Sự phản xạ, khúc xạ của sóng quasi P đối với biên phân chia có độ nhám cao

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng quasi P đối với biên phân chia có độ nhám cao Sự phản xạ, khúc xạ của sóng quasi P đối với biên phân chia có độ nhám cao Sự phản xạ, khúc xạ của sóng quasi P đối với biên phân chia có độ nhám cao luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————— Bùi Duy Vương SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– Bùi Duy Vương SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS PHẠM CHÍ VĨNH Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Lời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy GS.TS Phạm Chí Vĩnh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em bước để em hồn thành luận văn Em xin cảm ơn thầy khoa Tốn-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội dạy dỗ em suốt năm học vừa qua, cảm ơn anh chị em nhóm xemina chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức giúp đỡ em nhiều Qua em cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln động viên tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Bùi Duy Vương Mục lục Lời mở đầu Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống 1.1 Phát biểu toán 1.2 Các phương trình điều kiện liên tục 1.3 Thuần hóa biên phân chia 1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 10 Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phát biểu Stroh 15 2.1 Phát biểu Stroh 15 2.2 Nghiệm (2.6) bán khơng gian Sóng phản xạ sóng khúc xạ 17 2.3 Hệ số phản xạ, khúc xạ 22 2.4 Một số ví dụ số 25 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 30 Lời mở đầu Các toán biên phân chia có độ nhám cao xuất nhiều thực tế như: tán xạ sóng biên nhám cao [15], phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao [10], dòng chảy tường nhám [2], Khi biên phân chia có độ nhám thấp (biên độ nhỏ so với chu kỳ nó), để giải toán này, tác giả thường sử dụng phương pháp nhiễu Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ lớn so với chu kỳ nó), tác giả thường sử dụng phương pháp hóa [3] để giải Q trình lan truyền sóng mặt sóng khối mơi trường dị hướng q trình phức tạp, khác với q trình truyền sóng mơi trường đẳng hướng Crampin [6] môi trường dị hướng, tồn ba sóng khối lan truyền với vận tốc khác nhau, theo hướng khác Trong mơi trường dị hướng bậc cao sóng P, SV, SH khơng thể phân tách Theo đó, mơi trường dị hướng, véc tơ dịch chuyển sóng véc tơ lan truyền sóng khơng phải ln ln trùng (đối với sóng dọc-quasi P) vng góc với (đối với sóng ngang-quasi SV, SH) Trong số tốn liên quan đến q trình truyền sóng tốn phản xạ, khúc xạ sóng đàn hồi nhiều tác giả quan tâm cơng trình Achenbach [1], Chattopadhyay and Rogerson [4], Chattopadhyay [5], Tuy nhiên, cơng trình này, tác giả xét phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia phẳng Khi biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu cịn hạn chế Cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia chưa tìm Ngun nhân phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền chứa biên phân chia có độ nhám cao chưa tìm Năm 