Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao trong môi trường đàn hồi dị hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ KIỀU SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ KIỀU SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội – Năm 2014 Lời cảm ơn Lời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy PGS TS Phạm Chí Vĩnh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em bước để em hồn thành luận văn Em xin cảm ơn thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên dạy dỗ em suốt năm học vừa qua, cảm ơn thầy Trần Thanh Tuấn anh chị em nhóm xêmina thầy Vĩnh chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức giúp đỡ em nhiều Em xin cảm ơn thầy cô Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng, Đại học Kiến trúc Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em để em có thời gian làm luận văn Qua em cảm ơn gia đình ln động viên tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2014 Nguyễn Thị Kiều Mục lục Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao 1.1 Bài toán học 1.2 Bài toán toán học 1.3 Phương pháp giải 1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 11 1.5 Cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ 12 1.6 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược 16 1.7 Các ví dụ số 18 1.7.1 Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa 18 1.7.2 Trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 21 Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao 23 2.1 Bài toán học 23 2.2 Bài toán toán học 24 2.3 Phương pháp giải 26 2.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 27 2.5 Cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ 29 2.6 Sự phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi P biên phân chia có dạng hình lược 38 2.7 Các ví dụ số 42 2.7.1 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa 42 2.7.2 Xét trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Các tốn biên miền có biên hay biên phân chia nhám (không phẳng) xuất nhiều thực tế như: phản xạ, khúc xạ sóng biên hay biên phân chia nhám [10], [16], toán học liên quan đến gia cường dày đặc [7], dòng chảy tường nhám [3], dao động vật thể đàn hồi có tính chất học thay đổi nhanh (có tính khơng cao) · · · Khi biên phân chia có độ nhám thấp ( biên độ nhỏ so với chu kỳ nó), để giải toán này, tác giả thường sử dụng phương pháp nhiễu Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ lớn so với chu kỳ nó), tác giả thường sử dụng phương pháp hóa để giải Năm 1997, tác giả Nevard Keller nghiên cứu hóa biên phân chia có độ nhám cao hệ (ba) phương trình lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng [8] Sử dụng phương pháp hóa, tác giả rút phương trình hóa lý thuyết đàn hồi dị hướng Tuy nhiên, hệ phương trình dạng ẩn, hệ số chúng xác định qua hàm mà chúng nghiệm toán biên nhân tuần hồn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng Bài tốn biên nhân tuần hồn tìm nghiệm dạng số Vì hệ phương trình hóa thu dạng ẩn nên không thuận tiện sử dụng Năm 2009, tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung [15] tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều, tức hệ số chúng hàm tham số vật liệu đặc trưng hình học biên phân chia Ngoài kết báo [15], tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh hai đường tròn đồng tâm [14], phương trình hóa dạng lý thuyết đàn điện, lý thuyết đàn nhiệt [1] Các phương trình hóa dạng tiện lợi để sử dụng tính ứng dụng cao Nó sử dụng để giải nhiều toán thực tế khác Một ứng dụng quan trọng phương trình hóa dạng để nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao Do vậy, mục đích luận văn là: Sử dụng phương trình hóa dạng để nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao Cho đến nay, toán phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao chưa có tác giả nghiên cứu trước năm 2009 phương trình hóa dạng chưa tìm Luận văn sử dụng phương trình hóa báo [15] để nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao Kết đạt luận văn là: tìm hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH sóng P biên phân chia độ nhám cao dao động hai đường thẳng song song Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao Trong chương này, tốn phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu Giả thiết hai bán không gian trực hướng Kết là: tìm cơng thức hiển (xấp xỉ) hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao, hình dạng Khi biên phân chia có dạng hình lược, kết thu xác Sử dụng biểu thức ta khảo sát số ví dụ số Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao xét chương Giả thiết hai bán không gian đẳng hướng Sử dụng phương trình hóa dạng [15] phương pháp ma trận chuyển [11], kết đạt là: tìm cơng thức (xấp xỉ) hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng Kết thu xác biên phân chia có dạng hình lược Sử dụng biểu thức ta khảo sát số ví dụ số Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao 1.1 Bài toán học ˆ (+) Ω ˆ (−) , Xét không gian vô hạn Ox1 x2 x3 gồm hai bán không gian đàn hồi Ω phân chia mặt S có phương trình x3 = f (x1 /ϵ), đó, f (y), (y = x1 /ϵ) hàm tuần hoàn theo biến y với chu kỳ Giả thiết mặt S nằm hai mặt phẳng x3 = x3 = h Ký hiệu Ω(+) , Ω(−) L hình chiếu vng ˆ (+) , Ω ˆ (−) S lên mặt phẳng Ox1 x3 Khi đó, bán khơng gian Ω(+) góc Ω bán khơng gian Ω(−) phân chia đường cong L có phương trình x3 = f (y), nằm hai đường thẳng song song x3 = x3 = h Giả thiết ϵ nhỏ nhiều so với h, L gọi biên phân chia có độ nhám cao Ω(+) , Ω(−) (xem Hình 1.1) Giả thiết thêm miền < x1 < ϵ đường thẳng x3 = x0 = const(0 < x0 < h) cắt đường cong L hai điểm Giả sử môi trường trực hướng, nén được, số vật liệu Cij mật độ khối lượng ρ xác định sau: { Cij , ρ = (+) (+) (x1 , x3 ) ∈ Ω(+) (−) (−) (x1 , x3 ) ∈ Ω(−) Cij , ρij Cij , ρij (1.1) đó, Cij(+) , Cij(−) , ρ(+) , ρ(−) số Trong bán khơng gian trên, cho sóng SH truyền tới biên phân chia độ SH I x1 + x1 L n _ h x3 Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao x3 = f (x1 /ϵ) = f (y) có chu kỳ ϵ x1 , chu kỳ y nhám cao L ( xem hình 1.1) Các thành phần chuyển dịch sóng SH là: u1 ≡ u3 ≡ 0, u2 = u2 (x1 , x3 , t) (1.2) Bài toán đặt là: Xét phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi SH truyền bán không gian tới biên phân chia độ nhám cao L môi trường trực hướng 1.2 Bài tốn tốn học Do sóng SH có thành phần chuyển dịch theo phương x2 khác khơng thành phần chuyển dịch theo phương x1 x3 khơng nên ta có u1,1 = u1,2 = u1,3 = u3,1 = u3,2 = u3,3 = u2,2 = (1.3) Các phương trình bản: • Định luật Hooke (xem [12]) σij = Cijkl ϵkl (1.4) đó, σij ứng suất, ϵij biến dạng, Cijkl số đàn hồi • Liên hệ biến dạng chuyển dịch ϵkl = (ul,k + uk,l ) (1.5) đó, dấu " ," đạo hàm theo biến xk Từ (1.3) (1.5), ta suy ϵ11 = ϵ22 = ϵ33 = ϵ13 = (1.6) Do môi trường trực hướng nên số vật liệu có tính chất sau (xem [12]): C14 = C15 = C16 = C24 = C25 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = C46 = C56 = (1.7) Thay (1.6) (1.7) vào (1.4), thành phần ứng suất là: σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = 0; σ12 = C66 u2,1 ; σ23 = C44 u2,3 (1.8) • Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng: (1.9) ij,j = ă ui ú, du " " ch đạo hàm theo biến thời gian Từ (1.3), (1.8) (1.9), phương trình chuyển động theo chuyển dịch là: (C66 u2,1 ),1 + (C44 u2,3 ),3 = ă u2 , x3 ̸= f (y) (1.10) • Điều kiện biên Ký hiệu n véc tơ pháp tuyến đường cong L M (xem hình 1.1) Gọi Σn véc tơ ứng suất tiết diện có véc tơ pháp tuyến n qua M Hình chiếu Σn n ba trục Ox1 , Ox2 Ox3 (Σ1 , Σ2 , Σ3 ) (n1 , 0, n3 ) Ta có: Σ1 = σ11 n1 + σ13 n3 = Σ2 = σ21 n1 + σ23 n3 = C66 u2,1 n1 + C44 u2,3 n3 Σ3 = σ31 n1 + σ33 n3 = (1.11) đó: (−) c1 = iµ(−) (ξ cos α1 + ξ1 (−) sin α1 )eiξ1 h (−) , c2 = −iµ(−) (ξ sin α2 − ξ2 cos α1 )eiξ1 (−) sin α2 )eiξ2 c4 = i(λ(−) ξ cos α2 − (λ(−) + 2µ(−) )ξ2 (−) c5 = sin α1 eiξ1 h (−) , c6 = cos α2 eiξ2 h (−) (−) c3 = i(λ(−) ξ sin α1 + (λ(−) + 2µ(−) )ξ1 (−) h (−) cos α2 )eiξ2 h , h (−) , c7 = cos α1 eiξ1 h (−) , c8 = − sin α2 eiξ2 h (2.80) Thay (2.77) , (2.79) vào (2.75) , ta hệ bốn phương trình bốn ẩn số R1 , R2 , T1 , T2 sau:  c1 c3 c5 c7     b3 T1 c2 −b1 −b2 c4 −b4 −b5   T2   b6  = c6 −b7 −b8  R1   b9  b12 R2 c8 −b10 −b11 (2.81) b1 = T11 a1 + T12 a4 + T13 a7 + T14 a10 , b2 = T11 a2 + T12 a5 + T13 a8 + T14 a11 b3 = T11 a3 + T12 a6 + T13 a9 + T14 a12 , b4 = T21 a1 + T22 a4 + T23 a7 + T24 a10 b5 = T21 a2 + T22 a5 + T23 a8 + T24 a11 , b6 = T21 a3 + T22 a6 + T23 a9 + T24 a12 (2.82) b7 = T31 a1 + T32 a4 + T33 a7 + T34 a10 , b8 = T31 a2 + T32 a5 + T33 a8 + T34 a11 b9 = T31 a3 + T32 a6 + T33 a9 + T34 a12 , b10 = T41 a1 + T42 a4 + T43 a7 + T44 a10 b11 = T41 a2 + T42 a5 + T43 a8 + T44 a11 , b12 = T41 a3 + T42 a6 + T43 a9 + T44 a12 Từ (2.81), suy ra:    T1 c1  T2  c3 R1  = c5 R2 c7 −1  c2 −b1 −b2 c4 −b4 −b5  c6 −b7 −b8  c8 −b10 −b11  b3  b6   b9  b12 (2.83) Đây cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P truyền tới biên phân chia độ nhám cao 2.6 Sự phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi P biên phân chia có dạng hình lược Khi L có dạng hình lược (xem Hình 2.5 ), phương trình (2.18) có hệ số số Ta tìm nghiệm (2.18) dạng: V1 = B1 eiγx3 ei(ξx1 −ωt) V3 = B3 eiγx3 ei(ξx1 −ωt) 38 (2.84) PI + x1 h a b _ x3 Hình 2.5: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược Thay (2.84) vào (2.18) ta {⟨ ⟩−1 ⟨ ⟩−1 } 2   ξ + γ − ⟨ρ⟩ω B1   λ + 2µ µ  {⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩ ⟨ ⟩−1 }    + γξ + γξ B3 = λ + 2µ λ + 2µ µ ⟨ λ ⟩⟨ ⟩−1 } {⟨ ⟩−1   γξ + γξ B1   µ λ + 2µ λ + 2µ   {⟨ ⟩−1 [ ⟨ λ ⟩2 ⟨ ⟩−1 ⟨ λ2 ⟩] }   2 + ξ + ⟨λ + 2µ⟩ + − γ − ⟨ρ⟩ω B3 = µ λ + 2µ λ + 2µ λ + 2µ (2.85) Do B1 , B3 khác không nên hệ (2.85) có nghiệm khơng tầm thường Điều kiện để hệ có nghiệm không tầm thường định thức hệ phải khơng Ta có: {⟨ ⟩−1 ⟨ ⟩−1 }{⟨ ⟩−1 [ 2 2 ξ + γ − ⟨ρ⟩ω ξ + ⟨λ + 2µ⟩ λ + 2µ µ µ } ⟨ λ ⟩2 ⟨ ⟩−1 ⟨ λ2 ⟩] 2 − + γ − ⟨ρ⟩ω λ + 2µ λ + 2µ λ + 2µ {[⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩ ⟨ ⟩−1 ] [⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩⟨ ⟩−1 ] } − + γξ + + γξ = λ + 2µ λ + 2µ µ µ λ + 2µ λ + 2µ (2.86) Từ phương trình (2.86) ta có phương trình đặc trưng sau: aγ + bγ + c = 39 (2.87) đó: ⟨ ⟩−1 [ a= µ ⟨λ + 2µ⟩ + {⟨ ⟩−2 ⟨ ⟨ λ λ + 2µ ⟩2 ⟨ ⟩−1 [ λ + 2µ ⟩−1 − ⟨ λ ⟨λ + 2µ⟩ + µ λ + 2µ λ + 2µ ⟨ ⟩−1 ⟨ ⟩−1 ⟨ ⟩−1 c= ξ4 − ⟨ρ⟩ξ ω λ + 2µ µ λ + 2µ b= + ⟨ λ2 ⟩] λ + 2µ ⟩−1 ⟨ λ2 ⟩]} − ξ2 λ + 2µ λ + 2µ ⟩2 ⟨ (2.88) Nghiệm phương trình trùng phương (2.87) là: √ √ b2 − 4ac 2a √ √ −b − b2 − 4ac γ2 = −γ4 = 2a γ1 = −γ3 = −b + (2.89) Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình (2.18) là: V1 = (a1 eiγ1 x3 + b1 eiγ2 x3 + c1 e−iγ1 x3 + d1 e−iγ2 x3 )ei(ξx1 −ωt) iγ1 x3 V3 = (a3 e + b3 e iγ2 x3 + c3 e −iγ1 x3 + d3 e −iγ2 x3 )e i(ξx1 −ωt) (2.90) Với γ = γ1 , nghiệm (2.84) có dạng: V1 = B1 eiγ1 x3 ei(ξx1 −ωt) (2.91) V3 = B3 eiγ1 x3 ei(ξx1 −ωt) Thay (2.91) vào hệ phương trình (2.18), ta hệ sau: {⟨ ⟩−1 ⟨ ⟩−1 } 2   ξ + γ − ⟨ρ⟩ω B1   λ + 2µ µ  {⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩ ⟨ ⟩−1 }    + + γ1 ξB3 = 0, λ + 2µ λ + 2µ µ {⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩⟨ ⟩−1 }   + γ1 ξB1   µ λ + 2µ λ + 2µ   {⟨ ⟩−1 [ ⟨ λ ⟩2 ⟨ ⟩−1 ⟨ λ2 ⟩]    + µ ξ + ⟨λ + 2µ⟩ + λ + 2µ λ + 2µ − λ + 2µ } γ12 − ⟨ρ⟩ω B3 = (2.92) Từ phương trình thứ hệ (2.92) ta suy ⟨ ⟩−1 {⟨ ⟩−1 } ξ + − ⟨ρ⟩ω B1 λ + 2µ µ = Υ1 B1 B3 = − {⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩ ⟨ ⟩−1 } + γ1 ξ λ + 2µ λ + 2µ µ Với γ = γ2 , ta suy ra: {⟨ ⟩ γ12 ⟨ ⟩ } −1 1 −1 ξ2 + γ2 − ⟨ρ⟩ω B1 λ + 2µ µ B3 = − {⟨ = Υ2 B1 ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩−1 } −1 λ + γ2 ξ λ + 2µ λ + 2µ µ 40 (2.93) (2.94) Làm