các bài toán về cấu tạo số

Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.

CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về cấu tạo số Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay

và cập nhật được các dạng toán mới về cấu tạo số thường được ra trong các kì thi gần đây Các bài toán về chữ số thường liên quan đến tìm các chữ số của một số thỏa mãn các tính chất chia hết, thỏa mãn là số chính phương và số lập phương đúng hoặc thỏa mãn một tính chất nào đó.

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình học tập Hy vọng chuyên đề về các bài toán về cấu tạo số sẽ có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ

II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA.

Các bài toán về chữ số thường liên quan đến tìm các chữ số của một

số thỏa mãn các tính chất chia hết, thỏa mãn là số chính phương và số lậpphương đúng hoặc thỏa mãn một tính chất nào đó

nên ta có 62ab427 chia hết cho 99 khi và chỉ

khi 62ab427 chia hết cho 9 và chia hết cho 11

Suy ra 62ab427 chia hết cho 99 khi và chỉ khi 10.ab 57+

Lời giải

Để ý là 68 4.17=

và (4,17) =1

nên (abc cba 68+ )M

khi và chỉ khi (abc cba 4;17+ )M

Ta xét (abc cba 4+ )M

, khi đó ta được (100a 10b c 100c 10b a+ + + + + =) 101 a c( + +) 20b

chia hết cho 4 hay ta được 101 a b( + )

Xét (abc cba 17+ )M

, khi đó ta được (100a 10b c 100c 10b a+ + + + + =) 101 a c( + +) 20b

chia

hết cho 17 hay ta được 102 a b 17b 3b( + )+ + − +(a b)

chia hết cho 17 Suy ra

Vậy ta được các số thỏa mãn bài toán là

Từ giả thiết abcd bcd cd d 4574+ + + =

ta viết được lại thành

, rõ ràng phương trình vô nghiệm

Do đó trường hợp này không tồn tại số abcd thỏa mãn yêu cầu bài toán

Lời giải

Quy đồng mẫu số ta được 81.41 ca ab bc( + + ) =11.ca.ab.bc

Từ đó ta được 11.ca.ab.bc chia hết cho 41, mà 41 là số nguyên tố nên trong các

số ca; ab; bc có một số chia hết cho 41 Không mất tính tổng quát ta giả sử số

Từ đó suy ra 11.1b.b4 chia hết cho 81, mà ta có (11,81 1) =

nên 1b.b4 chia hết cho81

Chú ý là 1b không chia hết 27 nên 1b chia hết cho 3 hoặc 9, khi đó 1b 12;15;18=

nên tương ứng ta được b 2;5;8=

Từ các trường hợp cụ thể ta thấy b 5=

yêu cầubài toán

Do abcd 72+

là một số chính phương nên đặt abcd 72 k+ = 2

với k N∈ *

.Các số chính phương có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên suy ra

∈

d 2;3;4;7;8;9

.Kết hợp với abd∈{100;121;144;169;196;225;256}

ta suy ra được abd 144=

hoặc

=

abd 169

Ta biết rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có duy nhất một số chia hết cho 3 màtích của chúng chia hết cho 9 nên trong ba số đó có duy nhất một số chia hết cho 9.

không đúng Do đó trường hợp này loại

Vậy các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5832 và 4913

Ví dụ 8 Tìm số chính phương có bốn chữ số khác nhau sao cho khi viết số đó

theo thứ tự ngược lại ta được một số có bốn chữ số cũng là số chính phương và chia hết cho số ban đầu

Lời giải

Gọi số cần tìm là abcd x= 2

với a, b, c, d là các chữ số và x là một số tự nhiên Số

viết theo chiều ngược lại là dcba y= 2

với y là một số tự nhiên Vì cả hai số đều

có bốn chữ số nên ta suy ra được a 0;d 0> >

.Theo bài ra ta có y2=kx2

với k là một số tự nhiên lớn hơn 1

Vì a, d là các chữ số tận cùng của số chính phương nên a,d∈{1;4;5;6;9 *} ( )

