Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
1 Website:tailieumontoan.com 100 ĐỀ ÔN THI LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 8, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em đề thi học sinh giỏi toán lớp huyện nước có hướng dẫn giải cụ thể Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi lớp giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi hướng dẫn giải đề đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh giỏi tốn lớp huyện nước Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HSG TỐN LỚP Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (3 điểm) a) Phân tích đa thức b) Cho a2 ( b − c) + b2 ( c − a) + c2 ( a − b) thành nhân tử ( a + b + c) a,b,c = a2 + b2 + c2 ba số đôi khác thỏa mãn: a2 b2 c2 P= + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab Tính giá trị biểu thức: x5 + y + z5 = 5xyz x2 + y2 + z x + y + z = c) Cho Chứng minh rằng: Câu (2 điểm) n + 18 n n − 41 a) Tìm số tự nhiên để hai số phương ( ) ( a,b > ) 1 1 25 a+ ÷ + b+ ÷ ≥ b a a + b = thỏa mãn Chứng minh Câu (1 điểm) A BCD A BC Cho hình bình hành có góc nhọn Vẽ phía ngoiaf hình bình b) Cho · BCE DCF EAF hành tam giác Tính số đo Câu (3 điểm) AA ',BB',CC ' ABC Cho tam giác nhọn có đường cao H trực tâm BC'.BA + CB'.CA = BC a) Chứng minh HB.HC HA.HB HC.HA + + =1 AB.A C BC.AC BC.AB b) Chứng minh rằng: c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH cắt AB,AC MN M N Chứng minh H trung điểm Câu (1 điểm) A BCD 2018 Cho hình vng đường thẳng có tính chất chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh có 505 đường thẳng 2018 đường thẳng đồng quy HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a2 ( b − c) + b2 ( c − a) + c2 ( a − b) = a2 ( b − c) − b2 ( a − c) + c2 ( a − b) a) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com = a2 ( b − c) − b2 ( a − b) + ( b − c) + c2 ( a − b) ( ) ( ) = a2 − b2 ( b − c) + c2 − b2 ( a − b) = ( a − b) ( a + b) ( b − c) − ( b − c) ( b + c) ( a − b) = ( a − b) ( b − c) a + b − b − c = ( a − b) ( b − c) ( a − c) ( a + b + c) b) = a2 + b2 + c2 ⇔ ab + ac + bc = a2 a2 a2 = = a2 + 2bc a2 − ab − ac + bc ( a − b) ( a − c) b2 b2 = b2 + 2ac ( b − a) ( b − c) c2 c2 = c2 + 2ac ( c − a) ( c − b) ; Tương tự: a2 b2 c2 P= + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab a2 b2 c2 = − + ( a − b) ( a − c) ( a − b) ( b − c) ( a − c) ( b − c) = ( a − b) ( a − c) ( b − c) = ( a − b) ( a − c) ( b − c) x + y + z = ⇒ x + y = −z ⇒ ( x + y ) = −z 3 c) Vì Hay x3 + y3 + 3xy ( x + y ) = −z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 ( ) ( )( ) +x ( y +z ) +y (z +x ) +z (x +y ) 3xyz x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 x2 + y2 + z2 = x5 + y5 + z5 Do đó: 2 2 x2 + y2 = ( x + y ) − 2xy = z2 − 2xy ( Vi 2 x + y = −z ) Mà y2 + z2 = x2 − 2yz;z2 + x2 = y2 − 2zx Tương tự: 3xyz x2 + y2 + z2 = x5 + y5 + z5 + x3 x2 − 2yz + y3 y2 − 2zx + z3 z2 − 2xy Vì vậy: = x5 + y5 + z5 − 2xyz x2 + y2 + z2 ( ( ) ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ) ( x5 + y5 + z5 = 5xyz x2 + y2 + z2 ) Suy : Câu n + 18 n − 41 a) Để hai số phương n − 41 = q2 ( p,q ∈ ¥ ) ⇔ n + 18 = p Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ p2 − q2 = ( n + 18) − ( n − 41) = 59 ⇔ ( p − q) ( p + q) = 59 p − q = p = 30 ⇔ p + q = 59 q = 29 Nhưng 59 số nguyên tố, nên: n + 18 = p2 = 302 = 900 ⇒ n = 882 Từ 882 − 41 = 841 = 292 = q2 n − 41, Thay vào ta n = 882 n + 18 n − 41 Vậy với hai số phương b) Có: ( a − b) ≥ ⇔ a2 + b2 − 2ab ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab Dấu đẳng thức xảy a= b Áp dụng ( *) có: 25 1 a + b ÷ + ≥ 5 a + b ÷ Suy ra: (*) ; 25 1 b + a ÷ + ≥ 5 b + a ÷ 1 25 1 1 a + b ÷ + b + a ÷ + ≥ 5 a + b ÷+ b + a ÷ 2 2 1 25 1 ⇔ a+ ÷ + b+ ÷ + ≥ 5( a + b) + + ÷ b a a b 1 25 1 ⇔ a+ ÷ + b+ ÷ + ≥ 5+ 5 + ÷ (Vi b a a b Với a,b dương , chứng minh a= b Dấu xảy Ta được: 1 + ≥ =4 a b a+ b a + b = 1) (Vi a + b = 1) 1 25 a + b ÷ + b + a ÷ + ≥ 5+ 5.4 2 1 1 25 ⇔ a+ ÷ + b+ ÷ ≥ b a ⇔ a= b= Dấu đẳng thức xảy Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Chứng minh Chứng minh AF = EF Tương tự: · · ABE = ECF ∆ABE = ∆FCE ( c.g.c) ⇒ A E = EF ⇒ A E = EF = AF ⇒ ∆AEF · ⇒ EAF = 600 Câu ∆BHC ' : ∆BAB' ⇒ BH BC ' = ⇒ BH.BB' = BC'.BA AB BB' (1) ∆BHA ' : ∆BCB' ⇒ BH BA ' = ⇒ BH.BB' = BC.BA ' BC BB' (2) a) Chứng minh Chứng minh ⇒ BC '.BA = BA '.BC Từ (1) (2) CB'.CA = CA '.BC Tương tự : ⇒ BC'.BA + CB'.CA = BA '.BC + CA '.BC = ( BA '+ A 'C ) BC = BC b) Có BH BC ' BH.CH BC '.CH SBHC = ⇒ = = AB BB' AB.AC BB'.AC SABC Tương tự: AH.BH SAHB AH.CH SAHC = ; = CB.CA SABC CB.AB SABC Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ HB.HC HA.HB HC.HA SABC + + = =1 AB.AC AC.BC BC.AB SABC ∆AHM : ∆CDH ( g.g) ⇒ HM AH = HD CD (3) ∆AHN : ∆BDH ( g.g) ⇒ AH HN = BD HD (4) c) Chứng minh Chứng minh CD = BD Mà (gt) (5) HN = ⇒ HM = HN ( 3) ,( 4) ,( 5) ⇒ HM ⇒H HD HD Từ trung điểm MN Câu E,F,P,Q AB,CD,BC,AD I,G Gọi trung điểm Lấy điểm EF K ,H PQ thỏa mãn: IE HP GF KQ = = = = IF HQ GE KP Xét d đường thẳng cho cắt hai đoạn thẳng AD,BC,EF M ,N ,G' Ta có: AB.( BM + AN ) SABMN 2 EG' 2 = ⇔ = ⇔ = ⇔ G ≡ G' SCDNM G'F CD.( CM + DN ) d hay qua G Từ lập luận suy đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề Câu G,H ,I ,K qua điểm G,H ,I,K 2018 Do có đường thẳng qua điểm theo nguyên lý Dirichle 2018 + = 505 phải tồn đường thẳng qua điểm điểm Vậy có 505 đường thẳng số 2018 đường thẳng cho đồng quy (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (3 điểm) ( x + y) ( x 1) Chứng minh : 2) Phân tích đa thức thành nhân tử: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ) − x2y + xy2 − y3 = x4 − y4 ( ) x ( x + 2) x2 + 2x + + TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a,b,c 3) Tìm biết: Câu (4 điểm) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac P= Cho biểu thức: x ≠ 0;y ≠ 0;x ≠ − y 1) Rút gọn biểu thức y2 − x2 y2 x+ y x2 − + − 2÷ x x + xy xy xy + y x + xy + y2 với P 2) Tính giá trị biểu thức P, x + y + 10 = 2( x − 3y ) a8 + b8 + c8 = x,y biết thỏa mãn đẳng thức: Câu (4 điểm) 1) Giải phương trình: ( 6x + 8) ( 6x + 6) ( 6x + 7) ( x;y) = 72 x2 + x + = y2 2) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn: Câu (2 điểm) a,b,c 1≥ a,b,c ≥ Cho số thỏa mãn Chứng minh rằng: a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ Câu (5,5 điểm) Cho hình vng A BCD có cạnh I a, biết hai đường chéo cắt O.Lấy điểm thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC (I M AM CD không trùng với đỉnh hình vng) Gọi N giao điểm ,K OM BN giao điểm ∆BIO = ∆CMO BIOM a 1) Chứng minh tính diện tích tứ giác theo · · BKM = BCO 2) Chứng minh 1 = + 2 CD AM AN 3) Chứng minh Câu (1,5 điểm) ABC ( AB < AC ) , G d Cho tam giác trọng tâm Qua G vẽ đường thẳng cắt cạnh A B,AC theo thứ tự Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp D cho · IOM = 900 E Tính giá trị biểu thức AB AC + AD AE TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu ( x + y) ( x 1) Ta có: − x2y + xy2 − y3 ) = x4 − x3y + x2y2 − xy3 + x3y − x2y2 + xy3 − y4 = x4 − y4 Vậy đẳng thức chứng minh x ( x + 2) x2 + 2x + + = x2 + 2x x2 + 2x + + ( =(x ( ) ( ) ) ( )( ) = x2 + 2x + x2 + 2x + 2) Ta có: 3) Biến đổi ) + 2x + = ( x + 1) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) 2 =0 a= b= c Lập luận suy a= b= c a8 + b8 + c8 = 3a8 = ⇔ a8 = 1⇔ a = ±1 Thay vào ta có: a = b = c = a = b = c = −1 Vậy Câu x ≠ 0;y ≠ 0;x ≠ − y 1) Với ta có: 2 2 x+ y x y − x − y ( x + y ) − xy ÷ P= − x ÷ x + xy + y2 xy ( x + y ) ( ) x+ y xy ( x − y) − ( x − y ) ( x + y ) = − x xy ( x + y ) x + xy + y2 ( ) 2 x+ y ( x − y ) x + xy + y = + x xy ( x + y ) x + xy + y2 = x− y x+ y + = x xy xy 2) Ta có: x2 + y2 + 10 = 2( x − 3y ) ⇔ x2 − 2x + 1+ y2 + 6y + = ⇔ ( x − 1) + ( y + 3) = Lập luận x = ⇒ (tm) y = − Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Nên thay Câu 1) Đặt x = 1;y = −3 6x + = t P= vào biểu thức Ta có: x = − ⇔ t = ±3 ⇒ x = − ( t + 1) ( t − 1) t x + y 1+ ( −3) = = xy 1.( −3) ( ) = 72 ⇔ t2 − t2 = 72 ⇔ t4 − t2 − 72 = Vậy phương trình có tập nghiệm −2 −5 S= ; 3 x2 + x + = y2 ⇔ 4x2 + 4x + 12 = 4y2 ⇔ ( 2x + 1) − 4y2 = −11 2) ⇔ ( 2x + 2y + 1) ( 2x − 2y + 1) = −11 2x + 2y + = x = −3 ⇒ 2x − 2y + = −11 y = 2x + 2y + = −1 x = ⇒ 2x − 2y + = 11 y = −3 ⇔ 2x + 2y + = 11 ⇒ x = 2x − 2y + = −1 y = 2x + 2y + = −11 x = −3 ⇒ 2x − 2y + = y = −3 Câu b,c ∈ 0;1 b2 ≤ b;c3 ≤ c Vì nên suy a + b + c3 − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca (1) Do : a + b + c − ab − bc − ca = ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) − abc + Lại có: a,b,c ∈ 0;1 ( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) ≤ 0; −abc ≤ Vì nên ( 2) ⇒ a + b + c − ab − bc − ca ≤ ( 3) Do từ a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ Từ (1) (3) suy (2) Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( · · IBO = MCO = 450 1) BO = CO ) (Tính chất đường chéo hình vng) (tính chất đường chéo hình vng) · · · BOM ) BOI = COM (cùng phụ với ⇒ ∆BIO = ∆CMO ( g.c.g) ⇒ SBIO = SCMO mà SBMOI = SBOI + SBMO SBMOI = SCMO + SBMO = SBOC = Do đó: 2) Ta có: 1 SABCD = a2 4 ∆BIO = ∆CMO(cmt) ⇒ CM = BI ⇒ BM = A I BM AM IA AM = ⇒ = ⇒ IM / /BN CM M N IB MN Ta có: CN / /AB Vì nên OI = OM ( ∆BIO = ∆CMO ) ⇒ ∆IOM cân O · · · · IM / /BN ⇒ BKM = IMO = 45 ⇒ BKM = BCO · · ⇒ IMO = MIO = 450 Vì 3) Qua A AN Ax kẻ tia vng góc cắt CD E ∆ADE = ∆ABM ( g.c.g) ⇒ AE = AM Chứng minh ∆ANE AD ⊥ NE Ta có: vng A có 2 AD.NE AN.AE SAEN = = ⇒ AD.NE = AN.AE ⇒ ( AD.NE ) = ( AN.AE ) 2 Áp dụng định lý Pytago vào ( ⇒ AD AN + AE2 Mà AE = AM ) ∆ANE AN + AE2 = NE2 ta có: AN + AE2 1 1 = AN 2.AE2 ⇒ = ⇒ + = 2 