skkn hình học hóa bài toán số phức

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - Trường THPT Yên Khánh A; - Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Ninh Bình Tơi (hoặc chúng tơi) ghi tên đây: STT Họ tên Tỷ lệ (%) đóng Ngày tháng Chức Trình độ Nơi cơng tác góp vào việc tạo năm sinh vụ chuyên môn sáng kiến Nguyễn Hương Thơm 25/10/1979 THPT YKA GV Cử nhân 40% Trịnh Đình Ngọc 29/11/1981 THPT.YKA GV Cử nhân 30% Đinh Thị Minh Tân 14/2/1980 THPT.YKA GV Cử nhân 30% TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG Tên sáng kiến: “Hình học hóa tốn số phức” Lĩnh vực áp dụng:Toán học NỘI DUNG a Giải pháp cũ thường làm Trước chưa có hình thức thi trắc nghiệm dạy chuyên đề số phức, thường dạy sau: Dạy theo Ứng với bài, cho tập áp dụng đơn giản, đảm bảo kiến thức Sách giáo khoa không mở rộng, nâng cao Vì mà chúng tơi thấy rằng phương pháp có những hạn chế là: Chưa khắc sâu khái niệm nên học sinh hay nhầm lẫn giữa tập hợp số thực tập hợp số phức Vì hệ thống tập dễ nên học sinh chủ quan, không chịu rèn luyện kĩ nên tính tốn hay sai Học sinh cảm thấy tập đơn điệu, nhàm chán, không đáp ứng nhu cầu học học sinh khá, giỏi Học sinh không thấy mối liên hệ với toán lớp dưới, qui lạ quen, không củng cố, ơn tập số dạng tốn lớp 10 Học sinh xây dựng hệ thống tập từ tập đã cho b Giải pháp mới cải tiến Với giai đoạn thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phản xạ nhạnh với kiểu câu hỏi tập, làm thời gian ngắn nhất hiệu nhất chế trên, đã cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức thông qua giải pháp sau: 1) Cung cấp lí thuyết số phức: Khái niệm số phức, phần thực, phần ảo số phức, hai số phức bằng nhau, số phức liên hợp, biểu diễn hình học số phức mơđun số phức, phép toán cộng, trừ, nhân, chia tập số phức, bặc hai số thực âm, bậc hai số phức, giải phương trình bậc hai với hệ số thực, hệ số phức tập hợp số phức 2) Chia thành nhiều dạng tập, có những tập nâng cao Ứng với dạng tập, hướng dẫn học sinh phương pháp giải, tập minh họa cho tập tự luyện 3) Dạy học sinh sử dụng MTCT 4) Cung cấp cho học sinh những công thức giải nhanh thủ tḥt tính tốn 5) Hướng dẫn cách sáng tạo tập * Với đề tài chúng tơi tập trung vào mảng kiến thức biểu diễn hình học số phức cực trị số phức đã tiến hành 1) Cung cấp những dạng biểu diễn hình học số phức, cực trị 2) Chia thành nhiều dạng tập, có những tập nâng cao Ứng với dạng tập, hướng dẫn học sinh phương pháp giải tự luận, trắc nghiệm, đặc biệt mô tả đưa góc nhìn cho học sinh dạng quy tốn hình học, tập minh họa cho tập tự luyện 3) Dạy học sinh sử dụng MTCT 4) Cung cấp cho học sinh những cơng thức giải nhanh thủ tḥt tính toán 5) Hướng dẫn cách sáng tạo tập Ưu điểm của giải pháp mới: Học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cũ Ứng với dạng tập, học sinh tiếp cận với khái niệm liên quan đến số phức, phép toán tập hợp số phức em có góc nhìn số phức tạo hứng thú say mê học tập Qua dạng bài, em thấy mối liên hệ tốn số phức hình học giải tích mặt phẳng đã học lớp 10 Rèn luyện cho học sinh tư tổng hợp Cách sáng tạo toán mới, giúp học sinh biết qui lạ quen Học sinh khơng bỡ ngỡ giải tốn khó số phức Học sinh cảm thấy hứng thú tự tập Khi em tự đề toán em nắm vấn đề tốn tốt nhanh chóng đưa lời giải Hướng dẫn sử dụng MTCT giúp em xử lí tốn nhanh chóng xác Hệ thống công thức giải nhanh giúp em áp dụng trực tiếp không mất nhiều thời gian giải tự luận , rút ngắn thời gian làm Hệ thống tập tự luyện giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất cho Rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng linh hoạt, sáng tạo HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC a Hiệu quả kinh tế Với nhiệt tình giảng dạy hướng dẫn học sinh tự học, tự tìm tòi, với hỗ trợ mạng internet đem lại hiệu rất lớn cho người dạy lẫn người học Mỗi học sinh mất hàng triệu đồng thậm chí hàng chục triệu đồng để học thêm trung tâm luyện thi mà em nắm kiến thức cách sâu sắc vận dụng