Với a 1=

, khi đó ta được dcb1 k.1bcd=

Từ đó suy ra cả d và k đều là số lẻ kết hợp với (*) ta suy ra được d 9=

Ví dụ 9 Tìm tất cả các số nguyên dương N có ba chữ số sao cho tổng của N với

các chữ số của N và số viết được bởi các chữ số của N nhưng theo thứ tự ngược lại thì ta được một số chính phương

Lời giải

Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài toán là N abc=

với 1 a,c 9;0 b 9≤ ≤ ≤ ≤

.Khi đó theo bài toán ta có abc a b c cba+ + + +

với k,h N;1 h 9∈ ≤ ≤

.Khi đó từ 102 a b c 81b m( + + −) = 2

ta được 34h 9b k− = 2

.Suy ra

Xét khi k chia cho 9 có số dư lần lượt là 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 thì

2

k

chia cho 9 có

số dư lần lượt là 0;1;4;7 nên 7h có số dư khi chia cho 9 lần lượt là 0;1;4;7, từ đó

h chia cho 9 có số dư lần lượt là 1;4;7;9 Vì 1 h 9≤ ≤

nên suy ra h∈{1;4;7;9}

Ta xét các trường hợp sau:

∈

N 111;183;381;282;147;741;246;642;345;543;444;999

Ví dụ 10 Tìm số tự nhiên có 2n chữ số có dạng 1 2 3 2n 1 2n−

a a a a a

thỏa mãn đẳng thức sau:

, nên ta được a2=0

.Lúc này ta được a 10 a3( − 4)+a4=6

Ví dụ 11 Tìm các chữ số a, b, c, d thỏa mãn aa abb bcc c 1+ =(dd d 1+ )3

, biết rằng số lần xuất hiện của a, b, c, d trong các biểu thức trên là như nhau

nên ta suy ra được 4 d 9≤ ≤

Khi đó ta cho d nhận các giá

trị 4; 5; 6; 7; 8; 9 thì ta được các số abc tương ứng bởi bảng sau

Lập luận tương tự ta được 3d2−(18a 9b+ ) =0

thỏa mãn yêu cầu bài là

(1,2,4,4 ; 2,1,5,5 ; 3,4,2,6 ; 5,1,1,7 ; 7,2,8,8) ( ) ( ) ( ) ( )

khi mỗi chữ số a, b, c, d xuất hiện

một lần và (9,9,9,9)

với mỗi chữ số a, b, c, d xuất hiện n nguyên dương lần

Ví dụ 12 Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết rằng nếu nhân số đó với 2 thì

được một số có 6 chữ số đôi một khác nhau và khác chữ số 0, nếu đem nhân số

đó với 5, 6, 7, 8, 11 thì cũng được số có sáu chữ số được viết bởi các chữ số như

số nhận được khi nhân nó với 2 nhưng viết theo một thứ tự khác

Lời giải

Gọi số cần tìm là N abcde=

với a,b,c,d,e là các chữ số và 2N mpqrst=

với các chữ số m, p, q, r s, t là các chữ số khác nhau từng đôi một và khác 0

Do đem nhân N với 5, 6, 7, 8, 11 thì cũng được số có sáu chữ số được viết bởi các chữ số như số 2N nhưng viết theo một thứ tự khác Do đó các chữ số của

, khi đó các chữ số của 2N;5N;6N;7N;8N;11N lần lượt là 6;5; 8; 1; 4; 3 Từ đó ta suy ra được t 6=

.+ Xét chứ số p ta được

Ví dụ 13 Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số của

phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương của các chữ số của số đó

2

Do đó suy ra 2c2+ ≤c 12⇒ ≤c 2

Cũng từ 10a c 2a+ = 2+2ac 2c+ 2

ta suy ra được c là số chẵn Từ đó ta được c 0=

hoặc c 2=

.+ Với c 0=

, khi đó ta được từ 10a c 2a+ = 2+2ac 2c+ 2

ta được 10a 2 2a+ = 2+4ac 8+

, do đó y 250≤

Gọi t1 và t2 là hai nghiệm của phương trình trên

Khi đó theo định lí Vi – te ta được

ta được t t 31 2M, đồng thời ta lại có t1+t2

chia 3 dư 1 Như vậy trong hai số tự nhiên t1 và t2 thì có một số chia hết cho 3, còn một số không chia hết cho 3

