Biến đổi fourier rời rạc DFT và biến đổi fourier nhanh FFT
1 Chương BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Trong chương ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) liên hệ thời gian liên tục với tần số rời rạc, biến đổi Fourier liên tục thời gian (CTFT) liên hệ thời gian rời rạc với tần số rời rạc Sự biểu diễn hai hình thức Fourier CTFS CTFT, không tuần hoàn miền tần số hai phép biến đổi DTFS DTFT tồn hồn miền tần số kết lấy mẫu thời gian Trong chương này, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biến đổi Fourier nhanh xét đến trình bày Fourier thứ ba mà áp dụng cho tín hiệu khơng tuần hồn rời rạc thời gian có chu kỳ giới hạn DFT FFT hữu ích phân tích xử lý nhiều vấn đề hệ thống tín hiệu biến biến thời gian LTI Chúng cho phép xử lý máy tính vi xử lý tín hiệu số Thật ra, DFT FTT nói đến chương (phần 3.9) Tín hiệu tương tự tuần hồn Tín hiệu tương tự khơng tuần hồn Rời rạc khơng tuần hồn Rời rạc tuần hồn Phổ rời rạc khơng tuần hồn Phổ liên tục khơng tuần hồn Phổ liên tục tuần hồn spectrum Rời rạc tuần hồn Hình 8.1: minh họa biến đổi thời gian-tần số cho phân tích Fourier khác 8.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) Với tín hiệu khơng tần hồn, x(n) nhìn chung tồn thời điểm, biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) định nghĩa (phần 3.5) X ( ) x ( n)e jn (DFFT) (8.1) n Tín hiệu thời gian phục hồi cách lấy tích phân liên tục (IDFT) (8.2) x ( n) X ( )e jn d 2 2 Chú ý tín hiệu thời gian x(n) rời rạc DFT X ( ) liên tục theo tần số, giống với DTFT Sự biến đổi áp dụng cho hệ thống H ( ) h( n)e jn (Đáp ứng tần số) (8.3) n h( n) 2 H ( )e jn d (Đáp ứng xung) (8.4) 8.1.1 Rời rạc tần số liên tục Một số vấn đề DTFT, vấn đề tính tốn số (bằng máy tính vi xử lý số) Đầu tiên, tổng vô hạn (8.1) (8.3) xử lý được, thực tế chuỗi x(n) giới hạn chiều dài cắt cụt đi, để giảm vơ hạn Mặc khác frequency liên tục theo nguyên tắc ta phải tính (8.1) (8.3) giá trị vơ hạn dù tổng giới hạn mặt thời gian Vì tần số phải rời rạc hóa Thứ hai, biến đổi X ( ) H ( ) giá trị liên tục, vấn đề tính tích phân cần xét đến Điều dẫn đến cần thiết để rời răc lấy mẫu tần Với tín hiệu khơng tuần hồn x(n) đáp ứng xung h(n), cách lấy mẫu chúng? Càng nhiều mẫu lấy, mẫu diễn tả tín hiệu tốt lại tốn nhiều thời gian cho tính toán Trả lời cho câu hỏi quan trọng nằm định lý lấy mẫu miền tần sơ, dạng khác định lý lấy mẫu miền thời gian (phần 1.3.2) Định lý phát biểu sau: Phổ tần số liên tục tín hiệu tồn chu kỳ thời gian hữu hạn T0 giây có thẻ trình bày cách hồn tồn mẫu tần số mà lấy khoảng tần số 1/H0 Hz (mẫu/giây) Phổ tần số phục hồi từ mẫu tần số (hình 8.2) H ( ) H10 /2 Hình 8.2: Lấy mẫu đáp ứng tần số 8.1.2 DFT đảo Đầu tiên, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) lấy mẫu khoảng Xét tín hiệu nhân x(n) DTFT