cách sáng tạo vào sống Những phẩm chất những trải nghiệm mà em học sinh lĩnh hội sau học giúp em có thêm hiểu biết, tránh xa tai tệ nạn xã hội nạn số đề, thậm chí em giải thích cho những bạn đã có ý định chơi số đề làm giàu từ số đề từ bỏ ý định, tu chí học hành, xây dựng tương lai Từ giúp cho gia đình xã hội tránh khoản tiền rất lớn nạn số đề gây Ngồi những phẩm chất giúp cho em trưởng thành trở thành những công dân có ích cho đất nước, những trị gia, những nhà khoa học, những nhà kinh tế…… phục vụ tổ quốc, làm giàu cho quê hương đất nước b Hiệu quả xã hội Dạy học theo hướng đổi không giúp học sinh phát triển tư duy, phát triển khả tự học, tự giác tích cực học tập mà giúp cho em hình thành lực, phẩm chất cao quý, cần thiết cho xã hội đại, xã hội công nghệ thơng tin, số hóa, liên kết hợp tác toàn cầu, cần thiết cho hội nhập phát triển Ngoài giúp học sinh hứng thú học tập, lôi vào hoạt động học, tạo môi trường học tập lành mạnh, bạn học, học từ em khơng thời gian mà sa vào tai tệ nạn xã hội, tạo môi trường sống tốt đẹp Các em biết yêu thương, quý trọng thân, cha mẹ, ông bà, yêu thương gia đình, q hương đát nước, sống có ý nghĩa, sống có trách nhiệm ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài áp dụng học sinh nắm tương đối tốt tốn đếm Đề tài có tính khả thi cao, thực nhiều trường THPT toàn tỉnh cũng nước Đề tài cũng đã áp dụng giảng dạy, kết cho thấy số lượng điểm giỏi tăng lên, học sinh hào hứng, tích cực học tập Từ tạo điều kiện cho chúng tơi thêm hăng say nghiên cứu, tìm tòi, đởi phương pháp dạy học, vận dụng kĩ thuật dạy học tích cực vào giảng dạy - Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Ngày tháng Chức Trình độ Nội dung cơng việc hỗ TT Họ tên Nơi công tác năm sinh danh chuyên môn trợ Nguyễn Hương 25/10/1979 Yên khánh A GV Cử nhân Âp dụng giảng dạy thử Thơm lớp 12B Trịnh Đình Ngọc 29/11/1981 Yên khánh A GV Cử nhân Âp dụng giảng dạy thử lớp 12K Đinh Thị Minh Tân 14/2/1980 Yên khánh A GV Cử nhân Âp dụng giảng dạy thử lớp 12N Tôi (chúng tôi) xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO Yên Khánh, ngày 08 tháng 05 năm 2018 ĐƠN VỊ CƠ SỞ Người nộp đơn Nguyễn Hương Thơm Trịnh Đình Ngọc Đinh Thị Minh Tân PHỤ LỤC I CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Dạng Tìm tọa độ điểm M (biểu diễn M mặt phẳng tọa độ) A Phương pháp ➢ Từ z = x + yi ( x, y  R)  M ( x; y) biểu diễn cho số phức z mặt phẳng toạ độ B Bài tập minh họa Đầu tiên cho học sinh làm tập trắc nghiệm sau nhằm củng cố lại lý thuyết: Câu 1: ( Gọi M điểm biểu diễn số phức z = a + bi a, b  ) mặt phẳng tọa độ mệnh đề sau đúng? A OM = z B OM = a2 − b2 C OM = a − b D OM = a2 − b2 Câu 2: Gọi M , N hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Mệnh đề sau đúng? A z1 − z2 = OM + ON B z1 − z2 = MN C z1 − z2 = OM + MN D z1 − z2 = OM − MN Câu 3: Cho số phức z = − 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w = iz mặt phẳng tọa độ ? A Q (1; 2) B N (2;1) C M (1; −2) D P (−2;1) Hướng dẫn giải: w = iz = i (1 − 2i ) = + i  điểm biểu diễn số phức z có tọa độ ( 2;1) Hướng dẫn casio: w U(1p2U)=2+U  N (2;1) ( )( ) Câu 4: Số phức z thỏa mãn z = − 3i + i Hỏi điểm biểu diễn số phức z điểm điểm M, N, P, Q sau? A M ( 7;1) B N ( 7; −1) C P (1;7 ) D Q ( −1;7 ) Hướng dẫn giải: z = ( − 3i )(1 + i ) = + i  z = − i w conjg ( − 3i )(1 + i ) = − i → N ( 7; −1) Câu 5: Số phức z thỏa mãn (2 − i ) z = − i Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm M, N, P, Q hình ? A Điểm P B Điểm Q C Điểm M Hướng dẫn giải: (2 − i ) z = − i  z = D Điểm N 7−i = 3+i 2−i Do ta chọn đáp án C Câu 6: Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z ? y A Phần thực −4 phần ảo B Phần thực phần ảo −4i C Phần thực phần ảo −4 D Phần thực −4 phần ảo 3i Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C Câu 7: O x −4 M (đề minh họa GD –ĐT lần năm 2017) Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − 16 z + 17 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = iz0 ? 