VẬT LÝ BIỂN ( Đinh Văn Ưu - Nguyễn Minh Huấn - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 6 docx

Chương ÂM HỌC BIỂN 6.1 SÓNG ÂM VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA THÔNG SỐ CỦA CHÚNG VỚI CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI Chúng ta biết tác dụng lực, môi trường có trọng lượng, đàn hồi gây dao động Trong môi trường đàn hồi liên tục bao gồm nước biển, tính đàn hồi quán tính tạo lực tương hỗ đàn hồi hạt môi trường lực quán tính khối lượng chúng Trong mơi trường với đặc trưng xác định trước gây dao động nén, giãn lan truyền với vận tốc xác định Quá trình lan truyền nối tiếp dao động từ phần môi trường đến phần khác gọi sóng âm Tốc độ dao động hạt mơi trường đàn hồi gần vị trí cân chúng gọi vận tốc dao động, vận tốc truyền trạng thái dao động môi trường vận tốc lan truyền sóng âm Trong chất lỏng chất khí đặc trưng đàn hồi thể tích xuất lan truyền sóng âm dọc, dạng sóng âm hướng dao động hạt mơi trường trùng với hướng lan truyền sóng Trong vật cứng có đàn hồi chuyển vị, ngồi sóng dọc cịn sinh sóng ngang (dịch chuyển hạt từ vị trí cân vng góc với hướng truyền sóng), sóng biến điệu sóng bề mặt Khoảng cách hướng lan truyền sóng hai điểm gần nén, dãn cực đại hai điểm gần có pha dao động độ dài bước sóng Tương quan độ dài bước sóng , vận tốc sóng âm c tần số dao động xác định biểu thức: =cf (6.1) Các sóng âm theo tần số dao động phân loại ra: sóng hạ âm, tiếng động, siêu âm sóng siêu cao Sóng hạ âm dao động với tần số từ 16 - 20 Hz thấp Tiếng động dao động với tần số từ 16 - 20 Hz đến 16 - 20 KHz Siêu âm dao động với tần số từ 16 - 20 KHz tới 106 KHz Sóng siêu cao dao động với tần số lớn 106 KHz Chúng ta xem xét mối tương quan tính chất đặc trưng mơi trường đàn hồi với đặc trưng sóng âm Ký hiệu thể tích phần tử chất lỏng chất khí o, mật độ o, áp suất tĩnh tác dụng lên phần tử trước có tác động sóng âm Po Ngoại lực tác dụng từ bên gây dịch chuyển hạt phân tử mơi trường làm biến đổi thể tích, mật độ áp suất đến giá trị  và p Sự biến đổi tương đối đại lượng là:  (6.2)       104         ( (6.3) Các đại lượng  có thể mang dấu dương âm Đối với biến động nhỏ,  và  theo định luật bảo toàn khối lượng   ) ta có:      Từ biểu thức (6.4) thấy biến động nhỏ, giá trị nén dãn ngược dấu Sự biến đổi mật độ thể tích ngun tố mơi trường dẫn tới biến đổi áp suất, áp suất tức thời tổng áp suất tĩnh áp suất động lực dư P = Po + p áp suất động lực dư gọi âm áp (áp lực sinh sóng âm) Chúng ta giới hạn việc xem xét q