có từ (4.1) với ngưỡng tổng không 3 X ( ) x(n)e jn (8.5) n 0 Kế đến xét tín hiệu hữu hạn thời gian có N mẫu (từ n=0 đến n=N-1) biến đổi trở thành N 1 X ( ) x(n)e jn (8.6) n 0 Bây tính X ( ) N giá trị rời rạc chu kỳ 2: k 2 N k, k 0, 1, 2, N (8.7a) Hoặc fk k k 2 N (8.7b) DFT tín hiệu có N mẫu từ n = đến n = N -1 N 1 X (k ) x(n)e j ( 2 / N ) kn , k 0, 1, 2, , ( N 1) (DFT) (8.8) n 0 k gọi hệ số phổ X(k) gọi tần số lấy mẫu Chuỗi x(n) có giá trị thực phức Biến đổi ngược, tín hiệu x(n) phục hồi x ( n) N X ( k )e j ( 2 / N ) kn , n 0, 1, 2, , ( N 1) (IDFT) (8.9) Ta thấy DFT IDFT giống chuỗi Fourier rời rạc thời gian x(n) chu kỳ N (phần 3.4) Từ định nghĩa DFT, ta dễ dàng thấy X(0) thực x(n) thực DFT áp dụng cho hệ thống N 1 H (k ) h(n)e j ( 2 / N ) kn , k 0, 1, 2, , N (DFT) h( n) (8.10) n 0 N 1 H (k )e j (2 / N )kn , n 0, 1, 2, , N (IDFT) (8.11) N k 0 Sự định nghĩa (8.8), (8.9), (8.10) (8.11) DFT N điểm Nếu ta tính X(k) từ (8.8) dải k N , ví dụ với N k N N k , ta thấy giá trị lặp lại, nghĩa là, X(k) tuần hoàn với chu kỳ N giống vây, Nếu ta tính x(n) từ (8.9) ta thấy giá trị lập lại nghĩa x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (tại thời điểm ban đầu ta xét x(n) chuỗi có chiều dài N từ n to n N ) Vì vậy, hình 8.1 tín hiệu rời rạc tuần hoàn biến đổi DFT thành phổ rời rạc tuần hoàn Thường số N lấy số nguyên mũ (đó là, 32, 64, 128…) Khi số mẫu x(n) khơng có chiều dài ta cộng thêm mẫu khơng để có chiều dài với N (ví dụ x(n) có 120 mẫu ta cộng thêm mẫu khơng để có 128 mẫu) Đây thêm không padding không Để thuận tiện ta thích WN e j ( 2 / N ) (8.12a) Vì WNkn e j ( 2 / N ) kn (8.12b) WN kn e j ( 2 / N ) kn (8.12c) WN* WN1 (8.12d) Với dấu thích liên hiệp phức Cũng vậy, thay viết (2 /N) biểu thức ta cso thể viết để rõ ràng Ví dụ 8.1.1 Tìm DFT N điểm tín hiệu (a) x1 (n) (n) (b) x2 (n) (c) x3 (n) (n n0 ), n0 N (d) x4 (n) n , n N (e) x5 (n) 4(n) 4(n n0 ), n0 N (f) x6 (n) cos n0 , n0 ( N 1) and 0 (2 / N )k Giải (a) Từ định nghĩa DFT N 1 X (k ) (n)e j ( 2 / N ) kn 1e j ( 2 / N ) k 1, k 0, 1, , N n 0 (b) Từ định nghĩa DFT N 1 X (k ) 1e j ( 2 / N ) kn n 0 Tổng có giá trị N với k= 0, k Vì X (k ) N (k ) (c) Từ định nghĩa DFT N 1 X (k ) (n n0 )e j ( 2 / N ) kn 1e j ( 2 / N ) kn0 e j ( 2 / N ) kn0 , k 0,1, , N n 0 (d) Từ định nghĩa DFT N 1 N 1 n 0 n 0 X (k ) n e j ( 2 / N ) kn e j ( 2 / N ) k n Sử dụng cơng thức chuỗi hình học hữu hạn( ), ta có e j ( 2 / N ) k X (k ) , k 0, 1, , N 1 e j ( 2 / N ) k (e) Chú ý x5 (n) xung chữ nhật số (thấy ) có độ rộng khơng mẫu N Như (4.10a) (4.10b), ta viết WN e j ( 2 / N ) WNkn e j ( 2 / N ) kn , WN kn e j ( 2 / N ) kn Vì vậy, từ định nghĩa DFT sử dụng cơng thức chuỗi hình học hữu hạn ( ), ta có n0 1 X (k ) W n 0 Tử số, lấy W thành kn0 / N kn N WNkn0 WNK làm thừa số chung, mẫu số lấy WNk / làm thừa số chung, biến đổi trở X (k ) W k ( n0 1) / N WN kn0 / WNkn0 / WN k / WNk / sin(kn0 / N ) , k 0, 1, , N sin(k / N ) Ta kiểm tra trường hợp n0 (kết 0) trường hợp n0 (kết trong1 e j (( 2 / N ) k ( n0 1) / (b)) (f) Diễn tả cosin thành phần mũ phức x(n) cos n0 12 e jn0 12 e jn0 Vì X (k ) N 1 e j ( 2N k 0 ) n 12 e j 2N ( k k0 ) n 12 e n 0 j ( 2N k 0 ) n Với 0 (2 / N )k X (k ) N 1 e n 0 N 1 j 2N ( k k0 ) n n 0 Tổng thứ không với k k , N với k k Tổng thứ hai bằn không với k ( N k ) , N với k ( N k ) Vì biến đổi X (k ) 12 N , k k and k N k 0 , otherwise Ta hiểu (2 / N)k tần số DFT viết k 2N k rad / sample, k 0, 1, , N Nếu, đôi biến đổi đặt dạng W 1 X ( k ) x(n)e jk n , k 0, 1, , N x ( n) n 0 N 1 N X ( k 0 k (DFT) )e jk n , n 0, 1, , N (8.13) (DFT) (8.14) Vì ta tính X ( k ) thay thơng thường X(k) Ví dụ 8.1.2 (cũng thấy ví dụ 3.9.2) (a) Tín đáp ứng tần số DFT H ( k ) lọc FIR mà có đáp ứng xung h(0) = 0, h(1) = 1, h(2) = 2, h(3) = 3, otherwise h(n) = (b) Chứng từ giá trị H ( k ) đáp ứng xung phục hồi cách hoàn toàn Giải (a) Đáp ứng xung có giá trị, N = k 2 / Cũng ý dải n h(n) = n Đáp ứng tần số H ( k ) 3 n 0 n 0 H ( 24 k ) h(n)e j ( 2 / 4) kn h(n)e j ( / 2) kn , k 0, 1, 2, Bây k 0, H (0) ne j ( / 2) 01 n 0 k 1, H ( 2 ) ne j ( / 2)1n e j / 2e j 3e j 3 / 2 j n 0 k 2, H ( ) 2e j ( / 2) n e j 2e j 3e j 2 n 0 k 3, H ( 32 ) 3e j ( / 2)3n e j 3 / 2e j 3 3e j 9 / 2 j n 0 Kết vẽ hình 8.3 H() 2 2 0 /2 3 / k k Hình 8.3: Ví dụ 8.1.2 Đáp ứng tần số DFT (b) Trong hình 8.3 ta tưởng tượng đáp ứng tần số liên tục (đường chấm) lấy mẫu đồng điểm Bây ta muốn biết liệu đáp ứng xung có phục hồi cách đầy đủ từ mẫu hay không Đầu tiên, DFT đảo cho h( n) H ( 2 k )e j ( / 2) kn , k 0, 1, , N k 0 Bây n : h(0) 1 H ( 2 k )e j ( / 2) k 6 (2 j 2) (2 j 2) 4 H ( 2 k )e j ( / 2) k1 k 0 6e j ( / 2) (2 j 2)e j ( / 2)1 2e j ( / 2) (2 j 2)e j ( / 2)3 n : h(1) Ta lấy giá trị đầu h(2) h(3) Bên cạnh đó, ta tính h(4), h(5)…ta thấy chúng h(0), h(1)…vì DFT tuần hòan chu kỳ N Ví dụ 8.1.3 Một tín hiệu audio băng thông hạn giới hạn 8kHz lấy mẫu 20kHz sau DFT tính 1000 điểm (a) Tìm khoảng cách mẫu tần số (b) Đáp ứng tương tự với hệ số k = 200 ? Giải (a) Với tốc độ lấy mẫu f s 20 kHz DFT lấy N 100 điểm, khoảng lấy mẫu tần số f (b) viết f s 20000 20 Hz N 1000 Tần số gốc tương tự rad/sec liên hệ với tần số số rd/sample ( 1.39), ta k k fs DFT N điểm nghĩa DTFT lấy mẫu N điểm tần số Vì tần số DFT k 2 2 k k , k 0, 1, , N N 1000 Vì tần số gốc tương tự cho 2 k f sk 20000 1000 k 40k rad / s Và tần số tuyến tính tương tự fk k 20 kHz 2 Vì hệ số phổ k = 200 tương ứng với tần số tương tự f 20 200 4000 Hz Tổng quát X(k) phức Và ta diễn tả thành phần phần thực ảo phổ biên độ phổ pha cho CTFT (phần 3.2.2) DTFT (phần 3.5) (8.15a) X (k ) X R (k ) jX I (k ) X (k ) e j ( k ) Với X (k ) X R2 (k ) X I2 (k ) (8.15b) (k ) arg X (k ) arctg X I (k ) X R (k ) (8.15c) Là phổ biên độ phổ pha X(k), tương ứng Ví dụ 8.1.4 Chuỗi số cho x(n) 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1 Tìm phổ biên độ phổ pha DFT 10 điểm Giải Với DFT 10 điểm, N = 10 chuỗi số n = đến n N Vì chuỗi cho có mẫu, ta cộng thêm mẫu khơng phần cuối để bậc tổng số 10 mẫu Vì chuỗi thêm khơng vào x(n) 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0 DFT n 0 n2 X (k ) x(n)e j ( 2 / N ) kn W kn Bằng cách sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn, ta có W 2 k W 7 k X (k ) W k sin(k / 2) e j 4k / , k 0, 1, ,9 sin(k / 0) Từ điều ta tính phổ biên độ phổ pha, tương ứng sin(k / 2) sin(k / 10) 4 sin(k / 2) (k ) k , 0 sin(k / 10) 4 sin(k / 2) k, 0 sin(k / 10) X (k ) Ví dụ 8.1.5 Một xung chữ nhật có chiều dài L x(n) L, 0, 1, , L 0, otherwise (a) Tìm DFT (b) Dẫn xuất số điểm DFT với N L Giải (a) Từ(8.1) DFT cho X ( ) L 1 x(n)e jn n 0 L 1 e jn n 0 e jL e j sin(L / 2) j ( L 1) / e sin( / 2) Phổ biên độ pha X ( ) có từ kết với chiều dài L (ví dụ 3.5.1) (b) DFT N điểm X (k ) x(n) DTFT X ( ) tính N khoảng tần số đồng (8.7): e j 2kL / N e j 2k / N sin(kL / N ) , k 0, 1, , N sin(k / N ) Nếu số điểm DFT gần với chiều dài tín hiệu L X (k ) L, k X (k ) 0, k 1, 2, , L Điều giống với ví dụ 8.1.1b 8.1.1e Dù DTFT X ( ) trình bày x(n) miền tần số liên tục, L điểm DFT khơng cung cấp đủ chi tiết đặc tính phổ x(n) khoảng tần số điểm tần số không đủ gần Giải pháp cho vấn đề lấy N điểm DFT với N > L, điều đồng nghĩa với việc tăng chiều dài chuỗi tín hiệu L đển N cách cộng thêm N-L mẫu khơng (đây cách thêm khơng trên) Ví dụ 8.1.6 [Trích từ A Antoniou, 2006] (a) Tìm phổ DFT chuỗi tuần hoàn với chu kỳ N = 10 (b) Bây chuỗi thêm không vào cuối để chiều dài từ 10 thành 20 Tìm phổ DFT sau thêm khơng Giải (a) DFT chuỗi tuần hồn Bằng cách sử dụng chuỗi hình học ta có Phổ biên độ Và phổ pha , Otherwise Phổ vẽ hình 8.4a Hình 8.4a:Ví dụ 8.15 (tín hiệu phổ) (b) Với thêm khơng để tăng từ 10 đến 20 mẫu Tính tốn giống (a) ta có phổ vẽ hình 8.4b Hình.8.4b: tiếp ví dụ 8.15 continued (tín hiệu phổ) 10 8.1.3Dạng ma trận DFT Ta viết chuỗi tín hiệu vào x(n) hệ số phổ ngõ X(k) dạng vector sau: x x(0), x(1), , x( N 1) T (8.16) X X (0), X (1), , X ( N 1) T Thật ra, x X vector cột N viết dạng chuyển vị Đầu tiên ta định nghĩa ma trận N×N W thừa số W Nkn : 1 N 1 1 W N W N kn W W N 0 k ,n N 1 1 W NN 1 W N( N 1) Ví dụ, với N = ma trận W N0 W N0 W N0 W N0 W N0 W N W N W N W N W N W W N0 W N2 W N4 W N6 W N8 12 W N W N W N W N W N 12 16 W N W N W N W N W N (8.17) Vì DFT biến đổi tuyến tính mẫu vào x thành phổ ngõ X, nên diễn tả dạng ma trận sau: (8.18a) XWx Từ điều x W 1 X Thật ra, không cần tính nghịch đảo W 1 W , tính chất định nghĩa DFT IDFT, W 1 W* / N Vì ma trận IDFT x W* X N Ví dụ 8.1.6 Cho chuỗi x(n) [1, 