Nhằm giúp đỡ học sinh có thêm kỹ năng tốt trong việc chứng minh bất đẳng thức nên tôi chọn nghiên cứu đề tài : Rèn luyện kĩ năng chứng minh Bất đẳng thức bằng cách vận dụng hai tính chất của hàm số cho học sinh khá, giỏi lớp cuối cấp THPT. Mục đích của bài tiểu luận này là cung cấp thêm cho học sinh cách chứng minh bất đẳng thức bằng vận dụng hai tính chất của hàm số.
PHẦN MỞ ĐẦU: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG Lí chọn đề tài Bất đẳng thức mảng kiến thức khó, thường hay gặp đề thi Đại học Cao đẳng Nhiều học sinh tham dự kì thi bỏ qua tốn chứng minh bất đẳng thức Có nhiều bất đẳng thức, nhiều kĩ thuật để chứng minh bất đẳng thức nên việc biết dạy cho em hết điều không thể, điều quan trọng hiểu thật rõ bất đẳng thức bản, yếu tố đầu tiền để học tốt bất đẳng thức Tuy nhiên số bất đẳng thức chứng minh ta gặp khó khăn sử dụng cách Mà hàm số khái niệm học xuyên suốt chương trình phổ thơng, tính chất có tác dụng lớn vào việc vận dụng để chứng minh bất đẳng thức Nhiều toán chứng minh bất đẳng thức phức tạp giải đơn giản sử dụng tính chất hàm số Nhằm giúp đỡ học sinh có thêm kỹ tốt việc chứng minh bất đẳng thức nên chọn nghiên cứu đề tài : “ Rèn luyện kĩ chứng minh Bất đẳng thức cách vận dụng hai tính chất hàm số cho học sinh khá, giỏi lớp cuối cấp THPT.” Mục đích nghiên cứu: Mục đích tiểu luận cung cấp thêm cho học sinh cách chứng minh bất đẳng thức vận dụng hai tính chất hàm số Khách thể đối tượng nghiên cứu: Khách thể nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT Đối tượng nghiên cứu: kĩ chứng minh bất đẳng thức dựa vào hai tính chất hàm số Phạm vi nghiên cứu: Các toán chứng minh bất đẳng thức Giả thuyết khoa học: Nếu đưa nội dung rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức dựa vào hai tính chất hàm số nâng cao kĩ chứng minh Bất đẳng thức cho em, lúc em có thêm sở, hướng làm nhận đề - Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lí luận thực tiễn vấn đề cần nghiên cứu Đưa nội dung, phương pháp rèn luyện kĩ chứng minh Bất đẳng thức dựa vào hai tính chất hàm số Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm hiểu nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài tiểu luận - Phương pháp quan sát - Điều tra : thực trạng kĩ chứng minh bất đẳng thức học sinh cuối cấp THPT Dàn ý chi tiết đề tài - Phần mở đầu - Phần nội dung nghiên cứu Chương I: Cơ sở lý luận Kĩ Vấn đề rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh Chương II: Những định hướng sư phạm nhằm rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức cách vận dụng hai tính chất hàm số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT Hai tính chất vận dụng hàm số số tính chất liên quan Vận dụng hai tính chất vào chứng minh toán bất đẳng thức Phần kết luận PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN - Kĩ Theo từ điển Tiếng Việt “ Kĩ khả vận dụng kiến thức thu nhận lĩnh vực vào thực tế.” Theo giáo trình tâm lí học đại cương : “ Kĩ năng lực sử dụng kiện, tri thức hay khái niệm có, lực vận dụng chúng để phát thuộc tính chất vật giải thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” Theo nghiên cứu tâm lí học lứa tuổi, tâm lí học sư phạm: “ Kĩ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức phương pháp ) để giải nhiệm vụ Trong Toán học: “Kĩ khả giải toán, thực chứng minh nhận Kỹ toán học quan trọng nhiều so với kiến thức túy, so với thông tin trơn.” Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lý, quy tắc, không trở thành sở kỹ Muốn hình thành kĩ năng, đặc biệt kĩ giải toán cho học sinh, giáo viên cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, kĩ sẵn sàng vận dụng vào thực tiến Vấn đề rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh Trong mục đích riêng mơn Tốn trường phổ thơng việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ sở mực đích khác muốn thức phải dựa mục đích Và kiến thức mặt khơng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn ngành khoa học khác, không trọng vào việc rèn luyện kĩ thực hoạt động tương ứng Việc rèn luyện kĩ hoạt động nói chung, kĩ tốn học nói riêng u cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ học với hành, điều nhiều tác giả đề cập như: “Suy nghĩ tức hành động” (J Piaget) “Cách tốt để tìm hiểu làm” (Kant) “Học để hành, học hành phải đơi” (Hồ Chí Minh) Dạy học không đạt kết học sinh biết đọc thuộc khái niệm, định nghĩa, định lý mà vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải tập Dạy toán dạy kiến thức, kĩ tư tính cách cho học sinh (Nguyễn Cảnh Tồn) Việc hình thành rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh yêu cầu cần thiết hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức tốn trường phổ thơng, đồng thời rèn luyện cho học sinh thao tác tư duy, hoạt động trí tuệ Từ bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ, phát tiển lực giải tốn cho học sinh Và hình thành kĩ thực chất hình thành cho học sinh nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thông tin chứa đựng tập, nhiệm vụ đối chiếu chúng với hành động cụ thể Việc hình thành rèn luyện cho học sinh cần tiến hành bình diện khác - Kĩ vận dụng tri thức nội toán, thể rõ dạng giải tập toán - Kĩ vận dụng tri thức tốn học vào lĩnh vực khác Có thể nói, tập tốn mảnh đất để rèn luyện kỹ tốn Do đó, để rèn luyện kỹ toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải tốn (đây hoạt động chủ yếu dạy tốn) Cụ thể thơng qua hoạt động giải toán, rèn luyện kĩ toán cho học sinh càn quan tâm trọng vấn đề sau: + Giúp cho học sinh biết cách tìm tịi để nhận xét yếu tố cho, yếu tố phải tìm mối quan hệ chúng + Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải tập, đối tượng loại + Xác lập mối liên hệ tập mơ hình khái quát kiến thức tương xứng CHƯƠNG II: NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH VẬN DỤNG HAI TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP THPT Hai tính chất vận dụng hàm số số tính chất liên quan a Hai tính chất hiển nhiên hàm số y Tính chất Cho đồ thị hàm số y = f(x) C lồi khoảng (a; b) Cát tuyến AB có B phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm C có hồnh độ x0 A f(x) a O x0 b x thuộc khoảng (a; b) có phương trình y = ax + b Ta ln có bất đẳng thức Ax B f (x) �ax b với x � a;b ( Xem hình 1) Hình y f(x) Tính chất Cho đồ thị hàm số y = f(x) B lõm khoảng (a; b) Cát tuyến AB có A O a C x0 b x phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm C có hồnh độ x0 thuộc khoảng (a; b) có phương trình y = ax + b Ta ln có bất đẳng thức ax b �f (x) Ax B với x � a;b ( Xem hình 2) Hình b Một số kiến thức liên quan Nếu f '' (x) , x �(a;b) đồ thị hàm số y = f(x) lõm khoảng (a; b) Nếu f '' (x) , x �(a; b) đồ thị hàm số y = f(x) lồi khoảng (a; b) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm C(x0; f(x0)) y f ' (x ) x x f (x ) Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB) (yB – yA)(x – xA) + (xA – xB)(y – yA) = Vận dụng hai tính chất để chứng minh bất đẳng thức Vận dụng cho hàm số lượng giác a Hàm số y = sinx Xét hàm số f(x) = sinx khoảng 0; ; ta có f " (x) sinx với x � 0; suy đồ thị hàm số lồi khoảng 0; Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x � 0; có phương trình y f ' x x x f x cos x x x sinx Theo tính chất ta có bất đẳng thức: sinx �cos x x x sinx (1) Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = sinx lồi khoảng 0; x1 � 0; Cát tuyến OA qua hai điểm O(0; 0) A x1 ;sinx1 có phương trình y Theo tính chất ta có: sinx sinx1 x x1 sinx1 x (2) x1 Bây ta vận dụng BĐT(1) BĐT(2) để chứng minh số Bất đẳng thức 3 với tam giác ABC Bài a) Chứng minh: sin A sin B sin C � Giải: Áp dụng BĐT(1) cho góc A; B; C tam giác ABC x � � sin A �cos � A � sin 3� 3� ta có 1� � ; �A � 2� � 1� � sin B � � B � ; 2� � 1� � sin C � � C � 2� � Cộng BĐT chiều thu ta có: 3 3 sin A sin B sin C � A B C (vì A B C ) Đẳng thức 2 xảy A B C b) Chứng minh: sin A sin B sin C với tam giác ABC nhọn Giải: Áp dụng BĐT(2) cho góc A; B; C tam giác nhọn ABC x1 ta có: A A sin B B sin C C sinA> ; ; Từ ta thu BĐT sau sin sin A sin B sin C A B C (vì A B C ) Bài a) Chứng minh: sin A B C sin sin � với tam giác ABC 2 2 Giải: Áp dụng BĐT(1) cho góc ABC) x A B C ; ; (với A; B; C số đo góc tam giác 2 ta có: sin A �A � �A � �cos � � sin � � ; �2 � �2 � sin B �B � � � � ; 2 �2 � sin C �C � � � � 2 �2 � Từ ta thu BĐT sau: sin A B C �A B C � 3 sin sin � � � (vì 2 2 �2 2 � 2 A B C ) Đẳng thức xãy A B C b) Chứng minh: sin Giải: A B C sin sin với tam giác nhọn ABC 2 Áp dụng BĐT(2) cho góc nhọn ABC) x1 A B C ; ; (với A; B; C số đo góc tam giác 2 ta có: A 4A2 2A sin > ; 2 sin sin B 2B ; sin C 2C Từ ta thu BĐT sau: sin A B C 2 �A B C � sin sin � � (vì 2 �2 2 � A B C ) Bài a) Chứng minh: sin A sin B sin C �3 với tam giác ABC 4 Giải: Áp dụng BĐT(1) cho góc x sin A B C ; ; (với A; B; C góc tam giác ABC) 4 ta có 12 A �A � �A � �cos � � sin � � 12 �4 12 � 12 2 �4 12 � (chú ý: sin ;cos ); 12 12 sin B �B � ; � � � 2 �4 12 � sin C �C � � � � 2 �4 12 � Cộng BĐT thu ta có BĐT sau: sin A B C �A B C � 3 sin sin � � � 4 2 �4 4 � Đẳng thức xãy A B C b) Chứng minh: sin A B C sin sin với tam giác nhọn ABC 4 Giải: Áp dụng BĐT(2) cho góc giác nhọn ABC) x1 A B C ; ; (với A; B; C góc tam 4 ta có: A A 2 A sin > (chú ý: sin 4 8 sin sin B 2 B ; > sin C 2 C > 2 ); Bài 20 Chứng minh: cot A cot B cot C � với tam giác ABC nhọn Bài 21 a) Chứng minh: cot b) Chứng minh: cot Bài 22 a) Chứng minh: cot b) Chứng minh: cot A B C cot cot �3 với tam giác ABC 2 A B C cot cot với tam giác nhọn ABC 2 A B C cot cot �3 với tam giác ABC 4 A B C cot cot 4 với tam giác nhọn ABC Vận dụng cho hàm số đa thức a Hàm số bậc hai Xét hàm số f(x) = x2 đoạn [1; 2]; dễ thấy đồ thị hàm số lõm đoạn [1; 2] Cát tuyến AB qua hai điểm thuộc đồ thị A(1; 1) B(2; 4) có phương trình y = 3x – Theo tính chất ta có BĐT: x 3x (9) Bài 31 Cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c Chứng minh rằng: a b c 6 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(9) cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn a b c ta có a 3a 2 2 b 3b a b c 3(a b c) 6 Đẳng thức xãy c 3c a 1;b 1;c hoán