trình mà âm áp nhỏ áp suất tĩnh nhiều lần (p > Po đối tượng âm học phi tuyến Trong trường hợp bản, theo phương trình trạng thái, áp suất chất lỏng chất khí hàm số mật độ nhiệt độ Nhưng sóng âm tượng nén dãn xảy xen kẽ nhanh tới mức việc truyền nhiệt vùng chu kỳ dao động không xảy q trình lan truyền sóng âm q trình đẳng áp Trong trường hợp áp suất p hàm mật độ p = f(     Phân tích (6.5) vào dãy Tailor Đối với trường hợp dao động với biên độ nhỏ ( loại bỏ số đại lượng ta có: p P = Po + (6.6) nhỏ), Vậy áp suất dư biểu diễn cơng thức sau: p  (6.7) p=  Theo định luật Gue, biến động nhỏ, áp suất gây biến động tỷ lệ trực tiếp với độ lớn p=  (6.8) Với: mơ đun tính đàn hồi thể tích, đại lượng nghịch đảo  hệ số nén Mô đun đàn hồi âm áp hệ đơn vị SI có đơn vị Pascal (Pa, Pa = N/m2 = 10 din/cm2) Từ biểu thức (5.7) (5.8) ta có  p  = c2 (6.9) = Với c2 = p/ là đại lượng không đổi môi trường vận tốc lan truyền sóng âm Do vận tốc lan truyền sóng âm chất lỏng chất khí xác định đặc trưng đàn hồi, mật độ, mơ đun đàn hồi thể tích độ nén đẳng áp Kp môi trường: 105 c= χ = ρo Kpρο (6.10) Vận tốc sóng âm nước biển phụ thuộc vào nhiệt độ, độ muối áp suất thủy tĩnh xác định giá trị vận tốc sóng âm c Các đại lượng Kp,  Vận tốc sóng dọc sóng ngang mơi trường cứng (đáy biển) phụ thuộc vào đặc tính học Vận tốc lan truyền loại sóng xác định công thức sau: cl = ct = E (1− ν ) ρ ( − ν ) ( − 2ν ) (6.11) G ρ (6.12) Với: cl, ct - vận tốc lan truyền sóng dọc sóng ngang E, G - mơ đun đàn hồi mô đun dịch chuyển - hệ số Paosson 6.2 PHƯƠNG TRÌNH SĨNG Chúng ta xem xét phương trình vi phân có đại lượng biến đổi xác định quy luật lan truyền sóng âm nước biển Các phương trình phương trình thủy động lực, phương trình chuyển động phương trình liên tục mơi trường Phương trình chuyển động hệ toạ độ Đề có dạng sau: ∂u ∂u ∂u ∂u w = Fx − v + + u + ∂z ∂y ∂x ∂t ∂v ∂v ∂v ∂v + u + v + w = Fy − ∂z ∂t ∂x ∂y ρ ρ ∂p ∂x ∂p ∂y (6.13) ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p + u + v + w = Fz − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z Với u, v, w - vận tốc thành phần phân tử môi trường Fx, Fy, Fz - thành phần ngoại lực ổn định Đối với mơi trường sóng âm coi vận tốc thành phần đạo hàm riêng chúng có giá trị nhỏ Bỏ qua giá trị đạo hàm riêng (6.13), xem xét trình lan truyền dao động trình truyền áp suất số phần mơi trường cho số khác (nghĩa khơng có ngoại lực tác dụng trực tiếp) Ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thỏa mãn trường sóng âm: ∂u ∂p = − ∂t ∂x ∂v ∂p ρ = − ∂t ∂y ∂w ∂p ρ = − ∂t ∂z ρ (6.14) thể dạng véc tơ là: 106 ∂V =− grad p ∂t ρ (6.15) Nếu phương trình (6.15) ta biểu diễn mật độ qua độ nén (6.3), lấy đạo hàm riêng bỏ qua đại lượng nhỏ bậc hai ta nhận phương trình sau: ∂Δρ + div V = ∂t (6.16) Khi tính tới (6.3) (6.8) phương trình (6.16) có dạng: ∂p + χ div V = ∂t (6.17) Phương trình (6.14) (6.17) dùng để mơ tả cách đầy đủ q trình sóng âm Dưới dạng đơn giản ta sử dụng hàm riêng gọi hiệu vận tốc việc lấy tích phân phương trình (6.14) có: t u=−∫ t v=−∫ t w=−∫ ∂p dt + uo ρ ∂x ∂p dt + vo ρ ∂y (6.18) ∂p dt + wo ρ ∂w Với uo, vo, wo - vận tốc dao động thành phần điểm có toạ độ (x,y,z) thời điểm ban đầu t = Giả sử uo, vo, wo đại lượng tự (với dấu - ) theo trục toạ độ hàm ngẫu nhiên đơn dấu Φo (x,y,z): ∂Φo ∂Φo ∂Φo uo = ; vo = ; wo = (6.19) ∂x ∂y ∂z Biểu thức (6.19) cho ta thấy chuyển động chất lỏng lý tưởng rot V⏐t=0 = Hàm Φo biểu diễn dạng sau: Φo (x,y,z) = ∫ ( ∂ Φo ∂ Φo ∂ Φo dx + dy + dz ) ∂x ∂y ∂z Từ biểu thức (6.19) viết thành 107 ⎤ ∂ ⎡t p ) dt + Φo ⎥ ⎢∫ ( ∂x ⎣ ρ ⎦ t ⎤ ∂ ⎡ p v=− ) dt + Φo ⎥ ⎢∫ ( ∂y ⎣ ρ ⎦ t ⎤ ∂ ⎡ p w=− ) dt + Φo ⎥ ⎢∫ ( ∂z ⎣ ρ ⎦ u=− Ta ký hiệu: ⎤ ⎡t p ) dt + Φo ⎥ = Φ (x, y, z ) ⎢∫ ( ⎦ ⎣0 ρ (6.20) Do đó: u=− ∂Φ ∂Φ ∂Φ ; v=− ; w=− ; ∂x ∂y ∂z (6.21) Hàm Φ (x,y,z) gọi vận tốc Giả sử thời điểm ban đầu vận tốc không biên độ dao động sóng âm nhỏ (ρ ~ ρo) ta có: t p dt ρo ∫ Φ= (6.22) Lấy vi phân (6.22) theo thời gian, ta nhận biểu thức liên hệ âm áp vận tốc p= ∂Φ ρo ∂t (6.23) Nếu (6.17) đạo hàm riêng p theo t thay theo (6.23) qua giá trị ρ ∂ 2Φ ∂x đạo hàm riêng vận tốc theo x, y, z thay đạo hàm bậc Φ theo (6.21) ta có: ∂ 2Φ ∂x + ∂ 2Φ ∂y + ∂ 2Φ ∂z 2 ρ ∂Φ = χ ∂x (6.24) thỏa mãn (6.10) c2 ∇2Φ = ∂ 2Φ ∂ t2 (6.25) 108 Với: ∇2 - tốn tử Laplas Phương trình (6.25) gọi phương trình sóng Nếu lấy đạo hàm riêng theo t Φ phương trình (6.25) tính tới (6.23) ta có phương trình sóng dạng khác: c2 ∇2 p = ∂2p ∂ t2 (6.26) Trong trình tìm phương trình sóng ta sử dụng số giả thiết: Độ nhớt môi trường không Trong phương trình chuyển động khơng tính tới biến đổi theo thời gian lực thể tích, ngoại lực biến đổi, chuyển động khơng xốy Biến động mơi trường nhỏ, mơi trường đồng Các phương trình sóng mơ tả tính chất sóng âm xác, điều khẳng định đắn giả thuyết nêu 6.3 CÁC DẠNG SĨNG ÂM 6.3.1 Các sóng phẳng Chúng ta xem xét trường hợp q trình sóng lan truyền vào hướng đặc tính sóng âm phụ thuộc vào toạ độ x Trường sóng âm mơ tả phương trình: ∂ 2Φ ∂ 2Φ = c2 ∂t ∂ x2 (6.27) suy từ (6.25) điều kiện ∂Φ ∂Φ = =0 ∂y ∂y Tìm nghiệm (6.27), ta đưa thêm số biến η = x - ct ; θ = x + ct (6.28) Đạo hàm riêng vận tốc theo biến ∂Φ ∂Φ ∂η ∂Φ ∂θ ∂Φ ∂Φ = + = + ∂x ∂ η ∂x ∂ θ ∂x ∂η ∂θ ∂2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂2Φ + +2 = 2 ∂η ∂θ ∂θ ∂η ∂x ∂Φ ∂Φ ∂Φ = −c +c ∂t ∂η ∂θ ∂ 2Φ = c2 ∂t ⎛ ∂2Φ ∂2Φ ∂ 2Φ ⎞ ⎜ −2 ⎟ + ⎜ ∂η ∂η ∂θ ∂θ ⎟ ⎝ ⎠ 109 Thay vào (6.27) ta có ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ ∂ 2Φ = ⎜ ⎟=0 ∂η ∂θ ∂η ⎝ ∂θ ⎠ (6.29) Từ (6.29) thấy ∂Φ/∂θ không phụ thuộc vào η hàm số θ ∂Φ = f (θ) ∂θ (6.30) Tích phân (6.30) theo θ ta có: Φ = ∫ f (θ) dθ + c = f (θ) + f (η) (6.31) Coi c hàm η Quay trở lại biến ban đầu, tìm tích phân phương trình sóng (6.27) Φ = f (x − ct ) + f (x + ct ) (6.32) Nghiệm phương trình cho âm áp, vận tốc độ nén Dạng hàm f1 f2 xác định dạng xung động ban đầu đối số chúng không thay đổi độ lớn thay x thành x + Δx (đối với f1) x - Δx (đối với f2) t thành t + Δ t với điều kiện Δ t = Δx/c Do đó: x - ct = x + Δx - c(t + Δt) = x + Δx - ct - c Δx = x - ct c Suy ra, hàm số f1(x - ct) dạng sóng, lan truyền theo hướng dương trục x đại lượng c tốc dộ lan truyền nhiễu động - vận tốc sóng âm Hàm số f2(x + Δx) - sóng truyền theo hướng ngược lại Do giá trị vận tốc thời điểm cho trước điểm mặt phẳng, vng góc với trục x không biến đổi, nên mặt phẳng gọi bề mặt sóng sóng mơ tả phương trình (6.27) gọi sóng phẳng Trường sóng phẳng tạo pít tơng sinh dao động phẳng Trong môi trường không bị giới hạn, mặt phẳng cần có kích thước vơ lớn, thực tế trường sóng phẳng tạo mơi trường có giới hạn Thí dụ: ống có thành cứng Trong đại dương khoảng cách xa nguồn nhiễu động, phân tách vùng mà coi sóng âm sóng phẳng Nếu trường sóng âm phẳng tạo từ nguồn phát dao động điều hồ vận tốc biểu diễn dạng: Φ = Ae j ( ωt − kx ) (6.33) Với A - biên độ sóng âm k = /c - số sóng Giá trị hiệu dụng âm áp sóng phẳng điều hồ nhận từ công thức: 110 p =ρ ∂Φ = jωAe j ( ωt − kx ) = jωρΦ ∂x (6.34) giá trị hiệu dụng vận tốc dao động từ công thức (6.21): u =− ∂Φ = jkAe j ( ωt − kx ) = jkΦ ∂x (6.35) Giá trị hiệu dụng giá trị bậc hai đại lượng (áp suất, vận tốc ) bán chu kỳ dao động Biểu thức (6.34) (6.35) minh chứng sóng phẳng, vận tốc dao động âm áp đồng pha Từ biểu thức tìm mơíi quan hệ đơn giản vận tốc dao động âm áp p = ρc u (6.36) Đại lượng R = ρc sức cản sóng mơi trường, đại lượng nghịch đảo độ dẫn sóng mơi trường 6.3.2 Sóng cầu Sóng cầu tắc hay sóng cầu đối xứng sóng vận tốc hàm số hai biến số độc lập - khoảng cách từ trung tâm sóng r thời gian t Nguồn