1  A M  ;  2  Hướng dẫn giải:   B M  − ;      C M  − ;1   1  D M  ;1 4  1 w 534=16=17=== hai nghiệm z1 = + i; z2 = − i 2  z0 = z1   U(2+1a2$U)=p1a2$+2U → M  − ;    Dạng Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước A Phương pháp • Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước ➢ Gọi z = x + yi ( x, y  R)  M ( x; y) biểu diễn cho số phức z mặt phẳng toạ độ ➢ Dựa vào dữ kiện toán, thiết lập mối liên hệ giữa x y ➢ Dựa vào mối liên hệ đó, để kết luận tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn cho số phức z • Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước ➢ Tìm toạ độ điểm M (phụ thuộc tham số) biểu diễn cho số phức z mặt phẳng toạ độ ➢ Cho M thuộc hình biểu diễn z , ta tìm giá trị tham số ➢ Kết luận số phức z cần tìm B Bài tập minh họa Dạng 2.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn Bài tốn 1: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z = b) z + 4i − = c) z + − i = −3.z + + 3i d) (1 + i ) z + − 7i = Lời giải: Gọi z = x + yi ( x, y  R)  M ( x; y) biểu diễn cho số phức z mặt phẳng toạ độ a) Ta có z =  x2 + y =  x2 + y = Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm O ( 0;0 ) bán kính R = Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau học sinh hoàn thiện tập này, thay đổi giả thiết hướng dẫn các em cách làm tương ứng a1 ) z   x + y  Vậy tập hợp các điểm M hình tròn tâm O, bán kính R = a2 ) z   x + y  Vậy tập hợp các điểm M miền hình tròn tâm O, bán kính R = a3 ) z   x + y  Vậy tập hợp các điểm M điểm không thuộc miền hình tròn tâm O, bán kính R = a4 ) z   x + y  Vậy tập hợp các điểm M miền ngồi hình tròn tâm O, bán kính R = a5 )  z    x + y  Tập hợp điểm M điểm nằm ngồi hình tròn tâm O ( 0;0 ) bán kính R = đồng thời nằm hình tròn tâm O ( 0;0 ) bán kính R = Từ học sinh tự trình bày lời giải cho tập: b) z + 4i − =  ( x − 3) + ( y + ) = 2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I ( 3; −4 ) bán kính R = Ngồi giàng buộc thêm điều kiện ( ví dụ phần thực khơng âm…) c) z + − i = −3.z + + 3i  x + + ( y − 1) i = −3x + + ( y + 3) i  ( x + 1) + ( y − 1) = ( −3x + ) + ( y + 3) 2 2  x + y − 14 x + 20 y + 11 = 11  x2 + y − x + y + = 7 8 5 4 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I  ; −  bán kính R = 61 d) Ta có (1 + i ) z + − 7i =  z − − 4i =  ( x − 3) + ( y − ) = 2 Tập hợp M đường tròn(C) tâm I ( 3; −4 ) bán kính R = Tơi đưa dạng tổng qt của quỹ tích điểm biểu diễn đường tròn: Tổng quát 1: ➢ ➢ Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: • z − ( a + bi ) = R với R  : Là đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R • z − ( a + bi )  R với R  : Là miền của hình tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R • z − ( a + bi )  R với R  : Là hình tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R Mở rộng ta chứng minh cho học sinh thấy tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: 1) z1.z + z2 = c (với c  ) quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z đường tròn  mz + a + bi = m ' z + a '+ b ' i  2)  m.z + a + bi = m '.z + a '+ b ' i (với m  m ', m  −m ' ) quỹ tích các điểm biểu diễn số   m.z + a + bi = m '.z + a '+ b ' i  phức z đường tròn Ngược lại cho tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có phương trình cho trước ta có tìm số phức z hay khơng Tơi cho học sinh làm Bài toán Số phức z = a + bi ( a, b  ) Hỏi a , b thỏa mãn điều kiện để : a) Có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường tròn tâm I ( 0;1) bán kính R = b) Biết tập hợp điểm M biểu diễn số phức z phần tơ đậm hình bên (khơng kể biên) Lời giải: a) Đường tròn ( C ) tâm I ( 0;1) bán kính R = có phương trình: x + ( y − 1) = M ( a; b ) biểu diến số phức z thuộc đường tròn ( C ) nên a + ( b − 1) = b) tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm giữa hai đường tròn nên tọa độ thỏa mãn:  a + b2  Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau học sinh hoàn thiện tập này, hương