Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 12 VẼ THÊM HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TỐN A Kiến thức cần nhớ Trong số toán chuyên đề trước, phải vẽ thêm hình phụ giải Trong chuyên đề này, hệ thống vài kĩ thuật vẽ hình phụ để giải tốn Mục đích việc vẽ thêm hình phụ Khi vẽ thêm đường phụ, thường nhằm mục đích sau đây: Đem điều kiện cho tốn hình có liên quan đến chứng minh tập hợp (ở hình mới) làm cho chúng có liên quan đến nhau, Tạo nên đoạn thẳng (hay góc) tổng, hiệu gấp đơi hay đoạn thẳng (hay góc) cho trước để đạt chứng minh tập hình học Tạo nên đại lượng (đoạn thẳng hay góc) nhau, thêm vào đại lượng mà đề cho để giúp cho việc chứng minh Tạo nên hình mới, để áp dụng định lý Biến đổi kết luận, hình vẽ làm cho toán trở lên dễ chứng minh Các loại đường phụ thường vẽ: - Kéo dài đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý cắt đường thẳng khác - Nối hai điểm cho trước cố định - Từ điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước - Dựng đường phân giác góc cho trước - Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước * Chú ý: Khi vẽ đường phụ phải có mục đích khơng vẽ tùy tiện B Một số ví dụ: � Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có A=100 Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = AD + BD Giải * Tìm cách giải: Đây tốn khó nhiên bạn biết lưu tâm đến giả thiết toán phương pháp kẻ đường phụ tốn trở nên đơn giản Phân tích kết luận, có hai hướng vẽ đường phụ cho toán - Vì A, D, B khơng thẳng hàng, mà kết luận AD + BD = BC, vẽ thêm hình phụ cho AD + BD đoạn thẳng Sau chứng minh đoạn thẳng BC - Phân tích kết luận nghĩ tới việc tách BC thành tổng hai đoạn thẳng mà có đoạn thẳng BD (hoặc AD) chứng minh đoạn thẳng lại AD (hoặc BD) - Trong hai hướng suy nghĩ trên, lưu ý đến giả thiết tam gias cân biết số đo góc để tính tất góc * Trình bày lời giải: “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Cách vẽ 1: Trên tia đối tia DB lấy điểm K cho DA = DK Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA �C � 400 ABC cân A có � A 1000 nên B ) � AD DE Ta có ABD EBD(c.gc � BAD � 1000 � D � D � D � 600 BED � � Mà BD phân giác góc B nên B1 B2 20 � � Mặt khác: BDC 120 � D4 60 Từ ta có : � � 1800 1000 800 ΔKDC=ΔEDC (c.g.c) � DKC=DEC � = 800 � KCB => BKC cân B � BC = BK = BD + DK = BD + AD Vậy BC = BD + AD Cách vẽ 2: Trên tia BC lấy điểm M cho BM = BA, lấy điểm N cho BN = BD ABD MBD(c.gc ) � AD DM * , � � Ta có: A BMD 100 � 1000 � DNM � BMD 800 1 Do Mặt khác BDN cân B nên � BND � 800 BDN Từ (1) (2) ta có: MDN cân D nên DM DN(**) � � Ta có: NDC=NCD 40 � ΔDNC cân N, nên NC = ND (***) Từ (*) (**) (***) � AD = NC � BC = BN + NC � BC = BD + AD Cách vẽ 3: Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF = BD, cạnh AB lấy điểm K cho AK = AD Ta chứng minh tam giác BKD cân K nên KB = KD, mà KB = DC nên KD = DC ΔAKD=ΔFDC (g.c.g) => AD = FC � BC = BF + FC = BD + AD Vậy BC = BD + AD Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D E thuộc BC cho � DAE=45 (D nằm B E) Chứng minh rằng: BD2 + CE2 = DE2 Giải *Tìm cách giải: Từ kết luận dễ nhận thấy BD, CE, DE thỏa mãn định lý Pitago Do ta tạo tam giác vng có ba cạnh BD, CE, DE DE độ dài cạnh “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học huyền Do BD, CE, DE nằm đường thẳng Do cần kẻ thêm đường phụ Từ C kẻ CK BC lấy CK = BD (K A phía BC) Chỉ cần chứng minh KE = DE * Trình bày lời giải: Từ C kẻ CK BC lấy CK = BD (K A phía BC) � 0 � � Ta có C =90 -C1 90 45 B , CK = BD (theo cách dựng), AC = AB (giải thiết) Do ΔACK = ΔABD (c.g.c) suy AK = AD, � =A � A 0 � � � Ta lại có A =45 (giả thiết) nên A1 +A 45 � � � � suy EAK = A + A = 45 = EAD Xét EAK EAD có AD = AK, AE cạnh chung, � =� EAK EAD (=450 ) � EAK=EAD (c.g.c) � KE = DE Từ đây, hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông � A, C 15 Trên tia BA lấy điểm O cho BO = AC Chứng minh OBC cân Giải * Tìm cách giải: 0 � � Trong tốn phát thấy C 15 suy B 75 mà 750 – 150 = 600 số đo góc tam giác Điều gợi ý cho vẽ tam giác BCM hình vẽ Nhờ cạnh tam giác nhau, góc tam giác 60 0, chứng minh HMB ABC (c.g.c); MOB MOC (c.g.c) dẫn tới OBC cân O Do nên nghĩ tới việc vận dụng vẽ thêm tam giác vào giải tốn * Trình bày lời giải � 0 � � Ta có ΔABC: A 90 ; C 15 (gt); � B 75 Vẽ tam giác BCM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) 0 � � � Ta có : OBM = ABC - MBC = 75 - 60 = 15 “Trên đường thành công dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Gọi H trung điểm OB � HO = HB = OB Mặt khác BO = AC (gt) nên AC = OB, từ ta có AC = BH � � Xét HMB ABC có : BH = AC (cmt) HBM = ACB (=15 ) MB = BC ( cạnh tam giác BMC) � � Do ΔHMB = ΔABC (c.g.c) � H=A=90 � MH OB � =� MHO =900 ; BH = HO ; MH chung HMB MOH có MHB � � � � 150 � OBM=BOM � ΔMBH = ΔMOH � OBM=BOM � -2.150 =1500 � BMO=180 � � Từ MB = MC, CMO = BMO (=150 ) , OM cạnh chung Do ΔMOB = ΔMOC (c.g.c) � OB=OC Vậy tam giác OBC cân O (điều phải chứng minh) Ví dụ : Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD Trên tia BA lấy điểm � E cho BE = 2CD Chứng minh rằng: EDB =90 Giải * Tìm cách giải : Từ giải thiết BE = 2CD, gợi ý cho vẽ trung điểm F BE Muốn chứng � minh EDB =90 mà FB = FE, nên cần chứng minh BF = FD = FE * Trình bày lời giải BE ) Cách 1: Gọi F trung điểm BE FB CD ( Mà AB AC(ABC can A) nên AF AD � AFD cân A � 1800 BAC ) � � Từ AFD ABC( Suy DF // BC ( hai góc đồng vị ) Nên � FDB � ( � FBD DBC ) Điều dẫn đến FBD cân F, hay FD FB BE FD BE BDE có F trung điểm cạnh BE � nên BDE vuông D hay EDB 90 ( điều phải chứng minh) Cách 2: Từ D kẻ DF / / BC F �AB � � Suy FDB CDB( so le trong) “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � FDB � � FBD � FBD cân F � BF = FD Mặt khác, AFD ABC cân A, suy AF = AD, AB = AC � BF = CD � Từ suy BF = FD = FE � BDE vuông D hay EDB 90 ( điều phải chứng minh) AB AC , kẻ AH Ví dụ Cho ABC BC H Gọi M trung điểm BC Biết AM