Sự phản xạ, khúc xạ của sóng quasi p đối với biên phân chia có độ nhám cao (Tóm tắt trích đoạn)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— Bùi Duy Vương SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– Bùi Duy Vương SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS PHẠM CHÍ VĨNH Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Lời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy GS.TS Phạm Chí Vĩnh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em bước để em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội dạy dỗ em suốt năm học vừa qua, cảm ơn anh chị em nhóm xemina chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức giúp đỡ em nhiều Qua em cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Bùi Duy Vương Mục lục Lời mở đầu Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống 1.1 Phát biểu toán 1.2 Các phương trình điều kiện liên tục 1.3 Thuần hóa biên phân chia 1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 10 Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phát biểu Stroh 15 2.1 Phát biểu Stroh 15 2.2 Nghiệm (2.6) bán không gian Sóng phản xạ sóng khúc xạ 17 2.3 Hệ số phản xạ, khúc xạ 22 2.4 Một số ví dụ số 25 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 30 Lời mở đầu Các toán biên phân chia có độ nhám cao xuất nhiều thực tế như: tán xạ sóng biên nhám cao [15], phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao [10], dòng chảy tường nhám [2], Khi biên phân chia có độ nhám thấp (biên độ nhỏ so với chu kỳ nó), để giải toán này, tác giả thường sử dụng phương pháp nhiễu Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ lớn so với chu kỳ nó), tác giả thường sử dụng phương pháp hóa [3] để giải Quá trình lan truyền sóng mặt sóng khối môi trường dị hướng trình phức tạp, khác với trình truyền sóng môi trường đẳng hướng Crampin [6] môi trường dị hướng, tồn ba sóng khối lan truyền với vận tốc khác nhau, theo hướng khác Trong môi trường dị hướng bậc cao sóng P, SV, SH phân tách Theo đó, môi trường dị hướng, véc tơ dịch chuyển sóng véc tơ lan truyền sóng luôn trùng (đối với sóng dọc-quasi P) vuông góc với (đối với sóng ngang-quasi SV, SH) Trong số toán liên quan đến trình truyền sóng toán phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi nhiều tác giả quan tâm công trình Achenbach [1], Chattopadhyay and Rogerson [4], Chattopadhyay [5], Tuy nhiên, công trình này, tác giả xét phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia phẳng Khi biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu hạn chế Công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia chưa tìm Nguyên nhân phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền chứa biên phân chia có độ nhám cao chưa tìm Năm 1997, tác giả Nevard Keller [7] nghiên cứu hóa MỤC LỤC biên phân chia có độ nhám cao hệ (ba) phương trình lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng Sử dụng phương pháp hóa, tác giả rút phương trình hóa lý thuyết đàn hồi dị hướng Tuy nhiên, hệ phương trình dạng ẩn, hệ số chúng xác định qua hàm mà chúng nghiệm toán biên nhân tuần hoàn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng Bài toán biên nhân tuần hoàn tìm nghiệm dạng số Vì hệ phương trình hóa thu dạng ẩn nên không thuận tiện sử dụng Gần (2010, 2011), tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung [11, 12] tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều, tức hệ số chúng hàm tham số vật liệu đặc trưng hình học biên phân