lý tưởng sóng cầu hình cầu thay đổi thể tích theo chu kỳ, kích thước khơng đáng kể so với bước sóng Khoảng cách r hệ toạ độ cầu liên hệ với toạ độ x, y, z phương trình sau: r2 = x2 + y2 + z2 (6.37) Khi sử dụng phương trình này, biểu diễn phương trình đạo hàm riêng (6.24) qua đạo hàm riêng vận tốc Φ theo khoảng cách r Lấy đạo hàm (6.37) theo x, y z ta có: x ∂r = r ∂x ; y ∂r = r ∂y ; z ∂r = r ∂z ; (6.38) Sau ta có ∂Φ ∂Φ ∂r ∂Φ x = = ∂x ∂r ∂x ∂r r ∂2Φ ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ x ∂Φ ∂ ⎛ x ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎟ + ⎜ ∂x ⎝ ∂r ⎠ r ∂r ∂x ⎝ r ⎠ ∂x = x ∂ Φ r − x ∂Φ + ∂r r ∂r r3 Tương tự ta có 111 (6.39) ∂ 2Φ ∂y = y ∂ Φ r − y ∂Φ + ∂r r ∂r r3 (6.40) ∂2Φ ∂z = z ∂ Φ r − z ∂Φ + ∂r r ∂r r3 (6.41) Gộp vế phải (6.39), (6.40) (6.41) ta có ∇2Φ = ∂ Φ ∂Φ ∂ ( rΦ ) = + r ∂r r ∂r ∂r (6.42) Suy ra, phương trình sóng biểu diễn dạng sau ∂2Φ ∂t = c 2∇ Φ = c ∂ ( rΦ ) r ∂r (6.43) Phương trình (6.43) mối liên hệ với đại lượng rΦlà phương trình sóng chiều nghiệm so với rΦ phải trùng hợp theo dạng với nghiệm phương trình sóng sóng phẳng, nghĩa là: rΦ r ⎞ r ⎞ ⎛ ⎛ = f1 ⎜ t − ⎟ + f ⎜ t + ⎟ c ⎠ c ⎠ ⎝ ⎝ (6.44) Nghiệm tổng hợp phương trình sóng tập hợp sóng tiến từ trung tâm với vận tốc : Φ1 = ⎛ r ⎞ f1 ⎜ t − ⎟ r ⎝ c ⎠ sóng lùi vào trung tâm với vận tốc: Φ2 = ⎛ r ⎞ f2 ⎜t − ⎟ r c ⎠ ⎝ Khác với nghiệm sóng phẳng, vận tốc sóng cầu đối xứng giảm nghịch đảo với khoảng cách r Do bề mặt sóng mặt cầu đường kính r = ct (c - vận tốc sóng âm) vận tốc sóng tiến mở rộng front sóng Trong thực tiễn thường gặp sóng cầu tiến từ đầu phát, cần thiết tính đến sóng lùi xuất số trường hợp, thí dụ: nghiên cứu phản xạ sóng âm từ biên dụng cụ hình cầu với nguồn phát hình cầu trung tâm Đối với sóng cầu điều hịa tiến, vận tốc viết dạng: 112 Φ = A j ( ωt − kx ) e r (6.45) Với: A - số phụ thuộc vào tham số nguồn phát Khi lấy đạo hàm (6.45) tìm biểu thức âm áp vận tốc dao động cực: p =ρ ∂Φ jωρA j( ωt − kr ) = e ∂t r ur =− ∂Φ ⎛ + jkr ⎞ = ⎜ ⎟ Ae j( ωt − kr ) ∂r ⎝ r ⎠ (6.46) (6.47) Từ (6.46) (6.47) ta có ur = + k2r2 ( + jkr ) p p (kr − j) = p = x ρckr ρc rjωρ kr ⎛ kr −j x⎜ 2 ⎜ 1+ k r + k2r2 ⎝ với cos ϕ = kr 1+ k r 2 (6.48) − jω ⎞ ⎟ = pe ⎟ ρc cos ϕ ⎠ ; sin ϕ = 1+ k r 2 ; tgϕ = kr Từ (6.48) ta thấy vận tốc dao động lệch pha với âm áp góc ϕ, hàm số k khoảng cách r âm áp đại lượng phức xa vùng phát sóng (khi kr >>1) cosϕ → sinϕ → 0, sóng cầu có tính chất sóng phẳng có âm áp vận tốc dao động biến đổi nghịch đảo với r Trong vùng gần điểm phát sóng kr