1997, tác giả Nevard Keller [7] nghiên cứu hóa MỤC LỤC biên phân chia có độ nhám cao hệ (ba) phương trình lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng Sử dụng phương pháp hóa, tác giả rút phương trình hóa lý thuyết đàn hồi dị hướng Tuy nhiên, hệ phương trình cịn dạng ẩn, hệ số chúng xác định qua hàm mà chúng nghiệm toán biên nhân tuần hồn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng Bài tốn biên nhân tuần hồn tìm nghiệm dạng số Vì hệ phương trình hóa thu dạng ẩn nên không thuận tiện sử dụng Gần (2010, 2011), tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung [11, 12] tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều, tức hệ số chúng hàm tham số vật liệu đặc trưng hình học biên phân chia Ngồi kết nêu trên, tác giả Pham Chi Vinh Do Xuan Tung cịn tìm phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh hai đường trịn đồng tâm [13], phương trình hóa dạng lý thuyết đàn điện [14] Sử dụng phương trình hóa dạng này, toán thực tế khác nhau, có tốn phản xạ, khúc xạ sóng biên phân chia có độ nhám cao, nghiên cứu cách thuận tiện Mục đích luận văn nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao hai bán không gian đàn hồi trực hướng Để nghiên cứu tốn này, phương trình hóa dạng lý thuyết đàn hồi miền hai chiều có biên phân chia độ nhám cao, dao động nhanh hai đường thẳng song song sử dụng Cho đến nay, toán chưa có tác giả nghiên cứu trước năm 2010 phương trình hóa dạng chưa tìm Trước hết, miền chứa biên phân chia độ nhám cao thay lớp vật liệu không theo chiều dầy với hai biên phẳng Chuyển động lớp mô tả phương trình hóa (dạng hiện) Sau đó, phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao đưa toán phản xạ, khúc xạ sóng qP lớp vật liệu không Kết đạt luận văn là: (i) Tìm cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qP Chú ý MỤC LỤC sóng tới qSV, cơng thức thu cịn hiệu lực (ii) Sử dụng công thức khảo sát số phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào góc tới, số sóng tới (khơng thứ ngun), tham số hình học biên phân chia trường hợp có dạng hình lược Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống Trong chương này, phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia có độ nhám cao nghiên cứu phương pháp truyền thống Phương pháp mang đậm tính quang học hình học, cho nhìn rõ ràng phản xạ, khúc xạ Tuy nhiên, phương pháp mang tính trực giác, khơng đưa đến mơ hình tốn học chặt chẽ cho tốn phản xạ, khúc xạ sóng truyền môi trường đàn hồi di hướng Kết là tìm cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qP Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp phát biểu Stroh Trong chương này, phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao nghiên cứu phương pháp mang tính tốn học, dựa phát biểu Stroh [9] bán khơng gian lớp vật liệu hóa Phương pháp trước hết cho ta nhìn tốn học xác phản xạ khúc xạ sóng qP Hình ảnh hình học sau nhìn thấy rõ ràng tổng thể hệ biểu thức toán học Chương Sự phản xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống 1.1 Phát biểu tốn Xét bán khơng gian đàn hồi Ω(+) , Ω(−) , trực hướng với số vật