Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học HƯỚNG DẪN GIẢI Chuyên đề 15 QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN TRONG TAM GIÁC 15.1 Trường hợp M �B M �C :Khi AM AB Trường hợp M nằm B C (h.15.6) � � � � � � Ta có AMB ACB (tính chất góc ngồi tam giác ).Do AMB ABC (vì ACB ABC ) � � Xét AMB có: ABM AMB Suy AM AB (quan hệ góc cạnh đối diện) Trường hợp M � tia Bx tia đối tia BC M �B (h.15.7) 0 � � � Ta có: ABC ACB 90 (tính chất tam giác cân).Do ABM 90 � Xét ABM có: ABM góc tù nên AM cạnh lớn Vậy AM AB Chứng minh tương tự , M � tia Cy tia đối tia CB M �C AM AB 15 2.(h.15.8) Góc ADB góc nhọ nên góc ADC góc tù ABD � � � � �C � ACD có: A1 A2 ; D1 D nên B �C � � AC AB ABC có B (định lí 1) 15.3 (h.15.9) � � Ta có MN //AC � MNC ACN (so le trong).Mặt � � � � khác , ACN ACB nên MNC ACB (1) ABC có: AB AC nên � ACB � ABC (2) � � Từ(1) (2), suy MNC ABC � � Tam giác MNB cân � MNB MBN (3) (4) � � � � Từ (3) (4) , suy MNC MNB ABC MBN � � Do BNC NBC � BC NC (định lí1) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 15.4 (h.15.10) 0 0 � � � Ta có ACB 180 ( BAC ABC ) 180 (60 75 ) 45 � � Mặt khác, A1 C1 15 (giả thiết) nên � � 450 150 300 A2 600 150 450 , C Giả sử OA OB khơng vng góc với nhau, tức � AOB �900 � Xét trường hợp AOB 90 0 0 � � � � Ta có B 180 ( AOB A2 ) 180 ( AOB 45 ) 45 � � Vậy B A2 � OA OB (định lí 1) � � Mặt khác, AOC cân nên OA OC suy OC OB � B1 C (định lí 1).Từ ta �2 B �1 � � 450 300 � B A2 C hay ABC 75 (trái giả thiết) 0 � � Xét trường hợp AOB 90 ,chứng minh tương tự ta ABC 75 (trái giả thiết) � Vậy AOB 90 � OA OB 15.5.(h.15.11) Xét AHC vuông H , BKC vuông K Ta có: AH �AC ; BK �BC (1) Mặt khác: BC �AH ; AC �BK (giả thiêt) (2) Từ (1) (2), suy BC �AH �AC �BK �BC Do BC AH AC BK Vậy ABC phải tam giác vuông � � � cân C Suy C 90 , A B 45 15.6 (H.15.12) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE AB Vì AE AC nên điểm E nằm A C � 2M �1 ABM AEM (c.g.c) � MB ME M � � � Xét AME có MEC góc ngồi nên MEC M � M � 2; M � D �1 ; D �1 � � MEC ACD; � ACD ECM � � Xét MEC có MEC ECM � MC ME (định lí 1).Do MC MB (vì MB ME ) 15.7.(h.15.13) ABE ACF ( g.c.g ) � AE AF BE CF (1) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học AEF 900 nên AB AE Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD AE AEF cân � � ADE AFE (c.g c ) � ED EF � ADE góc nhọn � BDE ADE cân � � góc tù � Xét BDE có BDE góc tù � BE cạnh lớn Do BE DE � BE EF (2) Từ (1) (2) suy EF có độ dài nhỏ tong đoạn thẳng BE , EF FC 15.8 (h.15.14) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD MA � AMN DMB(c.g.c) � � A2 D AN BD � � � � Ta có ANC ABC � ANC C Do AC AN � � � � (định lí 1).Suy AC BD � D A1 � A2 A1 � � � Dễ thấy A1 A3 A2 góc lớn ba góc � � ,� A1 , A A3 15.9 (h.15.15) � Giả sử tam giác ABC có ABC 60 , ta phải chứng minh AB BC AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD BA Vẽ CH AD � ��D � ABC B� � ABC D Tam giác ABD cân 0 � � Vì ABC 60 nên D 30 CH CD � Xét HCD H có D 30 nên (xem ví dụ 1) 1 