Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
1 Website:tailieumontoan.com LờI NóI ĐầU Phng trỡnh l mt chủ đề quan trọng chương trình mơn tốn trường THCS THPT Trong năm gần đầy tốn phương trình thường xuất đề thi vào lớp 10 THPT, lớp 10 khiếu tốn kì thi học sinh giỏi cấp với độ khó ngày cao Với mong muốn tạo tài liệu thể phương pháp giải phương trình với hướng tiếp cận, đưa phương pháp tư phép suy luận để tìm lời giải cách tối ưu Cũng chia sẻ số kình nghiệm giải hệ phương trình Vì soạn tài liệu ”Một số chủ đề phương trình vơ tỷ tốn THCS” Nội dung tài liệu gơng chương + Chương I Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ + Chương II Một số tốn phương trình vơ tỷ Trong chương I, chúng tơi trình bày theo chủ đề tương ứng dạng phương trình điển hình viết theo phần Nội dung phương pháp chung: Trình bày phương pháp chung để giải số dạng phương trình điển hình Một số tập mẫu: Trình bày số tốn từ mức dễ đến khó với bước phân tích tìm lời giải trình bày lời giải cách xác khoa học Các tập tự luyện: Trình bày hệ thống tập tự giải cho chủ đề với hy vong giúp bạn đọc củng cố lại vấn đề tiếp cận Với cách viết đặt bạn đọc vào vị trí người giải, lối suy nghĩ phân tích tốn cách tự nhiên đảm bảo tính khoa Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com học, hy vọng tài liệu thức có ích cho bạn đọc chinh phục toán phương trình vơ tỷ Mặc dù chúng tơi thực cố gắng dành nhiều tâm huyết để hoàn thiện sách với hiệu cao nhất, song sai sót điều khó tránh khỏi Chúng tơi mong đóng góp ý kiến bạn đọc để chúng tơi hồn thiện sách tốt Chúng tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới đồng nghiệp cung cấp số tài liệu lời giải hay để sách thêm phần phong phú Xin chân thành cảm ơn Nhóm tác giả Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Lời nói đầu Phương pháp Phương pháp nâng lũy thừa Cơ sở phương pháp Ví dụ minh họa Phương pháp Phương pháp phân tích thành phương trình tích Cơ sở phương pháp Một số kĩ phân tích thành phương trình tích Kĩ 1: Sử dụng đẳng thức Kĩ 2: Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử Kĩ 3: Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp Phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp Cơ sở phương pháp Một số kĩ sử dụng đại lượng liên hợp Kĩ 1: Nhân thêm lượng liên hợp Kĩ 2: Tách biểu thức thành tích biểu thức liên hợp Kĩ 3: Một số kĩ thuật sử lý sau nhân liên hợp Phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ Cơ sở phương pháp Một số kĩ đặt ẩn phụ Kĩ 1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn Kĩ 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích Kĩ 3: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Kĩ 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình Kĩ 5: Đặt ẩn phụ đưa phương trình giải Phương pháp Phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ Cơ sở phương pháp Một số kĩ đánh giá giải phương trình vơ tỷ Kĩ 1: Làm chặt miền nghiệm để giải phương trình vô tỷ Kĩ 2: Sử dụng đẳng thức đưa phương trình tổng lũy thừa bậc chẵn Kĩ 3: Kĩ sử dụng bất đẳng thức cổ điển Trang 4 26 26 26 26 37 53 63 63 64 64 74 80 95 95 95 95 109 126 130 161 167 167 167 167 175 179 BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÁC PHƯƠNG PHÁP Bài tập rèn luyện phương pháp nâng lên lũy thừa Hướng giải tập phương pháp nâng lên lũy thừa Bài tập rèn luyện phương pháp phân tích thành phương trình tích Hướng dẫn giải tập phương pháp phân tích thành phương trình tích Bài tập rèn luyện phương pháp phân sử dụng đại lượng liên hợp Hướng dẫn giải tập phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp Bài tập rèn luyện phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ Hướng dẫn giải tập phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỷ Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 191 193 207 210 234 237 266 271 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài tập rèn luyện phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ Hướng dẫn giải tập phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ 311 314 Phương pháp PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Trong tốn phương trình vơ tỷ phép nâng lên lũy thừa biến đổi tự nhiên đẹp riêng Có lúc phương pháp sử dụng trực tiếp gián tiếp mục đích tìm nghiệm phương trình vơ tỷ Những tốn sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa phương trình thuộc dạng phương trình chứa đẳng thức Điều quan trọng phép nâng lên lũy thừa ta thu phương trình tương đương hay phương trình hệ Để biến đổi phương trình ta cần kiểm tra dấu hai vế phương trình xem có dấu hay khơng, Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ta định phương trình thu phương trình tương đương hay phương trình hệ I Một số dạng phương trình Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Phương pháp chung + Bước Tìm điều kiện xác định phương trình việc giải hệ + Bước Bình phương hai vế phương trình đưa phương trình dạng + Bước Giải phương trình kiểm tra thỏa mãn nghiệm tìm với điều kiện xác định phương trình để kết luận Dạng Phương pháp chung Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Bước Lũy thừa bậc ba hai vế phương trình + Bước Biến đổi phương trình ý đến ta + Bước Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai phương trình Dạng Trong xẩy trường hợp sau: + + + Phương pháp chung + Nếu có sử dụng phép biến đổi tương đương + Nếu có sử dụng phép biến đổi hệ + Nếu có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi sử dụng phép biến đổi tương đương TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com II Một số ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình Phân tích lời giải Điều kiện xác định phương trình Phương trình cho có dạng , ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa Chú ý với điều kiện xác định tìm ta biến đổi phương trình sau Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta tập nghiệm Nhận xét Lời giải ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau tìm điều kiện xác định cho phương trình Có thể thực biến đổi tương đương phương trình mà không cần đặt điều kiện xác định cách Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Thực tế ta khơng cần phải viết lúc hai điều kiện lúc phép biến đổi trên, mà cần viết hai điều kiện được, chẳng hạn Chú ý việc chọn điều kiện phép biến đổi phụ thuộc vào thuận tiện cho qua trình kiểm tra lại lời giải cho toán ngắn gọn Ví dụ Giải phương trình Phân tích lời giải Phương trình dụ có dạng nên ta sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Chú ý hai điều kiện kiện điều đơn giản Lại nhẩm số giá trị đặc biệt ta nghiệm Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình sau Vậy phương trình cho có tập nghiệm Ví dụ Giải phương trình Phân tích lời giải Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Phương trình có dạng nên ta hướng đến sử dụng phép biến đổi nâng lên lũy thừa Khi nâng lên lũy thừa ta phương trình có bậc 3, nhiên nhận thấy nghiệm phương trình nên ta dễ dàng phân tích phương trình bậc Ta trình bày lời giải sau Nhận xét Trong hai điều kiện việc chọn điều kiện phép nâng lên lũy thừa hồn tồn hợp lí Một số sai lầm thường gặp biến đổi phương trình ví dụ + Vội vàng phát nhân tử biến đổi phương trình mà chưa đặt điều kiện Để thực tách cần có điều kiện Muốn ta ta tìm điều kiện xác định phương trình trước + Tìm điều kiện Tác giả: Nguyễn Công Lợi lại vội vàng khai TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta biết với biểu thức dạng khai phải lấy dấu giá trị tuyệt đối cho biểu thức đưa dấu Với điều kiện ta chưa xác định mang dấu nên khai ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải phương trình Phân tích lời giải Phương trình cho ví dụ phương trình dạng nên ta sử dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải Ta thấy vế trái ln khơng âm, vế phải phương trình âm phương trình vơ nghiệm Do ta biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình có điều kiện Khi hai vế khơng âm bình phương ta thu phương trình tương đương Vậy tập nghiệm phương trình Nhận xét Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Kết hợp với điề kiện xác định ta tạp nghiệm Bài 22 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta đươc Từ suy Mặt khác ta có Như để phương trình xẩy ta bất đẳng thức phải xẩy dấu Từ ta nghiệm phương trình Bài 23 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Kết hợp với phương trình ta suy dấu bất đẳng thức xẩy Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 24 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu xẩy Kết hợp với phương trình cho ta nghiệm phương trình cho Bài 25 Điều kiện xác định phương trình Ta có Ta lại có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Kết hợp với phương trình cho suy dấu bất đẳng thức xẩy Hay ta Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 26 Điều kiện xác định phương trình Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Do ta Mặt khác Kết hợp với phương trình ta Vậy phương trình cho có nghiệm Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 27 Điều kiện xác định phương trình Ta có Mặt khác Vậy phương trình tương đương với Suy phương trình vô nghiệm Bài 28 Điều kiện xác định phương trình Phương trình cho tương đương với Dấu đẳng thức xảy Vậy phương trình có nghiệm Bài 29 Điều kiện xác định phương trình Phương trình cho tương đương với Đặt , suy Khi ta Theo bất đẳng thức Cauchy ta có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi Do ta lại có TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ ta , suy thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm Bài 30 Điều kiện xác định Phương trình cho tương đương với Phương trình xác định với x số thực Theo bất đẳng thức Cauchy ta có Do kết hợp với phương trình suy Từ phương trình có nghiệm Bài 31 Điều kiện xác định phương trình Phương trình cho tương đương với Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta Suy Thay Kết hợp với ta vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 33 Phương trình tương đương với + Nhận thấy + Nếu nghiệm phương trình phương trình tương đương với Với Với Do phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm Bài 33 Điều kiện xác định phương trình Đặt Phương trình cho trở thành Ta có Từ suy dấu cảu bất đẳng thức xẩy hay ta Do nghiệm , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 34 Điều kiện xác định phương trình Đặt Ta có Phương trình trở thành , Từ ta Vậy phương trình có nghiêm Bài 35 Điều kiện xác định phương trình + Cách Đặt với Phương trình cho trở thành Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Đẳng thức xảy Vậy nghiệm phương trình + Cách Ta có Mà Vậy phương trình có nghiệm Bài 36 Điều kiện xác định phương trình Áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà ta lại có Vậy phương trình có nghiệm hệ sau có nghiệm Hệ phương trình vơ nghiệm nên phương trình cho vơ nghiệm Bài 37 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Từ ta Ta lại có Do Từ suy Như để phải có có nghiệm ta , thỏa mãn điều kiện xác định Vậy phương trình Bài 38 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu xảy Suy Kết hợp kết ta phương trình có nghiệm Bài 39 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Suy dấu bất đẳng thức xẩy Vậy tập nghiệm phương trình Bài 40 Điều kiện xác định xác định phương trình Phương trình tương đương với Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho vế trái phương trình ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy Dấu xảy Vậy tập nghiệm phương trình Bài 41 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm, ta có: Mặt khác Do Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 42 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Thử lại nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 43 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu đẳng thức xảy Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình Bài 44 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Dấu xẩy Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có Vậy nghiệm phương trình Bài 45 Điều kiện xác đinh phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có Từ phương trình suy dấu đẳng thức xẩy Vậy nghiệm phương trình cho Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 46 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Do Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 47 Điều kiện xác định phương trình Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Dấu đẳng thức xẩy Thử lại ta thấy nghiệm phương trình cho Bài 48 Ta có Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Do ta Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu xẩy Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 49 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Dấu xẩy Vậy phương trình có nghiệm Bài 50 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Dấu đẳng thức (1) xảy khi: Kết hợp điều kiện ban đầu ta có nghiệm Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 51 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Dấu đẳng thức xảy bất đẳng thức xẩy ra, ta Vậy phương trình có nghiệm Bài 52 Điều kiện xác định phương trình trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Lại theo bất bất đẳng thức Cauchy ta có Như kết hợp với phương trình bất đẳng thức xảy dấu Vậy phương trình cho có nghiệm Bài 53 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu đẳng thức xảy Vậy nghiệm phương trình cho Bài 54 Điều kiện xác định phương trình Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có Dấu xảy Ta có Áp dụng bất thức Cauchy ta có Dấu xảy Từ kết ta có nghiệm phương trình _HẾT Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... đưa phương trình hệ phương trình Kĩ 5: Đặt ẩn phụ đưa phương trình giải Phương pháp Phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ Cơ sở phương pháp Một số kĩ đánh giá giải phương trình vơ tỷ Kĩ... Website:tailieumontoan.com Bài tập rèn luyện phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ Hướng dẫn giải tập phương pháp đánh giá giải phương trình vơ tỷ 311 314 Phương pháp PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA Trong tốn phương. .. luận phương trình cho có tập nghiệm Ví dụ 31 Giải phương trình Bài giải Điều kiện xác định phương trình Phương trình cho tương đương với Thử lại ta thấy nghiệm phương trình cho Ví dụ 32 Giải phương