liệu cij mật độ khối lượng ρ xác định sau:    c(+) , ρ(+) , (x1 , x2 ) ∈ Ω(+) cij , ρ = ij (1.1)   c(−) , ρ(−) , (x1 , x2 ) ∈ Ω(−) ij (−) (+) (−) c(+) ,ρ số Giả thiết ba trục vật liệu hai bán ij , cij , ρ không gian trùng chúng chọn làm ba trục tọa độ (Hình 1.1) Giả sử biên phân chia L hai bán không gian có độ nhám cao, dao động hai đường thẳng x2 = x2 = h có phương trình x2 = h(x1 /ε), h(y) (y = x1 /ε) hàm tuần hoàn chu kỳ (xem Hình 1.1), ε giả thiết nhỏ nhiều so với h (tức biên phân chia L có độ nhám cao) Giả thiết thêm rằng, đường thẳng x2 = x02 = const với < x02 < h cắt đường cong L hai điểm có hồnh độ y1 y2 Điều có nghĩa: khoảng < y < phương trình h(y) = x02 có hai nghiệm ký hiệu y1 (x2 ), y2 (x2 ) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao L Trong bán khơng gian Ω(+) , xét sóng qP, có biên độ đơn vị, vận tốc c0 , số sóng k0 , truyền tới biên phân chia độ nhám cao L với góc tới θ0 (0 < θ0 < π/2) (Hình 1.1) Khi chuyển dịch là:    sinφ    ik (x sinθ +x cosθ −c t) 0  u0 =  cosφ e   (1.2) c0 tính cơng thức [5]: 2ρ(+) c20 = (U (0) + Z (0) ) + [(U (0) − Z (0) )2 + 4(V (0) )2 ]1/2 (1.3) với: (+) (+) U (0) = c11 sin2 θ0 + c66 cos2 θ0 , (+) (+) V (0) = (c66 + c12 )sinθ0 cosθ0 , (+) (1.4) (+) Z (0) = c66 sin2 θ0 + c22 cos2 θ0 φ góc tạo hướng véctơ u0 trục 0x2 , xác định [5]: φ = atan{ V (0) } ρ(+) c20 − U (0) (1.5) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH Dễ dàng chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 1: Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2.6) miền −∞ < y < là: (2) (1) ξ r (y) = Ar1 ξ r eip1 y + Ar2 ξ r eip2 y (2.14) Ar1 , Ar2 số cần xác định, ξ(k) r véc tơ riêng ma trận N tương ứng với giá trị riêng pk (k = 1, 2) Để xác định, bốn thành phần (k) ξr chọn phần phụ đại số hàng thứ ma trận N − Ipk , tức là: thành phần thứ m véctơ ξ(k) r phần phụ đại số phần tử thứ m hàng ma trận N − Ipk Chú ý rằng, biểu diễn nghiệm (2.14) cho ba khả (i)-(iii) Chú ý Chú ý 2: Vì c = c0 /sinθ0 nên từ Chú ý ta có, tồn góc θk(+) = arsin(c0 /vk(+) ) cho: (i) Với < θ0 ≤ θ2(+) có hai sóng phản xạ, ký hiệu RW1 RW2 Chúng xác định bởi: (2) (1) RW1 = Ar1 ξ r eip1 y eik(x1 −ct) , RW2 = Ar2 ξ r eip2 y eik(x1 −ct) (2.15) Do |p1 | < |p2 | nên RW1 sóng qP, RW2 sóng qSV (ii) Với θ2(+) < θ0 ≤ θ1(+) có sóng phản xạ RW2 Đó sóng qSV Sóng RW1 biến thành sóng mặt (iii) Với < θ1(+) < θ0 < π/2: khơng tồn sóng phản xạ (khúc xạ hoàn toàn), RW1 RW2 trở thành sóng mặt Nghiệm (2.6) bán khơng gian y > e Sóng khúc xạ Xét phương trình đặc trưng (2.12) tương ứng với bán khơng gian y > e (−) ) Tương tự phần trên, tồn (khi cij ρ hiểu c(−) ij ρ số dương vk(−) (k = 1, 2, 3) cho: (i) Với v2(−) ≤ c < +∞ phương trình (2.12) có nghiệm thực: q1 > 0, q2 > 0, q3 = −q1 , q4 = −q2 , chọn < q1 < q2 (ii) Với v1(−) ≤ c < v2(−) phương trình (2.12) có nghiệm thực: q1 (> 0), q3 = −q1 , hai nghiệm phức liên hợp: q2 , q4 = q¯2 , phần ảo q2 số dương (iii) Với < c < v1(−) phương trình (2.12) có cặp nghiệm phức liên hợp: q1 , q2 , q3 = q¯1 , q4 = q¯2 , phần ảo q1 q2 số dương 18 CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH Tương tự ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2: Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2.6) miền y > e là: (2) (1) ξ t (y) = At1 ξ t eiq1 y + At2 ξ t eiq2 y (2.16) véc tơ riêng ma trận At1 , At2 số cần xác định, ξ(k) t N (của bán không gian y > e) tương ứng với giá trị riêng qk (k = 1, 2) Để xác định, bốn thành phần ξt(k) chọn phần phụ đại số hàng thứ ma trận N − Iqk Chú ý rằng, biểu diễn nghiệm (2.15) cho ba khả (i)-(iii) Do c = c0 /sinθ0 nên tồn góc θk(−) = arsin(c0 /vk(−) ) cho: (i) Với < θ0 ≤ θ2(−) có hai sóng khúc xạ, ký hiệu TW1 TW2 Chúng xác định bởi: (1) (2) TW1 = At1 ξ t eiq1 y eik(x1 −ct) , TW2 = At2 ξ t eiq2 y eik(x1 −ct) (2.17) Do < q1 < q2 nên TW1 sóng qP, TW2 sóng qSV (ii) Với θ2(−) < θ0 ≤ θ1(−) có sóng khúc xạ RW2 Đó sóng qSV Sóng RW1 biến thành sóng mặt (iii) Với < θ1(−) < θ0 < π/2 khơng tồn sóng khúc xạ (phản xạ hoàn toàn): RW1 RW2 trở thành sóng mặt Nghiệm (2.6) lớp < y < e Ma trận chuyển Đối với lớp < y < e, ý trên, ma trận N ma trận số (trừ biên phân chia có dạng hình lược), mà ma trận hàm y Do vậy, khơng có khả tìm nghiệm xác phương trình (2.6) trường hợp chung Ta tìm nghiệm xấp xỉ xủa cách chia lớp không < y < e thành N lớp nhỏ có độ dầy điểm chia ym = m.δ , δ = e/N , m = 0, 1, , N Ma trận (hằng số) Nm lớp (thuần nhất) thứ m chọn giá trị N ym , tức là: (m) Nm = N(ym ), m = 1, 2, , N Một cách tương ứng, số đàn hồi cij mật độ khối lượng ρm lớp thứ m xác định sau: (m) cij = cL ij (ym ), ρm = ρL (ym ) (2.18) Tại biên phân chia y = ym (m = 1, , N − 1) lớp, ứng suất chuyển dịch 19 CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH phải liên tục, tức là: ξ(ym + 0) = ξ(ym − 0), m = 1, , N − 1, ξ + ξ r (0−) = ξ(0+), ξ(e − 0) = ξ t (e + 0) (2.19) Nghiệm lớp thứ m: Gọi s(m) k (k = 1, , 4) bốn nghiệm phương trình đặc trưng lớp thứ m: |Nm − Is| = (2.20) Phương trình phương trình trùng phương (2.12) (do vậy: s(m) = (m) (m) −s1 , s4 (m) (m) = −s3 ), cij thay cij , ρ thay ρm p thay s Dễ dàng thấy rằng: Mệnh đề 3: Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2.6) miền ym−1 < y < ym (m = 1, , N ) là: (1) (m) ξ m (y) = Am1 ξ m eis1 y (2) (m) + Am2 ξ m e−is1 y (3) (m) + Am3 ξ m eis3 y (4) (m) + Am4 ξ m e−is3 y (2.21) Am1 , , Am4 bốn số cần xác định, ξ(k) m véc tơ riêng ma trận Nm tương ứng với giá trị riêng s(m) k (k = 1, 2, 3, 4) Để xác định, bốn thành phần ξ(k) m chọn phần phụ đại số hàng thứ ma trận (m) Nm − Isk Ma trận chuyển lớp thứ m: ˆ ma trận xác định sau: Gọi T T     ˆ ˆ  T1 T2  ˆ  T1 T2  , T =    T= T3 ˆ3 T TT1 20 ˆT T (2.22) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH (xem Vinh công [16]):    i [α; shε]  [α; β] ˆ2 =  T  [chε] [γ]   [chε]  [γ] , −i [αshε]  [γ]   [γ; chε] −β1 β2 [chε]   [α; β] [γ] , T ˆ1 =   i [β; αshε] −i[β; γshε]  [α; β] [γ] i [γ; βshε]  [γ] T3 =   −β1 β2 [chε] [α; β]   −i [α; shε] −i [β; shε]   [α; β]  , T2 =  [α; β]  [αchε; β]  [chε] [α; β] [γ] [γ; chε]  [γ] T1 =   −i [β; αshε] [γ]   i [β; shε] [α; β]   (2.23) [αchε; β]  [α; β]  −i [γ; βshε] [chε]   [γ] [γ] , T ˆ3 =    i [αshε] −β1 β2 [chε] [γ] [α; β] −β1 β2 [chε]  [α; β]  