Báo cáo sáng kiến Kỹ năng vẽ hình phụ để giải các bài tập trong chương II Đường tròn-hình học 9

PHÒNG GD & ĐT BẢO THẲNG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TRƯỜNG THCS SƠN HÀ Sơn Hà, ngày 05 tháng 01 năm 2012 Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp sở Tên là: Nguyễn Thị Kim Thúy Sinh ngày 19 tháng 10 năm 1980 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THCS Sơn Hà Trình độ chun mơn: Cao đẳng sư phạm Chun ngành: Tốn - Lý Các điều kiện chủ yếu công nhận sáng kiến: Chuyên đề “Kĩ vẽ hình phụ để giải tập chương II: Đường trịn - hình hc lp A- Mô tả giải pháp Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, có lúc việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở lên dễ ràng hơn, thuận lợi Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải toán Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ tốn có lời giải ngắn gọn vấn đề khiến phải đầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ giải tốn hình học Tùy tốn cụ thể, có cách vẽ thêm đường phụ hợp lý để đưa đến cách giải hay độc đáo Song công việc tùy tiện, việc vẽ thêm đường phụ ln phải tn theo tốn dựng hình mà biết, đồng thời phải dựa vào tư người với toán cụ thể Đối với học sinh đại trà việc vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh tốn việc tương đối khó khăn, nhiên thầy giáo phải hình thành dần, rèn luyện dần tư duy, kỹ vẽ thêm yếu tố phụ cho học sinh Muốn học sinh phải nắm vững kiến thức học, xác định rõ yêu cầu đề để từ đưa cách vẽ cho phù hợp Trong chương trình hình học lớp đặc biệt chương II: Đường tròn, việc rèn luyện tư kĩ vẽ yếu tố phụ cho học sinh quan trọng cần thiết Trong trình dạy học chương này, phần kiến thức hướng dẫn học sinh tìm số cách chung để vẽ yếu tố phụ cho toán loại sau: - Khi học sinh học song Tiết 20 - Bài đường kính dây đường trịn giáo viên đưa hai ví dụ: Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm O có I trung điểm dây CD (dây CD khơng phải đường kính) Ta nối g O O với I OI ⊥ CD = {I} (Theo định lý đường tròn, đường kính qua trung điểm dây khơng C D I qua tâm vng góc với dây ấy) => Giáo viên giới thiệu kĩ vẽ hình phụ 1a: Trong đường trịn có trung điểm dây cung lưu ý nối trung điểm với tâm Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O có dây CD khơng g phải đường kính Ta kẻ OI ⊥ CD = {I} I trung O điểm CD (Theo định lý đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm C I D dây ấy) => Giáo viên giới thiệu kĩ vẽ hình phụ 1b: Trong đường trịn muốn có trung điểm dây, ta cần ý hạ đường vng góc từ tâm đến dây - Sau học sinh phát biểu định lý “Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm” Tiết 24 - Bài vị trí tương đối đường thẳng đường trịn giáo viên đưa ví dụ: Cho đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn tâm O C Nếu ta nối tâm O với tiếp điểm C ta có OC ⊥ a = {C} g O a C tập có tiếp => Giáo viên giới thiệu kĩ vẽ hình phụ 2a: Những tuyến với đường tròn ta ý nối tâm với tiếp điểm - Học sinh làm tập 26 phần a(SGK Toán tập trang 115) tiết 27 - Bài Tính chất hai tiếp tuyến cắt giáo viên giới thiệu kĩ vẽ hình phụ 2b: Bài tốn có hai tiếp tuyến giao ta ý nối giao điểm hai tiếp tuyến với tâm nối hai tiếp điểm - Kỹ vẽ hình phụ 3: Bài tốn có hai đường tròn cắt ta ý nối tâm vẽ thêm đường dây chung chúng giới thiệu sau học sinh làm song ?3 tiết 29 - Bài Vị trí tương đối hai đường tròn - Sau học sinh học song tiết 30: Bài Vị trí tương đối hai đường trịn (tiếp theo) giáo viên giới thiệu kĩ sau: a) Bài tốn có hai đường trịn tiếp xúc ta ý vẽ đường nối tâm b) Bài toán có hai đường trịn tiếp xúc ngồi ý kẻ thêm tiếp tuyến chung kẻ thêm đường nối tâm Tóm lại, q trình giảng dạy tơi hướng dẫn học sinh tìm bốn kĩ “Vẽ hình phụ để giải tập chương II: Đường trịn - hình học lớp 9” sau: *Kĩ a) Trong đường trịn có trung điểm dây cung lưu ý nối trung điểm với tâm b) Trong đường trịn muốn có trung điểm dây, ta cần ý hạ đường vng góc từ tâm đến dây *Kĩ a) Những tập có tiếp tuyến với đường trịn ta ý nối tâm với tiếp điểm b) Bài tốn có hai tiếp tuyến giao ta ý nối giao điểm hai tiếp tuyến với tâm nối hai tiếp điểm *Kĩ Bài tốn có hai đường trịn cắt ta ý nối tâm vẽ thêm đường dây chung chúng *Kĩ a) Bài tốn có hai đường trịn tiếp xúc ta ý vẽ đường nối tâm b) tốn có hai đường trịn tiếp xúc ngồi ý kẻ thêm tiếp tuyến chung kẻ thêm đường nối tâm Sau xin giới thiệu số tập áp dụng có vận dụng kĩ vẽ hình phụ triển khai trên: Bài tập 1: Bài 11 (SGK Toán tập trang 104) *Đề bài: Cho đường trịn tâm O đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK *Bài giải: AB ) có CD < AB CD ∩ AB = ∅ (O; GT H AH ⊥ CD = {H} A M C D K g O B BK ⊥ CD = {K} KL CH = DK Chứng minh Áp dụng kĩ 1b ta kẻ OM ⊥ CD = {M} M trung điểm đoạn thẳng CD nên ta có MC = MD (1) Ta lại có AH // BK (vì AH BK vng góc với CD) nên tứ giác AHKB hình thang Mà hình thang AHKB có OA = OB (vì bán kính đường trịn tâm O) OM // AH // BK nên M trung điểm đoạn thẳng HK, suy MH = MK (2) Từ (1) (2) suy CH = DK *Khai thác toán: a) Bài toán 1: Trường hợp CD cắt AB C Áp dụng kĩ 1b ta kẻ OM ⊥ CD = {M} M trung điểm CD nên MC = MD (1) Nối H với B giả sử OM cắt HB giao điểm E Xét ∆ AHB có OA = OB; OE // AH nên EH = EB A H g E M O K D B Xét ∆ HBK có EH = EB (chứng minh trên); EM // BK (vì vng góc với CD), nên suy MH = MK (2) Từ (1) (2) suy CH = DK b) Bài toán 2: Trường hợp từ C D kẻ đường vng góc kẻ đường vng góc với CD cắt AB M, N Chứng minh AM = BN Áp dụng kĩ 1b ta kẻ OI ⊥ CD = {I} I C trung điểm CD nên IC = ID Xét tứ giác MNDC có MC //ND (vì vng A M I D • O N B góc với CD) nên tứ giác MNDC hình thang Trong hình thang MNDC có IC = ID (theo chứng minh trên) OI // MC // ND (vì vng góc với CD) nên suy OM = ON (1) Mà OA = OB (vì bán kính đường trịn tâm O) (2) Từ (1) (2) suy AM = BN Bài tập 2: *Đề bài: Cho đường tròn tâm O đường AB Dây cung MN qua trung điểm H OB Kẻ AD vng góc với MN K (D thuộc đường tròn tâm O) Gọi I trung điểm MN, tia BI cắt AD C Chứng minh rằng: a) Tứ giác BNCM hình bình hành b) C trung điểm đoạn thẳng AD *Bài giải: GT KL AB (O; ), HB = HO MN ∩ OB = {H}, AD ⊥ MN = {K} M g O A IM = IN; BI ∩ AD = {C} a) Tứ giác BNCM hình bình hành b) C trung điểm đoạn thẳng AD C K H B I D N Chứng minh a) Áp dụng kĩ 1a ta nối O với trung điểm I đoạn thẳng MN ta có OI ⊥ MN = {I} Mà OI // AD (vì vng góc với MN) nên suy OI // AC Xét ∆ ABC có OA = OB (vì bán kính) OI //AC (chứng minh trên) nên I trung điểm CB, suy IC = IB Tứ giác BNCM có MN ∩ CD = {I}; IM = IN (theo giả thiết); IC = IB (theo chứng minh trên) nên tứ giác BNCM hình bình hành b) Nối O với C Xét ∆ OBC có HO = HB, IC = IB nên HI đường trung bình ∆ OBC, ta có HI //OC (1) Mà HI ⊥ AD (2) Từ (1) (2) suy OC ⊥ AD = {C} nên C trung điểm đoạn thẳng AD Bài tập 3: Bài 30 (SGK Toán tập trang 116) *Đề bài: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB (đường kính đường trịn chia đường trịn thành hai nửa đường trịn) Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: · a) COD = 900 b) CD = AC + BD c) Tích AC BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường trịn *Bài giải: Nưa (O; GT AB ) có y Ax ⊥ AB = {A}; By ⊥ AB = {B } AB M ∈ nöa (O; ); M ≠ A, B Tiếp tuyến M cắt Ax C, By t¹i D · K a) COD = 900 L b) CD = AC + BD c) AC BD không đổi M di chuyển nửa (O; AB ) Chøng minh: D x M C A g O B OM ⊥ a) Áp dụng kĩ 2a ta nối tâm O với tiếp điểm M ta có CD = {M} Vì tiếp tuyến CA cắt tiếp tuyến CM giao điểm C nên OC tia phân giác · AOM (1) Và tiếp tuyến DM cắt tiếp tuyến DB giao điểm D nên OD tia phân · giác BOM (2) · Mà · AOM BOM hai góc kề bù (3) · Từ (1), (2) (3) suy COD = 900 b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MC = AC MD = BD (1) Mà CD = MC + MD (2) Từ (1) (2) suy CD = AC + BD c) Ta có AC BD = MC MD (1) Xét ∆ COD vng O có OM ⊥ CD = {M} nên MC MD = OM (trong OM bán kính đường trịn tâm O) (2) Từ (1) (2) suy AC BD = OM2 Vậy tích AC BD khơng đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn (O; AB ) Bài tập 4: Bài 61 (SBT Toán tập trang 136) *Đề bài: Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By (Ax By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo thứ tự C, D a) Chứng minh đường trịn có đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ y c) Tìm vị trí C, D để hình thang ABDC có chu vi 14cm, x biết AB = 4cm M *Bài giải: D I C a) Áp dụng kĩ 2a ta nối tâm O với tiếp điểm M A g O B Áp dụng kĩ 2b ta nối C với tâm O, D với tâm O Ta có tia OC, OD tia phân giác hai góc · · kề bù · AOM BOM nên COD = 90 , ∆ COD vng O Gọi I trung điểm CD Tam giác COD vng O có trung tuyến IO = CD nên IO = IC = ID, ta có đường trịn đường kính CD có tâm I, bán kính IO = CD (1) Hình thang ABDC có OA = OB, IC = ID nên OI đường trung bình hình thang ABDC, IO // DB, mà DB ⊥ AB nên IO ⊥ AB = {O} (2)  CD   tiếp xúc với AB O   Từ (1) (2) suy  I ; b) Chu vi hình thang ABDC AB + AC + BD + CD (1) Mà AC + BD = CM + MD = CD (2) Từ (1) (2) suy chu vi hình thang ABDC AB + 2CD Ta có AB không đổi nên chu vi hinh thang ABDC nhỏ CD nhỏ CD nhỏ ⇔ CD = AB ⇔ CD // AB ⇔ OM ⊥ AB Vậy OM ⊥ AB chu vi hình thang ABDC nhỏ 3AB c) Đặt AC = x, BD = y Chu vi hình thang ABDC AB + 2CD = + 2(x+y) Do chu vi hình thang ABDC 14 nên ta có + 2(x + y) = 14 hay x + y = (1) Ta lại có x.y = MC MD = OM (hệ thức lượng tam giác vuông COD), nên x.y = 22 = => y = x (2) Từ (1) (2) suy ra: x+ x =1 = ⇔ x + = x ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − 4) = ⇔  x x = Như vậy, điểm C (thuộc tia Ax) cách điểm A 1cm 4cm chu vi hình thang ABDC 14cm Bài tập 5: Bài 73 (SBT Toán tập trang 139) *Đề bài: Cho hai đường tròn tâm O tâm O’ tiếp xúc A Gọi CD tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn {C∈ (O) D ∈ (O’)} a) Tính số đo góc CAD b) Tính độ dài CD biết OA = 4,5 cm OA’ = 2cm *Bài giải: C M g A O D g O’ a) Áp dụng kĩ 4b ta kẻ tiếp tuyến trung AM cắt CD M Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MA = MC = MD nên · MA = CD => ∆ ACD vuông A => CAD = 900 b) Áp dụng kĩ 2a ta nối tâm O với tiếp điểm C, tâm O’ với tiếp điểm D Áp dụng kĩ 2b ta nối M với O, M với O’ · · Ta có MO, MO’ tia phân giác hai góc kề bù CMA DMA · nên OMO ' = 900, ∆ OMO’ vng M Áp dụng hệ thức cạnh đường cao vào tam giác vng OMO ’ có MA ⊥ OO’, ta có MA2 = OA.O’A = 4,5.2 = => MA = 3cm Mà MA = CD => CD = 2.MA = 2.3 = 6cm Bài tập 6: Bài 74 (SBT Toán tập trang 139) *Đề bài: Cho hai đường tròn đồng tâm O Một đường tròn tâm O ’ cắt đường tròn đồng tâm O A, B cắt đường tròn đồng tâm lại C, D