vị ba số a;b;c Bài 32 Cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c Chứng minh rằng: a b c 9 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(9) cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn a b c ta có a 3a 2 2 b 3b a b c 3(a b c ) 9 Đẳng thức xãy c 3c a 1;b 2;c hoán vị ba số a;b;c 1 25 Bài 33 Cho số thực a;b;c � 1;2 Chứng minh: (a b c 1) a b c Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(9) cho số thực a;b;c � 1;2 ta có a a 3 a 3a 2 1 1 b 3b b 3 a b c 2 9 (a) b a b c c 3c c c 3 a b c a b c BĐT(a) 10 (a b c 1) 2 2 (a b c 1).2 1 25 ( a b c 1) Đẳng thức xãy a b c a 1; b 1; c 2 hoán vị ba số a; b; c 1 1 Bài 34 Cho số thực a;b;c � 1;2 Chứng minh: (a b c 1) 8 a b c Giải: 1 1 1 1 Ta có BĐT(a) (a b c 1) 2 2 (a b c 1).2 a b c a b c 1 1 ( a b c 1) 8 Đẳng thức xãy a 1; b 2; c 2 a b c hoán vị ba số a; b; c b Hàm số bậc ba Xét hàm số f (x) x đoạn 1;2 ; ta có f " (x) 6x với x � 1; 2 suy đồ thị hàm số lõm đoạn 1;2 Cát tuyến AB qua hai điểm thuộc đồ thị A(1; 1) B(2; 8) có phương trình y = 7x – Theo tính chất ta có BĐT: x �7x (10) Bài 35 Cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c Chứng minh rằng: a b c3 �10 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(10) cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn a b c ta có � a �7a �3 b �7b � a b c �7 a b c 18 10 Đẳng thức xãy � � c3 �7c � a 1;b 1;c hoán vị ba số a;b;c Bài 36 Cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c Chứng minh rằng: a b3 c3 �17 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(10) cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn a b c ta có � a �7a �3 b �7b � a b c �7 a b c 18 17 Đẳng thức xãy � � c3 �7c � a 1;b 2;c hoán vị ba số a;b;c Bài 37 Cho số thực a;b;c � 1;2 Chứng minh bất đẳng thức: �1 1 � 75 (a b c 9) � �� Đẳng thức xãy ? �a b c � 1 1 1 1 BĐT (b) 24 (a b c 3) 6 2 (a b c 3).6 a b c a b c 1 1 (a b c 3) 24 Đẳng thức xãy a 1;b 2;c a b c hoán vị ba số a; b;c Vậy ta thu toán: Bài 38 Cho số thực a;b;c � 1;2 Chứng minh bất đẳng thức: �1 1 � (a b c 3) � ��24 Đẳng thức xãy ? �a b c � Giải: Áp dụng BĐT(10) cho số thực a;b;c � 1;2 ta có �2 a �7 � a � a �7a � �3 �2 �1 1 � b �7 � a b c � ��21 (b) �b �7b � � �a b c � � � b c � 7c � �2 c �7 � � c 1 1 1 1 BĐT(b) 30 (a b c 9) 6 2 (a b c 9).6 a b c a b c 1 75 (a b c 9) Đẳng thức xãy a 1;b 1;c a b c hoán vị ba số a; b;c c Hàm số bậc bốn Xét hàm số f (x) x 5x đoạn 1; 2 ; ta có f " (x) 12x 10 với x � 1; 2 suy đồ thị hàm số lõm đoạn 1; 2 Cát tuyến AB qua hai điểm thuộc đồ thị A(1; 0) B(2; 0) có phương trình y = Theo tính chất ta có BĐT: x 5x �0 (11) Bài 39 Cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 4 Chứng minh rằng: a b4 c4 �18 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(11) cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn a b c 4 ta có: a 5a 4 4 2 b 5b a b c 5(a b c ) 12 (c) Mặt khác theo Bài 31 ta có c 5c a b c 6 Kết hợp với (c) ta thu được: a b c 18 Đẳng thức xãy a 1; b 1;c hoán vị ba số a;b;c Bài 40 Cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 5 Chứng minh rằng: a b c �33 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(11) cho số thực a;b;c � 1;2 thoả mãn a b c 5 ta có: a 5a 4 4 2 b 5b a b c 5(a b c ) 12 (d) Mặt khác theo Bài 32 ta có c 5c a b c 9 Kết hợp với (d) ta thu được: a b c 33 Đẳng thức xãy a 1;b 2;c hoán vị ba số Bài 41 Cho số