AC CD ( DB BC ) ( AB BC ) 2 Mặt khác AC �CH nên “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 15.10 (h.15.16) Trên nửa mặt phẳng bờ MB không chứa C , vẽ tam giác BDM vuông cân B ABD CBM (c.g.c) � AD CM � � 1050 ADB BMC � 450 � � ADM 600 BDM vuông cân B � BDM MA � Xét ADM có ADM 60 nên 15.9) AD DM (xem Mặt khác, DM MB (vì BDM vng ) suy MC MB MA 15.11 (h.15.17) � EBC � ABC có AB AC � � ACB � ABC Do FCB � EBC � FCD EBD có: CF BE , CD BD, FCB nên DF DE (định lý 2) � � Xét DEF có DF DE nên DEF DFE (dịnh lý 1) 15.12 (h.15.18) � � Tam giác ABC cân A � ABC ACB � � � � Ta có B1 C1 (giả thiết) � B2 C2 � MC MB (định lý 1) Xét ABM � � ACM có: : AB AC , AM chung , MB MC � MAB MAC (định lý 2) � � � � � � � � Mặt khác B1 C1 nên MAB B1 MAC C1 Do M M 15.13 (H 15.19) Trên tia đối tia OA lấy điểm N cho ON OA � A1 N AMO NCO(c g.c) � AM NC � Ta có AB AM � AC NC � � � � Xét ACN có AC NC � N A2 � A1 A2 � � ABD ACD có: : AB AC , AD chung , A1 A2 nên BD CD (định lý 2) 15.14 (h.15.20) “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B ,vẽ tia Ax cho � BAM � CAx Trên tia Ax lấy điểm N cho AN AM AMB ANC (c.g c ) � BM CN � AMB � ANC � � � � Mặt khác, AMB AMC nên ANC AMC (1) AMN cân A nên � ANM � AMN (2) � � Từ (1) (2), suy MNC NMC � MC NC � NAC � AMC ANC có : AM AN , AC chung MC NC nên MAC (định lý 2) � � MAC MAB � � DAC DAB có : AC AB, AD chung , DAC DAB nên DC DB (định lý 2) 15.15 (h.15.21) AMB AMC có : MB MC , MA chung , AB AC � � � nên AMB AMC (định lý 2) � M góc nhọn � � �M AMD � � Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: MDC M � � � � � � Mặt khác, M M , M C nên MDC C � � Xét MDC có MDC C � MC MD (dịnh lý 1) Lại MC MB nên MB MD hay MD MB 15.16 (H15.22) Xét trường hợp AB AC ABC tam giác cân, có � A 600 nên tam giác Suy AB BC CA 5cm Chu vi tam giác ABC x3 15(cm) (1) AB � AC Xét trường hợp Không tính tổng quát , giả sử AB AC (h.15.22) Trên tia AB , AC lấy điểm M N cho AM AN 5cm Khi AMN tam giác � MN 5cm Vì AM AN AB AC ( 10cm) nên AB BM AN AB AN CN � BM CN “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � � � � � � Ta có BMC BMN ; BMN ANM ; ANM NCM (Tính chất góc ngồi tam giác)suy � NCM � BMC � � BMC NCM có : BM CN , MC chung , BMC NCM suy BC MN (định lý 2) Chu vi ABC AB BC CA 10 BC 10 MN 15(cm) (2) Từ (1) (2), suy chu vi ABC nhỏ 15cm,khi AB AC 5cm “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page ... 900 nên AB AE Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD AE AEF cân � � ADE AFE (c.g c ) � ED EF � ADE góc nhọn � BDE ADE cân � � góc tù � Xét BDE có BDE góc tù � BE cạnh lớn Do BE DE �... AC BK Vậy ABC phải tam giác vuông � � � cân C Suy C 90 , A B 45 15.6 (H.15.12) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE AB Vì AE AC nên điểm E nằm A C � 2M �1 ABM AEM (c.g.c) � MB... BE EF (2) Từ (1) (2) suy EF có độ dài nhỏ tong đoạn thẳng BE , EF FC 15.8 (h.15.14) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD MA � AMN DMB(c.g.c) � � A2 D AN BD � � � � Ta có ANC ABC