Giả sử t1 chia hết cho 3 và t2 không chia hết cho 3 Ta có 999 27.37=

và

(27,37) =1

Từ đó ta được t1 chia hết cho 27 và t2 không chia hết cho 3

Nếu t 371M , khi đó ta được t 9991M , do đó t1=999;t2=1

Khi đó thay vào hệ thức Vi

, dẫn đến y 209=

.4+ Nếu x y 297+ =

Giả sử số tự nhiên có bốn chữ số cần tìm có dạng abcc với a,b,c N∈

và

1 a 9;0 b,c 9

.Theo bài ra ta có abcc ab= 2+cc2

Đặt x ac;y cc x,y N= = ( ∈ )

.Suy ra 10 x 99;0 y 99≤ ≤ ≤ ≤

Theo bài ra ta có abcc ab= 2+cc2⇔100ab cc ab+ = 2+cc2⇔100x y x+ = 2+y2

Ta viết lại phương trình trênvề dạng phương trình bậc hai ẩn x là

và 8833 88= 2+332

đều đúng

không chia hết cho 3 thì ta có (a b+ )2

chia 3 dư 1 Do đó ta suy ra được 10a b+

chia hết cho 3 hay a b+

chia hết cho 3, điều này vô lí

ta suy ra được c chia hết cho 3 Do c là chữ

số nên suy ra c không chia hết cho 5 Do đó ta lại suy ra được (a b+ )2−1

chia hết cho 5

Mà ta có (a b 1 a b 1+ − ) ( + + )

và 5 là số nguyên tố nên a b 1+ −

hoặc a b 1+ +

chia hết cho 5

Từ đó ta suy ra được c chia hết cho 5, điều này trái với c không chia hết cho 5 Nên trường hợp này không tồn tại các chữ số a, b, c thỏa mãn.

, khi đó abcd 45= 2=2025=(20 25+ )2

thỏa mãn

Vậy các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2025; 3025, 9801

a a a a

b b b b

thỏa mãn điều kiện:

Lời giải

Từ giả thiết bài toán ta có:

2.5abc

không chia hết cho 3⇒10 a b( + +) 9a

không chiahết cho 3 nên c không thuộc tập hợp N

Khi đó từ 100ab 110ac 111ad 10bc 11bd cd 666+ + + + + =

, khi đó ta được b 2;c 2≤ ≤

Thử các khả năng ta thấy không có chữ số b, c thỏa mãn

+ Nếu 122b 112c 10bc 444+ + =

, khi đó ta được b 2;c 2≤ ≤

Thử các khả năng ta thấy không có chữ số b, c thỏa mãn

Do đó trường hợp này không có số nào thỏa mãn yêu cầu bài toán

ta được 111b 111c 10bc 555+ + =

Từ đẳng thức trên ta thấy b 0;c 5= =

hoặc b 5;c 0= =

thỏa mãn

Do đó ta được các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1051; 1501

Vậy các số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1006; 2003; 3002; 6001; 2102; 2012; 1051; 1501

Do đó với b 6=

không tồn tại số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Từ đây về sau ta luôn gặp đẳng thức

Khi đó trong hai số x y+

nên ta được x y 1 296+ − =

.Kết hợp với 999x= +(x y x y 1) ( + − )

nên ta được n 1=

, do đó x y 703+ =

.Kết hợp với 999x= +(x y x y 1) ( + − )

ta được x 494;y 209= =

.Kho đó số cần tìm là abcdeg 494209=

.Vậy các số có sau chữ số hỏa mãn yêu cầu bài toán là abcdeg 494209;998001=

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Chữ số hàng chục của một số có 2 chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là

1 Nếu đổi chổ 2 chữ số cho nhau sẽ được một số bằng

56

số ban đầu Tìm số có

2 chữ số ban đầu

Bài 2 Tìm một số có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số

hàng đơn vị là 5 và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì đượcthương là 7 và dư là 6