thực a;b;c;d � 1; 2 Chứng minh bất đẳng thức sau: a 1 169 b2 c d Đẳng thức xãy ? b c d a Giải: Áp dụng BĐT(11) cho số thực a; b;c;d � 1;2 ta có � a �5a �4 b �5b2 � �4 c �5c2 � � d �5d � �2 a �5 � a � � b �5 � b �1 1 � �� � a b c d � ��20 (e) b c d � �a � c �5 � c � � d �5 � d Ta thấy BĐT(e) tương đương với BĐT 1 1 26 a b c d 6 4 2 a b c d 6.4 a b c d a b c d 1 169 a2 b2 c2 d Đẳng thức xãy b c d a a 1; b 1; c 1; d 2 hoán vị ba số a;b;c;d Vận dụng cho hàm số lũy thừa 15 a Xét hàm số f (x) x đoạn [1; 4]; ta có f " (x) x với x � 1; 4 suy đồ thị hàm số lõm đoạn [1; 4] Cát tuyến AB qua hai điểm 31 � � thuộc đồ thị A(1; 1) B �4; �có phương trình y x 24 24 � 8� Theo tính chất ta có BĐT: x � 31 x (12) 24 24 Bài 43 Cho số thực a;b;c � 1;4 thoả mãn đẳng thức a b c Chứng 17 minh rằng: a b c � Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(12) cho số thực a;b;c � 1;4 thoả mãn điều kiện a b c ta có � 32 31 a � a � 24 24 � 3 3 31 31 17 � 2 b � b � a b c � (a b c) Đẳng thức xãy � 24 24 24 8 � � 31 c � c � 24 24 � a 1;b 1;c hoán vị ba số a; b; c Bài 44 Cho số thực a;b;c � 1;4 thoả mãn đẳng thức a b c Chứng minh rằng: a b c � Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(12) cho số thực a;b;c � 1;4 thoả mãn điều kiện a b c ta có � 32 31 a � a � 24 24 � 3 3 31 31 � 2 b � b � a b c � (a b c) Đẳng thức xãy � 24 24 24 � � 31 c � c � 24 24 � a 1;b 4;c hoán vị ba số a; b; c b Xét hàm số f (x) x 43 đoạn [1; 8]; ta có f (x) x với " x � 1;8 suy đồ thị hàm số lồi đoạn [1; 8] Cát tuyến AB qua hai điểm 7 thuộc đồ thị A(1; 1) B 8;4 có phương trình y x Theo tính chất ta có BĐT: x � x (13) Bài 45 Cho số thực a;b;c � 1;8 thoả mãn đẳng thức a b c 10 Chứng 2 minh rằng: a b c �6 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(13) cho số thực a;b;c � 1;8 thoả mãn điều kiện a b c 10 ta có � 23 a � a � �2 2 12 �3 3 3 b � b � a b c � (a b c) Đẳng thức xãy � 7 7 � �3 c � c � � a 1;b 1;c hoán vị ba số a; b; c Bài 46 Cho số thực a;b;c � 1;8 thoả mãn đẳng thức a b c 17 Chứng 2 minh rằng: a b c �9 Đẳng thức xãy ? Giải: Áp dụng BĐT(13) cho số thực a;b;c � 1;8 thoả mãn điều kiện a b c 17 ta có � 23 a � a � �2 2 12 �3 3 b � b � a b c � (a b c) Đẳng thức xãy � 7 7 � �3 c � c � � a 1;b 8;c hoán vị ba số a; b; c Vận dụng hai tính chất để giải số tốn khó Bài (USA MO 2003) Chứng minh bất đẳng thức 2a b c 2b c a 2c a b 2 2 2a b c 2b c a 2c a b 8 Trong a; b; c số thực dương Giải Không tính tổng qt tốn ta chuẩn hố a b c 3 Khi BĐT 3 a 3 b 3 c thành 2 2 2a a 2b b 2c c a b c 1 Ta xét hàm số f ( x) 8 Ta thấy đẳng thức xãy 3 x 0;3 Phương trình đoạn 2x2 3 x 8 3 4 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A 1; y x Từ ta đưa dự đốn 3 x2 4 x (*) với 3 2x2 3 x x 0;3 Ta chứng minh dự đốn đúng; ta có 3 x 2 x 3 x 4 x x x x 4 x x x 1 x 3 0 3 Bất đẳng thức cuối với x 0;3 ; đẳng thức xãy x 1 Áp dụng BĐT(*) cho số thực không âm a; b; c ta có: 3 a 2 2a a 4 3 b b 3 c c a ; ; 2 3 2b b 3 2c c 3 2 Cộng BĐT chiều ta BĐT sau 3 a b c 2 2 2a a 2b b 2c c (a b c) 8 Đẳng thức xãy a b c 1 Vậy toán giải xong Bài (JAPAN MO 2002) Chứng minh với số thực dương a; b; c ta b c a c a b a b c có bất đẳng thức: b c a c a b2 a b c Giải Không tính tổng qt tốn ta chuẩn hố a b c 3 Khi BĐT thành 3 2a 2b 2c 4a 12a 4b 12b 4c 12c a a b b c c 2a 6a 2b 6b 2c 6c 2 2 9 2 2 2 2a a 2b 6b 2c 6c 1 Ta 2a 6a 2b 6b 2c 6c thấy đẳng thức