dẫn học sinh viết hệ điều kiện tương đương ▪ a + ( b − 1) =  z − i = ▪  a + b2    z  2 Sau đưa số tập trắc nghiệm theo chiều xi (tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn), chiều ngược (cho tập hợp điểm M biểu diễn số phức z , tìm điều kiện mà z thỏa mãn) xây dựng từ 1b Cho học sinh làm câu hỏi trắc nghiệm sau: Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 4i − = Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn: A Tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = B Tâm I ( 3; ) , bán kính R = C Tâm I ( −3; ) , bán kính R = D Tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 4i −  Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình tròn, tính diện tích hình tròn đó? A S = 4 B S = 8 C S = 2 D S = 16 Hướng dẫn giải: Như câu Ta tìm bán kính đường tròn R =  S =  R = 4 Câu 3: Số phức z thỏa mãn điều kiện có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = A z + 4i − = B z + 4i − = C z + + 4i = D z + − 4i = Câu 4: Gọi M điểm biểu diễn số phức z , biết tập hợp điểm M phần tô đậm hình bên (khơng kể biên) Mệnh đề sau đúng? A z + 4i − = B z + 4i −  C z + 4i −  D z + − 4i  Các toán tốn khơng khó học sinh khá, giỏi; với học sinh trung bình yếu biến đởi theo kiểu tự ḷn cách nhanh xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, kể học sinh yếu cũng giải tốn vòng 20 giây Tơi hướng dẫn học sinh dùng máy tính casio để làm 1c Bài 1c Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: c) z + − i = −3.z + + 3i Cách Giải tự luận Cách Sử dụng máy tính cầm tay: Dự đốn quỹ tích điểm M đường tròn có dạng x + y + ax + by + c = Ta tìm a, b, c sau: Chuyển mơi trường tính tốn sang hệ số phức: w ( X +1− i − −3co njg ( X ) + + 3i ) : (1 − ( −3) ) − X 2 r [0= 11 11 →c= 8 7 r [1= − → a = − 4 r [U= 5 →b= 2 11 vậy quỹ tích điểm M đường tròn ( C ) : x + y − x + y + = Dạng 2.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng Bài tốn Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) z số ảo b) z+i số thực z +i c) z − − 4i = z − 2i 3z + − i =1 −3z + + 3i d) Lời giải: Gọi z = x + yi ( x, y  R)  M ( x; y) biểu diễn cho số phức z mặt phẳng toạ độ y = x  y = −x a) Ta có z = x2 − y + 2xyi nên z số ảo  x − y =   Tập hợp M hai đường phân giác y = x y = − x z + i x − ( y − 1) 2 xy b) Ta có = + i z − i x + ( y − 1) x + ( y − 1)  x =  xy = z+i  Nên số thực      y = z +i  x + (1 − y)i  ( x; y )  (0;1)  Vậy tập hợp điểm M hai trục toạ độ bỏ điểm M ( 0;1) c) Ta có z − − 4i = z − 2i (*)  ( x − 2) + ( y − 4)i = x + ( y − 2)i  ( x − 2)2 + (4 − y)2 = x2 + ( y − 2)2  y = − x + Tập hợp M đường thẳng có phương trình y = − x + d) 3z + − i =  3z + − i = −3z + + 3i −3z + + 3i  ( 3x + 1) + ( y − 1) i = ( −3x + ) + ( y + 3) i  ( 3x + 1) + ( y − 1) = ( −3x + ) + ( y + 3) 2 2  18 x − 24 y − 11 = Sau học sinh làm xong 1c, d hướng dẫn học sinh làm theo cách 2: sử dụng hình học, cách sử dụng máy tính casio 10 ( x − a )2 + ( y − b )2 = R ✓ Cách 1: Tọa độ A, B nghiệm của hệ   Ax + By + C = Với Ax + By + C = phương trình đường thẳng OI ✓ Cách 2: OB = a + b2 + R a + b2 OI ; OA = a + b2 − R a + b2 OI Tổng quát 3.2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z − ( a + bi ) = R Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn của z − z0 Gọi M , I , N các điểm biểu diễn số phức z, z1 = a + bi, z0 • •   z − z0 max = NB = NI + IB = NI + R z − z0 = MN    z − z0 = NA = NI − IA = NI − R Để tìm tọa độ điểm A, B ta có thể làm theo cách sau: ( x − a )2 + ( y − b )2 = R ✓ Cách 1: Tọa độ A, B nghiệm của hệ   Ax + By + C = Với Ax + By + C = phương trình đường thẳng IN ✓ Cách 2: OB = NI + R OI ; NI OA = NI − R OI NI Tổng quát 3.3: Cho số phức z thỏa mãn: z1.z − z2 = R ( R  ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của P = z − z3 • Pmax = z2 z R R − z3 + , Pmin = − z3 − z1 z1 z1 z1 Bài toán xuất phát Trong mặt phẳng cho đường tròn ( C ) hai điểm A, B thỏa mãn: đường thẳng AB ( C ) khơng có điểm chung IA = IB (với I tâm đường