Bài 3 Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 7 Chứng

minh rằng hiệu các lập phương của hai chữ số của số đó chia hết cho 7

Bài 4 Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn

vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số

Bài 5 Tìm các số nguyên dương có 5 chữ số

abcde

sao cho abc 10d e−( + )

chia hết cho 101?

với a, b, c, d là các chữ số khác nhau

Bài 9 Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, mỗi số có hai chữ số, biết rằng nếu viết lớn

trước số nhỏ thì ta được một số có bốn chữ số là số chính phương

Bài 10 Cho số tự nhiên A có n chữ số 9, hỏi có thể phân tích A thành tổng của

hai số tự nhiên khác là B và C sao cho khi đổi thay đổi vị trí các chữ số của số Bthì ta thu được số C

Bài 11 Viết các số có 5 chữ số từ 11111 đến 99999 sau đó sắp xếp các số đó

theo môt thứ tự bất kì ta được một số tự nhiên Chứng minh rằng số mới được tạo thành không thể là một lũy thừa của 2

Bài 16 Tìm các chữ số a, b, c sao cho:

a) Số 7ab9 chia hết cho 63 b) Số 1ab2c chia hết cho 1125

nM

x y

a) Tìm n để M 2=

b) Tìm n để M nhỏ nhất

Hay thay dấu * bởi ba chữ số phân biệt tự 1 đến 9 để A luôn chia hết cho 396

Bài 22 Tìm số tự nhiên có nhiều hơn ba chữ số, biết rằng nếu ta bỏ đi ba chữ

số cuối thì được một số mới mà lập phương của nó bằng chính số cần tìm

Bài 23 Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó hai chữ số đầu giống nhau và

hai chữ số cuối giống nhau, thỏa mãn mỗi điều kiện sau đây:

a) Số đó bằng tổng các bình phương của số tạo bởi hai chữ số đầu và số tạo bởi hai chữ số sau

b) Số đó bằng tích của hai số mà mỗi số là số có hai chữ số giống nhau

Bài 24 Tìm số tự nhiên có năm chữ số sao cho sao cho số đó bằng lập phương

của tổng năm chữ số của nó

HƯỚNG DẪN GIẢI

, y là chữ số hàng đơn vị (0 y 9≤ ≤ )

Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 1 nên ta được x y 1− =

Vì đổi chổ 2 chữ số cho nhau sẽ được một số bằng

56

số ban đầu nên ta được

.Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

Suy ra (10a b  7+ )3M⇔1000a3+b3+3.10ab 10a b 7( + )M

Hay 1001a3− +a3 b3+3.10ab 10a b 7( + )M

Vậy số chính phương cần tìm là x2=562=3136

Bài 5 Ta có

abc 10d e 101 101abc abc 10d e 101

Hay ta được 100abc 10d e 101+ + M ⇔abcde 101M

Vậy số các số phải tìm là số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101

Có tất cả 10100 số các số tự nhiên 5 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 101

Có tất cả 99990 số các số tự nhiên có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101

Vậy số các số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101 là

99990 10100

1 891101

+ Nếu c 1=

, khi đó ta được abc dac=

, trường hợp này không xẩy ra do a, b, c, d

500a 50b 25 100d 10a 5 50a 10b 2 10d a

Từ đó ta suy ra được 49a 5b 2 10d 90+ + = ≤

nên a 1=

.Khi đó ta được 50 5b 1 10d+ + =

nên suy ra 5b 9=

nên không tồn tại chữ số b thỏa mãn

Suy ra 5b 9M nên b chỉ có thể là 0 hoặc 9.