bất đẳng thức cuối xãy a b c 1 Ta xét hàm số f ( x) đoạn 2x 6x 0;3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A 1; ta đưa dự đoán y x Từ 25 25 x (**) với x 0;3 Ta chứng minh dự x x 25 25 đoán nêu đúng; ta có: x x x x 3 25 x 3x 0 25 x x 25 x 1 x 1 0 Bất đẳng thức cuối với x 0;3 ; đẳng thức xãy x 1 Áp dụng BĐT(**) cho số thực không âm a; b; c ta có: 3 a b ; c ; Cộng 2a 6a 25 25 2b 6b 25 25 2c 6c 25 25 BĐT chiều ta 1 (a b c) 2a 6a 2b 6b 2c 6c 25 25 Đẳng thức xãy a b c 1 Vậy toán giải xong Bài Cho số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 4(a + b +c) – = Tìm giá trị lớn biểu thức sau b c a S a a 1 b b2 1 c c2 1 (Bài T7/374 – THTT năm 2008) Giải Ta có ln S b ln a a c ln b b a ln c c Xét hàm số ' f ( x) ln x x khoảng 0; ; ta có f ( x) 3 f ' Vậy tiếp 4 x 1 3 tuyến đồ thị hàm số điểm A ; ln có phương trình y x ln Mặt 4 " khác f ( x) x x 1 x2 1 5 với x 0; suy đồ thị hàm số lồi ttrên khoảng 0; Theo tính chất ta có BĐT ln x x x ln , x 0; Áp dụng BĐT cho số dương a ta 5 ln a a a ln 3 b ln a a ab ln b Tương tự ta có 5 5 3 3 c ln b b bc ln c ; a ln c c ca ln a Cộng theo vế ba 5 5 BĐT ta thu ab bc ca ln (a b c) a b c ln (a b c) ln 5 5 ln S Đẳng thức xãy a b c Vậy giá trị lớn S 44 Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: A B C cos cos 3 A B C cos góc A; B; C đo radian (Bài T8/274 – THTT) Giải Xét hàm số f ( x) tan x sin x nửa khoảng 0; ; ta có f ' ( x) cos x 2 cos x sin x sin x(2 cos3 x) 0, x 0; f (0) 2 Mặt khác ta thấy f ( x) sin x cos x cos x 2 ' " suy đồ thị hàm số lõm khoảng 0; Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm 2 O(0; 0) có PT y = 2x Theo tính chất ta có BĐT: tan x sin x 2 x Đẳng thức xãy x = Áp dụng BĐT cho góc A 0; ta có: 2 A A A A A A A A cos tan sin A tan cot sin cot A cot cot A ; 2 2 2 A tương tự ta có B C cos cot B cot C Cộng vế theo vế ba BĐT B C cos chiều ta A B C cos cos cot A cot B cot C Theo Bài 21 ta A B C 2 cos A B C A B C cos cos cos có cot cot cot 3 Từ suy 3 Vậy 2 A B C toán giải xong PHẦN III: KẾT LUẬN Bài tiểu luận trình bày sở lý luận kĩ rèn luyện kĩ dạy học toán, số kĩ giúp học sinh THPT rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức dựa vào hai tính chất hàm số, thơng qua lý luận tập cụ thể Hi vong tiểu luận coi tài liệu tham khảo cho bạn nhằm rèn luyện kĩ giải toán PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng, Đại số Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục [3] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB ĐHSP [5] Trần Phương, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn hệ thức lượng giác, NXB Hà Nội [6] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức [7] Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ ... rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức cách vận dụng hai tính chất hàm số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT Hai tính chất vận dụng hàm số số tính chất liên quan Vận dụng hai tính chất vào chứng. .. kiến thức tương xứng CHƯƠNG II: NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH VẬN DỤNG HAI TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP THPT Hai tính. .. LUẬN Bài tiểu luận trình bày sở lý luận kĩ rèn luyện kĩ dạy học toán, số kĩ giúp học sinh THPT rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức dựa vào hai tính chất hàm số, thơng qua lý luận tập cụ thể Hi