tròn ( C ) ) Điểm M di động ( C ) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất P = MA + MB Lời giải: Gọi N trung điểm AB P = MA + MB  ( MA2 + MB ) mà: MA2 + MB = 2MN + AB 2 25  Pmax  MN max ; Pmin  MN Pmax = NK + AB AB AB AB 2 = ( R + IN ) + ; Pmin = NH + = R − IN + 2 2 Bài toán 4.1: (Câu 46 – đề tham khảo THPT QG - 2018) Cho hai số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn: z − − 3i = Tính P = a + b z + − 3i + z − + i đạt giá trị lớn nhất A P = 10 B P = C P = D P = Hướng dẫn giải: - Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I ( 4;3) , bán kính R= - Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 = −1 + 3i, z2 = − i ; N trung điểm AB Ln có: IA = IB - Đặt Q = z + − 3i + z − + i = MA + MB Q = MA + MB  ( MA2 + MB ) AB mà: MA + MB = 2MN + Nên Qmax  MN max  N hình chiếu vng góc M 2 AB  M , I , N thẳng hàng MA = MB ( IA = IB )  M  K (như hình vẽ) NK = NI + R = + = Ta có NK =  NK NK  NI  NI = ( 4; ) , = =  NI NI   x =  K  z = + 4i  yK = Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu tốn u cầu tìm GTLN của z + − 3i + z − + i ta dường lại bước tính  AB   Qmax =  NK +  = 2    ( ) + 20  = 110  26 Nếu tốn u cầu tìm GTNN của z + − 3i + z − + i  yêu cầu tìm GTNN của  AB   MN  M  H Qmin =  NH +  = 2    ( 5) + 20  = 10  Nếu yêu cầu tìm z cho z + − 3i + z − + i đạt GTNN tức ta tìm tọa độ điểm H ta làm sau: NH = NH NI NI Bài toán 4.2: Cho hai số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn: z − − 3i = Tìm trị nhỏ nhất z + − 5i + z − + i B 58 + 12 A 58 − 12 ( ) C 58 − 12 D − Hướng dẫn giải: - Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I ( 2;3) , bán kính R = - Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 = −2 + 5i, z2 = − i ; N trung điểm AB Ln có: IA = IB - Đặt Q = z + − 5i + z − + i = MA + MB Q = MA + MB  ( MA2 + MB ) AB 2  M  H (như hình vẽ) mà: MA2 + MB = 2MN + Nên Qmin  MN NH = NI − R = Qmin −3 = 3−  AB  =  NH +  = 58 − 12 2   ( ) Giáo viên hướng dẫn khai thác: Nếu thay đởi u cầu tốn ta tốn sau: • Tìm GTLN z + − 5i + z − + i ?  AB   Qmax = ( z + − 5i + z − + i )max =  NK +  = 2 +    ( • ) ( + 36 = 58 + 12  ) Tìm số phức z cho z + − 5i + z − + i đạt giá trị nhỏ nhất? Qmin  MN  M  H (như hình vẽ) 27 NH = − z= •  −3 + 2 −3 +  NH 3− NI  NH = − NI  H  ;  NI 2   −3 + 2 −3 + + i 2 Tìm GTLN, GTNN L = z + − 5i + z − + i ? 2 AB 2 Vậy L đạt GTLN (GTNN)  MN đạt GTLN (GTNN) , đưa toán z + − 5i + z − + i = MA2 + MB = 2MN + 2 Như vậy sau làm xong tập trắc nghiệm tổng quát lại kiến thức cho học sinh sau: Tổng quát 4: Cho số phức z thỏa mãn z − z1 = R Tổng quát 4.1: Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) của z − z2 + z − z3 với z1 − z2 = z1 − z3 Gọi M, I, A, B các điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 , z3 • Điểm I thuộc đường trung trực của AB  AB  • z − z2 + z − z3 = MA + MB  ( MA + MB )  z − z2 + z − z3   2MN +    (Với N trung điểm của AB) Trường hợp 1: d ( I , AB )  R 2 z − z2 + z − z3  z3 − z2   AB  =  NH +   =  ( d ( I , AB ) − R ) +     z − z2 + z − z3 max  z3 − z2   AB  =  NK +   =  ( d ( I , AB ) + R ) +     Trường hợp 2: d ( I , AB ) = R z − z2 + z − z3 = z3 − z2  z −z  z − z2 + z − z3 m ax =  8.R +      28 • Ta tìm tọa độ điểm H , K sau: Trường hợp 1: d ( I , AB )  R Ta có: NH = d ( I , AB ) − R Trường hợp 2: d ( I , AB )  R Ta có: NH = − NI ; NK = NI d ( I , AB ) − R NI d ( I , AB ) + R NI ; NK = NI NI d ( I , AB ) + R NI NI Trường hợp 3: d ( I , AB ) = R Ta có: H  N ; IK = NK Tổng quát 4.2: Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) của z − z2 + z − z3 với z1 − z2 = z1 − z3 2 Gọi M, I, A, B các điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 , z3 • • Điểm I thuộc đường trung trực của AB z − z2 + z − z3 = MA2 + MB = 2MN + 2  ( z − z2 + z − z3 )Min ( z−z + z − z3 )Max AB 2 z −z = ( d ( I , AB ) − R ) + 2 2 z −z = ( d ( I , AB ) + R ) + 2 2 Bài toán xuất phát Trong mặt phẳng cho đường tròn ( C ) đường thẳng  ; , ( C ) khơng có