2

n với n là số tự nhiên

Ta xét các trường hợp sau

•

Trường hợp 1: Xét n là số chẵn, khi đó ta có thể phân tích A thành tổng của

hai số B và C thỏa mãn yêu cầu bài toán, chẳng hạn B 333 3666 6=

n2 chữ số

Do đó tổng các chứ số của B và C là S=(a1+b1) (+ a2+b2)+ + a( n+bn) =9n

là một

số lẻ

Theo bài ra thì khi đổi vị trí các chữ số của số b ta được số C nên tổng các chữ

số của B bằng tổng các chữ số của C Từ đó ta được

( ) ( ) ( )

= 1+ + +2 n + 1+ 2+ + n = 1+ + +2 n

là một số chẵn Điều này dẫn đến mâu thuẫn Do vậy khi n là số lẻ thì ta không phân tích được

Vậy với n chẵn thì ta có thể phân tích A thành tổng của hai số B và C thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 11 Gọi A là số mới được tạo thành Số A được tao ra từ việc sắp xếp các

và k N∈ *

.Khi đó

5n

abcde.10

và s có cùng số dư khi chia cho m 11111=

.Như vậy số A khi chia cho M có cùng số dư với B là tổng của các số có 5 chữ số

, do đó 2B chia hết cho m nên B chia hết cho m

Từ đó ta được A chia hết cho m hay m 11111=

Vì x;y N∈

nên (x 8− )2

và (y 3+ )2

là các số chính phương Mà 53 thì chỉ có thể viết về dạng tổng có 2 số chính phương là 53 2= 2+72

Nên ta có các trường hợp sau

+ Trường hợp 1:

( ) ( ) { { } }

x y 1 9

y x 9 11

.Chu ý rằng x và y là các chữ số nên 0 x;y 9≤ ≤

Thử lại ta thấy 7749 chia hết cho 63.

Vậy ta được hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 7119 bà 7740

b) Số 1ab2c chia hết cho 1125

hoặc b 6=

.Mặt khác do 1ab2c chia hết cho 9 nên ta được a b c 3 9+ + + M

Từ giả thiết 3abcde ab=

.Mặt khác do y 1000<

Dấu bằng xẩy ra khi x 1; y 9= =

Vậy giác trị nhỏ nhất của M là

1910, xẩy ra khi x 1; y 9= =

Khi đó ta cần xác định

a, b, c để A 155a710b4c16=

luôn chia hết cho 396

Do a, b, c là các chữ số phân biệt nên ta có

+ + ≤ + + ≤ + + ⇔ ≤ + + ≤

1 2 3 a b c 7 8 9 6 a b c 24

Vậy để A chia hết cho 396 ta có thể thay các dấu * bởi các bộ số sau:

{{

Vậy có hai bộ số (ab;ba)

thỏa mãn yêu cầu bài toán là (12;21 , 21;12) ( )

ta được 1000a 200b 30c 4d 4574+ + + =

.Xét hàng đơn vị có tích 4d 4=

ta suy ra được b 2=

hoặc b 7=

.Với b 2=

ta được a 4=

và với a 7=

ta được b 3=

Do đó các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4256; 3756

Từ các kết quả trên ta được 32 N( 2−1000) (≤N N2−1000) <1000

, thỏa mãn yêu cầu bài toán

đúng

Vậy số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 8833

b) Gọi số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là xxyy với x,y N∈

,

1 x 9;0 y 9

.Theo bài ra ta có xxyy aa.bb=

với a, b là các chữ số khác 0

Khi đó ta được 1100x 11y 11a.11b+ = ⇔100x y 11ab+ = ⇔99x+ +(x y)=11ab

ta có bảng giá trị như sau:

và 64 8.8=

.Tương ứng với hai trường hợp trên ta có hai số cần tìm là 3388 và 7744

Thử lại ta thấy 3388 44.77=

và 7744 88.88=

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy các số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3388 và 7744

.Theo bài ra ta có abcde= + + + +(a b c d e)3

10000a 1000b 100c 10d e m9999a 999b 99c 9d a b c d e m9999a 999b 99c 9d m m m 1 m m 1

Dễ thấy 9999a 999b 99c 9d 9+ + + M

nên suy ra (m 1 m m 1 9− ) ( + )M

Vì trong ba số tự nhiên liên tiếp có duy nhất một số chia hết cho 3, mà tích ba

số đó chia hết cho 9 nên trong ba số đó có duy nhất một số chia hết cho 9 Từ

đó ta được m chia hết cho 9 hoặc chia 9 dư 1 hoặc 8