2 AN AE AD AE AN AD CD = AD ⇒ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 1 = + 2 CD AM AN TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu Ta có : P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 = x − 2006 + 2007 − x + 2006 ≥ ( x − 2006) + ( 2007 − x) + 2006 = 2007 Vậy minP = 2007 ⇔ 2006 ≤ x ≤ 2007 Câu a) Ta có: AB//CD nên theo hệ Ta let ta có: AF AB = (1) FC IC AE AB = (2) EK DK Mặt khác ta có: AB/ /CD,BC / /A K ) Tứ giác ABCK hình bình hành (do nên AB = CK (3) A B/ /CD,BI / /AD) A B = DI(4) A BID Tứ giác hình bình hành (do nên CK = DI ⇒ IC = DK ( 5) Từ (3) (4) suy AF AE = ⇒ EF / /DC ⇒ EF / /A B FC EK Từ (1) (2) (5) suy b) Ta có: AB // CD AB AF ⇒ = (*) AB + CI = DI + CI = CD) CI CF A B = DI (Do nên ∆AEF : ∆A KC(EF / /KC) Mặt khác AF EF AF EF ⇒ = KC = AB ⇒ = ( **) AC KC AC AB mà AB EF = AB2 = EF.CD CD A B Từ (*) (**) suy hay (đpcm) (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 47 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x + y + z ) − x3 − y3 − z3 ; b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Câu (2 điểm) Giải phương trình: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 Câu (3 điểm) ( 2009− x ) + ( 2009− x) ( x − 2010) + ( x − 2010) Tìm x ( 2009− x) − ( 2009− x) ( x − 2010) + ( x − 2010) biết: 2 = 19 49 Câu (3 điểm) A= Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2010x + 2680 x2 + Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC A ,D điểm di động cạnh BC Gọi AB,AC D hình chiếu vng góc điểm lên D A EDF a) Xác định vị trí điểm để tứ giác hình vng 3AD + 4EF D b) Xác định vị trí điểm cho đạt giá trị nhỏ Câu (4 điểm) ABC, A ,E,F Trong tam giác điểm tương ứng nằm cạnh BC,CA ,AB cho vuông E,F · · · · · · AFE = BFD;BDF = CDE;CED = AEF a) Chứng minh rằng: · · BDF = BAC AB = 5,BC = 8,CA = BD b) Cho Tính độ dài đoạn HƯỚNG DẪN GIẢI Câu ( x + y + z) a) Ta có: ( − x3 − y3 − z3 = ( x + y + z ) − x3 − y3 + z3 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( ) = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x2 − ( y + z ) y2 − yz + z2 = ( y + z ) 3x + 3xy + 3yz + 3zx = 3( y + z ) x ( x + y ) + z ( x + y ) ( ) = 3( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) ( ) ( ) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x4 − x + 2010x2 + 2010x + 2010 b) Ta có: ( ) ( ) ( )( ) = x ( x − 1) x2 + x + + 2010 x2 + x + = x2 + x + x2 − x + 2010 Câu Ta có: x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 − 1+ − 2+ − 3+ − 4= 17 19 21 23 x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 ⇔ + + + =0 17 19 21 23 ⇔ 1 1 ⇔ ( x − 258) + + + ÷ = ⇔ x = 258 17 19 21 23 ( 2009− x ) + ( 2009− x) ( x − 2010) + ( x − 2010) ( 2009− x) − ( 2009− x) ( x − 2010) + ( x − 2010) Câu ĐKXĐ: Đặt 2 = 19 49 x ≠ 2009;x ≠ 2010 a = x − 2010( a ≠ 0) ( a + 1) − ( a + 1) a + a ( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 2 , ta có hệ thức: 19 a2 + a + 19 = ⇔ = 49 3a 49 ⇔ 49a2 + 49a + 49 = 57a2 + 57a + 19 ⇔ 8a2 + 8a − 30 = a= (tm) 2 ⇔ ( 2a + 1) − = ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + 5) = ⇔ a = − (tm) 4023 x = ⇒ (TMDK ) x = 4015 2 Câu Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A= 2010x + 2680 