điểm chung Điểm M di động ( C ) , N điểm di động  Tìm điểm M , N cho MN nhỏ nhất Lời giải: Giả sử ( C ) có tâm điểm I bán kính R Gọi d đường thẳng qua điểm I vng góc với  d cắt ( C ) ,  K , H , J (như hình vẽ) Khi ta có: HI  MN Nên MN = d ( I ,  ) − R  M  H , N  I Bài toán 5.1: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: z1 + = 5, z2 + − 3i = z2 − − 6i Tìm giá trị nhỏ nhất z1 − z2 A B 25 C 15 D 29 Hướng dẫn giải: - Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường tròn tâm I ( −5;0 ) , bán kính R = - Quỹ tích điểm biểu diễn N số phức z2 thuộc đường thẳng  : x + y − 35 = 15 R =d −R= , Ta thấy  ( C ) không cắt do: d ( I ,  ) = Nên từ hình vẽ ta có z1 − z2 = MN Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác: Nếu tốn u cầu “Tìm z1 + z2 cho z1 − z2 đạt giá trị nhỏ nhất” z1 − z2  M  H N hình chiếu I  Bài tốn quy việc tìm tọa độ điểm H tọa độ hình chiếu I  Chúng tơi đưa tốn tởng qt sau: Tổng qt 5: Cho số phức z , z ' thỏa mãn z − z1 = R, z '− z2 = z '− z3 Trong z1 , z2 , z3 số phức cho trước Tìm giá trị nhỏ của z − z ' Gọi M , N các điểm biểu diễn của số phức z , z ' • Qũy tích các điểm M đường tròn C ( I , R ) ; Qũy tích các điểm N đường thẳng  (  đường trung trực của AB với A, B các điểm biểu diễn số phức z2 , z3 ) • z − z ' = MN z − z ' = MN = d ( I ,  ) − R   ( C ) =  z − z ' = MN =   ( C )   30 Bài toán xuất phát Trong mặt phẳng cho đường tròn ( C ) đường thẳng  ; , ( C ) khơng có điểm chung, điểm M di động ( C ) Tìm vị trí điểm M ( C ) cho khoảng cách từ M đến  lớn nhất (nhỏ nhất) Lời giải: Gọi d đường thẳng qua I vng góc với  cắt đường tròn  K , H , N , hình vẽ Ta có HN  d ( M ,  )  KN  d ( I ,  ) − R  d ( M ,  )  d ( I ,  ) + R Do đó: Maxd ( M ,  ) = d ( I ,  ) + R  M  K Mind ( M ,  ) = d ( I ,  ) − R  M  H Bài toán 6.1: Cho số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn: (1 + i ) z + − 7i = Tìm giá trị nhỏ nhất P = a − b + A − Hướng dẫn giải: (1 + i ) z + − 7i B − C + D + =  z − − 4i = Khi quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( C ) tâm I ( 3; ) , bán kính R = Xét đường thẳng  : x − y + = Gọi K , H , N giao điểm đường thẳng qua I vng góc với  , với đường tròn ( C ) đường thẳng  Khi đó: d ( M ,  ) = a −b+3 = 3− 4+3 P = 2R ; d ( I , ) = 2 Nên Pmin  d ( M ,  )min  M  H Vậy Pmin = 2.HN = d ( I ,  ) − R  = − Tương tự tốn tơi hướng dẫn học sinh khai thác toán thay đổi giả thiết yêu cầu tốn: • Tìm giá trị lớn nhất P = a − b + • Tìm z biết P = a − b + đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) 31 • Thay giả thiết (1 + i ) z + − 7i = giả thiết (1 + i ) z + − i = , ta toán tương tự Tổng quát Cho số phức z = a + bi ( a, b  ) thỏa mãn: z − z1 = R Tìm giá trị nhỏ nhất P = a + b +  Gọi M , I điểm biểu diễn số phức z , z1 Đường thẳng  :  x +  y +  = , • Qũy tích điểm M đường tròn ( C ) tâm I bán kính R • Gọi đường thẳng d qua I vng góc với  ; K , H , N giao điểm d với ( C ) ,  Pmin =  +   d ( I ,  ) − R   M  H Pmax =  +   d ( I ,  ) + R   M  K Bài tốn xuất phát Cho hai đường tròn (C1 ) có tâm I , bán kính R1 ; đường tròn (C2 ) có tâm J , bán kính R2 ( R1 − R2  IJ  R1 + R2 ) Tìm vị trí điểm M (C1 ) , điểm N (C2 ) cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: - Gọi d đường thẳng qua I , J ; d cắt đường tròn (C1 ) hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA  JB ) ; d cắt (C2 ) hai điểm phân biệt C , D ( giả sử ID  IC ) - Với điểm M bất khì (C1 ) điểm N bất kì (C2 ) , ta có: • MN  IM + IN  IM + IJ + JN = R1 + R2 + IJ = AD Dấu “=” xảy M trùng với A N trùng với D • MN  IM − IN  IJ − IM − JN = IJ − R1 − R2 = BC Dấu “=” xảy M trùng với B N trùng với C Bài tốn 7.1.