i[β; γshε]  [α; β] Trong công thức ta sử dụng ký hiệu: [f ; g] = f2 g1 − f1 g2 , [f ] = f2 − f1 (2.24) Các đại lượng α, β γ xác định sau: L L βk = cL 66 (bk − αk ), γk = c12 + c22 bk αk , L (cL 12 + c66 )bk , k = 1, 2, X = ρL c2 − cL + X cL b 22 k 66 √ √ S + S − 4P S − S − 4P , b2 = 2 αk = − b1 = L L L cL (cL − X) + cL 66 (c66 − X) − (c12 + c66 ) S = 22 11 L cL 22 c66 (2.25) L (cL 11 − X)(c66 − X) , εk = εbk sinθ0 , k = 1, 2, ε = k0 h L cL c 22 66 ˆ k , T, T ˆ phụ thuộc vào biến y : Tk = Tk (y), Chú ý rằng, ma trận Tk , T ˆk = T ˆ k (y), T = T(y), T ˆ = T(y) ˆ T P = Sử dụng biểu diễn nghiệm (2.21) Vinh cộng [16] chứng minh được: ˆ m ξ m (ym−1 ) ξ m (ym−1 ) = Tm ξ m (ym ), ξ m (ym ) = T (2.26) ˆ m = T−1 ma trận (hằng số) Tm T m xác định bởi:     (m)  T1 Tm =  (m) T3 (m) T2 (m) T T1 ˆ (m)  ˆ  T1  , Tm =  ˆ (m) T 21 ˆ (m) T ˆ (m) T T   (2.27) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH với: ˆ m = T(y ˆ m ), T(k) ˆ (k) ˆ Tm = T(ym ), T m = Tk (ym ), Tm = Tk (ym ) (2.28) ˆ m gọi ma trận chuyển lớp thứ m Các ma trân Tm T Ma trận chuyển lớp vật liêu < y < e: ˆ ∗ định nghĩa sau: Các ma trận T∗ , T ˆ∗ = T ˆ N T ˆ1 T∗ = T1 TN , T (2.29) gọi ma trận chuyển lớp vật liệu Các ma trận biểu diễn thành dạng khối sau:     ∗ ∗ ˆ∗ ˆ∗  T1 T2  ˆ ∗  T1 T2  T = ,T =   ∗ T∗3 (2.30) ˆ∗ T ˆ∗ T T∗4 Từ điều kiện liên tục (2.19) đẳng thức (2.26) suy ra: ˆ ∗ ξ(0) ξ(0) = T∗ ξ(e), ξ(e) = T 2.3 (2.31) Hệ số phản xạ, khúc xạ (k) ˆn , (k = 1, 2; n = a(k) Gọi thành phần véctơ ξ(k) n , ξ t a r (k) 1, 2, 3, 4), tức là: ξ r (k) = [a1 (k) a2 (k) a3 (k) (k) a4 ] T , ξ t (k) = [ˆ a1 (k) a ˆ2 (k) a ˆ3 (k) a ˆ4 ]T Nhắc lại (k) a(k) ˆn tương ứng phần phụ đại số phần tử thứ n hàng n a ˆ k ma trận định ma trận N − Ipk ma trận N − Iqk Gọi Qk , Q nghĩa sau:  (1) a1   (2) a1  (1) a3  (2) a3   (1) aˆ1  (2) a ˆ1   (1) aˆ3  (2) a ˆ3  ˆ1 =  ˆ2 =  Q1 =   , Q2 =  , Q , Q  (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) a2 a2 a4 a4 a ˆ2 a ˆ2 a ˆ4 a ˆ4 (2.32) Công thức hệ số phản xạ: Từ (2.14) (2.32) suy ra: Ur (0) = Q1 Ar , Σr (0) = Q2 Ar (2.33) Ar = [Ar1 Ar2 ]T Khử Ar từ hệ cho ta: Σr (0) = Q2 Q−1 Ur (0) 22 (2.34) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH Từ (2.16) (2.32) ta có: ˆ A∗t ˆ A∗t , Σt (e) = Q Ut (e) = Q (2.35) A∗t xác định sau:  ieq1 e ∗ At =    eieq2 (2.36)  At At = [At1 At2 ]T Khử A∗t từ (2.35) dẫn đến: ˆ 2Q ˆ −1 Ut (e) Σt (e) = Q (2.37) Từ điều kiện liên tục (2.19) biên y = y0 = 0, y = yN = e, (2.9)2 (2.31)2 ta có: ˆ ∗ U0 + Ur (0) + T ˆ ∗ Σ0 + Σr (0) , Ut (e) = T ˆ ∗ U0 + Ur (0) + T ˆ ∗ [Σ0 + Σr (0) Σt (e) = T (2.38) Từ (2.33), (2.37) (2.38) dẫn đến phương trình tuyến tính Ar Giải hệ cho cơng thức tính Ar : ˆ∗ − Q ˆ 2Q ˆ −1 T ˆ ∗ Q1 + T ˆ∗ − Q ˆ 2Q ˆ −1 T ˆ ∗ Q2 Ar = − T 1 ˆ∗ − Q ˆ 2Q ˆ −1 T ˆ∗ + T ˆ∗ − Q ˆ 2Q ˆ −1 T ˆ ∗ Q0 U0 × T 1 trơng U0 = [sinφ cosφ]T , Q0 tính cơng thức:   (+) (+) c66 c66 cotgθ0  Q0 =   (+) (+) c12 c22 cotgθ0 −1 (2.39) (2.40) Công thức hệ số khúc xạ: Từ (2.9)1 , điều kiện liên tục (2.19) biên y = y0 = 0, y = yN = e, (2.31)1 , (2.34) (2.35) dẫn đến phương trình A∗t Nghiệm cho ta cơng thức tính A∗t : A∗t = −1 ∗ ˆ ∗ ˆ ∗ T∗3 − Q2 Q−1 T Q1 + T − Q2 Q1 T Q2 23 −1 Q0 − Q2 Q−1 U0 (2.41) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH Các hệ số phản xạ R1 (của sóng qP phản xạ), R2 (của sóng qSV phản xạ) hệ số khúc xạ R3 (của sóng qP khúc xạ), R4 (của sóng qSV khúc xạ) tính cơng thức sau: Rn = |Arn | (n) (n) |a1 |2 + |a2 |2 , Rn+2 = |A∗tn | (n) (n) |ˆ a1 |2 + |ˆ a2 |2 , n = 1, (2.42) Đây cơng thức cần tìm để tính hệ số phản xạ khúc xạ Góc phản xạ, góc khúc xạ: Các góc phản xạ θ1 , θ2 tính cơng thức sau: θk = atan(1/|pk |), k = 1, (2.43) Các góc khúc xạ θ3 , θ4 tính cơng thức sau: θk = atan(1/qk−2 ), k = 3, (2.44) Vận tốc sóng phản xạ sóng khúc xạ: Các vận tốc sóng phản xạ c1 , c2 , vận tốc sóng khúc xạ c3 , c4 tính theo cơng thức: ck = sinθk c0 , k = 1, 2, 3, sinθ0 (2.45) c0 vận tốc sóng tới qP (biết trước) Hướng chuyển dịch sóng phản xạ sóng khúc xạ: Gọi φ1 , φ2 góc tạo véctơ chuyển dịch sóng phản xạ qP, qSV trục 0x2 , φ3 , φ4 góc tạo véctơ chuyển dịch sóng khúc xạ qP, qSV trục 0x2 Khi đó: (k) (k) φk = atan(|a1 |/|a2 |), k = 1, (k) (k) φk+2 = atan(|ˆ a1 |/|ˆ a2 |), k = 1, (2.46) Các kết (2.43), (2.44) (2.46) cho ta hình ảnh hình học phản xạ khúc xạ Chú ý 3: Các cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ (1.35) (chương 1) (2.42) (chương 2) cho trường hợp sóng tới qSV Khi vận tốc sóng tới qP tính thay vận tốc sóng tới qSV tính cơng thức sau: 2ρ(+) c20 = (U (0) + Z (0) ) − [(U (0) − Z (0) )2 + 4(V (0) )2 ]1/2 24 (2.47) CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH Hình 2.1: Biên phân chia độ nhám cao có dạng hình lược 2.4 Một số ví dụ số Như minh họa cho tính hữu hiệu cơng thức tìm được, phần khảo sát (bằng số) phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào góc tới θ0 , số sóng (khơng thứ ngun) e = k0 h sóng tới tham số hình học f = a/(a + b) biên phân chia hình lược (xem Hình 2.1) Chú ý rằng, hệ số phản xạ, khúc xạ đại lượng không thứ nguyên chúng phụ thuộc vào tham số không thứ nguyên sau: (+) e1 = (+) c11 c22 c66 c66 (−) c11 ,e = (+) (−) rµ = c66 (+) , e11 c66 = (+) ,e = (+) (−) c66 , e12 c12 ,r = (+) ρ(+) , ρ(−) c66 (−) (−) c c12 = 22 , e = , (−) 13 (−) c66 c66 (2.48) θ0 , e, f Chú ý biên phân chia L có dạng hình lược, lớp vật liệu với tham số vật liệu cL11 , cL12 , cL22 , cL66 , ρL số Trong ví dụ 25 CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH khảo sát đây, tham số vật liệu không thứ nguyên lấy sau: e1 = 33.8333, e2 = 40.8333, e3 = 12.5, r = 1.5745, rµ = 15.6667, (2.49) e11 = 2.4787, e12 = 2.9255, e13 = 0.8511 Sự phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào số sóng tới khơng thứ ngun e, góc tới θ0 tham số hình học f biên phân chia hình lược trình bầy tương ứng Hình vẽ 2.2-2.4 Chú ý rằng, tiêu chuẩn lượng kiểm tra tính hệ số phản xạ khúc xạ Hình 2.5 trình bầy phụ thuộc góc phản xạ góc khúc xạ vào góc tới θ0 1.4 modumPR modumSVR modumPT modumSVT Kiemtra he so phan xa, khuc xa 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.5 1.5 e Hình 2.2: Sự phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào số sóng tới khơng thứ ngun e ∈ [0 1.5] với θ0 = π/3, f = 0.3 Từ hình vẽ 2.2-2.7 ta thấy rằng: (i) Khi số sóng tới e thay đổi, hệ số sóng qSV phản xạ thay đổi rõ rệt, đặc biệt góc tới tăng, hệ số sóng khác khơng thay đổi nhiều (Hình 2.2) (ii) Hệ số phản xạ khúc xạ phụ thuộc mạnh vào góc tới Khi góc tới tiệm cận π/2, hệ số qSV phản xạ, qP qSV khúc xạ giảm dần 0, hệ số sóng qP phản xạ tăng tới cực đại (Hình 2.3) (iii) Khi f = 0, f = 1, hệ số phản xạ, khúc xạ tương ứng nhau, đặc trưng hình học biên phân chia lúc trở thành đường thẳng Các hệ 26 CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH 1.4 modumPR modumSVR modumPT modumSVT Kiemtra he so phan xa, khuc xa 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 θ 1.2 1.4 1.6 Hình 2.3: Sự phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào góc tới θ0 ∈ (0 π/2] với e = 0.5, f = 0.3 1.1 modumPR modumSVR modumPT modumSVT kiemtra he so phan xa, khuc xa 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 f Hình 2.4: Sự phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào tham số hình học f ∈ [0 1] biên phân chia hình lược với θ = π/3, e = 0.5 số phản xạ, khúc xạ góc tới θ0 nhỏ khơng phụ thuộc nhiều vào hệ số f (Hình 2.4) (iv) Khi góc tới tăng, góc sóng qP phản xạ qP khúc xạ tăng 27 CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH 1.6 PR SVR PT SVT 1.4 1.2 radian 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 θ0 1.2 1.4 1.6 Hình 2.5: Sự phụ thuộc góc phản xạ, góc khúc xạ vào góc tới θ0 ∈ (0 π/2] 1.6 propagation displacement 1.4 1.2 radian 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 θ0 1.2 1.4 1.6 Hình 2.6: Sự phụ thuộc hướng lan truyền hướng chuyển dịch sóng qP phản xạ vào góc tới θ0 ∈ (0 π/2] mạnh, góc hai sóng qSV phản xạ khúc xạ tăng chậm nhiều (Hình 2.5) (v) Hướng lan truyền hướng chuyển dịch sóng qP phản xạ khơng hồn tồn trùng nhau, đặc trưng sóng quasi mơi trường trực 28 CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH 1.7 pi/2−propagation displacement 1.6 radian 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0.2 0.4 0.6 0.8 θ0 1.2 1.4 1.6 Hình 2.7: Sự phụ thuộc hướng lan truyền hướng chuyển dịch sóng qSV khúc xạ vào góc tới θ0 ∈ (0 π/2] hướng (Hình 2.6) (vi) Hướng lan truyền hướng chuyển dịch sóng qSV khúc xạ khơng hồn tồn vng góc với nhau, đặc trưng sóng quasi mơi trường trực hướng (Hình 2.7) 29 Kết luận Luận văn nghiên cứu phản xạ, khúc xạ sóng dàn hồi qP biên phân chia độ nhám cao, phân chia hai bán không gian đàn hồi trực hướng nén thuàn Kết luận văn: Tìm cơng thức dạng hiển để tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qP Khi thay vận tốc sóng tới qP vận tốc sóng tới qSV, cơng thức thu trở thành cơng thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ sóng qSV Sử dụng cơng thức tìm khảo sát số phụ thuộc hệ số phản xạ, khúc xạ vào góc tới, số sóng tới (khơng thứ ngun), tham số hình học biên phân chia trường hợp có dạng hình lược Các kết thu luận văn Sau hoàn thiện kết gửi đăng tạp chí chun ngành nước quốc tế Hướng nghiên cứu tiếp theo: Sử dụng cơng thức tìm được, khảo sát ảnh hưởng biên phân chia tới hệ số phản xạ, khúc xạ Mở rộng kết