Biến đổi fourier rời rạc (dft) - chương 5 ppt

Chng 5 BIN I FOURIER RI RC (DFT) T.S. inh c Anh V Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 2 Gii thiu v DFT  Bin đi Fourier liên tc  Vn đ: X() liên tc theo tn skhông thích hp cho vic tính toán trên máy tính ∑ ∞ −∞= − = n nj enxX ω ω )()( x(n) x(n) = 0.8 n u(n) Min tn s Min thi gian F Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 3 Lymumin tns X() N=10 N=10 Ly mu )()( 2 kXkX N π ω =≡ Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 4 Ly mu min tn s 1, ,1,0)()()( /2 2 /2 −=== ∑ ∞ −∞= − = NkenxkXX n Nknj N Nk π π πω ω ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑ − = − − = − ∞ −∞= ∞ −∞= −+ = − − = − − = − − −= − =⇒       −= = ++++= 1 0 1 0 1 121 0 1 2 2 2 222 )()( )( )( )()()()( N n knj p N n knj l l NlN lNn knj N Nn knj N n knj Nn knj N N N NNN enxkX elNnx enx enxenxenxkX π π π πππ LL ∑ ∞ −∞= −= l p lNnxnx )()( vi Thay n bng (n-lN)  T/h x p (n) – lp chu k ca x(n) mi N mu – là t/h tun hoàn vi chu k c bn N 1, ,1,0)( 1 1, 1,0)( 1 0 /2 1 0 /2 −== −== ∑ ∑ − = − − = Nkenx N c Nnecnx N n Nknj pk N k Nknj kp π π Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 5 Ly mu min tn s  Có th phc hi t/h x p (n) t các mu ca ph X() 1,,1,0)( 1 )( 1,,1,0)( 1 1 0 2 −== −== ∑ − = NnekX N nx NkkX N c N k knj p k N K K π n x(n) 0L n x p (n) 0NL N>L n x p (n) 0N N<L alias    −≤≤ = others Nnnx nx p 0 10)( )( Khi N≥L, x(n) có th đc khôi phc t các mu ph tn s ti  k =2k/N Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 6 Ly mu min tn s  Có th phc hi X() t các mu X(k) vi k=0,1,…,N-1 – Gi s N≥L  x(n) = x p (n) khi 0≤n≤N-1 ∑ − = = 1 0 /2 )( 1 )( N k Nknj ekX N nx π ∑∑ ∑∑∑ − = − = −− − = − − = ∞ −∞= −       =       == 1 0 1 0 )/2( 1 0 1 0 /2 1 )( )( 1 )()( N k N n nNkj N n nj N k Nknj n nj e N kX eekX N enxX πω ωπω ω 2/)1( 1 0 )2/sin( )2/sin( 1 111 )( −− − − − = − = − − == ∑ Nj j Nj N n nj e N N e e N e N P ω ω ω ω ω ω ω    −= = = 1,,2,10 01 )( 2 Nk k kP N K π LNkPkXX N k N ≥−= ∑ − = 1 0 2 )()()( π ωω Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 7 Ly mu min tn s  Tóm tt ∑ ∞ −∞= − = n nj enxX ω ω )()( x(n) có chiu dài L≤N B F ∑ − = − = 1 0 2 )()( N n knj N enxkX π Ly mu ∑ − = = 1 0 2 )( 1 )( N k knj N ekX N nx π ∑ − = −= 1 0 )()()( N k k PkXX ωωω ∑ − = − = 1 0 1 )( N k nj e N P ω ω k N k π ω 2 = Phc hi Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 8 Ly mu min tn s  Ví d: x(n)=a n u(n), 0<a<1 – Ph t/h đc ly mu ti các tn s  k =2k/N, k=0, 1, …, N-1 ω ω ω j n njn ae eaX − ∞ = − − == ∑ 1 1 )( 0 Nkj aeN k XkX /2 1 1 ) 2 ()( π π − − == N n l lNn l p a a a lNnxnx − == −= ∑ ∑ −∞= − ∞ −∞= 1 )()( 0 a=0.8 Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 9 Bin đi Fourier ri rc (DFT)  Chui không tun hoàn, nng lng hu hn x(n)  Các mu tn s X(2k/N), k=0, 1,…,N-1 không đc trng cho x(n) khi x(n) có chiu dài vô hn  Nó đc trng cho chui tun hoàn, chu