(THPT Hưng Nhân- Thái Bình 2017-l3)  z1 + − 4i = Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn :   z2 + − i = Tổng giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất biểu thức z1 − z2 A 18 Hướng dẫn giải: B C D 32 Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 ; z1 − z2 = MN Qũy tích điểm M đường tròn ( C1 ) tâm I1 ( −3; ) , bán kính R1 = Qũy tích điểm N đường tròn ( C2 ) tâm I ( −6;1) , bán kính R2 = Gọi A, B, C , D giao điểm IJ với ( C1 ) , ( C2 ) Ta có CB  MN  AD  IJ − R1 − R2  MN  IJ + R1 + R2 Nên MNmin = − − = − MNmax = + + = +  MN + MN max = Sau làm xong toán tơi cho học sinh tự tởng qt cơng thức tìm GTLN, GTNN liên quan mô đun số phức Tổng quát 7: Cho số phức z , z ' thỏa mãn: z − z1 = R; z '− z2 = R ' Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất z − z ' ,với R − R '  z1 − z2  R + R ' • Bài z − z ' = z1 − z2 − R − R '; z − z ' max = z1 − z2 + R + R ' toán xuất phát Cho F1 , F2 cố định F1 F2 = 2c , xét elip ( E ) = M : MF1 + MF2 = 2a , a  c Gọi I trung điểm F1 F2 ta có: b  IM  a với b = a − c Bài tốn 8.1:Tìm số phức z cho mô đun z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Biết số phức z thỏa mãn: z + + z − = Hướng dẫn giải: Ta thấy tập hợp điểm M elip có phương trình ( E ) : x2 y + =1 x2 y + = vẽ hệ trục Oxy hình vẽ Từ hình vẽ ta có: (E): OB2  OM  OA2 ( OB1  OM  OA1 )   z  Từ ta có: z ( ( )  M 0; −  M  B1 = 3   z =  3i  M 0;  M  B2  )  M ( −2;0 )  M  A1 z max =     z = 2  M ( 2;0 )  M  A2 Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau học sinh hồn thiện tốn này, chúng tơi thay đổi giả thiết hướng dẫn các em cách làm tương ứng dạng câu hỏi trắc nghiệm sau: Bài toán 8.2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + + z − = 33 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z Khi biểu thức P = M + m bằng: B P = A P = C P = 3+4 D P = + Biết số phức z có mơ đun lớn nhất Mệnh đề sau đúng? A z số ảo B z số vơ tỷ C z có phần ảo không nguyên D z số nguyên Bài toán 8.3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i + z − i = Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất z bằng: A z = 2, z max = B z = 3, z max = C z = 1, z max = D z = 3, z max = Hướng dẫn giải: Gọi M ( x; y ) , F1 ( 0; −1) , F2 ( 0;1) điểm biểu diễn số phức z, −i, i Theo phần IV M thuộc elip ( E ) : x2 y + = , nhận F1 , F2 hai tiêu điểm hình vẽ  M ( 0; −2 )  M  B1 Từ ta có: z max =     z = 2  M ( 0; )  M  B2 z ( ( )  M − 3;0  M  A1 =2  z=  M 3;0 M  A   ) Bài toán 8.4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 3i + z + − i = Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất P = z + + 2i Lời giải: P = z + +i = P' 2 Bài tốn chuyển tìm GTLN, GTNN P’ Gọi M , F1 , F2 , N điểm biểu diễn số phức: P = z + + 2i  34 z , z1 = − 3i, z2 = −2 + i, z0 = − − i Ta có N trung điểm F1 F2 B2 M z − + 3i + z + − i =  MF1 + MF2 =  M thuộc elip nhận F1 , F2 làm tiêu điểm có tiêu A1 F1 N F2 A2 cự bằng F1F2 = 2c = B1 25 39  c = ; 2a =  a =  b = 16 − = 39  Pmax = 8, Pmin = 39 Như vậy sau làm xong tập trắc nghiệm tổng quát lại kiến thức cho học sinh sau: Tổng quát 8: Qũy tích các điểm biểu diễn số phức thuộc đường Elíp Tổng quát 8.1 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + c + z − c = 2a ( c  , 2c  2a ) Tìm Vậy P 'max = 4, P 'min = GTLN, GTNN của z • Khi M ( x; y ) thuộc đường elip có phương trình tắc: ( ) x2 y2 + = a  b  0; b = a − c Với A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) đỉnh a b elip •   z max = OA1 = OA2 = a z =  a z = OM    z = OB1 = OB2 = b z = bi Tổng quát 8.2.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + ci + z − ci = 2a ( c  , 2c  2a ) Tìm GTLN, GTNN của z • Khi M ( x; y ) thuộc đường elip có phương trình ( x2 y + = b = a2 − c2 b2 a ) (elip đứng nhân trục Oy làm trục đối xứng) Với A1 ( −a;0 ) , A2 ( a;0 ) , B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) đỉnh elip •   z = OA1 = OA2 = a z =  a z = OM    z max = OB1 = OB2 = b z = bi Tổng quát 8.3.