D 64 m Hướng dẫn giải: Chọn mốc thời gian t = thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh Lúc ô tô A dừng hẳn, ta có vA (t ) =  16 − 4t =  t = Quãng đường ô tô A di chuyển kể từ lúc bắt đầu hãm phanh đến dừng hẳn là: s =  (16 − 4t ) dt = 32 (m) Vì xe tơ dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m nên để ô tơ A B đạt khoảng cách an tồn dừng lại tơ A phải hãm phanh cách ô tô B khoảng tối thiểu 33 m Chọn đáp án A Phân tích phương án nhiễu: - Phương án B: Học sinh sau tính quãng đường ô tô A di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng 32 m chọn ln đáp án mà qn khơng cộng thêm m - Phương án C: Học sinh tính sai quãng đường ô tô A di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng 4.16 = 64 m ( học sinh áp dụng công thức quãng đường thời gian nhân với vận tốc, điều khơng từ lúc hãm phanh tơ chuyển động chậm dần với vận tốc vA (t ) = 16 − 4t ) Sau đó, học sinh cộng thêm m 19 - Phương án D: Học sinh tính sai qng đường tơ A di chuyển kể từ lúc hãm phanh đến dừng 4.16 = 64 m Ví dụ 12 Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 ( km) B s = 21,58 ( km) C s = 15,50 ( km) D s = 6, 08 ( km) Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình vận tốc chuyển động vật theo parabol v(t ) = at + bt + c (a  0)   c = c =   Ta có 4a + 2b + c =  b =  v(t ) = − t + 5t + (km / h)   b a = − − =2   2a Ta có v(1) = 31 Vậy quãng đường mà vật di chuyển 31 259   s =   − t + 5t + dt +  dt =  21,58 (km) 4 12  0 1 Chọn đáp án B Phân tích phương án nhiễu:   - Phương án A: Học sinh lấy cận tích phân sai s =   − t + 5t +  dt = 23, 25 (km)  0 3 31 dt = 15,5 (km) - Phương án C: Học sinh tính thiếu s =    - Phương án D: Học sinh tính thiếu s =   − t + 5t +  dt = 6, 08 (km)  0 Nhận xét : 20 - Qua hai ví dụ trên, giáo viên cần lưu ý cho hoc sinh giải toán phải đọc kĩ đề bài, tránh trường hợp vội vàng, hấp tấp dẫn đến hiểu sai đề lời giải thiếu sót - Bằng cách thay đổi phương trình vận tốc thay đổi thời gian chuyển động xây dựng toán chuyển động tương tự sau: Bài Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 26,5 (km) C 27 (km) B 28,5 (km) D 24 (km) Bài Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần 1  đường parabol có đỉnh I  ;8  trục đối xứng song song 2  với trục tung hình bên Tính qng đường s người chạy 45 phút, kể từ bắt đầu chạy A s = 4, (km) B s = 2,3 (km) C s = 4,5 (km) D s = 5,3 (km) Ví dụ 13 Trong phòng thí nghiệm, người ta quan sát đám vi trùng ban đầu có 250000 con, tới ngày thứ t số lượng vi trùng đám N ( t ) con, biết N '(t ) = 4000 Gọi x số lượng vi trùng đám sau 10 ngày, giá trị x gần với kết + 0,5t kết sau đây? A x  14334 B x  14000 C x  264000 D x  264334 Hướng dẫn giải: Ta có: N ( t ) =  N '(t )dt =  4000 dt =8000.ln(1 + 0,5t ) + C + 0,5t Vì N ( ) = 250000 nên C = 250000  N ( t ) = 8000.ln(1 + 0,5t ) + 250000  x = N (10) = 8000 ln15 + 250000  264334 21 Chọn đáp án D Ví dụ 14 Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 8m m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng( hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1 m2 Hỏi Ông An cần tiền để trồng hoa dải đất (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn)? A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O tâm mảnh vườn Mảnh vườn giới hạn đường Elip có phương trình tắc x2 y + =1 64 25 Diện tích dải đất trồng hoa là: S =  1− −4 x2 40 dx = + 20 (m ) 64 Số tiền cần để trồng hoa là: 100.000  ( 40 + 20 )  7.653.000 đồng) Chọn đáp án B Ví dụ 15 Một khối cầu thủy tinh có bán kính dm , người ta muốn cắt bỏ chỏm cầu có diện tích mặt cắt 15 dm2 để lấy phần lại làm bể ni cá Tính thể tích nước tối đa mà bể cá chứa A 175  (dm3 ) B 175  ( dm3 ) C 125 125  ( dm3 ) D  (dm3 ) 22 Hướng dẫn giải: - Hướng dẫn học sinh xây dựng cơng thức tính thể tích khối chỏm cầu có bán kính R chiều cao h : Trong mặt phẳng Oxy , xét hình phẳng giới hạn cung tròn tâm O bán kính R có phương trình y = R − x , trục hoành đường thẳng x = R − h, ( R − h  x  R ) Quay hình phẳng xung quanh trục hồnh ta khối chỏm cầu có bán kính R chiều cao h Thể tích khối chỏm cầu là: R  x3  h  Vcc =   ( R − x )dx =   R x −  =  h2  R −  (***)  R−h 3   R−h R 2 - Yêu cầu học sinh áp dụng cơng thức (***) để giải tốn: Gọi V , V1 , V2 thể tích tối đa bể ni cá chứa, thể tích khối cầu thủy tinh thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ Ta có R = dm, r = HB = 15  = 15 Suy OH = OB − HB = 42 − 15 = dm  h = AH = R − OH = −1 = dm Do h 175 V = V1 − V2 =  R −  h ( R − ) =  43 −  32 (4 − ) =  ( dm3 ) 3 3 Ví dụ 16 Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây) Hình Hình 23 Kí hiệuV thể tích hình nêm (Hình 2) Tính V ( ) A V = 2250 cm B V = 225 cm ( ) ( ) C.V = 1250 cm ( ) D V = 1350 cm Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình tròn :  y  225 − x , − 15  x  15 Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm ( ) có hồnh độ x , x  −15;15 cắt hình nêm theo thiết ( ) diện tam giác vng cân MNP có diện tích S x Dễ thấy OP = x MN = NP = 225 − x ( ) Do S x = ( 1 MN NP = 225 − x 2 ) 15 15 Suy thể tích hình nêm : V =  S ( x)dx =  ( 225 − x )dx = 2250 ( cm3 ) −15 −15 Nhận xét: Bằng cách tương tự, ta xây dựng cơng thức tính thể tích hình nêm trường hợp tổng quát V = R tan  24 ... sâu kiến thức ứng dụng tích phân, đồng thời phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh học tập - Học sinh thấy ứng dụng tích phân thực tiễn sống Từ đó, học sinh thấy tốn học thật gần... viên phân cơng cơng việc: Nhóm thực STT Nội dung công việc Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân Nhóm để tính diện tích hình phẳng Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân. .. tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay Xây dựng sưu tầm câu hỏi trắc nghiệm ứng dụng Nhóm tích phân toán chuyển động Sưu tầm giải toán thực tế ứng dụng tích Nhóm phân - Các nhóm học sinh