Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Phát triển tư Hình học Chuyên đề 12 VẼ THÊM HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TỐN A Kiến thức cần nhớ Trong số toán chuyên đề trước, phải vẽ thêm hình phụ giải Trong chuyên đề này, hệ thống vài kĩ thuật vẽ hình phụ để giải tốn Mục đích việc vẽ thêm hình phụ Khi vẽ thêm đường phụ, thường nhằm mục đích sau đây: Đem điều kiện cho tốn hình có liên quan đến chứng minh tập hợp (ở hình mới) làm cho chúng có liên quan đến nhau, Tạo nên đoạn thẳng (hay góc) tổng, hiệu gấp đơi hay đoạn thẳng (hay góc) cho trước để đạt chứng minh tập hình học Tạo nên đại lượng (đoạn thẳng hay góc) nhau, thêm vào đại lượng mà đề cho để giúp cho việc chứng minh Tạo nên hình mới, để áp dụng định lý Biến đổi kết luận, hình vẽ làm cho toán trở lên dễ chứng minh Các loại đường phụ thường vẽ: - Kéo dài đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý cắt đường thẳng khác - Nối hai điểm cho trước cố định - Từ điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước - Dựng đường phân giác góc cho trước - Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước * Chú ý: Khi vẽ đường phụ phải có mục đích khơng vẽ tùy tiện B Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có Tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = AD + BD Giải * Tìm cách giải: Đây tốn khó nhiên bạn biết lưu tâm đến giả thiết toán phương pháp kẻ đường phụ tốn trở nên đơn giản Phân tích kết luận, có hai hướng vẽ đường phụ cho tốn - Vì A, D, B khơng thẳng hàng, mà kết luận AD + BD = BC, vẽ thêm hình phụ cho AD + BD đoạn thẳng Sau chứng minh đoạn thẳng BC - Phân tích kết luận nghĩ tới việc tách BC thành tổng hai đoạn thẳng mà có đoạn thẳng BD (hoặc AD) chứng minh đoạn thẳng lại AD (hoặc BD) - Trong hai hướng suy nghĩ trên, lưu ý đến giả thiết tam gias cân biết số đo góc để tính tất góc * Trình bày lời giải: Cách vẽ 1: Trên tia đối tia DB lấy điểm K cho DA = DK Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA cân A có nên “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Ta có Mà phân giác góc B nên Mặt khác: Từ ta có : (c.g.c) => cân B BC = BK = BD + DK = BD + AD Vậy BC = BD + AD Cách vẽ 2: Trên tia BC lấy điểm M cho BM = BA, lấy điểm N cho BN = BD Ta có: Do Mặt khác cân B nên Từ (1) (2) ta có: cân D nên Ta có: cân N, nên NC = ND (***) Từ (*) (**) (***) AD = NC BC = BN + NC BC = BD + AD Cách vẽ 3: Trên cạnh BC lấy điểm F cho BF = BD, cạnh AB lấy điểm K cho AK = AD Ta chứng minh tam giác BKD cân K nên KB = KD, mà KB = DC nên KD = DC (g.c.g) => AD = FC BC = BF + FC = BD + AD Vậy BC = BD + AD Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D E thuộc BC cho (D nằm B E) Chứng minh rằng: BD2 + CE2 = DE2 “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Giải *Tìm cách giải: Từ kết luận dễ nhận thấy BD, CE, DE thỏa mãn định lý Pitago Do ta tạo tam giác vng có ba cạnh BD, CE, DE DE độ dài cạnh huyền Do BD, CE, DE nằm đường thẳng Do cần kẻ thêm đường phụ Từ C kẻ CK BC lấy CK = BD (K A phía BC) Chỉ cần chứng minh KE = DE * Trình bày lời giải: Từ C kẻ CK BC lấy CK = BD (K A phía BC) Ta có , CK = BD (theo cách dựng), AC = AB (giải thiết) Do (c.g.c) suy AK = AD, Ta lại có (giả thiết) nên suy Xét có AD = AK, AE cạnh chung, Từ đây, hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông A, Trên tia BA lấy điểm O cho BO = AC Chứng minh OBC cân Giải * Tìm cách giải: Trong tốn phát thấy suy mà 0 75 – 15 = 60 số đo góc tam giác Điều gợi ý cho vẽ tam giác BCM hình vẽ Nhờ cạnh tam giác nhau, góc tam giác 60 0, chứng minh (c.g.c); (c.g.c) dẫn tới cân O Do nên nghĩ tới việc vận dụng vẽ thêm tam giác vào giải tốn * Trình bày lời giải Ta có Vẽ tam giác BCM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) Ta có : “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Gọi H trung điểm OB HO = HB = Mặt khác BO = AC (gt) nên AC = OB OB, từ ta có AC = BH Xét có : BH = AC (cmt) MB = BC ( cạnh tam giác BMC) Do có Từ MB = MC, ; BH = HO ; MH chung , OM cạnh chung Do Vậy tam giác OBC cân O (điều phải chứng minh) Ví dụ : Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD Trên tia BA lấy điểm E cho BE = 2CD Chứng minh rằng: Giải * Tìm cách giải : Từ giải thiết BE = 2CD, gợi ý cho vẽ trung điểm F BE Muốn chứng minh mà FB = FE, nên cần chứng minh BF = FD = FE * Trình bày lời giải Cách 1: Gọi F trung điểm BE can A) nên ( Mà cân A “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Từ Suy DF // BC ( hai góc đồng vị ) Nên Điều dẫn đến cân F, hay có F trung điểm cạnh BE nên vuông D hay chứng minh) điều phải Cách 2: Từ D kẻ Suy cân F Mặt khác, so le trong) BF = FD cân A, suy AF = AD, AB = AC Từ suy BF = FD = FE minh) Ví dụ Cho vng D hay BF = CD điều phải chứng , kẻ AH H Gọi M trung điểm BC Biết AM chia góc A thành góc Chứng minh rằng: a) vuông b) Giải * Tìm cách giải Muố chứng minh vng A ta cần kẻ thêm đường thẳng vng góc với AC chứng minh đường thẳng song song với AB, từ suy suy * Trình bày lời giải a) Vẽ MI vng góc với AC “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học có = AM cạnh chung, (c.h – g.n) MI = MH có = AH cạnh chung, (g.c.g) BH = MH Vậy vuông A b) Ta có : ; cân có góc Ví dụ Cho với Gọi D E theo thứ tự điểm nằm cạnh AB AC cho DC EB Chứng minh : AF vng góc với BC Giải Trên AC lấy đểm N ; F giao điểm Ta có: cân N, suy ( tính chất góc ngồi tam giác) Do , suy cân B có nên Vậy cân B Từ (1) (2) suy BN = BF (3) Kéo dài BC lấy điểm M cho BM = BA Xét Do tam giác = đều), FB=FM có AB =MB;BN=BF(do(3)), (c.g.c) Mà cân N, suy = =48o cân F Từ AB=AM(do (c.c.c) suy “Trên đường thành công khơng có dấu chân kẻ lười biếng” Page Phát triển tư Hình học Mặt khác , nên AF vng góc với BC Nhận xét: - Bài tốn tương đối khó phải vẽ thêm nhiều đường phụ -Ngồi cách giải đây, dựng thêm tam giác BCK tam giác AFH, đến kết luận toán C Bài tập vận dụng 12.1 Cho (AB=BC), cạnh AB lấy điểm D, Trên phần kéo dần cạnh AC lấy điểm E cho BD=CE Gọi F giao điểm DE BC Chứng minh DF=FE 12.2 Cho có 12.3 Ở góc nhọn =; =.Trên tia đối CB lấy D cho CD =2.CB Tính vẽ tia Oz cho = Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vng góc Ox cắt Oz B Trên tia Bz lấy D cho BD=OA Chứng minh tam giác AOD cân 12.4 Cho có =50°; = 70° Tia phân giác góc ABC cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho =40° Chứng minh BN=MC 12.5 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia CB, lấy điểm D cho =15° Đường cuông góc với BC C cắt AD E Tia phân giác góc B cắt AD K Chứng minh AK=ED 12.6 Cho tam giác ABC với trung điểm M BC Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đường thẳng AB kẻ doạn thẳng AE vng góc với AB cho AB=AE Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đường thẳng AC kẻ đoạn thẳng AF=AC AF vng góc với AC Chứng minh EF=2AM EF AC 12.7 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi E trung điểm cạnh AC Qua A kẻ đường thẳng vng góc với BE D Chứng minh AD=2ED 12.8 Về phía ngồi tam giác ABC, dựng tam giác XBC cân X có góc XBC 1200 tam giác YCA, ZAB Chứng minh XA vng góc góc YZ 12.9 Cho tam giác ABC vng A có Gọi M trung điểm BC Đường thẳng AM đường phân giác CD tam giác cắt E Chứng minh CE=AB 12.10 Cho vng A, AB