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + z1 + z − z2 = 2a Tìm GTLN, GTNN của z1 + z2 Gọi M , F1 , F2 , N điểm biểu diễn số phức z, z1 , z2 , z0 P = z − z0 với 2a  z1 − z2 ; z0 = 35 • Khi M ( x; y ) thuộc đường elip nhận F1 , F2 làm tiêu điểm ( N trung điểm F1 F2 )   z −z   z max = a (với b = a −   ) P = z − z0 = NM      z = b • Sau trang bị xong cho học sinh loạt công thức tổng quát cực trị số phức, tơi cho học sinh làm tốn sau để củng cố: Bài tập củng cố: Câu 1: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vng tơ đậm hình vẽ bên (kể đường viền) Mô đun lớn nhất số phức z là: A z B z C z max max max = = = 2 Mô đun nhỏ nhất số phức z là: D z max A z C z min = = B z = D z min =1 = Câu 2: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường elip hình vẽ bên Mô đun nhỏ nhất số phức z là: A z B z min = =1 C z = Câu 3: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình elip hình vẽ bên Mơ đun lớn nhất số phức z là: D z A z max B z max = =1 = C z max = 36 D z max = ( ) thỏa mãn: Cho số phức z = a + bi a, b  Câu 4: z − − 3i = Tìm giá trị lớn nhất z A + 13 13 C + 13 −2 − 3i Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất z , biết z +1 = − 2i B A B Câu 6: Biết số phức z = a + bi, ( a, b  nhỏ nhất Tính P = a + b A P = thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i có mơ đun B P = 10 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Câu 7: D C ) 13 − D C P = 16 D P = 26 z − = Tìm giá trị lớn nhất T = z +i + z −2−i A max T = B max T = Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn iz + C max T = D max T = 2 + iz + = Gọi M n giá trị lớn 1− i i −1 nhất giá trị nhỏ nhất z Tính M n A M n = B M n = C M n = 2 D M.n = Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z − = z giá trị lớn nhất z − + 2i bằng a + b Tính a + b A B C D Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z số thực w = z số thực Giá trị lớn + z2 nhất biểu thức P = z + − i A 2 B C D Hướng dẫn giải: Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Chọn C; Chọn A Chọn B Chọn A Chọn B 37 Câu 6: Chọn A Dễ thấy M ( z ) thuộc đường thẳng: x + y − = z = OM = d ( O,  ) = =2  P = z =8 Câu 7: Chọn B Điểm M ( z ) thuộc đường tròn ( C ) tâm I (1;0 ) , R = A ( z1 ) , B ( z2 ) : z1 = −i, z2 = + i , gọi N trung điểm AB  AB  T = MA + MB  ( MA2 + MB ) = 2MN +    z1 − z2  max T =  ( R + IN ) +  =4   Câu 8: Chọn C iz + 2 + iz + =  z +1− i + z −1+ i = 1− i i −1 Đặt F1 ( −1;1) , F2 (1; −1)  F1 F2 = 2  Suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z elíp có tiêu điểm F1 ( −1;1) , F2 (1; −1) độ dài trục lớn 2a = tiêu cự 2c = F1F2 = 2  M = max z = a =  M n = 2 Khi đó:  2 n = z = b = a − c =  Câu 9: Chọn A Gọi z = x + yi ( x, y  ) Khi z − = z  ( x − 3) + yi = x + yi  ( x − 3) + y = x2 + y  ( x − 3) + y = ( x + y )  3x + y + x − =  x + y + x − =  ( x + 1) + y = 22 2 Suy tập hợp điểm M biểu diễn z đường tròn tâm I ( −1;0 ) , R = Ta có z − + 2i = z − (1 − 2i ) = MN , N (1; −2 ) Dựa vào hình vẽ nhận thấy MN lớn nhất qua tâm Khi MN = NI + IM = 2 + R = 2 + Suy a = 2, b = Do a + b = + = 38 Câu 10: A Xét z  suy  2a    = z + =  2 + a  − b  2 − 1 i w z  a +b   a +b  Suy Vì = z + Gọi z = a + bi, b  w z  w b =   nên b  suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z − 1 =   2  a +b  a + b = mặt phẳng Oxy đường tròn ( C ) : x + y = Xét điểm A ( −1;1) điểm biểu diễn số phức z0 = −1 + i suy P = MA  max P = OA + r = 2 Với r bán kính đường tròn ( C ) : x + y = Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa giải tích 12 bản, nâng cao Sách Bài tập giải tích lớp 12 Cơ bản, nâng cao Tài liệu chuẩn kiến thức, kỹ mơn Tốn Bộ giáo dục đào tạo Tài liệu tham khảo,Intenet 39 ... liên quan đến số phức, phép tốn tập hợp số phức em có góc nhìn số phức tạo hứng thú say mê học tập Qua dạng bài, em thấy mối liên hệ toán số phức hình học giải tích mặt phẳng đã học lớp 10 Rèn... b ' i  phức z đường tròn Ngược lại cho tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn có phương trình cho trước ta có tìm số phức z hay không Tôi cho học sinh làm Bài toán Số phức z =... CỦA SỐ PHỨC Bài toán mở đầu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô đun số phức z ? Lời giải: Giả sử điểm M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức