Sự phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao trong môi trường đàn hồi dị hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ KIỀU SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ KIỀU SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI DỊ HƯỚNG Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội – Năm 2014 Lời cảm ơn Lời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy PGS TS Phạm Chí Vĩnh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em bước để em hồn thành luận văn Em xin cảm ơn thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên dạy dỗ em suốt năm học vừa qua, cảm ơn thầy Trần Thanh Tuấn anh chị em nhóm xêmina thầy Vĩnh chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức giúp đỡ em nhiều Em xin cảm ơn thầy cô Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng, Đại học Kiến trúc Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em để em có thời gian làm luận văn Qua em cảm ơn gia đình ln động viên tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2014 Nguyễn Thị Kiều Mục lục Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao 1.1 Bài toán học 1.2 Bài toán toán học 1.3 Phương pháp giải 1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 1.5 Công thức tính hệ số phản xạ, k 1.6 Biên phân chia độ nhám cao có 1.7 Các ví dụ số 1.7.1 Trường hợp biên phân chi cưa 1.7.2 Trường hợp biên phân chi Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao 2.1 Bài toán học 2.2 Bài toán toán học 2.3 Phương pháp giải 2.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 2.5 Cơng thức tính hệ số phản x 2.6 Sự phản xạ, khúc xạ sóng đà có dạng hình lược 2.7 Các ví dụ số 2.7.1 Biên phân chia độ nhám c 2.7.2 Xét trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Các tốn biên miền có biên hay biên phân chia nhám (không phẳng) xuất nhiều thực tế như: phản xạ, khúc xạ sóng biên hay biên phân chia nhám [10], [16], toán học liên quan đến gia cường dày đặc [7], dòng chảy tường nhám [3], dao động vật thể đàn hồi có tính chất học thay đổi nhanh (có tính khơng cao) · · · Khi biên phân chia có độ nhám thấp ( biên độ nhỏ so với chu kỳ nó), để giải toán này, tác giả thường sử dụng phương pháp nhiễu Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ lớn so với chu kỳ nó), tác giả thường sử dụng phương pháp hóa để giải Năm 1997, tác giả Nevard Keller nghiên cứu hóa biên phân chia có độ nhám cao hệ (ba) phương trình lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng [8] Sử dụng phương pháp hóa, tác giả rút phương trình hóa lý thuyết đàn hồi dị hướng Tuy nhiên, hệ phương trình cịn dạng ẩn, hệ số chúng xác định qua hàm mà chúng nghiệm toán biên nhân tuần hồn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng Bài tốn biên nhân tuần hồn tìm nghiệm dạng số Vì hệ phương trình hóa thu dạng ẩn nên không thuận tiện sử dụng Năm 2009, tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung [15] tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều, tức hệ số chúng hàm tham số vật liệu đặc trưng hình học biên phân chia Ngoài kết báo [15], tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung cịn tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh hai đường trịn đồng tâm [14], phương trình hóa dạng lý thuyết đàn điện, lý thuyết đàn nhiệt [1] Các phương trình hóa dạng tiện lợi để sử dụng tính ứng dụng cao Nó sử dụng để giải nhiều toán thực tế khác Một ứng dụng quan trọng phương trình hóa dạng để nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao Do vậy, mục đích luận văn là: Sử dụng phương trình hóa dạng để nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao Cho đến nay, toán phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao chưa có tác giả nghiên cứu trước