chia Ngoài kết nêu trên, tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh hai đường tròn đồng tâm [13], phương trình hóa dạng lý thuyết đàn điện [14] Sử dụng phương trình hóa dạng này, toán thực tế khác nhau, có toán phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao, nghiên cứu cách thuận tiện Mục đích luận văn nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao hai bán không gian đàn hồi trực hướng Để nghiên cứu toán này, phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều có biên phân chia độ nhám cao, dao động nhanh hai đường thẳng song song sử dụng Cho đến nay, toán chưa có tác giả nghiên cứu trước năm 2010 phương trình hóa dạng chưa tìm Trước hết, miền chứa biên phân chia độ nhám cao thay lớp vật liệu không theo chiều dầy với hai biên phẳng Chuyển động lớp mô tả phương trình hóa (dạng hiện) Sau đó, phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao đưa toán phản xạ, khúc xạ sóng qP lớp vật liệu không Kết đạt luận văn là: (i) Tìm công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qP Chú ý MỤC LỤC sóng tới qSV, công thức thu hiệu lực (ii) Sử dụng công thức khảo sát số phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào góc tới, số sóng tới (không thứ nguyên), tham số hình học biên phân chia trường hợp có dạng hình lược Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống Trong chương này, phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu phương pháp truyền thống Phương pháp mang đậm tính quang học hình học, cho nhìn rõ ràng phản xạ, khúc xạ Tuy nhiên, phương pháp mang tính trực giác, không đưa đến mô hình toán học chặt chẽ cho toán phản xạ, khúc xạ sóng truyền môi trường đàn hồi di hướng Kết là tìm công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qP Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp phát biểu Stroh Trong chương này, phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao nghiên cứu phương pháp mang tính toán học, dựa phát biểu Stroh [9] bán không gian lớp vật liệu hóa Phương pháp trước hết cho ta nhìn toán học xác phản xạ khúc xạ sóng qP Hình ảnh hình học sau nhìn thấy rõ ràng tổng thể hệ biểu thức toán học Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống 1.1 Phát biểu toán Xét bán không gian đàn hồi Ω(+) , Ω(−) , trực hướng với số vật liệu cij mật độ khối lượng ρ xác định sau:    c(+) , ρ(+) , (x1 , x2 ) ∈ Ω(+) cij , ρ = ij (1.1)   c(−) , ρ(−) , (x1 , x2 ) ∈ Ω(−) ij (−) (+) (−) c(+) ,ρ số Giả thiết ba trục vật liệu hai bán ij , cij , ρ không gian trùng chúng chọn làm ba trục tọa độ (Hình 1.1) Giả sử biên phân chia L hai bán không gian có độ nhám cao, dao động hai đường thẳng x2 = x2 = h có phương trình x2 = h(x1 /ε), h(y) (y = x1 /ε) hàm tuần hoàn chu kỳ (xem Hình 1.1), ε giả thiết nhỏ nhiều so với h (tức biên phân chia L có độ nhám cao) Giả thiết thêm rằng, đường thẳng x2 = x02 = const với < x02 < h cắt đường cong L hai điểm có hoành độ y1 y2 Điều có nghĩa: khoảng < y < phương trình h(y) = x02 có hai nghiệm ký hiệu y1 (x2 ), y2 (x2 ) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao L Trong bán không gian Ω(+) , xét sóng qP, có biên độ đơn vị, vận tốc c0 , số sóng k0 , truyền tới biên phân chia độ nhám cao L với góc tới θ0 (0 < θ0 < π/2) (Hình 1.1) Khi chuyển dịch là:    sinφ    ik (x sinθ +x cosθ −c t) 0  u0 =  cosφ e   (1.2) c0 tính công thức [5]: 2ρ(+) c20 = (U (0) + Z (0) ) + [(U (0) − Z (0) )2 + 4(V (0) )2 ]1/2 (1.3) với: (+) (+) U (0) = c11 sin2 θ0 + c66 cos2 θ0 , (+) (+) V (0) = (c66 + c12 )sinθ0 cosθ0 , (+) (1.4) (+) Z (0) = c66 sin2 θ0 + c22 cos2 θ0 φ góc tạo hướng véctơ u0 trục 0x2 , xác định [5]: φ = atan{ V (0) } ρ(+) c20 − U (0) (1.5) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG Chú ý k0 = ω/c0 ω tần số sóng tới cho trước Bài toán đặt là: Xét phản xạ, khúc xạ sóng tới qP đối biên phân chia độ nhám cao L 1.2 Các phương trình điều kiện liên tục Vì sóng tới có dạng (1.2) môi trường trực hướng nên sóng tới gây trạng thái biến dạng phẳng: ui = ui (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ (1.6) ui thành phần vecto chuyển dịch Đối với vật liệu trực hướng, định luật Hooke có dạng: σ11 = c11 u1,1 + c12 u2,2 σ12 = c66 (u1,2 + u2,1 ) (1.7) σ22 = c12 u1,1 + c22 u2,2 Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng: σ11,1 + σ12,2 = ρ¨ u1 (1.8) σ12,1 + σ22,2 = ρ¨ u2 Giả sử hai bán không gian gắn chặt với nhau, ứng suất chuyển dịch phải liên tục biên phân chia L, tức là: [uk ]L = 0, [σ1k n1 + σ2k n2 ]L = 0, k = 1, (1.9) n1 , n2 (n3 = 0) thành phần véctơ pháp tuyến đơn vị dường cong L (đường cong hai chiều thuộc mặt phẳng 0x1 x2 ) (xem Hình 1.1) Trong công thức ta sử dụng ký hiệu sau: [f ]L = f (+) − f (−) (1.10) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG Hình 1.2: Thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao lớp vật liệu không 1.3 Thuần hóa biên phân chia Do biên phân chia L có độ nhám cao, nên theo Vinh cộng [11], miền < x2 < h chứa biên phân chia thay lớp vật liệu trực hướng, không theo chiều dầy, có hai biên phẳng x2 = x2 = h (xem Hình 1.2), đặc trưng số vật liệu mật độ khối lượng xác định sau: −1 cL 11 = c11 −1 , −1 cL 12 = c11 −1 cL 22 = c22 + c11 −1 −1 , − c212 c−1 11 , ρL = ρ (1.11) f dy = (y2 − y1 )f (−) + (1 − y2 + y1 )f (+) (1.12) −1 c12 c−1 11 −1 L c12 c−1 11 , c66 = c66 đó: f = Chú ý rằng, y1 y2 phụ thuộc vào x2 nên số cLij ρL hàm số x2 Đối với lớp vật liệu < x2 < h, định luật Hooke phương trình chuyển động có dạng (1.7) (1.8) cij ρ thay tương ứng cL ij ρL Như vậy, toán phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG độ nhám cao đưa toán phản xạ, khúc xạ sóng qP lớp vật liệu (không nhất) chiếm miền < x2 < h bị kẹp hai bán không gian Sử dụng định luật Hooke vào phương trình chuyển động dẫn đến hai phương trình sau chuyển dịch: L cL 11 u1,11 + c66 u1,2 cL 66 u1,12 + ,2 + cL 66 u2,1 cL 12 u1,1 ,2 + cL 66 u2,11 ,2 + + cL ¨1 12 u2,12 = ρL u cL 22 u2,2 ,2 (1.13) = ρL u¨2 Trên biên phân chia lớp hai bán không gian x2 = x2 = h, chuyển dịch ứng suất phải liên tục Vậy, ta cần giải toán gồm hệ phương trình (1.13) điều kiện liên tục chuyển dịch ứng suất biên x2 = x2 = h 1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ Sóng tới đến biên x2 = sinh sóng phản xạ qP, qSV, truyền bán không gian Ω(+) sóng khúc xạ qP, qSV, truyền bán không gian Ω(−) (xem Hình 1.3) Chúng (qP, qSV phản xạ, qP, qSV khúc xạ) tạo với trục 0x2 góc tương ứng θ1 , θ2 , θ3 , θ4 (góc hình học) (xem Hình 1.3) Chuyển dịch sóng phản xạ qP với biên độ R1 = [R11 R12 ]T có dạng [5, 8]:     (1)  u1   R11  =  exp[ik1 (x1 p11 + x2 p12 − c1 t)]  (1) u2 (1.14) R12 Chuyển dịch sóng phản xạ qSV với biên độ R2 = [R21 R22 ]T xác định bởi:    (2) u1 (2) u2      R21   exp[ik2 (x1 p21 + x2 p22 − c2 t)] = (1.15) R22 Tương tự, chuyển dịch sóng khúc xạ qP, qSV là:     (3)  u1   R31   =  exp[ik3 (x1 p31 + x2 p32 − c3 t)] (3) u2 R32 10 (1.16) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG Hình 1.3: Sóng qP truyền tới biên phân chia độ nhám cao L, sinh hai sóng phản xạ P, SV hai sóng khúc xạ P, SV    (4) u1 (4) u3      R41  =  exp[ik4 (x1 p41 + x2 p42 − c4 t)] (1.17) R42 R3 = [R31 R32 ]T , R4 = [R41 R42 ]T biên độ sóng khúc xạ qP, qSV; véctơ đơn vị pn =[pn1 pn2 ]T (n = 1, 2, 3, 4) véctơ hướng truyền sóng (chú ý: p12 < 0, p22 < 0, p32 > 0, p42 > 0); c1 , c2 , c3 , c4 tương ứng vận tốc sóng phản xạ qP, qSV, sóng khúc xạ qP, qSV Chúng xác định công thức sau [4, 5]: a) Đối với sóng qP: 2ρc2n = (U (n) + Z (n) ) + [(U (n) − Z (n) )2 + 4(V (n) )2 ]1/2 , n = 1, (1.18) b) Đối với sóng qSV: 2ρc2n = (U (n) + Z (n) ) − [(U (n) − Z (n) )2 + 4(V (n) )2 ]1/2 , n = 2, (1.19) đó: (+) (+) U (n) = c11 p2n1 + c66 p2n2 , (+) (+) V (n) = (c66 + c12 )pn1 pn2 , (+) (+) Z (n) = c66 p2n1 + c22 p2n2 11 (1.20) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG n = 1, (−) (−) U (n) = c11 p2n1 + c66 p2n2 , (−) (−) V (n) = (c66 + c12 )pn1 pn2 , (−) (1.21) (−) Z (n) = c66 p2n1 + c22 p2n2 n = 3, 4, kn (n = 1, 2, 3, 4) số sóng sóng tương ứng, chúng liên hệ với đẳng thức: k1 c1 = k2 c2 = k3 c3 = k4 c4 = k0 c0 = ω (1.22) Chú ý rằng: pn1 = sinθn (n = 1, 2, 3, 4), pn2 = −cosθn (n = 1, 2), pn2 = cosθn (n = 3, 4) (1.23) ii) p12 /p11 , p22 /p21 hai nghiệm thực âm phương trình đặc trưng bán không gian Ω(+) , p32 /p31 , p42 /p41 hai nghiệm thực dương của phương trình đặc trưng bán không gian Ω(−) (xem mục 2.2) Hai đại lượng Rn1 Rn2 (n = 1, 2, 3, 4) liên hệ với đẳng thức sau: Rn1 V (n) ρc2n − Z (n) Fn := = = Rn2 ρcn − U (n) V (n) (1.24) Trong công thức trên, ρ lấy giá trị ρ(+) n = 1, lấy giá trị ρ(−) n = 3, Qui luật Snell có dạng: k0 sinθ0 = k1 sinθ1 = k2 sinθ2 = k3 sinθ3 = k4 sinθ4 = k (1.25) (n) −1 (n) −1 (n) T Ký hiệu η (n) = [u(n) u2 (ik) σ12 (ik) σ22 ] (n=0, 1, 2, 3, 4) Từ (1.14)-(1.17), định luật Hooke (1.7), (1.24) (1.25) ta có: η n = Rn2 ηˆn exp[ikn (pn1 x1 + pn2 x2 − cn t)], n = 1, 2, 3, (1.26) đó:   Fn          , n = 1, 2, 3, ηˆn =     c66 Fn pn2 + pn1 /sinθn      c12 Fn pn1 + c22 pn2 /sinθn 12 (1.27) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG (−) Trong công thức trên, cij lấy giá trị c(+) ij n = 1, 2, lấy giá trị cij n = 3, Từ (1.2) (1.7) ta có: η = ηˆ0 exp[ik0 (x1 sinθ0 + x2 cosθ0 − c0 t)] (1.28) đó:   sinφ       cosφ    ηˆ0 =    (+)  c cos φ + sin φ cotg θ   66   (+) (+) c12 sinφ + c22 cosφcotgθ0 (1.29) Mục đích nghiên cứu tìm hệ số phản xạ, hệ số khúc xạ, chúng định nghĩa công thức sau: Rn := |Rn1 |2 + |Rn2 |2 = |Rn2 | + |Fn2 |, n = 1, 2, 3, (1.30) Vì Fn xác định (1.24) nên để tìm Rn ta cần tìm bốn số Rn2 (n = 1, 2, 3, 4) Chúng tìm từ điều kiện liên tục biên phân chia x2 = x2 = h, cụ thể: [η]∗L = 0, L∗ : x2 = 0, x2 = h (1.31) Các phương trình (1.31) viết chi tiết sau: ηˆ0 + R12 ηˆ1 + R22 ηˆ2 = T∗ R32 η˜3 + R42 η˜4 (1.32) η˜n = ηˆn eik0 hsinθ0 cotgθn , n = 3, (1.33) đó: T∗ ma trận chuyển lớp xác định chương (2.29) Gọi R P ma trận định nghĩa sau:   R12      R22  ∗  R=   , P = ηˆ1 ηˆ2 0 − T 0 η˜3 η˜4 R32      R42 13 (1.34) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG Ma trận P xác định (1.27) (1.33), véctơ R véctơ cần tìm Từ phương trình (1.27) suy ra: R = P−1 ηˆ0 (1.35) Đó công thức tính hệ số Rn2 (n = 1, 2, 3, 4) Các hệ số phản xạ khúc xạ tính công thức (2.31) Các công thức (2.31) (1.35) công thức cần tìm để tính hệ số phản xạ khúc xạ 14 Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phát biểu Stroh 2.1 Phát biểu Stroh Gọi u01 , u02 thành phần véctơ chuyển dịch sóng tới u0 Từ (1.2) ta có: u0m = Um (y)eik(x1 −ct) , m = 1, 2, y = kx2 (2.1) k = k0 sinθ0 , c = c0 /sinθ0 và: U10 (y) = sinφeiy cotgθ0 , U20 (y) = cosφeiy cotgθ0 (2.2) Từ (2.1), (2.2) (1.7) bán không gian Ω(+) ta có: 0 σ12 = ikΣ01 (y)eik(x1 −ct) , σ22 = ikΣ2 (y)eik(x1 −ct) (2.3) đó: (+) (+) Σ01 (y) = c66 sinφ cotgθ0 + c66 cosφ eiy cotgθ0 , (+) (+) Σ2 (y) = c12 sinφ + c22 cosφ cotgθ0 ei ycotgθ0 (2.4) Vì sóng phản xạ, sóng khúc xạ hai bán không gian sóng phản-khúc xạ lớp sinh từ sóng tới, trường chuyển dịch, trường ứng suất 15 Tài liệu tham khảo [1] Achenbach.J.D, 1973, Wave propagation in Elastic Solids, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford [2] Achdou, Y., Pironneau, O., and Valentin, F., 1998, Effective Boundary Conditions for Laminar Flows Over Rough Boundaries, J Comput Phys 147, pp 187–218 [3] Bensoussan, A., Lions, J B., Papanicolaou, J., 1978, Asymptotic analysics for periodic structures, North-Holland, Amsterdam [4] Chattopadhyay, A and G.A Rogerson, 2001, Wave reflection in slightly compressible, finitely deformed elastic media, Arch Appl Mech 71, pp 307-316 [5] Chattopadhyay, A., 2004, Wave reflection and refraction in triclinic crystalline media, Arch Appl Mech 73, pp 568-579 [6] Crampin, S and D.B Taylor, 1971, The propagation of surface waves in anisotropic media, Geophys J Roy Astron Soc 25, pp 71-87 [7] Nevard, J., and Keller, J B., 1997, Homogenization of Rough Boundaries and Interfaces, SIAM J Appl Math 57, pp 1660–1686 [8] Singh, S S., Tomar, S K., 2007, Quassi-P-waves at a corrugated interface between two dissimilar monoclinic elastic half-spaces, Int J Solids Struct 44, pp 197-228 [9] A.N Stroh, 1962, Steady state problems in anisotropic elasticity, J Math Phys 41, pp 77-103 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Talbot, J R S., Titchener, J B., and Willis, J R., 1990, The Reflection of Electromagnetic Waves From Very Rough Interfaces, Wave Motion 12, pp 245–260 [11] Vinh, P C., Tung, D X., 2010, Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces, Mech Res Comm 37, pp 285-288 [12] Vinh, P C., Tung, D X, 2011, Homogenization of rough two-dimensional interfaces separating two anisotropic solids ASME J Appl Mech 78, 0410141 (7 pages) [13] Vinh, P C., Tung, D X, 2011, Homogenized equations of the linear elasticity theory in two-dimensional domains with interfaces highly oscillating between two circles Acta Mech 218, pp 333-348 [14] Vinh, P.C., 2013, Homogenization of very rough interfaces separating two piezoelectric solids, Acta Mech Acta Mech 224, pp 1077–1088 [15] Zaki K A., Neureuther, A R., 1971, Scattering from a perfectly conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE polarization, IEEE Trans Atenn Propag 19(2), pp 208-214 [16] Vinh, P.C., Anh, V.T.N., Linh, N.T.K., 2016, On a technique for deriving the explicit secular equation of Rayleigh waves in an orthotropic half-space coated by an orthotropic layer, Waves in Random and Complex Media 26, pp 176-188 32 ... xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PH P TRUYỀN THỐNG độ nhám cao đưa toán phản xạ, khúc xạ sóng qP l p vật liệu... toán phản xạ, khúc xạ sóng truyền môi trường đàn hồi di hướng Kết là tìm công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qP Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương ph p. .. SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PH P TRUYỀN THỐNG Chú ý k0 = ω/c0 ω tần số sóng tới cho trước Bài toán đặt là: Xét phản xạ, khúc xạ sóng tới qP đối biên