chia góc A thành góc Chứng minh rằng: a) ABC vng b) ABM Giải * Tìm cách giải Muố chứng minh ABC vuông A ta cần kẻ thêm đường thẳng vng góc với AC chứng minh đường thẳng song song với AB, từ suy AB AC suy � A 900 * Trình bày lời giải a) Vẽ MI vng góc với AC � � � IAM � AHM AIM có AHM AIM 90 , AM cạnh chung, HAM � AHM = AIM (c.h – g.n) � MI = MH � � � HAB � AHM AHB có AHM AHB 90 , AH cạnh chung, HAM � AHM = AHB (g.c.g) � BH = MH � BH MH Vậy 1 � 300; HAC � 600 BM � MI MC � C 2 � 600.3 : 90 0� BAC ABC vuông A AM MB BC � ABM � � b) Ta có : C 30 � B 60 ; cân có góc 60 � ABM * � � 0 Ví dụ Cho ABC với BAC 40 ABC 60 Gọi D E theo thứ tự � � 0 điểm nằm cạnh AB AC cho DCB 70 EBC 40 ; F giao điểm DC EB Chứng minh : AF vng góc với BC Giải “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học � Trên AC lấy đểm N cho ABN 40 Ta có: � � 400 ABN BAN nên ABN cân N, suy � 800 BNC ( tính chất góc ngồi tam � � giác) Do BNC BCN 80 , suy BFC cân B � BN BC(1) � � � 700 BFC có FBC 40 , FCB 70 nên BFC Vậy BFC cân B � BC BF (2) Từ (1) (2) suy BN = BF (3) Kéo dài BC lấy điểm M cho BM = BA � ABM � � Xét ABN tam giác MBF có AB =MB;BN=BF(do(3)), ABN = FBM =48o Do ABN = MBF (c.g.c) Mà VABN cân N, suy MBF cân F Từ AB=AM(do � MAF � ABM đều), FB=FM � ABF AMF (c.c.c) suy BAF Mặt khác , ABM nên AF vng góc với BC Nhận xét: - Bài tốn tương đối khó phải vẽ thêm nhiều đường phụ -Ngồi cách giải đây, dựng thêm tam giác BCK tam giác AFH, đến kết luận toán C Bài tập vận dụng 12.1 Cho ABC (AB=BC), cạnh AB lấy điểm D, Trên phần kéo dần cạnh AC lấy điểm E cho BD=CE Gọi F giao điểm DE BC Chứng minh DF=FE � A =.Trên tia đối CB lấy D cho CD =2.CB Tính � ADB 12.2 Cho VABC có B =; � 1� yOz � � 12.3 Ở góc nhọn xOy vẽ tia Oz cho xOz = Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vng góc Ox cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD=OA Chứng minh tam giác AOD cân � � 12.4 Cho VABC có ABC =50°; BAC = 70° Tia phân giác góc ABC cắt AB M Trên MC lấy điểm � N cho MBN =40° Chứng minh BN=MC � 12.5 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia CB, lấy điểm D cho CAD =15° Đường cng góc với BC C cắt AD E Tia phân giác góc B cắt AD K Chứng minh AK=ED 12.6 Cho tam giác ABC với trung điểm M BC Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB kẻ doạn thẳng AE vng góc với AB cho AB=AE Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC kẻ đoạn thẳng AF=AC AF vng góc với AC Chứng minh EF=2AM EF AC “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học 12.7 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi E trung điểm cạnh AC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với BE D Chứng minh AD=2ED 12.8 Về phía ngồi tam giác ABC, dựng tam giác XBC cân X có góc XBC 1200 tam giác YCA, ZAB Chứng minh XA vng góc góc YZ � 12.9 Cho tam giác ABC vng A có ABC 54 Gọi M trung điểm BC Đường thẳng AM đường phân giác CD tam giác cắt E Chứng minh CE=AB 12.10 Cho ABC vng A, AB