năm 2009 phương trình hóa dạng chưa tìm Luận văn sử dụng phương trình hóa báo [15] để nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia độ nhám cao Kết đạt luận văn là: tìm hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH sóng P biên phân chia độ nhám cao dao động hai đường thẳng song song Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao Trong chương này, tốn phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu Giả thiết hai bán không gian trực hướng Kết là: tìm cơng thức hiển (xấp xỉ) hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao, hình dạng Khi biên phân chia có dạng hình lược, kết thu xác Sử dụng biểu thức ta khảo sát số ví dụ số Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao xét chương Giả thiết hai bán không gian đẳng hướng Sử dụng phương trình hóa dạng [15] phương pháp ma trận chuyển [11], kết đạt là: tìm cơng thức (xấp xỉ) hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng Kết thu xác biên phân chia có dạng hình lược Sử dụng biểu thức ta khảo sát số ví dụ số Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao 1.1 Bài tốn học Xét khơng gian vô hạn ˆ (+) ˆ (−) gồm hai bán không gian đàn hồi , Ox1x2x3 Ω Ω phân chia mặt S có phương trình x3 = f(x1/ϵ), đó, f(y), (y = x1/ϵ) hàm tuần hồn theo biến y với chu kỳ Giả thiết mặt S nằm hai mặt phẳng x3 = x3 = h Ký hiệu Ω chiếu vng góc ˆ (+) ˆ (−) , lên mặt phẳng (+) ,Ω (−) L hình (+) Khi đó, bán khơng gian (−) Ω Ω S Ox1x3 Ω bán không gian Ω phân chia đường cong L có phương trình x3 = f(y), nằm hai đường thẳng song song x3 = x3 = h Giả thiết ϵ nhỏ nhiều so với h, L gọi biên phân chia có độ nhám cao Ω (+) ,Ω (−) (xem Hình 1.1) Giả thiết thêm miền < x1 < ϵ đường thẳng x3 = x0 = const(0 < x0 < h) cắt đường cong L hai điểm Giả sử môi trường trực hướng, nén được, số vật liệu Cij mật độ khối lượng ρ xác định sau: Cij, ρ = (+) (−) (+) (−) đó, Cij , Cij , ρ , ρ số Trong bán khơng gian trên, cho sóng SH truyền tới biên phân chia độ SHI N Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao x3 = f(x1/ϵ) = f(y) có chu kỳ ϵ x1, chu kỳ y nhám cao L ( xem hình 1.1) Các thành phần chuyển dịch sóng SH là: u1 ≡ u3 ≡ 0, u2 = u2(x1, x3, t) Bài toán đặt là: Xét phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi SH truyền bán không gian tới biên phân chia độ nhám cao L môi trường trực hướng 1.2 Bài tốn tốn học Do sóng SH có thành phần chuyển dịch theo phương x2 khác khơng cịn thành phần chuyển dịch theo phương x1 x3 không nên ta có u =u =u =u =u =u =u = 1,1 1,2 1,3 3,1 3,2 3,3 2,2 Các phương trình bản: • Định luật Hooke (xem [12]) σ =C ϵ ij ijkl kl đó, σij ứng suất, ϵij biến dạng, Cijkl số đàn hồi • Liên hệ biến dạng chuyển dịch ϵ = (u + u ) kl l,k k,l đó, dấu " ," đạo hàm theo biến xk (1.5) Từ (1.3) (1.5), ta suy ϵ11=ϵ22=ϵ33=ϵ13=0 (1.6) Do môi trườn g trực hướn g nên số vật liệu có tính chất sau (xem [12]): C14= C15= C16= C24= C25= C26= C34= C35= C36= C45= C46= C56=0 V1 = (a1eiγ1x3 + b1eiγ2x3 + c1e−iγ1x3 + d1e−iγ2x3 )ei(ξx1−ωt) (2.97) V3 = (Υ1a1eiγ1x3 + Υ2b1eiγ2x3 − Υ1c1e−iγ1x3 − Υ2d1e−iγ2x3 )ei(ξx1−ωt) a1, b1, c1, d1 số cần xác định Nghiệm lớp (2.97) phải thỏa mãn điều kiện liên tục (2.20), tức là: (2.98) Từ (2.97) , nghiệ m hai bán không gian (2.21) (2.25) điều kiện liên tục (+) V1 (0 (+) − V3 (0 ) = V3(0+), (+) (V µ 3,1 (+) λ V ( ) 41 ( ) = V − V3 − (h + 0) = V1(h 0), (h + 0) = V3(h − 0), ( µ )(V − 3, λ − V1,1 (h + 0) + (λ − + 2µ − )V3,3 (h + 0) = ( ) (2.98), ta có hệ phương trình sau: sin θ + R1 sin θ − R2 cos θ2 = a1 + b1 + c1 + d1, − − R1 cos θ − R2 sin θ2 = Υ1a1 + Υ2b cos θ µ µ(+) iξ(cos θ { = λ(+)iξ(sin θ + R sin θ (+) ξ + R { + ( T1 sin α1e T αe cos µ µ (−) iξ {iξ(T1 cos α1e 1 = iξ (Υ1 a1 e ( ) e γ +i(a1 − λ iξ − ( ) T ( ξ − T2 sin α2e { 11 − + +γ Υ c e iγ h +γΥde iγ h ) (2.99) Hệ (2.99) hệ phương trình ẩn số a1, b1, c1, d1, R1, R2, T1, T2 2.7 Các ví dụ số 2.7.1 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa Khi đường cong L có dạng hình cưa (xem Hình 2.6), hệ số ma trận D hệ (2.32) số mà hàm x3 Khi hệ số phản xạ, khúc xạ tính (xấp xỉ) theo (2.83), ρ=h x λ+2µ = λ+2µ λ λ+2µ ] ) µ(+) −1 , − = (2.100) , 42 P I + H X3 Hình 2.6: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa Sử dụng công thức (2.83) (2.100), ta nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng P trường hợp vật liệu đẳng hướng có tham số cụ thể [9]: ρ (+) (−) = 2529(Kg/m ), ρ 10 (−) = 2157(Kg/m ), λ (+) 10 (+) 10 = 1, 733.10 (P a), (−) 10 = 0, 498.10 (P a) Giả sử sóng P truyền tới biên phân chia với góc tới θ = pi/6 λ = 1, 038.10 (P a), µ = 1, 031.10 (P a), µ (+) Ta có đồ thị hệ số phản xạ, khúc xạ theo thay đổi κ = hK sau: Hình 2.7: Hệ số phản xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa tần số f thay đổi Từ Hình 2.7 đến Hình 2.10 ta thấy tần số tăng hệ số phản xạ sóng P SV giảm, hệ số khúc xạ sóng P SV tăng 43 Hình 2.8: Hệ số phản xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa Hình 2.9: Hệ số khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa Hình 2.10: Hệ số khúc xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa 44 .4 0.1 0.2 0.3 0.4 κ 0.5 0.6 (+) 0.7 0.8 0.9 = hK Hình 2.11: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa khoảng κ = [0.01 1] Khảo sát thay đổi hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia có dạng hình cưa góc tới θ thay đổi Hình 2.12: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV khoảng θ = [0 π/2] Từ Hình 2.12, ta thấy góc tới tăng hệ số phản xạ sóng P tăng, hệ số phản xạ sóng SV hệ số khúc xạ sóng P SV giảm 45 PI H X3 Hình 2.13: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin 2.7.2 Xét trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin Khi đường cong L có dạng hình sin (xem Hình 2.11), hệ số ma trận D hàm x3, ρ = (1 + λ+2µ + λ+2µ π − λ+2µ − µ + ] −1 µ(−) , (2.101) Các hệ số phản xạ, khúc xạ tính (xấp xỉ) theo cơng thức (2.83) , đó, giá trị trung bình tính (2.101) 46 Xét phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao phân chia hai bán khơng gian đẳng hướng có tham số cụ thể [9]: ρ (+) (−) = 2529(Kg/m ), ρ 10 (−) = 2157(Kg/m ), λ (+) 10 (+) 10 = 1, 733.10 (P a), (−) 10 = 0, 498.10 (P a) Giả sử sóng P truyền tới biên phân chia với góc tới θ = pi/6 λ = 1, 038.10 (P a), µ = 1, 031.10 (P a), µ (+) Ta có đồ thị hệ số phản xạ, khúc xạ theo thay đổi κ = hK sau: Hình 2.14: Hệ số phản xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin Hình 2.15: Hệ số phản xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin Từ Hình 2.14 đến Hình 2.17 ta thấy tần số tăng hệ số phản xạ sóng P SV giảm, hệ số khúc xạ sóng P SV tăng Khảo sát thay đổi hệ số phản xạ, khúc xạ góc tới θ thay đổi 47 Hình 2.16: Hệ số khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin Hình 2.17: Hệ số khúc xạ sóng SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin κ = hK(+) Hình 2.18: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin khoảng κ = [0.01 1] 48 1.4 1.2 modunPR 0.8 0.6 0.4 modunSVR modunPT modunSVT kiemtranghiem 0.2 0 0.5 Hình 2.19: Hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P SV biên phân chia độ nhám cao có dạng hình sin khoảng θ = [0 π/2] Từ Hình 2.19, ta thấy góc tới tăng hệ số phản xạ sóng P tăng, hệ số phản xạ sóng SV , hệ số khúc xạ sóng P SV giảm 49 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu hai tốn: 1) Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao môi trường trực hướng 2) Sự phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia có độ nhám cao môi trường đẳng hướng Kết luận văn : 1) Đưa cơng thức tìm hệ số phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao môi trường trực hướng 2) Xây dựng cơng thức để tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia có độ nhám cao mơi trường đẳng hướng 3) Khảo sát số ví dụ số cho hai trường hợp biên phân chia độ nhám cao có dạng hình cưa hình sin Hướng nghiên cứu tiếp theo: Mở rộng nghiên cứu chương 2: xét phản xạ, khúc xạ sóng hầu P (quasi-P) hầu SV (quasi-SV) biên phân chia độ nhám cao phân chia hai bán không gian trực hướng 50 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Xuân Tùng (2013), Các phương trình hóa dạng miền với biên phân chia độ nhám cao ứng dụng, Luận án tiến sĩ Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phạm Chí Vĩnh (1986), ”Sự phản xạ khúc xạ sóng SH lớp có biến dạng ban đầu khơng nhất”, Tạp chí Cơ học, 18(3), tr 26-32 [3] Achdou Y., Pironneau O., Valentin F.(1998), ” Effective boundary condi-tions for laminar flows over rough boundaries”, J Comput Phys,147, pp 187-218 [4] Adnan H Nayfeh, (1995), Wave propagation in layered anisotropic media, North-Holland series in, Amsterdam-Lausanne-New York-Oxford-ShannonTokyo [5] Achenbach J D (1973), Wave propagation in Elastic Solids, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford [6] Xiaofei Chen (1993),”A systematic and efficient method of computing nor-mal modes for multilayered half-space”, Geophys J Int 115, pp 391-409 [7] Kohn R.V and Vogelius (1984), ” A new model for thin plates with rapidly varying thickness”, Int J Solids Struct, 20, pp 333-350 [8] Nevard J., Keller J.B (1997), ” Homogenization of rough boundaries and interfaces ”, SIAM J Appl Math, 57, pp 1660-1686 [9] Colin C Potter and Darren S Foltinek (1997), ” Formation elastic parame-ters by deriving S-wave velocity logs ”, CREWES Research Report , Volume (1997) 51 [10] Talbot D.R.S, Titchener J.B and Willis J.R (1990), ” The reflection of electromagnetic waves from very rough interfaces ”, Wave Motion, 12, pp 245-260 [11] Thomson W T (1950), " Transmission of elastic waves through a stratified solid medium ", Jour Appl Phys., 21, 89 [12] Ting T C T (1996), Anisotropic elasticity: theory and applications, Oxford, UK: Oxford University Press [13] Rajneesh Kumar, Sushil K Tomar, Asha Chopra, (2000), ” Relec- tion/refraction of SH-waves at a corrugated interface between two difffent anisotropic and verticslly heterogeneous elastic solid half-space”, Anjiam J, 44(2003), 447–460 [14] Vinh P C., Tung D X (2011), ” Homogenized equations of the linear elas- ticity theory in two-dimensional domains with interfaces highly oscillating between two circles”, Acta Mech ,218, pp 333-348 [15] Vinh P C., Tung D X (2010),” Homogenized equations of the linear elas- ticity in two-dimensional domains with very rough interfaces”, Mechanics Research Communications, 37, pp 285-288 [16] Zaki K A, Neureuther A R, (1971), ”Scattering from a perfectly conduct-ing surface with a sinusoidal hight profile: TE polarization”, IEEE Trans Antenn Propag, 19(2), pp 208-214 52 ... Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia độ nhám cao Trong chương này, tốn phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu Giả thiết hai bán không gian trực hướng Kết... số phản xạ, khúc xạ xác 1.6 Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược SHI A H X3 Hình 1.5: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược Trong phần này, ta xét biên phân chia độ nhám cao có. .. số phản xạ, khúc xạ sóng P biên phân chia độ nhám cao có dạng Kết thu xác biên phân chia có dạng hình lược Sử dụng biểu thức ta khảo sát số ví dụ số Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng SH biên phân