x2 + 335( x + 3) −335x2 − 335+ 335x2 + 2010x + 3015 = = −335+ ≥ −335 x +1 x2 + Vậy giá trị nhỏ A −335 x = −3 Câu a) Tứ giác A EDF Để tứ giác b) Do tứ giác hình chữ nhật (vì A EDF A EDF hình vng $= A µ = F$ = 900 ) E AD hình chữ nhật nên ⇒ 3A D + 4EF = 7A D 3AD + 4EF nhỏ ⇔ AD nhỏ ⇔D tia phân giác A D = EF · BAC hình chiếu vng góc A lên BC Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Đặt · FE = BFD · · · · · A = ω,BDF = CDE = α;CED = AEF =β · BAC + β + ω = 1800 ( *) Ta có: D,E,F BC,A C,AB Qua kẻ đường thẳng vng góc với cắt DEF O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác · · · ⇒ OFD + OED + ODF = 900(1) Ta có: · · · OFD + ω + OED + β + ODF + α = 2700(2) ( 1) & ( 2) ⇒ α + β + ω = 180 ( **) · · = α = BDF ( *) & ( **) ⇒ BAC Từ b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: µ = β,C µ = ω ⇒ ∆AEF : ∆DBF : ∆DEC : ∆ABC B ⇒ BD BA 5BF 5BF 5BF BF = BC = BD = BD = BD = 7CE 7CE 7CE CD CA = = ⇒ CD = ⇒ CD = ⇒ CD = 8 CE CB AE AB 7AE = 5AF 7CE − 5BF = 24 7( − CE ) = 5( 5− BF ) AF = AC = ⇒ CD − BD = (3) Ta lại có: CD + BD = (4) ⇒ BD = 2,5 Từ (3) (4) (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 48 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử c) d) x4 + ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) − 24 a b c + + = b+ c c+ a a+ b Cho Câu (2 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + =0 b+ c c+ a a+ b TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 10− x2 A = + + : x − + ÷ ÷ x+ x − 2− x x + Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A x= b) Tính giá trị A biết A A ∈¢ ⇒ d) −1 ∈ ¢ ⇔ ⇒ x ∈ { 1;3} x− Câu a) Chứng minh A E = FM = DF ⇒ ∆A ED = ∆DFC ⇒ dfcm ∆EFC ⇒ dpcm b) DE,BF,CM ba đường cao AEMF = 2a d) Có chu vi hình chữ nhật khơng đổi Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ ME + MF = a ⇒ SAEMF ⇒M không đổi = ME.MF ⇔ ME = MF lớn (AEMF hình vng) trung điểm BD Câu a2001 + b2001 ( a + b) − a2000 + b2000 ab = a2002 + b2002 ( ) ( ⇒ ( a + 1) − ab = ) a = ⇔ ( a − 1) ( b − 1) = 1⇒ b = Vì Vì b = 1(tm) a = 1⇒ b2000 = b2001 ⇒ b = 0(ktm) a = 1(tm) b = 1⇒ a2000 = a2001 ⇒ a = 0(ktm) a = 1;b = 1⇒ a2011 + b2011 = Vậy Câu Ta có: 1 b c a = 1+ a + a a c 1 a + b + c = 1⇒ = 1+ + b b b a b 1 c = 1+ c + c ⇒ 1 a b a c b c + + = 3+ + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ 3+ 2+ 2+ = a b c b a c a c b ⇔ a= b= c= Dấu “=” xảy (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 49 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (2 điểm) P= Cho a3 − 4a2 − a + a3 − 7a2 + 14a − a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu (2 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức: P = ( x − 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu (2 điểm) 1 1 + + = x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 a) Giải phương trình: a,b,c b) Cho ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A= + + ≥3 b+ c− a a+ c− b a+ b− c Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc · xMy 600 Mx,My quay quanh điểm M cho cạnh D E Chứng minh: BC BD.CE = a) b) cắt cạnh AB AC DM ,EM tia phân giác góc A DE c) Chu vi tam giác không đổi BDE CED Câu (1 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) a − 4a2 − a + = ( a − 1) ( a + 1) ( a − 4) a3 − 7a2 + 14a − = ( a − 2) ( a − 1) ( a − 4) Nêu ĐKXĐ: P= Rút gọn a ≠ 1;a ≠ 2;a ≠ a+ a− b) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com P= a − 2+ 3 = 1+ ; a− a− P ta thấy nguyên a− U(3) = { −1;1; −3;3} ước 3, mà a ∈ { −1;3;5} từ tìm Câu a) Gọi số phải tìm ( a+ b Do chia hết ( a + b) ( a + b) − 3ab ) ( a + b) ( ) − 3ab chia hết cho chia hết cho ( )( ) ( ) P = ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x − x2 + 5x + = x2 + 5x − 36 b) (x Ta thấy Do dó b, ta có a+ b chia hết cho a3 + b3 = ( a + b) a2 − ab + b2 = ( a + b) a2 + 2ab + b2 − 3ab = ( a + b) ( a + b) − 3ab Ta có: Vì a ) + 5x ≥ ( ) 2 P = x2 + 5x − 36 ≥ −36 nên x = MinP = −36 ⇔ x2 + 5x = ⇔ x = −5 Câu a) Ta có: x2 + 9x + 20 = ( x + 4) ( x + 5) ; x2 + 11x + 30 = ( x + 6) ( x + 5) ; x2 + 13x + 42 = ( x + 6) ( x + 7) ĐKXĐ: x ≠ −4;x ≠ −5;x ≠ −6;x ≠ −7 Phương trình trở thành: + + ( x + 4) ( x + 5) ( x + 5) ( x + 6) ( x + 6) ( x + 7) = 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇔ 18( x + 7) − 18( x + 4) = ( x + 7) ( x + 4) ⇔ x = −13 ⇔ ( x + 13) ( x − 2) = ⇔ x = b) Đặt b + c − a = x > 0;c + a − b = y > 0;a + b − c = z > a= từ suy y+z x+ y x+ z ;b = ;c = ; 2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC , Website:tailieumontoan.com A= Thay vào ta được: A≥ Từ suy y + z x + z x + y y x x z y z + + = + ÷+ + ÷+ + ÷ 2x 2y 2z x y z x z y ( 2+ + 2) hay A ≥3 Câu a) Trong tam giác Vì BDM ¶ = 600 M ¶ = 1200 − M ¶ D 1 ta có: ¶ = 1200 − M ¶ M nên ta có: ¶D = M ¶ ∆BMD : ∆CEM Suy Chứng minh (1) BD CM = BD.CE = BM.CM BM CE Suy , Từ BC BC BD.CE = BM = CM = Vì , nên ta có: BD MD = CM EM b) Từ (1) suy ¶ =D ¶ , · ∆BMD : ∆MED ⇒ D DM BDE Chứng minh tia phân giác · EM CED Chứng minh tương tự ta có : tia phân giác H ,I,K AB,DE,AC M c) Gọi hình chiếu DH = DI,EI = EK Chứng minh 2AH Tính chu vi tam giác - khơng đổi Câu x,y,z Gọi cạnh tam giác vuông Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp cạnh huyền z TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x,y,z ( số nguyên dương) xy = 2( x + y + z ) ( 1) Ta có: x2 + y2 = z2(2) z2 = ( x + y ) − 2xy, Từ (2) suy thay (1) vào ta có: z2 = ( x + y ) − 4( x + y + z ) z2 + 4z = ( x + y) − 4( x + y ) z2 + 4z + = ( x + y ) − 4( x + y ) + ( z + 2) Suy = ( x + y − 2) z + = x + y − ⇒ z = x + y − 4; thay vào ( 1) ta được: xy = 2( x + y + x + y − 4) xy − 4x − 4y = −8 ( x − 4) ( y − 4) = 1.8 = 2.4 x,y,z Từ ta tìm giá trị là: ( x;y;z) ∈ { ( 5;12;13) ;( 12;5;13) ;( 6;8;10) ;( 8;6;10) } (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 50 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Câu (2 điểm) a A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5) ( a + 7) + 15 b ( x − a) ( x − 10) + b A(x) = x4 − 3x3 + ax + b Với giá trị đa thức đa thức bậc có hệ số nguyên Câu (1 điểm) Tìm số nguyên a để đa thức phân tích thành tích chia hết cho đa B(x) = x − 3x + thức Câu (3 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ABC, Hx Cho tam giác đường cao AH, vẽ phân giác góc · Hy Hy AHC Hx giác Kẻ AD vng góc với , AE vng góc với Chứng minh tứ giác hình vng · AHB phân Câu (2 điểm) P= Chứng minh rằng: 1 1 + + + +