tương tự với γ = γ3 γ = γ4 , ta có: (2.95) B3 = Υ3 B1 B3 = Υ4 B1 Do γ3 = −γ1 γ4 = −γ2 nên {⟨ ⟩ ⟨ ⟩ } −1 1 −1 ξ2 + γ1 − ⟨ρ⟩ω B1 λ + 2µ µ Υ3 = −Υ1 = {⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩ ⟨ ⟩−1 } + γ1 ξ λ + 2µ λ + 2µ µ ⟨ ⟩−1 } {⟨ ⟩−1 2 ξ + γ3 − ⟨ρ⟩ω B1 λ + 2µ µ Υ4 = −Υ2 = {⟨ ⟩−1 ⟨ λ ⟩ ⟨ ⟩−1 } + γ3 ξ λ + 2µ λ + 2µ µ (2.96) Như nghiệm tổng quát hệ (2.18) là: V1 = (a1 eiγ1 x3 + b1 eiγ2 x3 + c1 e−iγ1 x3 + d1 e−iγ2 x3 )ei(ξx1 −ωt) V3 = (Υ1 a1 eiγ1 x3 + Υ2 b1 eiγ2 x3 − Υ1 c1 e−iγ1 x3 − Υ2 d1 e−iγ2 x3 )ei(ξx1 −ωt) (2.97) a1 , b1 , c1 , d1 số cần xác định Nghiệm lớp (2.97) phải thỏa mãn điều kiện liên tục (2.20), tức là:                          (+) V1 (0−) = V1 (0+), (+) V3 (0−) = V3 (0+), (+) (+) µ(+) (V3,1 (0−) + V1,3 (0−)) = ⟨ ⟩−1 µ (V3,1 (0+) + V1,3 (0+)), (+) (+) λ(+) V1,1 (0−) + (λ(+) + 2µ(+) )V3,3 (0−) ⟨ ⟩⟨ ⟩−1 [ ⟨ ⟩2 ⟨ ⟩−1 ⟨ ⟩] λ λ λ V (0+) + ⟨λ + 2µ⟩ + − λ+2µ V3,3 (0+), 1,1 λ+2µ λ+2µ λ+2µ λ+2µ (−) V1 (h + 0) = V1 (h − 0), (−) V3 (h + 0) = V3 (h − 0), ⟨ ⟩−1 (−) (−) µ(−) (V3,1 (h + 0) + V1,3 (h + 0)) = (V3,1 (h − 0) + V1,3 (h − 0)), µ ⟨ λ ⟩⟨ ⟩−1 (−) (−) λ(−) V1,1 (h + 0) + (λ(−) + 2µ(−) )V3,3 (h + 0) = V1,1 (h − 0) =                     [ ⟨     + ⟨λ + 2µ⟩ + λ λ + 2µ ⟩2 ⟨ λ + 2µ ⟩−1 − λ + 2µ ⟨ λ2 ⟩] λ + 2µ λ + 2µ V3,3 (h − 0) (2.98) Từ (2.97), nghiệm hai bán không gian (2.21)-(2.25) điều kiện liên tục 41 (2.98), ta có hệ phương trình sau:   sin θ + R1 sin θ − R2 cos θ2 = a1 + b1 + c1 + d1 ,     cos θ − R1 cos θ − R2 sin θ2 = Υ1 a1 + Υ2 b1 − Υ1 c1 − Υ2 d1 ,    (+)  µ(+) {iξ(cos θ − R1 cos θ − R2 sin θ2 ) + i(ξ (+) + sin θ − ξ (+) R1 sin θ + ξ2 R2 cos θ2 )}   ⟨ ⟩−1     = {iξ(Υ1 a1 + Υ2 b1 − Υ1 c1 − Υ2 d1 ) + i(a1 γ1 + b1 γ2 − c1 γ1 − d1 γ2 )},  µ     λ(+) iξ(sin θ + R1 sin θ − R2 cos θ2 ) + (λ(+) + 2µ(+) )i(ξ (+) cos θ + ξ (+) R1 cos θ   ⟨ ⟩⟨ ⟩−1   (+) λ   +ξ2 R2 sin θ2 ) = λ+2µ iξ(a1 + b1 + c1 + d1 )  λ+2µ   { ⟨ ⟩2 ⟨ ⟩−1 ⟨ ⟩}   λ λ  + ⟨λ + 2µ⟩ + λ+2µ − λ+2µ i(γ1 Υ1 a1 + γ2 Υ2 b1 + γ1 Υ1 c1 + γ2 Υ2 d1 ),  λ+2µ    (−) (−)  T sin α eiξ1 h + T cos α eiξ2 h = a eiγ1 h + b eiγ2 h + c e−iγ1 h + d e−iγ2 h ,                                      T1 cos α1 (−) eiξ1 h − T2 sin α2 µ(−) {iξ(T1 cos α1 e = ⟨ ⟩−1 { µ (−) iξ1 h (−) eiξ2 h = Υ1 a1 − T2 sin α2 e eiγ1 h (−) iξ2 h + Υ2 b1 iγ 2h e − Υ1 c1 (−) iξ1 h (−) ) + i(ξ1 T1 sin α1 e −iγ e 1h − Υ2 d1 e−iγ2 h , (−) (−) + ξ2 T2 cos α2 eiξ2 iξ(Υ1 a1 eiγ1 h + Υ2 b1 eiγ2 h − Υ1 c1 e−iγ1 h − Υ2 d1 e−iγ2 h ) } +i(a1 γ1 e−iγ1 A + b1 γ2 e−iγ2 A − c1 γ1 eiγ1 A − d1 γ2 eiγ2 A ) , (−) λ(−) iξ(T1 sin α1 eiξ1 (−) (−) −ξ2 T2 sin α2 eiξ2 { + ⟨λ + 2µ⟩ + ⟨ h h) λ λ+2µ (−) + T2 cos α2 eiξ2 ⟨ = ⟩2 ⟨ +γ1 Υ1 c1 e−iγ1 h + γ2 Υ2 d1 λ λ+2µ ⟩⟨ h ) + (λ(−) λ+2µ ⟩−1 ⟨ − λ+2µ e−iγ2 h ) ⟩−1 (−) (−) + 2µ(−) )i(ξ1 T1 cos α1 eiξ1 h iξ(a1 eiγ1 h + b1 eiγ2 h + c1 e−iγ1 h + d1 e−iγ2 h ) λ2 λ+2µ ⟩} i(γ1 Υ1 a1 eiγ1 h + γ2 Υ2 b1 eiγ2 h (2.99) Hệ (2.99) hệ phương trình ẩn số a1 , b1 , c1 , d1 , R1 , R2 , T1 , T2 2.7 Các ví dụ số 2.7.1 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa Khi đường cong L có dạng hình cưa (xem Hình 2.6), hệ số ma trận D hệ (2.32) số mà hàm x3 Khi hệ số phản xạ, khúc xạ tính (xấp xỉ) theo (2.83), [ ⟨ ⟩−1 x3 (+) x3 x3 (−) x3 ⟨ρ⟩ = ⟨ h + (1 − ρ ⟩ h )ρ , µ = h µ(−) + (1 − ) h µ(+) x3 x3 (−) (λ + 2µ(−) ) + (1 − )(λ(+) + 2µ(+) ), h h ]−1 ⟨ ⟩−1 [ x 1 x3 = + (1 − ) (+) , λ + 2µ h λ(−) + 2µ(−) h λ + 2µ(+) ]−1 , λ + 2µ = ⟨ λ λ + 2µ ⟩ [ ] x3 λ(+) λ(−) x3 = ) + (1 − h λ(−) + 2µ(−) h λ(+) + 2µ(+) 42 (2.100) h )} PI + x1 h _ x3 Hình 2.6: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa Sử dụng cơng thức (2.83) (2.100), ta nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng P trường hợp vật liệu đẳng hướng có tham số cụ thể [9]: ρ(+) = 2529(Kg/m3 ), ρ(−) = 2157(Kg/m3 ), λ(+) = 1, 733.1010 (P a), λ(−) = 1, 038.1010 (P a), µ(+) = 1, 031.1010 (P a), µ(−) = 0, 498.1010 (P a) Giả sử sóng P truyền tới biên phân chia với góc tới θ = pi/6 Ta có đồ thị hệ số phản xạ, khúc xạ theo thay đổi κ = hK (+) sau: 0.14 0.135 0.13 0.125 0.12 0.115 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.7: Hệ số phản xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa tần số f thay đổi Từ Hình 2.7 đến Hình 2.10 ta thấy tần số tăng hệ số phản xạ sóng P SV giảm, hệ số khúc xạ sóng P SV tăng 43 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.8: Hệ số phản xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa 1.166 1.164 1.162 1.16 1.158 1.156 1.154 1.152 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.9: Hệ số khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa 0.159 0.158 0.157 0.156 0.155 0.154 0.153 0.152 0.151 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 (+) κ = hK 0.7 0.8 0.9 Hình 2.10: Hệ số khúc xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa 44 1.4 1.2 modunPR modunSVR modunPT modunSVT kiemtra 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.11: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa khoảng κ = [0.01 1] Khảo sát thay đổi hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia có dạng hình cưa góc tới θ thay đổi 1.4 modunPR modunSVR modunPT modunSVT kiemtra 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.5 θ 1.5 Hình 2.12: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV khoảng θ = [0 π/2] Từ Hình 2.12, ta thấy góc tới tăng hệ số phản xạ sóng P tăng, hệ số phản xạ sóng SV hệ số khúc xạ sóng P SV giảm 45 PI + x1 L _ h x3 Hình 2.13: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 2.7.2 Xét trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin Khi đường cong L có dạng hình sin (xem Hình 2.11), hệ số ma trận D hàm x3 , 2 arccos(1 − x3 ))ρ(+) + arccos(1 − x3 )ρ(−) , π h π h ⟨ ⟩ λ + 2µ = (1 − arccos(1 − x3 ))(λ(+) + 2µ(+) ) π h + arccos(1 − x3 )(λ(−) + 2µ(−) ), π h ]−1 ⟨ ⟩−1 [ 1 = (1 − arccos(1 − x3 )) (+) + arccos(1 − x3 ) (−) , µ π h π h µ µ ⟨ ⟩−1 [ = (1 − arccos(1 − x3 )) (+) λ + 2µ π h λ + 2µ(+) ⟨ρ⟩ = (1 − 1 + arccos(1 − x3 ) (−) π h λ + 2µ(−) ⟨ λ λ + 2µ ⟩ [ = (1 − (2.101) ]−1 , λ(+) arccos(1 − x3 )) (+) π h λ + 2µ(+) ] λ(−) + arccos(1 − x3 ) (−) π h λ + 2µ(−) Các hệ số phản xạ, khúc xạ tính (xấp xỉ) theo cơng thức (2.83) , đó, giá trị trung bình tính (2.101) 46 Xét phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao phân chia hai bán khơng gian đẳng hướng có tham số cụ thể [9]: ρ(+) = 2529(Kg/m3 ), ρ(−) = 2157(Kg/m3 ), λ(+) = 1, 733.1010 (P a), λ(−) = 1, 038.1010 (P a), µ(+) = 1, 031.1010 (P a), µ(−) = 0, 498.1010 (P a) Giả sử sóng P truyền tới biên phân chia với góc tới θ = pi/6 Ta có đồ thị hệ số phản xạ, khúc xạ theo thay đổi κ = hK (+) sau: 0.14 0.135 0.13 0.125 0.12 0.115 0.11 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.14: Hệ số phản xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.15: Hệ số phản xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin Từ Hình 2.14 đến Hình 2.17 ta thấy tần số tăng hệ số phản xạ sóng P SV giảm, hệ số khúc xạ sóng P SV tăng Khảo sát thay đổi hệ số phản xạ, khúc xạ góc tới θ thay đổi 47 1.17 1.165 1.16 1.155 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.16: Hệ số khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 0.159 0.158 0.157 0.156 0.155 0.154 0.153 0.152 0.151 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.17: Hệ số khúc xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 1.4 1.2 modunPR modunSVR modunPT modunSVT kiemtranghiem 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 κ = hK(+) 0.7 0.8 0.9 Hình 2.18: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin khoảng κ = [0.01 1] 48 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 modunPR modunSVR modunPT modunSVT kiemtranghiem 0.2 0 0.5 θ 1.5 Hình 2.19: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin khoảng θ = [0 π/2] Từ Hình 2.19, ta thấy góc tới tăng hệ số phản xạ sóng P tăng, hệ số phản xạ sóng SV , hệ số khúc xạ sóng P SV giảm 49 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hai toán: 1) Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao môi trường trực hướng 2) Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia có độ nhám cao mơi trường đẳng hướng Kết luận văn : 1) Đưa cơng thức tìm hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao mơi trường trực hướng 2) Xây dựng cơng thức để tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia có độ nhám cao mơi trường đẳng hướng 3) Khảo sát số ví dụ số cho hai trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa hình sin Hướng nghiên cứu tiếp theo: Mở rộng nghiên cứu chương 2: xét phản xạ, khúc xạ sóng hầu P (quasi-P) hầu SV (quasi-SV) biên phân chia độ nhám cao phân chia hai bán không gian trực hướng 50 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Xuân Tùng (2013), Các phương trình hóa dạng miền với biên phân chia độ nhám cao ứng dụng, Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phạm Chí Vĩnh (1986), ”Sự phản xạ khúc xạ sóng SH lớp có biến dạng ban đầu khơng nhất”, Tạp chí Cơ học, 18(3), tr 26-32 [3] Achdou Y., Pironneau O., Valentin F.(1998), ” Effective boundary conditions for laminar flows over rough boundaries”, J Comput Phys,147, pp 187-218 [4] Adnan H Nayfeh, (1995), Wave propagation in layered anisotropic media, North-Holland series in, Amsterdam-Lausanne-New York-Oxford-ShannonTokyo [5] Achenbach J D (1973), Wave propagation in Elastic Solids, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford [6] Xiaofei Chen (1993),”A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space”, Geophys J Int 115, pp 391-409 [7] Kohn R.V and Vogelius (1984), ” A new model for thin plates with rapidly varying thickness”, Int J Solids Struct, 20, pp 333-350 [8] Nevard J., Keller J.B (1997), ” Homogenization of rough boundaries and interfaces ”, SIAM J Appl Math, 57, pp 1660-1686 [9] Colin C Potter and Darren S Foltinek (1997), ” Formation elastic parameters by deriving S-wave velocity logs ”, CREWES Research Report , Volume (1997) 51 [10] Talbot D.R.S, Titchener J.B and Willis J.R (1990), ” The reflection of electromagnetic waves from very rough interfaces ”, Wave Motion, 12, pp 245-260 [11] Thomson W T (1950), " Transmission of elastic waves through a stratified solid medium ", Jour Appl Phys., 21, 89 [12] Ting T C T (1996), Anisotropic elasticity: theory and applications, Oxford, UK: Oxford University Press [13] Rajneesh Kumar, Sushil K Tomar, Asha Chopra, (2000), ” Relection/refraction of SH-waves at a corrugated interface between two difffent anisotropic and verticslly heterogeneous elastic solid half-space”, Anjiam J, 44(2003), 447–460 [14] Vinh P C., Tung D X (2011), ” Homogenized equations of the linear elasticity theory in two-dimensional domains with interfaces highly oscillating between two circles”, Acta Mech ,218, pp 333-348 [15] Vinh P C., Tung D X (2010),” Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces”, Mechanics Research Communications, 37, pp 285-288 [16] Zaki K A, Neureuther A R, (1971), ”Scattering from a perfectly conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE polarization”, IEEE Trans Antenn Propag, 19(2), pp 208-214 52 ... Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao Trong chương này, tốn phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu Giả thiết hai bán không gian trực hướng Kết... số phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng Kết thu xác biên phân chia có dạng hình lược Sử dụng biểu thức ta khảo sát số ví dụ số Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân. .. (+) Hình 1.13: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin khoảng κ = [0.01 1] 22 Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao 2.1 Bài toán học