k N x p (n)  x p (n) là lp tun hoàn ca x(n) nu x(n) có chiu dài hu hn L ≤ N  Do đó, các mu tn s X(2k/N), k=0, 1,…,N-1 đc trng cho chui chiu dài hu hn x(n); i.e. X(n) có th đc phc hi t các mu tn s {X(2k/N)}  x(n)=x p (n) trên mt chu k N (đc đm vào N-L zero). Mc dù L mu ca X() có th tái to li đc X(), nhng vic đm vào N-L zero giúp vic tính toán DFT N đim ca X() đng nht hn 1,,1,0 )()( 1 0 2 −= = ∑ − = − Nk enxkX N n knj N K π 1,,1,0 )( 1 )( 1 0 2 −= = ∑ − = Nn ekX N nx N k knj N K π DFT IDFT Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 10 Bin đi Fourier ri rc (DFT)  Ví d: xác đnh DFT N đim ca chui x(n) có đ dài L hu hn (N≥L)    −≤≤ = others Ln nx 0 101 )( 2/)1( 1 0 )2/sin( )2/sin( 1 1 )()( −− − − − = − ∞ −∞= − = − − = == ∑∑ Lj j Lj L n nj n nj e L e e eenxX ω ω ω ωω ω ω ω Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 11 Bin đi Fourier ri rc (DFT) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 12 DFT – B tuyn tính 1,,1,0 )()( 1 0 −= = ∑ − = Nk WnxkX N n kn N K 1,,1,0 )( 1 )( 1 0 −= = ∑ − = − Nn WkX N nx N n kn N K DFT IDFT 1,,1,0 )()( 1 0 2 −= = ∑ − = − Nk enxkX N n knj N K π 1,,1,0 )( 1 )( 1 0 2 −= = ∑ − = Nn ekX N nx N k knj N K π Nghim th N ca đn v Nj N eW /2 π − = Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 13 DFT – B tuyn tính  B DFT N đim             − =             − = )1( )1( )0( )1( )1( )0( NX X X X Nx x x x NN MM                 = −−−− − − )1)(1()1(21 )1(242 12 1 1 1 1111 NN N N N N N N NNN N NNN N WWW WWW WWW W L MMMM L L L Ma trn B tuyn tính NNN XWx 1− = NN N N XWx * 1 = NNN N N N NIWW WW = = − * * 1 1 NNN xWX = W N là ma trn đng chéo Các mu min thi gian Các mu min tn s Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 15 DFT – Quan h vi các phép B khác  Vi h s Fourier ca chui chu k  Vi B Fourier ca chui không chu k – DFT N đim cho ph vch ca chui không chu k x(n) nu x(n) hu hn có đ dài L ≤ N  SV xem thêm mi quan h gia DFT và B Z; gia DFT và h s Fourier ca t/h LTTG 1,,1,0 )()( 1 0 2 −= = ∑ − = − Nk enxkX N n knj N K π 1,,1,0 )( 1 )( 1 0 2 −= = ∑ − = Nn ekX N nx N n knj N K π 1,,1,0 )( 1 1 0 2 −= = ∑ − = − Nk enx N c N n knj pk N K π ∞≤≤∞− = ∑ − = n ecnx N k knj kp N 1 0 2 )( π Chui {x p (n)} tun hoàn chu k N DFT N đim ca chui x(n) DFT N đim cho chính xác ph vch ca chui tun hoàn chu k N X(k) = Nc k Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 16 DFT – Biudintínhiu x(n) = {1 2 3 4} Dng thng Dng vòng x(n) x(0) x(1) x(2) x(3) DngÂm n -2 -1 0 1 2 n=-1 n=1 Chiu dng Chiu âm n=0 01 23 n 1 2 3 4 x(n) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 17 DFT – Biu din tín hiu theo vòng  Chui tun hoàn chu k N, m rng t x(n)  Chui dch x p (n) đi k mu  Chui có chiu dài hu hn t x’ p (n)  Quan h gia x(n) và x’(n): dch vòng ∑ ∞ −∞= −= n p lNnxnx )()( ∑ ∞ −∞= −−=−= l pp klNnxknxnx )()()( '      −≤≤ = otherwise Nnnx nx p 0 10)( )(' ' x’(n) = x(n-k, MOD N)  x((n-k)) N 0123 4 1 2 3 0123 4 1 2 3 4567 4 1 2 3 -4 -3-2-1 4 1 2 3 8123 4 1 2 3 4567 4 1 2 3 -2 -1 0 4 1 2 3 9 0123 4 1 2 3 x(n) x(3) x(0) x(1) x(2) 3 4 2 1 x’(n) x’(3) x’(0) x’(1) x’(2) 1 2 4 3 x p (n)x(n) x p (n-2) x’(n) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 18 DFT – Tính đi xng vòng  Phép dch vòng ca mt chui N đim tng đng vi phép dch tuyn tính ca chui m rng tun hoàn ca nó  Chui N đim là chn theo vòng nu nó đi xng qua đim 0 trên vòng tròn – i.e. x(N-n) = x(n), 0 ≤ n ≤ N-1  Chui N đim là l theo vòng nu nó phn đi xng qua đim 0 trên vòng tròn – i.e. x(N-n) = -x(n), 0 ≤ n ≤ N-1  o theo thi gian ca chui N đim: đo các mu ca chui quanh đim 0 trên vòng tròn – i.e. x((-n))N = x(N-n), 0≤n≤N-1 – Phép đo đc thc hin bng cách v x(n) theo chiu kim đng h Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 19 DFT – Tính đi xng vòng  Gi s x(n) và B DFT X(k) là t/h phc – x(n) = x R (n) + jx I (n), 0≤n≤N-1 – X(k) = X R (k) + jX I (k), 0≤k≤N-1  Nu x(n) thc: X(N-k) = X*(k) = X(-k) và  Nu x(n) thc và chn: x(n) = x(N-n) → X I (k) = 0  Nu x(n) thc và l: x(n) = -x(N-n) → X R (k) = 0  Nu x(n) thun o: x(n) = jx I (n) [] []        −−= += ∑ ∑ − = − = 1 0 22 1 0 22 cos)(sin)()( sin)(cos)()( N n N kn I N kn RI N n N kn I N kn RR nxnxkX nxnxkX ππ ππ [] []        += −= ∑ ∑ − = − = 1 0 22 1 0 22 cos)(sin)( 1 )( sin)(cos)( 1 )( N k N kn I N kn RI N k N kn I N kn RR kXkX N nx kXkX N nx ππ ππ )()()()( kXkNXkXkNX −∠=−∠=− ∑ − = = 1 0 2 cos)()( N n N kn nxkX π ∑ − = = 1 0 2 cos)( 1 )( N k N kn kX N nx π ∑ − = −= 1 0 2 sin)()( N n N kn nxjkX π ∑ − = = 1 0 2 sin)( 1 )( N k N kn kX N jnx π ∑∑ − = − = == 1 0 2 1 0 2 cos)()(sin)()( N n N kn II N n N kn IR nxkXnxkX ππ Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 20 DFT – Tính cht  Tun hoàn  Tuyn tính  Tng chp vòng    ∀+= ∀+= ⇒ →← kNkxkX nNnxnx kXnx N DFT )()( )()( )()( )()()()( )()( )()( 22112211 22 11 kXakXanxanxa kXnx kXnx N N N DFT DFT DFT +→←+⇒      →← →← )()()()( )()( )()( 2121 22 11 kXkXnxnx kXnx kXnx N N N DFT DFT DFT →←⊗⇒      →← →← N Tng chp vòng N đim N 1,,1,0))(()()()( 1 0 2121 −=−=⊗ ∑ − = Nnknxkxnxnx N k N K N Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 21 DFT – Tng chp vòng ∑∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑ − = −− − = − = − = − = − − = − − = − = =             = = = = 1 0 )( 1 0 1 0 21 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 21 1 0 2 222 2 2 )()( 1 )()( 1 )()( 1 )( 1 )} ( { ) ( N k lnmkj N n N l N k kmj N l klj N n knj N k kmj N k kmj N NNN N N elxnx N eelxenx N ekXkX N ekX N k X I DF T m x π πππ π π    −=⇔=−− =⇒ =−⇒==⇒≠ ∈=−−= =      ≠ − − = = ∑ ∑ − = −− −− − = otherwise nmlpNlnmN a aeaa ZppNlnmkhia eadoTrong a a a aN a N N k k NlnmjN lnmj N N k k N 0 ))(( 0111 ,:,1 1 1 1 1 1 0 )(2 )( 1 0 2 π π 1,,1,0))(()()( 1,,1,0))(()()( 1 0 21 1 0 21 −=−= −=−= ∑ ∑ − = − = Nnknxkxnx Nmnmxnxmx N k N N n N K K )()()()( )()( )()( 21 22 11 kXkXkXmx kXnx kXnx N N N DFT DFT DFT =→←      →← →← [...]... Add M-1 zeros M-1 x1(n) M-1 L M-1 x2(n) x3(n) Output L L L L M-1 M-1 L M-1 L L M-1 Discard Khoa Công Ngh Thông Tin i H c Bách Khoa Tp HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S L Side 29 DFT – L c tuy n tính PP Overlap-Add – m thêm M-1 s không vào m i block d li u u vào Input x1(n) L zeros M-1 L x2(n) x3(n) M-1 L L L Output M-1 M-1 + L Ph M-1 ng pháp hi u qu h n dùng xác c trình bày trong ch M-1 + nh b l c... Overlap-Save B l c có h(n): chi u dài M T/h nh p x(n): c chia nh thành t ng block – Overlap-Add có chi u dài L >> M PP Overlap-Save – DFTN và IDFTN v i N = L+M-1 – M i block d li u c x lý bao g m M-1 i m c a block tr c và L i m m i c a t/h nh p M-1 i m c a block – u tiên áp ng xung c a b l c c set b ng 0 c DFT c a N i m c a h(n) m thêm L-1 s 0 t ng chi u dài lên N c tính m t l n duy nh t Input Add M-1... HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S Side 25 DFT – L c tuy n tính Y( ) = H( )X( ) – Hàm liên t c theo t n s – Khó th c hi n trên các máy tính s DFT: m t cách tính hi u qu c a t ng ch p mi n th i gian L c tuy n tính x(n) y(n) h(n) – Tín hi u ng n M 1 x(n) chi u dài = L (n=0,1,…,L-1) h(n) chi u dài = M (n=0,1,…,M-1) y ( n) h( k ) x ( n k ) k 0 y(n) chi u dài N = M+L-1 S m u ph (t n s ) c n thi t bi u di... HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S 1 2 0 2 (1 cos L 1 n) 0 n L 1 otherwise Side 32 DFT – Phân tích t n s Ví d x(n) cos cos 1n w(n) 2n 1 0 0 n L 1 otherwise ^ X( ) 1 2 W( 1 ) W( 2 ) W( 1 ) W( 2 ) L= 25 L =50 L= 75 L=100 1=0.2 2=0.22 Rò r công su t Khoa Công Ngh Thông Tin i H c Bách Khoa Tp HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S Side 33 ... = M (n=0,1,…,M-1) y ( n) h( k ) x ( n k ) k 0 y(n) chi u dài N = M+L-1 S m u ph (t n s ) c n thi t bi u di n duy nh t chu i y(n) Y(k) = H(k)X(k), k=0,1,…,N-1 H(k), X(k): DFT N i m c a h(n), x(n) (các s 0 c m vào t ng kích th y(n) = IDFTN{Y(k)} L+M-1 c chu i lên N) • T ng ch p vòng N i m c a h(n) và x(n) t ng ng v i t ng ch p tuy n tính c a h(n) v i x(n) • DFT có th c dùng l c tuy n tính (b ng cách m . M Input M-1 Add M-1 zeros x 1 (n) x 2 (n) x 3 (n) Output LL L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 L Discard Input M-1 Add M-1 zeros x 1 (n) x 2 (n) x 3 (n) Output LL L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 L M-1 L M-1. )()()( '      −≤≤ = otherwise Nnnx nx p 0 10)( )(' ' x’(n) = x(n-k, MOD N)  x((n-k)) N 0123 4 1 2 3 0123 4 1 2 3 456 7 4 1 2 3 -4 -3 - 2-1 4 1 2 3 8123 4 1 2 3 456 7 4 1 2 3 -2 -1 0 4 1 2 3 9 0123 4 1 2 3 x(n) x(3) x(0) x(1) x(2) 3 4 2 1 x’(n) x’(3) x’(0) x’(1) x’(2) 1 2 4 3 x p (n)x(n). Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X  L ý Tín Hi  uS  Side 31 DFT – Lc tuyn tính Input M-1 x 1 (n) x 2 (n) x 3 (n) Output L M-1L M-1L M-1L M-1L M-1L + + zeros  PP Overlap-Add –