1, 0, 0] , tìm điểm DFT, sau lấy IDFT để phục hồi lại x(n) Giải Sự biến đổi 1 1 1 W W W 4 X x 1 W42 W44 W46 9 1 W4 W4 W4 Từ thuộc tính đối xứng tuần hồn (phần 8.2) ta có W40 W44 1, W41 W49 j, W42 W46 1, and W43 j Vì 1 1 2 1 1 j j 1 1 X 1 1 0 0 1 j j 0 1 Đó j j (8.18b) 11 X 2, - j, 0, j T Bây IDFT 1 1 1 W 1 W W 3 4 x X 1 W4 W4 W46 3 W46 W49 1 W4 1 2 1 1 1 j j 1 j 1 1 1 0 0 1 j j 1 j 0 Đây x(n) [1, 1, 0, 0] mong đợi 8.2 THUỘC TÍNH CỦA DFT DFT có nhiều thuộc tính giống với DTFT Tuy nhiên, DFT dịch tần số thời gian khơng tuyến tính vòng, điều làm DFT có nhiều thuộc tính phức tạp 8.2.4 Tuần hòan Tín hiệu x(n) (hoặc đáp ứng xung h(n)) có chiều dài hữu hạn N (có mẫu n = đến n = N - 1) DFT X(k) (hoặc đáp ứng tần số H(k) tuần hoàn với chu kỳ N, nghĩa là, biến đổi dải k N ) lặp lại bên ngồi dải Thuộc tính tuần hồn diễn tả mặt toán học Xk iN X(k) , i 1, 2, , (8.19) Ngược lại, X(k) có chiều dài hữu hạn, IDFT x(n) tuần hoàn với chu kỳ N 8.2.4 Tuyến tính DFT tốn hạng tuyến tính Xét hai chuỗi số x1(n) x2(n) có chiều dài tuyến tính có nghĩa (8.20)Với a ax1 (n) bx (n) aX1 (k) bX (k ) a b số Thuộc tính tuyến tính diễn tả như: DFT kết nối tuyến tính nhiều tín hiệu có DFT tuyến tính 8.2.4 Đối xứng (với tín hiệu thực) Xét trường hợp tín hiệu thực từ định nghĩa DFT đối xứng X(N k) X* (k), k N (8.21) Từ định nghĩa DFT ta có N 1 N 1 n 0 n 0 N 1 X ( N k ) x(n)WN( N k ) n x(n)WNknWNNk x(n)WNkn n 0 Như ta biết từ (8.12d) WN* WN1 , x(n) thực phần bên phải công thức X * (k ) Nếu x(n) thực X(0) thực X ( N ) X * (0) thực Sự đối xứng gọi liên hiệp phức đối xứng 12 Quan trọng hơn, N chẵn, thường mũ 2, DFT X(k) hàm đối xứng k qua điểm N/2 ( nhìn lại ví dụ 8.1.2), đặc biệt, phổ biên độ đối xứng chẵn phổ pha đối xứng lẻ qua điểm N N N X k X k, k 2 2 (8.22a) N N N (8.22b) k k , k 2 Thật CTFT (3.16) DTFT (3.44) thể thuộc tính đối xứng Vì với tín hiệu có giá trị thực ta cần tính nửa bên phải X(k) Nếu N lẻ đối xứng có giá trị nửa số nguyên 0.5N Hình 8.5 đối xứng hai trường hợp N chẵn lẻ Hình 8.6 minh họa phổ biên độ pha tín hiệu thực k N-1 N N/2 Đối xứng N/2 Đối xứng (a) N even (N = 8) (b) N odd (N = 7) Hình 8.5: Đối xứng DFT với tín hiệu thực Hình.8.6 : Phổ biên độ pha DFT 256 điểm tín hiệu x(n) 0.8n (0.9)n 8.2.4 Dịch vòng , n 0, 1, , 256 k N-1 N 13 Dịch chuyển thời gian chuỗi x(n), có trễ tới trước, dịch chuyển tần số phổ X(k), với k tăng giảm, dịch vòng, khơng phải dịch tuyến tính, x(n) mở rộng tuần hồn X(k) tuần hồn chu kỳ N Xét chuỗi x(n) bao gồm mẫu từ x(0) đến x(N-1) Một dịch tới trước nghĩa dịch sang phải mẫu, chuỗi x(1) đến x(N) với X(N) = x(0) tuần hoàn Dịch tiếp tục cho chuỗi từ x(2) đến x(N+1 với x(N) = x(0), x(N+1) = x(1)…Sử dụng cánh minh họa dịch vòng để minh họa mẫu xếp quanh đường tròn với gốc thời gian (n = 0) cố định Hình 4…minh họa điều x(3) x(2) x(0) x(1) x(3) x(n) 3 2 n -1 0 x(2) x(0) x(n) 0 x(3) x(0) -1 x(1) dòch chuyển tới (trì hoãn) x(1) x(n) x(2) dòch chuyển lùi (tới trước) n -1 Hình 8.7.: Chuỗi x(n) có mẫu (N = 4) dịch vòng Xét x(n) chuỗi với chiều dài hữu hạn N khoảng [0, N 1] khơng bên ngồi Một chuỗi tuần hồn xp(n) hình thành từ x(n) sau xp(n) = x(n mod N) (Mở rộng tuần hoàn) (8.23) Với mod N toán hạng module, mà định nghĩa n mod N n iN N, i 0,1, 2, (8.24) Với n dương, toán tử module phần dư sau chia n cho N, ví du mode = , mod = 1, mod = 2, mod = 0, mod = 1, mod = 0, 11 mod = Với n dương chọn dấu để n iN N , ví dụ (for N = 3) mod = – = 1, mod = – 3N = 0, 11 mod = 11 – 3N = Với n âm chọn dấu để < n + iN < N, ví dụ (for N = 3) mod = – =1, mod = – 3N = 0, 11 mod = 11 – 3N = Với n âm ta chọn dấu để n iN N , ví dụ (for N = 3) (-1) mod = -1 + N = 2, (-2) mod = -2 + N = 1, (-3) mod = -3 + N = (-4) mod = -4 + 2N = 2, (-5) mod = -5 + 2N = 1, (-9) mod = -9 + 3N = Hình 8.8 minh họa hoạt động n mod Chú ý kết tuần hồn với chu kỳ n 14 n mod 2 2 1 -4 -3 -2 -1 n Hình 8.8 Sự hoạt động n mod Chuỗi tuần hoàn xp(n) định nghĩa (8.23) gọi mở rộng tuần hoàn x(n) Chú ý xp(n) = x(n) với n N xp(n) mở rộng x(n) cách tuần hoàn hướng âm hướng dương Từ mở rộng tuần hoàn (8.23) mở rộng tuần hoàn chuỗi x(n) dịch thời gian n0 Một dịch vòng mẫu n0 chuỗi x(n) có N mẫu diễn tả x p (n n ) x[(n n ) mod N] (Dịch vòng) (8.25) Sự mở rộng tuần hồn thuộc tính dịch thời gian tương ứng dịch vòng Ta suy luận N mẫu tín hiệu x(n) chuyển thành điểm xung quanh đường tròn (hình 8.6), mở rộng tuần hồn xp(n – n0) trình bày tín hiệu x(n) mà dịch ngược chiều kim đồng hồ n mẫu Hình 8.9 minh họa dịch tuyến tính dịch vòng tương ứng với chuỗi gồm điểm Ví dụ 8.2.1 Cho chuỗi x(n) [1, 2, 3, 0, 0, 5, 6, 7] , tìm dịch vòng tín hiệu (a) x(n – 2) (b) x(n + 2) (c) x(-n) Giải (a) Với x(n – 2) ta dịch hai mẫu cuối đến vị trí đầu, xcs (n 2) [6, 7, 1, 2, 3, 0, 0, 5] (b) Với x(n + 2) ta dịch hai mẫu đầu đến cuối, (c) xcs (n 2) [3, 0, 0, 5, 6, 7, 1, 2] (d) Với x(-n) ta flip x(n) trở thành [5, 0, 0, 3, 2, 1, 7, 6] sau tạo mở rộng chu kỳ để có xcs (n) [1, 7, 6, 5, 0, 0, 3, 2] Ví dụ 8.2.2 Cho tín hiệu x1 (n) (n) 2 (n 5) (a) Tìm DFT 10 điểm X1(k) (b) Tìm tín hiệu x2(n) để DFT X (k ) e j 410 k X (k ) Giải (a) Ta biết DFT (n) sử dụng thuộc tính trễ, ta có X (k ) 2e j 210 k 2(1)k 2k 15 (b) Nhân X1(k) với mũ phức j (2 / N )km tương ứng với dịch tròn x1(n) m điểm Here m = -2 means x1(n) is shifted backward points Thus x2 (n) x1[(n 2) mod 10] 2 (n 3) (n 8) x(n) 1 n 5 x(n - 1) 4 Xp(n - 1) 3 2 1 n n 5 x(n -2) Xp(n - 2) 4 3 2 x(n - 1) 4 n 2 1 n Hình 8.9.: Dịch tuyến tính dịch vòng tương ứng Ví dụ 8.2.3 n -4 -3 -2 -1 x(-n) mod xp(-n) 2 n 16 Cho tín hiệu x(n) 4 (n) 3 (n 1) 2 (n 2) (n 3) Và để X(k) có điểm DFT, tìm tín hiệu y(n) mà có điểm DFT với phần thực X(k) Giải Phần thực X(k) diễn tả X R (k ) 12 [ X (k ) X * (k )] Ta phải tìm X(k) X * (k ) : N 1 X ( k ) x ( n )e j 26 kn n 0 x(n)WNkn * N 1 N 1 X (k ) x(n)WNkn [ x * (n)W N kn ] n 0 n 0 * N 1 x * (n)WN k ( N n) n 0 Điều có nghĩa X*(k) DFT x*(n) mà dịch vòng (N – n) điểm Vì tín hiệu y(n) y (n) 12 {x(n) x * [( N n) mod N ]} [4, 32 , 1, 1, 1, 32 ] DFT dịch thời gian vòng với chuỗi N điểm x(n) mẫu n0 cho x p (n n ) WNkn X(k) (8.26) Với X(k) DFT x(n) Ngược lại, với dịch tần số vòng ta có đôi biến đổi WNkn x(n) X p (k k )[(k k )modN] (8.27) 8.2.5 Định lý Parseral Như chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS), biến đổi Fourier liên tục thời gian(CTFT), chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT), biến đổi Fourier rời rạc (DTF) có liên hệ lượng tín hiệu miền thời gian miền tần số Xét chuỗi x(n) có chiều dài N với DFT X(k), định lý parseval phát biểu sau N 1 x ( n) n 0 Với x(n) N N 1 X (k ) (8.28) k 0 cơng suất chuẩn hóa (nghĩa là, công suất/đơn vị điện trở) mẫu n Công suất trung bình Px N N 1 x ( n) (8.29) n 0 Phần bên trái (8.28) tổng công suất (năng lượng/đơn vị thời gian) tín hiệu x(n) với chiều dài N Phần bên phải tổng công suất miền tần số DFT (phổ cơng suất) Vì (1 / N ) X (k ) công suất phổ tần số k (nghĩa là, tần số fk cho 8.6b) gọi mật độ phổ công suất (PDS) phổ công suất (phổ) mật độ (PSD), gọi periodogram, thích S N (k ) : S N (k) X(k) N Cơng suất phổ trung bình Tất nhiên Px Pk (PDS PSD) (8.30) 17 Ví dụ 8.2.4 Given the signal Cho tín hiệu x(n) 3, 1, 0, 2 Tìm cơng suất trung bình miền thời gian Px miền tần số DFT Pk Giải Phổ cơng suất trung bình Px N 1 Px x ( n) N n 0 9 4 3.5 N 1 Px x ( n) N n 0 9 4 3.5 Kế đến ta phải tìm DFT x(k) Thừa số ma trận W40 W04 W04 W04 1 1 1 j j 3 W W4 W4 W4 W 40 W4 W42 W44 W46 1 1 9 W4 W4 W4 W4 1 j j Vì DFT X Wx tìm thấy 3 j 3 X 3 j 3 Hoặc X (k ) 4, j3, 2, j3 Bảng 8.1 cho ta thuộc tính DFT Nhân chập thảo luận sau Bảng: 8.1 thuộc tính DFT chuỗi thời gian có chiều dài N Thuộc tính Tín hiệu DFT Tuần hồn X (k iN ) X (k ) x(n) Tuyến tính ax1 (n) bx2 (n) aX (k ) bX (k ) Đối xứng x(n) real X ( N k ) X * (k ) Đảo x ( n) X(-k) Dịch vòng thời gian W pkn0 X (k ) x p ( n n0 ) Dịch vòng tần số X pN (k k ) WN k0n x(n) Kết hợp thời gian x * ( n) Kết hợp tần số X *p [k ] Nhân chập vòng theo thời gian Nhân chập vòng theo tần số x *p (n) , real x(n) x(n) * h(n) x(n)h(n) X * (k ) X (k ) H (k ) 18 xy(n) Tương quan vòng N 1 x ( n) ý: N 1 N i 1, 2, ; WN e j ( 2 / N ) ; X (k ) * H (k ) X (k )Y * (k ) n 0 Định lý Parseval Chú N X (k ) k 0 x p (n n0 ) x[(n n0 ) mod N ] X p (k k ) X [(k k ) mod N ] Từ (8.30) PSD tần số X (k ) N 16, 18, 4, 18 4, 4.5, 1, 4.5 S N (k ) Và từ (8.31) phổ cơng suất trung bình N 1 S N (k ) N k 0 4 4.5 4.5 3.5 Vì Px Pk mong muốn Pk Ví dụ 8.2.5 Một tín hiệu có DFT điểm X (k ) [4, j 2, 0, j 2] , tìm (a) Tín hiệu x(n – 2) (b) Tín hiệu x(-n) (c) Tín hiệu x * (n) Giải (a) Dịch thời gian n0 , vậy, sử dụng thuộc tính dịch vòng theo thời gian DFT [ x(n 2)] X (k )e j ( 2 / 4) kn0 X (k )e jk [4, j 2, 0, j 2] (b) Sử dụng thuộc tính đảo, DFT [ x(n)] X (k ) X * (k ) [4, j 2, 0, j 2] (c) Sử dụng tính kết hợp thời gian, DFT [ x * (n)] X * (k ) X * (k ) [4, j 2, 0, j 2] [4, j 2, 0, j 2] Ví dụ 8.2.6 Tìm DFT tín hiệu x(n) 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 Giải Tín hiệu có hai mẫu thêm khơng để có chiều dài N DFT n 0 n 0 X (k ) x(n)W8nk e j ( 2 / 8) nk e jk / , k 0, 1, , Vì thuộc tính đối xứng, ta cần tính X(k) với k lên đến N / lấy đối xứng liên hiệp phức để có tồn bộ: 19 X (0) X (1) e j / 1.707 j 0.707 X (2) e j / j X (3) e j 3 / 0.293 j 0.707 X (4) Từ đối xứng liên hiệp phức, X (k ) X * (8 k ) X (5) X * (8 5) X * (3) 0.293 j 0.707 X (6) X * (8 6) X * (2) j X (7) X * (8 7) X * (1) 1.707 j 0.707 Vì DFT tổng quát X (k ) 2,1.707 j 0.707,0.293 j 0.707,1 j,0,1 j,0.293 j 0.707,1.707 j 0.707 8.2.6 DFT biến đổi z Biến đổi z chuỗi nhân N điểm x(n) là: N 1 X ( z ) x ( n) z n n 0 Ngược lại DFT chuỗi là: N 1 N 1 X (k ) x(n)e j ( 2 / N ) kn x(n)WNkn n 0 n 0 Vì X(k) X(z) thay z e j ( 2 / N ) k WNk : X(k) X(z) z Wk , k 0,1, , N (8.32) N X(k) X(z) tính vòng tròn đơn vị điểm W Nk Nhớ DTFT x(n) có biến đổi z vòng tròn đơn vị (phần 4.2.5) z e j Bằng định thức Euler WNk cos( 2N k ) j sin( 2N k ) Ta tìm giá trị W k N (8.33) với N K Điều hình 8.10 với N = W Nk gọi thừa số twidle Bảng 8.2 cho giá trị W8k 20 Im(z) j z2 z3 2 N z4 z0 -1 Unit circle Z - plane z1 z5 Re(z) z7 -j z Hình 8.10: DFT điểm biến đổi z tương ứng vòng tròn đơn vị Bảng 8.2: Giá trị z k W8k Điểm W8k z0 (1 j ) z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 j (1 j ) -1 (1 j ) j (1 j ) 8.3 NHÂN CHẬP TRỊN VÀ THÊM KHƠNG Nhân chập tuyến tính x(n) với chiều dài Nx với h(n) có chiều dài Nh định nghĩa (2.6) lặp lại đây: y ( n) x ( n) h ( n ) x ( k ) h( n k ) (8.33) k Thật ra, chiều dài ngõ y(n) mà không vô hạn cho (2.7) nhắc lại đây: N y N x Nh 1 (8.34) Với thuộc tính nhân chập DTFT (3.50) liên hệ miền nhân chập miền thời gian nhân thường miền tần số DTFT x(h) h(n) X ( ) H ( ) (8.35) 8.3.1 Nhân chập tròn ... biến đổi Fourier liên tục thời gian(CTFT), chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT), biến đổi Fourier rời rạc (DTF) có liên hệ lượng tín hiệu miền thời gian... H ( ) H10 /2 Hình 8.2: Lấy mẫu đáp ứng tần số 8.1.2 DFT đảo Đầu tiên, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) lấy mẫu khoảng Xét tín hiệu nhân x(n) DTFT... 0, 1, 2, , ( N 1) (IDFT) (8.9) Ta thấy DFT IDFT giống chuỗi Fourier rời rạc thời gian x(n) chu kỳ N (phần 3.4) Từ định nghĩa DFT, ta dễ dàng thấy X(0) thực x(n) thực DFT áp dụng cho hệ thống