luận văn cho trường hợp hai bán không gian monoclinic x3 = 30 Tài liệu tham khảo [1] Achenbach.J.D, 1973, Wave propagation in Elastic Solids, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford [2] Achdou, Y., Pironneau, O., and Valentin, F., 1998, Effective Boundary Conditions for Laminar Flows Over Rough Boundaries, J Comput Phys 147, pp 187–218 [3] Bensoussan, A., Lions, J B., Papanicolaou, J., 1978, Asymptotic analysics for periodic structures, North-Holland, Amsterdam [4] Chattopadhyay, A and G.A Rogerson, 2001, Wave reflection in slightly compressible, finitely deformed elastic media, Arch Appl Mech 71, pp 307-316 [5] Chattopadhyay, A., 2004, Wave reflection and refraction in triclinic crystalline media, Arch Appl Mech 73, pp 568-579 [6] Crampin, S and D.B Taylor, 1971, The propagation of surface waves in anisotropic media, Geophys J Roy Astron Soc 25, pp 71-87 [7] Nevard, J., and Keller, J B., 1997, Homogenization of Rough Boundaries and Interfaces, SIAM J Appl Math 57, pp 1660–1686 [8] Singh, S S., Tomar, S K., 2007, Quassi-P-waves at a corrugated interface between two dissimilar monoclinic elastic half-spaces, Int J Solids Struct 44, pp 197-228 [9] A.N Stroh, 1962, Steady state problems in anisotropic elasticity, J Math Phys 41, pp 77-103 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Talbot, J R S., Titchener, J B., and Willis, J R., 1990, The Reflection of Electromagnetic Waves From Very Rough Interfaces, Wave Motion 12, pp 245–260 [11] Vinh, P C., Tung, D X., 2010, Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces, Mech Res Comm 37, pp 285-288 [12] Vinh, P C., Tung, D X, 2011, Homogenization of rough two-dimensional interfaces separating two anisotropic solids ASME J Appl Mech 78, 0410141 (7 pages) [13] Vinh, P C., Tung, D X, 2011, Homogenized equations of the linear elasticity theory in two-dimensional domains with interfaces highly oscillating between two circles Acta Mech 218, pp 333-348 [14] Vinh, P.C., 2013, Homogenization of very rough interfaces separating two piezoelectric solids, Acta Mech Acta Mech 224, pp 1077–1088 [15] Zaki K A., Neureuther, A R., 1971, Scattering from a perfectly conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE polarization, IEEE Trans Atenn Propag 19(2), pp 208-214 [16] Vinh, P.C., Anh, V.T.N., Linh, N.T.K., 2016, On a technique for deriving the explicit secular equation of Rayleigh waves in an orthotropic half-space coated by an orthotropic layer, Waves in Random and Complex Media 26, pp 176-188 32 ... xạ, khúc xạ sóng qP biên phân chia CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PH? ?P TRUYỀN THỐNG độ nhám cao đưa tốn phản xạ, khúc xạ sóng qP l? ?p vật liệu... CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHÁT BIỂU STROH Các hệ số phản xạ R1 (của sóng qP phản xạ) , R2 (của sóng qSV phản xạ) hệ số khúc xạ R3 (của sóng qP khúc xạ) ,... Với < c < v1(+) phương trình (2.12) có c? ?p nghiệm phức liên h? ?p: p1 , p2 , p3 = p? ?1 , p4 = p? ?2 , phần ảo p1 p2 số âm 17 CHƯƠNG SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO