Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Chng 6 BIN I FOURIER NHANH (FFT) T.S. inh c Anh V Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 2 Ni dung Tính DFT & IDFT Tính trc tip Bin đi W N Chia-Tr Lc tuyn tính C s 2 C s 4 Chirp-zGoertzelTách c s Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 3 DFT & IDFT Tính DFT: xác đnh chui N giá tr phc {X(k)} khi bit trc chui {x(n)} chiu dài N – Gii thut tính DFT cng đc áp dng cho vic tính IDFT Tính trc tip – N 2 phép nhân phc – N(N-1) phép cng phc phc tp: O(N 2 ) Bin đi W N – 2N 2 phép tính lng giác – 4N 2 phép nhân s thc – 4N(N-1) phép cng s thc – Mt s phép toán ch s và đa ch đ np x(n) 10)()( 1 0 −≤≤= ∑ − = NkWnxkX N n kn N 10)( 1 )( 1 0 −≤≤= ∑ − = − NnWkX N nx N k kn N DFT IDFT N j N eW π 2 − = −−= += ∑ ∑ − = − = 1 0 22 1 0 22 )]cos()()sin()([)( )]sin()()cos()([)( N n N kn I N kn RI N n N kn I N kn RR nxnxkX nxnxkX ππ ππ Gii thut tính DFT ti u mi phép toán theo nhng cách khác nhau k N Nk N k N Nk N WWhoànTuân WWxúngôi = −= + + 2/ Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 4 Phng pháp chia-tr Nguyên tc: phân rã nh vic tính DFT N đim thành vic tính các DFT kích thc nh hn các gii thut FFT PP – Gi s N=L.M – Lutr x(n) vào mng 2 chiu LxM (l: ch s hàng, m: ch s ct) – Cách lu tr Theo dòng n = Ml + m Theo ct n = l + mL – Tng t, các giá tr DFT X(k) tính đc cng s đc lu tr trong ma trn LxM (p: ch s hàng, q: ch s ct) Theo dòng k = Mp + q Theo ct k = p + qL x(N-1)…x(2)x(1)x(0) N-1…210 x(L-1,M-1)…x(L-1,1)x(L-1,0) L-1 ………… x(2,M-1)…x(2,1)x(2,0) 2 x(1,M-1)…x(1,1)x(1,0) 1 x(0,M-1)…x(0,1)x(0,0) 0 M-1…10l m n Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 5 Phng pháp chia-tr ∑∑ − = − = ++ = 1 0 1 0 ))(( ),(),( M m L l lmLqMp N WmlxqpX Vi: x(n) : theo ct X(k) : theo hàng lq N Mpl N mLq N MLmp N lmLqMp N WWWWW = ++ ))(( pl L pl MN Mpl N mq M mq LN mqL N Nmp N WWW WWW W == == = / / 1 lp L L l M m mq M lq N WWmlxWqpX ∑∑ − = − = = 1 0 1 0 ),(),( 10)()( 1 0 −≤≤= ∑ − = NkWnxkX N n kn N DFT M đim F(l,q) G(l,q) DFT L đim X(p,q) 1 2 3 (1): Tính L DFT M đim – Nhân phc: LM 2 – Cng phc: LM(M-1) (2): Tính G(l,q) – Nhân phc: LM (3): Tính X(p,q) – Nhân phc: ML 2 – Cng phc: ML(L-1) î phctp – Nhân phc: N(M+L+1) – Cng phc: N(M+L-2) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 6 Phng pháp chia-tr Hiuqu PP chia-tr rthiuqu khi N= r 1 r 2 r 3 …r v – Phân rã nh hn đn (v-1) ln – Hiuqu hn Gii thut PP tính trc tip • Nhân phc: N 2 •Cng phc : N(N-1) PP chia-tr • Nhân phc: N(M+L+1) •Cng phc: N(M+L-2) N=1000 → L=2, M=500 106 nhân phc → 503,000 (~ N/2) 1. Lu tr t/h theo hàng 2. Tính DFT L đim ca mi ct 3. Nhân ma trn kt qu vi h s pha W N pm 4. Tính DFT M đim ca mi hàng 5. c ma trn kt qu theo ct Gii thut 2 n = Ml + m k = qL + p 1. Lu tr t/h theo ct 2. Tính DFT M đim ca mi hàng 3. Nhân ma trn kt qu vi h s pha W N lq 4. Tính DFT L đim ca mi ct 5. c ma trn kt qu theo hàng Gii thut 1 n = l + mL k = Mp + q Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 7 Mô hình tính toán DFT 6 đim thông qua vic tính DFT 3 đim và DFT 2 đim Gii thut tính FFT c s 2 – Nu N = r 1 r 2 r 3 …r v = r v mô hình tính DFT có cu trúc đu (ch dùng mt DFT r đim) – r = 2 FFT c s 2 – Chn M = N/2 và L = 2 x(5) x(3) X(5) X(4) Phng pháp chia-tr D F T 3 đ i m DFT 2 đim x(0) x(2) x(4) x(1) W 6 lq X(0) X(1) X(2) X(3) x(1) x(3) x(N-1) … x(0) x(1) x(2) … x(N-1) ……… x(0) x(2) x(N-2) … l=0 l=1 m=0 m=1 m=M-1 f 1 (2n) f 2 (2n+1) n= 0,1, …, N/2-1 Gii thut chia theo thi gian Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 8 FFT c s 2 ∑∑ ∑∑ ∑ − = + − = − = ++= += −== 1)2/( 0 )12( 1)2/( 0 2 1 0 )12()2( )()( 1, ,1,0)()( N m mk N N m mk N oldn kn N evenn kn N N n kn N WmxWmx WnxWnx NkWnxkX 2/ 2 NN WW = 1, ,1,0)()( )()()( 21 2/ 1)2/( 0 22/ 1)2/( 0 1 −=+= += ∑∑ − = − = NkkFWkF WmfWWmfkX k N km N N m k N km N N m 2/, ,1,0)()( 2/, ,1,0)()( 22 11 2/ 2/ NkkFmf NkkFmf N N DFT DFT =→← = →← k N Nk N WW −= + 2/ F 1 (k), F 2 (k) tun hoàn chu k N/2 F 1 (k+ N/2) = F 1 (k) F 2 (k+ N/2) = F 2 (k) −=−=+ −=+= 1, ,1,0)()()( 1, ,1,0)()()( 2 21 2 2 21 N k N N N k N kkFWkFkX kkFWkFkX Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 9 FFT c s 2 −== −== 1, ,1,0)()( 1, ,1,0)()( 2 22 2 11 N k N N kkFWkG kkFkG −=−=+ −=+= 1, ,1,0)()()( 1, ,1,0)()()( 2 21 2 2 21 NN N kkGkGkX kkGkGkX DFT 2 X(k) G 2 (k) G 1 (k) k=0,1,…,(N/2-1) X(k+ N/2) x(1) x(3) x( 4) x(N - 2) F 2 (0) F 2 (1 ) F 2 (2) F 2 ( N/2 - 1 ) DFT N /2 đim x( 0) x(2) x(4) x(N - 2 ) F 1 (0) F 1 (1) F 1 (2) F 1 (N/ 2 -1) DFT N /2 đim X (N/ 2 - 1) G 1 ( N/ 2 - 1) X ( N / 2) X(N/2+1) X(N- 1 ) G 2 (0) W N 0 W N 1 W N N/ 2 -1 G 1 (0) G 1 ( 1 ) DFT 2 đim DFT 2 đim X(1) DFT 2 đim DFT 2 đim X ( 0 ) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 10 FFT c s 2 Tip tc phân f 1 (n) và f 2 (n) thành các chui N/4 đim Hiu qu −=+= −== −=+= −== 1, ,1,0)12()( 1, ,1,0)2()( 1, ,1,0)12()( 1, ,1,0)2()( 4 222 4 221 4 112 4 111 N N N N nnfnv nnfnv nnfnv nnfnv −=−=+ −=+= −=−=+ −=+= 1, ,1,0)()()( 1, ,1,0)()()( 1, ,1,0)()()( 1, ,1,0)()()( 4 222/21 4 2 4 222/212 4 122/11 4 1 4 122/111 N k N N N k N N k N N N k N kkVWkVkF kkVWkVkF kkVWkVkF kkVWkVkF DFT N/4 đim v ij (n) V ij (k) DFT trc tip N=2 v đim FFT c s 2 Các DFT 2 đim Nhân phc: N 2 Cng phc: N 2 –N Nhân phc: (N/2)log 2 N Cng phc: Nlog 2 N Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 11 FFT c s 2 Ví d: tính DFT 8 đim x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) Phân theo thi gian [0,1,2,3,4,5,6,7] [0,2,4,6] [1,3,5,7] [0,4] [2,6] [1,5] [3,7] Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 12 FFT c s 2 0 8 W 0 8 W 0 8 W 0 8 W -1 -1 -1 -1 0 8 W 2 8 W 0 8 W 2 8 W -1 -1 -1 -1 0 8 W 1 8 W 2 8 W 3 8 W -1 -1 -1 -1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 13 FFT c s 2 Khi tính toán c bn cho DFT 2 đim (hình con bm) W N ’ a b A = a+W N ’b B = a-W N ’b -1 phc tp • 1 nhân phc •2 cng phc N= 2 v : + Log 2 N: tng tính toán + N/2 : khi tính toán c bn cho mi lp B nh: + Vào : (a,b) - s phc + Ra : (A,B) - s phc + Có th lu (A,B) đè lên (a,b) î Ch cn N ô nh phc (2N ô nh thc) î Tính toán ti ch Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 14 FFT c s 2 Th t chui d liu vào sau khi phân (v-1) ln – Biu din các ch s dng nh phân – Chui sau khi phân chia s là ly theo th t đo các bit x(7)x(7)x(7) x(3)x(5)x(6) x(5)x(3)x(5) x(1)x(1)x(4) x(6)x(6)x(3) x(2)x(4)x(2) x(4)x(2)x(1) x(0)x(0)x(0) B nh Phân chia B nh Phân chia B nh 111111111 011 101110 101 011101 001 001100 110 110011 010 100010 100 010001 000 000000 a ch Phân chia a ch Phân chia a ch Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 15 FFT c s 2 Phân chia theo tn s – Phng pháp chia và tr – M = 2, L = N/2 – Chui d liu nhp đc sp xp theo ct – Phân chia X(k) thành X(2k) và X(2k+1) – Sau đó có th phân chia tip tc mi X(k chn) và X(k l) a b A = (a+b) W N ’ B = (a–b)W N ’ -1 W N ’ X(0) X(3) X(6) X(5) X(2) X(1) X(4) X(7) 1 8 W 2 8 W 3 8 W 0 8 W -1 -1 -1 -1 DFT 4 đim DFT 4 đim x(0) x(5) x(3) x(6) x(1) x(4) x(2) x(7) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 16 FFT c s 4 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) … … … … … … … … x(N-4) x(N-3) x(N-2) x(N-1) x(0) x(2) x(4) … … … x(N-1) L = 4, M = N/4 N = 4 v x(4n) x(4n+1) x(4n+2) x(4n+3) l=0 l=1 l=2 l=3 m=0 m=1 m=(N/4)-1 n = 4m + l k = (N/4)p + q n = 0,1,…,N/4-1 l,p = 0,1,2,3 m,q = 0,1,…,N/4 – 1 Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 17 FFT c s 4 [] += += −= = = == ∑ ∑ = = )(),( )4(),( )1(, ,1,0 3,2,1,0 ),(),( 3,2,1,0),(),( 4 4 4/ 0 4/ 3 0 4 qpXqpX lmxmlx q l WmlxqlF pWqlFWqpX N N N m mq N l lplq N DFT N/4 đim −− −− −− = ),3( ),2( ),1( ),0( 11 1111 11 1111 ),3( ),2( ),1( ),0( 3 2 0 qFW qFW qFW qFW jj jj qX qX qX qX q N q N q N N lp L L l M m mq M lq N WWmlxWqpX ∑∑ − = − = = 1 0 1 0 ),(),( Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 18 FFT c s 4 0 q 2q 3q Dng rút gn 0 N W q N W q N W 2 q N W 3 -j -1 j -1 1 -1 j -1 -j Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 19 FFT c s 4 phc tp:1 khi tính toán cn + 3 nhân phc + 12 cng phc N=4 v + Tng tính toán : v = log 4 N + Mi tng có : N/4 khi tính toán − − − − = ),0( ),0( ),0( ),0( 1010 1010 0101 0101 010 0101 010 0101 ),3( ),2( ),1( ),0( 3 2 0 qFW qFW qFW qFW j j qX qX qX qX q N q N q N N Biu din li nhân ma trn (3N/8)log 2 N: Nhân phc(gim 25% vs FFT 2 ) Nlog 2 N: Cng phc(bng FFT 2 ) 3vN/4 = (3N/8)log 2 N: Nhân phc(gim 25% vs FFT 2 ) 12vN/4 = (3N/2)log 2 N: Cng phc(tng 50% vs FFT 2 ) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp. HCM Bài Gin g Môn: X L ý Tín Hi uS Slide 21 Hin thc các gii thut FFT FFT c s 2 – Tính toán hình bm: (N/2)log 2 N ln – H s quay W N k : đc tính mt ln và lu trong bng – B nh: 2N nu mun vic tính toán đc thc hin ti ch 4N nu mun đn gin hóa các tác v ch s và điu khin; đng thi cho phép chui nhp và xut theo đúng th t IDFT – Khác nhau c bn gia vic tính DFT và IDFT là h s 1/N và du ca h s pha W N o chiu s đ tính DFT, đi du h s pha, và chia kt qu cui cùng cho N → IDFT DFT vi s đim khác 2 v hoc 4 v → đm thêm các s 0 phc tp – Tác v s hc (nhân phc, cng phc) – Cu trúc hin thc ca gii thut (qui tc vs bt qui tc) – Kin trúc ca các b DSPs (x lý song song các tác v) 10)( 1 )( 1 0 −≤≤= ∑ − = − NnWkX N nx N k kn N [...]... chu i h(n) M i m (M > N) – N-1 i m u là các i m l p l i – M-(N-1) i m còn l i ch a k t qu N 1 y (k ) g ( n) h ( k n ) k 0,1, ,L 1 n 0 Gi s M = L + (N-1) M i m c a chu i h(n) c xác nh –(N–1) n (L–1) nh ngh a chu i M i m h1(n) = h(n–N+1) n = 0,1,…,M–1 H1(k) = DFTM{h1(n)} G(k) = DFTM{g(n)} (sau khi ã m thêm vào g(n) L-1 s 0) Y1(k) = G(k)H(k) y1(n) = IDFT{Y1(k)} n = 0,1,…,M–1 N-1 i m u tiên c a y1(n) là... vk(n) + + – z-1 vk(n) c l p l i cho n = 0, 1, …, N 2 cos( 2Nk ) – M i vòng c n 1 phép nhân th c + yk(n) c tính duy nh t m t l n cho n = N z-1 yk(n) Wnk -1 N u x(n) là t/h th c, c n N+1 phép nhân th c tính X(k) và X(N-k) {do tính i x ng} Gi i thu t Goertzel ch thích h p khi s giá tr DFT c n tính khá nh ( log2N) Khoa Công Ngh Thông Tin i H c Bách Khoa Tp HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S Slide 26 Gi i thu... thêm vào g(n) L-1 s 0) Y1(k) = G(k)H(k) y1(n) = IDFT{Y1(k)} n = 0,1,…,M–1 N-1 i m u tiên c a y1(n) là các i m l p lo i b chúng Các i m k t qu là giá tr c a y1(n) khi N-1 n M–1 – y(n) = y1(n+N-1) n = 0,1,…,L-1 X(zk)= y(k)/h(k) k = 0,1,…,L-1 Khoa Công Ngh Thông Tin i H c Bách Khoa Tp HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S Slide 29 ... thu t B Chirp-z y (k ) k h( k ) X ( zk ) V R0 e j ,L 1 0,1, 0 h( n) V n 2 /2 n2 / 2 x(n)(r0 e j 0 ) n V g ( n) B chirp-z N 1 y (k ) g ( n) h( k n) k 0,1, ,L 1 n 0 R0 h( n) e j 1 n 0 /2 0n 2 /2 e j(n 0 / 2)n ej n T n s c a t/h m ph c h(n), t ng tuy n tính theo th i gian h(n): chirp signal Khoa Công Ngh Thông Tin i H c Bách Khoa Tp HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S Slide 28 Gi i thu t B Chirp-z Xác nh... Ngh Thông Tin i H c Bách Khoa Tp HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S Slide 23 ng d ng c a các gi i thu t FFT L c tuy n tính các chu i d li u dài – Overlap-add DFT + FFT – Overlap-save Ph ng pháp – h(n) – áp ng xung n v c a b l c (chi u dài M) c m thêm L-1 s không sao cho N = L + M – 1 = 2v H(k): DFT N i m c a h(n), theo th t o n u h(n) c s p theo th t thu n (Gi i thu t FFT suy gi m theo t n s ) – xm(n)... Slide 26 Gi i thu t B Chirp-z DFT N i m ~ X(zk) v i zk = ej2 vòng tròn n v ) B Z c a x(n) t i các i m zk kn/N , k=0,1,…,N-1 (các i m cách u trên N 1 x (n) z k n X ( zk ) k 0,1, , L 1 n 0 N u zk = rej2 kn/N (zk là N i m cách u nhau trên vòng tròn bk r) N 1 [ x(n)r n ]e X ( zk ) j 2 kn / N k 0,1, , N 1 n 0 Vi c tính DFT có th c th c hi n b ng gi i thu t FFT cho chu i x(n)r-n j T ng quát, zk n m trên... g(n): chu i th c dài 2N c n tính DFT – Tách thành 2 chu i x1(n) = g(2n) và x2(n) = g(2n+1) 0 – nh ngh a chu i x(n) = x1(n) + jx2(n) 0 – X(k) = X1(k) + jX2(k) (tính tuy n tính c a DFT) X 1 (k ) 1 2 1 2 N-1 N-1 X (k ) X * ( N k ) X 2 (k ) n n X (k ) X * ( N k ) N 1 N 1 2 nk 2N G (k ) 2 g (2n 1)W2(Nn g (2n)W n 0 n 0 N 1 N 1 x1 (n)W n 0 nk N k 2N nk x2 (n)WN W n 0 X 1 (k ) W2kN X 2 (k ) k G (k ) G (k 1) k... ngh a chu i x(n) = x1(n) + jx2(n) 0 n – X(k) = X1(k) + jX2(k) (tính tuy n tính c a DFT) x ( n) x * ( n) 2 x ( n) x * ( n) 2j x1 (n) x2 ( n ) * x ( n) DFTN 1 DFT x(n) 2 1 X 2 (k ) DFT x(n) 2 X 1 (k ) N-1 DFT x* (n) DFT x* (n) X 1 (k ) X (N k) 1 2 X (k ) X * ( N k ) X 2 (k ) * 1 2 X (k ) X * ( N k ) Khoa Công Ngh Thông Tin i H c Bách Khoa Tp HCM Bài Gi ng Môn: X Lý Tín Hi u S Slide 22 ng d ng c a các . 2 0 8 W 0 8 W 0 8 W 0 8 W -1 -1 -1 -1 0 8 W 2 8 W 0 8 W 2 8 W -1 -1 -1 -1 0 8 W 1 8 W 2 8 W 3 8 W -1 -1 -1 -1 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X (6) X(7) x(0) x(4) x(2) x (6) x(1) x(5) x(3) x(7) Khoa Công Ngh Thông Tin -. p + qL x(N-1)…x(2)x(1)x(0) N-1…210 x(L-1,M-1)…x(L-1,1)x(L-1,0) L-1 ………… x(2,M-1)…x(2,1)x(2,0) 2 x(1,M-1)…x(1,1)x(1,0) 1 x(0,M-1)…x(0,1)x(0,0) 0 M-1…10l m n Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp (a–b)W N ’ -1 W N ’ X(0) X(3) X (6) X(5) X(2) X(1) X(4) X(7) 1 8 W 2 8 W 3 8 W 0 8 W -1 -1 -1 -1 DFT 4 đim DFT 4 đim x(0) x(5) x(3) x (6) x(1) x(4) x(2) x(7) Khoa Công Ngh Thông Tin - iHcBáchKhoaTp.