Chứng minh AB // CD *Bài giải: Áp dụng kĩ 3: Ta nối tâm O C ’ với tâm O nối A với B, nối C với D Đường tròn (O’) cắt đường tròn (O, OA) A g g O O’ B D A B nên OO’ ⊥ AB (1) Đường tròn (O’) cắt đường tròn (O, OC) C D nên OO’ ⊥ CD (2) Từ (1) (2) suy AB // CD B -TÍNH MỚI CỦA GIẢI PHÁP Tính giải pháp học sinh chủ động, tự thân giải tốn hình hoc chương II: Đường trịn mà khơng cần có hỗ trợ giáo viên Chính thế, mà q trình giảng dạy chương ý rèn luyện cho học sinh tư kỹ vẽ thêm yếu tố phụ chứng minh tốn, điều giúp em có kiến thức sâu hơn, ý thức ngại học mơn hình giảm đi, ý thức tự học tự nghiên cứu hình thành hoàn thiện dần làm cho học sinh ngày u thích mơn hình học C - HỮU ÍCH CỦA GIẢI PHÁP Sau nghiên cứu, triển khai thực chuyên đề “Kĩ vẽ hình phụ để giải tập chương II: Đường trịn - hình học lớp 9” tơi thấy trình giảng dạy giáo viên hướng dẫn cho học sinh khai thác lý thuyết tập cho phù hợp với đối tượng học sinh để tìm bốn kĩ vẽ hình phụ quan trọng yêu cầu học sinh phải nắm bốn kĩ vẽ hình phụ đó, cho học sinh làm số tập áp dụng có vận dụng kĩ vẽ hình phụ tơi thấy khả phân tích tốn, kỹ vẽ thêm yếu tố phụ trước chứng minh học sinh nâng lên, đặc biệt học sinh tự tin trình bày lời giải tốn hình học Chính mà chất lượng học tập học sinh nâng lên, tính từ tháng 8/2010 đến tháng 1/2011 có kết khảo sát sau: Năm học Tổng Khối số HS Phân loại Kết khảo sát đầu năm học ¬ 10 Kết khảo sát sau thực chuyên đề 2010-2011 62 Giỏi 3,2% 11 17,7% Khá 9,7% 21 33,9% 22 35,5% TB 24 38,7% 20 Yếu 32,2% 9,7% Kém 12 19,4% 0% Năm học 2011-2012 không trưc tiếp giảng dạy mơn Tốn lớp [ tơi đồng chí Cao Kim Oanh phối hợp thực Sau dự lớp 9B (học kì I) khảo sát chất lượng với tổng số 28 học sinh kết đạt sau: Năm học Tổng Khối số HS Phân loại Kết khảo sát đầu năm học Kết khảo sát sau thực chuyên đề ¬ 2011-2012 28 13 Giỏi Khá TB Yếu Kém 0% 7,1% 46,5% 25,0% 21,4% 14 10,7% 28,6% 50,0% 10,7% 0% D - KHẢ NĂNG PHỔ BIẾN NHÂN RỘNG Trên số kinh nghiệm dạy chương II: Đường trịn - hình học tơi nhận thấy kết đạt được: Về phía giáo viên: Đạt mục đích dạy học đề hướng dẫn rèn cho học sinh nắm bốn kĩ vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải tập chương II: Đường trịn Về phía học sinh: Tiếp thu kiến thức cách chủ động, tích cực, độc lập, sáng tạo Hình thành kĩ vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải tập chương II: Đường trịn Có lẽ chun đề “Kĩ vẽ hình phụ để giải tập chương II: Đường tròn - hình học lớp 9” phần có hiệu công tác giảng dạy thực tế trường THCS Sơn Hà Vì thực nghiệm giảng dạy cịn ít, khơng thể tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tơi mong nhận xét, góp ý cấp lãnh đạo, nhà chuyên môn đặc biệt bạn đồng nghiệp 11 Tôi xin chân thành cảm ơn Người viết Nguyễn Thị Kim Thúy Nhận xét, xếp loại tổ chuyên môn Nhận xét, xếp loại BGH Xác nhận quan cấp 12 13 ... phía học sinh: Tiếp thu kiến thức cách chủ động, tích cực, độc lập, sáng tạo Hình thành kĩ vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải tập chương II: Đường trịn Có lẽ chun đề “Kĩ vẽ hình phụ để giải tập chương. .. học sinh tìm bốn kĩ ? ?Vẽ hình phụ để giải tập chương II: Đường tròn - hình học lớp 9? ?? sau: *Kĩ a) Trong đường trịn có trung điểm dây cung lưu ý nối trung điểm với tâm b) Trong đường trịn muốn có... chương II: Đường trịn - hình học tơi nhận thấy kết đạt được: Về phía giáo viên: Đạt mục đích dạy học đề hướng dẫn rèn cho học sinh nắm bốn kĩ vẽ thêm hình phụ để áp dụng giải tập chương II: Đường