VẬT lý BIỂN ( đinh văn ưu nguyễn minh huấn NXB đại học quốc gia hà nội ) chương 3

Chương HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN THUỶ NHIỆT ĐỘNG HỌC 3.1 QUY MƠ CÁC Q TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG HỌC BIỂN Các tốn hải dương học ln liên quan tới môi trường nước chứa bể tự nhiên với dạng bờ, đáy, cửa với kích thước vị trí địa lý cụ thể Vì việc sử dụng phương pháp địa thuỷ động lực cần thiết Các đặc trưng môi trường biển có biến động liên tục tổng hợp quy mô thời gian không gian khác nhau: từ quy mô nhỏ (khoảng vài giây đến hàng giờ) đến quy mơ trung bình (ngày, tuần) quy mơ lớn Trên hình 3.1 đưa đồ thị kết phân tích phổ lượng hai chiều (T L) đặc trưng cho q trình biển khí Hình 3.1 Phân bố hai chiều phổ lượng q trình đại dương- khí Trong bảng 3.1 đưa tranh biến động trình địa - thuỷ động lực biển với toàn giải phổ thường gặp (Nihoul, 1989) , thể thông qua tần số ƒ = 1/T(s1 ) quy mô thời gian T tương ứng Các đỉnh phổ tương ứng tần suất dao động tự (t.s.riêng) hệ : sóng nội, dao động qn tính, sóng Rossby, El-Nino dao động ngoại lực : biến động ngày, năm xạ; triều , bão , biến động khí hậu, v.v 34 Bảng 3.1 Sơ đồ tổng quát biến động địa-thuỷ động lực biển Quy mô f (s-1) T Khí hậu Climatisca le 10-9 Vĩ mơ Macroscale 10-8 10-6 Nhiều năm Năm, Tháng Trung bình Mesoscale 10-7 10-5 10- Tuần, Ngày Vừa Mesialscal e 10-3 Giờ Nhỏ Smallscale 10-2 10-1 Phút giây Vi mô Microsca le < giây Sóng Rossby Daođộng Sóng Sóng Sóng âm qn tính nội mặt Hiện Bão/triều Biến động Biến động Sóng Xáo trộn Tản mát tượng mùa thời tiết Langmuir gió lượng Biến đổi Luân phiên xáo Cấu trúc nhỏ phân tầng trộn phân thẳng đứng 3D Khuếch đối lưu tán lớp tầng lớp phân tử nước xáo trộn Hồn lưu chung đại dương trình Hồn lưu sâu Xốy synop Trao đổi qua thềm lục địa Dải front - Thời tiết biển Trong trình nhiệt thuỷ động lực sở có ba tần số đặc trưng chủ yếu là: - tần số Brunt-Vaisailia N phụ thuộc vào độ phân tầng mật độ, giá trị cực đại N vào khoảng 10-2 s-1 tần số Coriolis : ƒ= 2ω có bậc đại lượng trung bình vào khoảng 10-4 s-1 tần số Kibel j liên quan đến độ cong mặt cầu đất j ~ βr với β = gradƒ r = (NH/f) - bán kính biến dạng Rossby tương ứng với độ sâu đặc trưng H; j có bậc đại lượng vào khoảng 10-6s-1 Các thành phần chuyển động với quy mô thời gian khoảng j-1(một vài tuần) tác động độ cong mặt đất gây nên Với phương pháp nghiên cứu khoa học toán học, vật lý, học, thu kiến thức tương đối vững trình quy mơ nhỏ vi mơ (rối), cho phép tính toán đặc trưng tượng sóng gió, sóng âm, xáo trộn rối,v.v Những kết tạo tiền đề cho việc nghiên cứu q trình quy mơ vừa lớn biển Bên cạnh q trình quy mơ lớn đặc trưng cho chế độ (khí hậu), q trình quy mơ vừa (triều, bão, lũ, gió đất-biển,v.v ) có ý nghĩa đặc biệt quan trọng ổn định phát triển toàn hệ thống 35 Đối với đặc trưng thuỷ động lực biển, biến động ngày đêm mùa có ý nghĩa quan trọng trình động lực học, sinh học, sinh thái tượng khí liên quan có lượng lớn dải phổ Những tượng hải dương quy mô giáo sư Nihoul gọi 'thời tiết biển′ đề xuất ý kiến nên tập trung nghiên cứu chúng Những kết nghiên cứu thực nghiệm mô hình hóa hệ thống biển, bao gồm dải ven bờ, cho thấy trình thủy nhiệt động lực học đóng vai trị có tính định hình thành biến đổi mơi trường, sinh thái nước, đất khơng khí Theo kết nghiên cứu, quy mô thời gian khơng gian hệ sinh thái có bậc đại lượng từ 104 s đến 108 s Đối với phytoplankton quy mô thời gian từ ngày đến 6-7 tháng, cịn zooplankton kéo dài gấp đơi Đối với yếu tố môi trường khác chất nhiễm, độ đục, chất dinh dưỡng, quy mô thời gian phụ thuộc thêm vào chu kỳ phân huỷ suy giảm, song yếu tố nhiệt động lực học sinh thái giữ vai trị định Việc tính tốn dự báo đặc trưng thủy nhiệt động lực học sở cho dự báo kiểm sốt mơi trường Các lực tác động lên mặt biển có chu kỳ ngày đêm tuần lễ (quy mô thời gian biến động trường gió) biến động mùa động lượng đồng thời thơng lượng nhiệt chất có tần số đăc trưng tương ứng 10-4s-1, 10-5s-1 10-8s-1 Tần số 10-4s-1 cịn có liên quan tới sóng triều bán nhật M2, cịn tần số 10-8s-1 kết nối với biến động nhiều năm khu vực lớn đại dương khí quyển, ví dụ: dao động hệ thống hoàn lưu Gơnstrim hay dao động Nam El-Nino Từ bảng 3.1 cho thấy vấn đề liên quan tới môi trường biển tương ứng quy mô thời gian từ vài đến vài năm , hay tần số 10-4s-1 đến 10-8s-1 Giới hạn bao gồm q trình quy mơ trung bình tượng nước dâng bão gây tác động mạnh lên tượng xói lở bờ đáy biển; biến động hàm lượng chất dinh dưỡng, ô nhiễm trao đổi qua sườn lục địa Trong giới hạn cịn có q trình quy mơ lớn liên quan tới hoàn lưu chung cấu trúc synop front, nước trồi, xốy , q trình có ý nghĩa định biến đổi dài hạn hợp chất hữu ô nhiễm Tương ứng quy mô thời gian, chuyển động rối biển có quy mơ khơng gian hay kích thước rối tương ứng: kích thước vĩ mơ khoảng 1000 km, tản mát lượng rối ε q trình quy mơ vào khoảng 10-5 cm2/s3 kích thước trung bình khoảng 10 km, tản mát lượng rối ε tương ứng 10-3 cm2/s3 kích thước vi mơ ~ km, tản mát lượng rối ε vào khoảng 10-1 cm2/s3 Nguồn lượng chủ yếu chuyển động rối lấy từ chuyển động quy mô lớn, 36 từ rối vĩ mô đến rối vi mô cuối tản mát thành nhiệt ma sát 3.2.NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUYỂN ĐỘNG RỐI 3.2.1 Về hai dạng chuyển động chất lỏng Dưới tác động ngoại lực, chất lỏng nằm trạng thái chuyển động Cùng với diện chuyển động kết hợp với tác động mơi trường bên ngồi, lực thứ cấp xuất làm thay đổi đặc tính chuyển động ban đầu (sơ cấp) Phụ thuộc vào mức độ tác động lực mà chất lỏng chuyển động theo dạng khác Trong thực tế tồn hai dạng chuyển động chất lỏng: chuyển động theo lớp (lamina) chuyển động rối (turbulent) Trong chuyển động theo lớp, phần tử chất lỏng điểm có hướng chuyển động Cịn chuyển động rối, ngồi chuyển động theo hướng cịn có dịng chất lỏng theo hướng vng góc Tại lớp biên, chuyển động chất lỏng chuyển từ chế độ theo lớp sang rối, trình phụ thuộc chủ yếu vào tương quan lực quán tính lực ma sát, hay số Reinold: Re = VL/ν, V – kích thước vận tốc chất lỏng, L - kích thước độ dài, ν - hệ số nhớt động học: ν = μ/ρ, với μ - hệ số nhớt động lực, hệ số xác định theo định nghĩa ứng suất τ = μ∂u/∂y Giá trị tới hạn số Reinold mà từ chuyển động theo lớp chuyển sang chuyển động rối máng thuỷ lực Reth = 1100 Trong tất tượng học chất lỏng tượng rối phổ biến phổ biến tượng khí tượng hải dương, điều kiện thực tế biển khí số Reinold ln vượt giá trị tới hạn Các tượng truyền nhiệt, trao đổi khối lượng (khuyếch tán) môi trường biển xẩy theo quy luật q trình trao đổi rối Ngồi tượng nêu chuyển động môi trường ln có tương tác mạnh mẽ, muốn nghiên cứu quy luật phân bố biến động đặc trưng thuỷ nhiệt động lực thiết phải tính đến mối liên hệ mật thiết nêu 3.2.2 Các đại lượng trung bình nhiễu động rối Khi tiến hành quan trắc tỷ mỷ đặc trưng dòng rối, người ta nhận thấy tốc độ chuyển động (vận tốc), áp suất, nhiệt độ v.v , điểm cố định, biến đổi không tuân theo thứ tự Những biến đổi gọi nhiễu động thăng giáng đặc trưng quan trọng chuyển động rối Trong chuyển động rối, khối lượng chất lỏng chuyển dịch theo hướng dọc ngang hướng chuyển động trung bình khơng bao gồm phân tử riêng biệt thuyết động học chất khí mà lượng xoáy lớn Các chuyển động gây nên nhiễu động đặc trưng dòng chất lỏng Về giá trị tuyệt đối, lượng nhiễu động thăng giáng thường nhỏ so với đặc trưng chính, lại có 37 ý nghĩa quan trọng phát triển chung Nhiễu động thăng giáng xem kết q trình hình thành cuộn xốy tự dịng trung bình Trong q trình chuyển động, cuộn xốy thăng giáng tự hình thành đi, giá trị chúng đặc trưng cho quy mơ (kích thước) cuộn xốy Quy mơ phụ thuộc chủ yếu vào điều kiện bên tính chất vật lý chất lỏng Để tiện cho việc tính tốn nghiên cứu chuyển động rối phương pháp khác nhau, người ta phân tích chuyển động chất lỏng hai thành phần trung bình nhiễu động: u = u + u' (3.1) u ký hiệu chung cho đặc trưng vận tốc, áp suất, mật độ, nhiệt độ v.v Các đại lượng trung bình giá trị đặc trưng tương ứng lấy trung bình theo thời gian điểm cố định theo công thức sau: − 1t ϕ = ∫ ϕdt T t +T (3.2) T chu kỳ lấy trung bình Trong q trính lấy trung bình cần tn thủ yêu cầu sau đây: T cần đủ lớn so với chu kỳ trình riêng biệt T phải đủ nhỏ so với thời gian mà đại lượng trung bình chịu biến đổi Trong trường hợp, chuyển động biến đổi theo thời gian mà theo không gian, giá trị trung bình xác định theo khơng gian sau trường hợp bề mặt σ: − ϕ = ∫∫ ϕdxdy σ (3.3) σ Dựa vào chu kỳ lấy trung bình mà thân đại lượng trung bình biến động theo thời gian : = − ϕ ≠ϕ Tuy chọn chu kỳ T cho giá trị trung bình không biến đổi: = − ϕ =ϕ Phép lấy trung bình theo cơng thức (3.2), (3.3) có số tính chất sau đây: 38 ϕ ' = 0, ∂ϕ ∂ϕ = ∂x ∂x ϕ = ϕ , ∑ϕ = ∑ϕ ∂ϕ ∂ϕ i , = ∂t i (3.4) ∂t ϕ ϕ =ϕ ϕ +ϕ' ϕ' 2 ý nghĩa vật lý của đại lượng nhiễu động chuyển động rối thể trực tiếp qua việc tăng masát (trở kháng) hay độ nhớt xuất ứng suất phụ phương trình chuyển động (sẽ trình bày phần sau) Để nghiên cứu quy luật phát triển chuyển động rối cần phải tính đến phức tạp nhiễu động rối, chưa có phương pháp hồn chỉnh để tính tốn đặc trưng Trong nghiên cứu chuyển động rối có hai hướng lý thuyết chủ yếu, : hướng nghiên cứu bán thực nghiệm dựa sở giải thích, tìm kiếm mối tương quan đặc trưng rối với đại lượng trung bình hướng lý thuyết thống kê nghiên cứu quy luật phân bố đặc trưng thăng giáng Hai hướng nghiên cứu nói chưa giải hết toán đặt xem xét chuyển động rối chất lỏng nói chung vấn đề liên quan tới khí đại dương 3.2.3 Tenxơ ứng suất rối Để nghiên cứu tương quan dòng trung bình ứng suất bổ sung xuất chuyển động rối, xét thành phần quan điểm lý thuyết ứng lực Trước hết, xét thành phần động lượng qua mặt phẳng tiết diện dF vng góc với hướng x với vận tốc u: dJx = MV = (dF ρu dt) u =dFρu2dt tương tự theo hướng y với vận tốc v: dJy = dFρuvdt theo hướng z với vận tốc w: dJz= dFρuwdt Giá trị trung bình chúng khoảng thời gian T là: d J x = dFρ u , d J y = dFρ uv, d J z = dFρ uw Trên sở tính chất phép lấy trung bình nêu trên, thành phần vận tốc có: 39 d J x '2 = dFρ ⎛⎜ u + u ⎞⎟ ⎠ ⎝ ' ' = dFρ ⎛⎜ u v + u v ⎞⎟, ⎠ ⎝ ' ' d J z = dFρ ⎛⎜ u w + u w ⎞⎟ ⎠ ⎝ d J y Nếu chia động lượng cho diện tích dF thu ứng lực ứng lực liên quan tới lực tác động lên bề mặt mơi trường chuyển động Dịng động lượng qua đơn vị thời gian thông qua đơn vị diện tích ln tỷ lệ với lực mà mơi trường xung quanh tác động lên diện tích theo hướng ngược lại với hướng thông lượng Như mặt phẳng dF vng góc với trục x bị ứng lực sau tác động : theo hướng x: '2 − dFρ ⎛⎜ u + u ⎞⎟ ⎠ ⎝ theo hướng y: ' ' − dFρ ⎛⎜ u v + u v ⎞⎟, ⎠ ⎝ theo hướng z: ' ' − dFρ ⎛⎜ u w + u w ⎞⎟ ⎠ ⎝ thành phần thứ theo hướng x ứng suất pháp tuyến, hai thành phần sau ứng suất tiếp tuyến Như chuyển động rối, nhiễu động vận tốc làm xuất thêm ứng suất bổ sung Đối với mặt phẳng vng góc với hướng x thành phần ứng suất bổ sung là: σ ' x '2 = − ρ ⎛⎜ u ⎞⎟, ⎝ ⎠ τ ' xy ' ' = − ρu v , τ ' xz = −ρu ' ' w (3.5) Những thành phần ứng suất thu từ phương trình Navier-Stokes, cách áp dụng phép lấy trung bình hai vế theo quy tắc nêu Tập hợp ứng suất tác động lên ba mặt phẳng vuông góc với hướng x,y,z tạo nên tenxơ ứng suất ma sát rối: ⎛ ' ⎜σ x ⎜ ⎜ ' ⎜τ xy ⎜ ⎜ ' ⎜τ xz ⎝ τ ' xy σ τ ' y ' yz τ ⎞ ⎟ ⎟ ' ⎟ τ yz ⎟ ⎟ ' ⎟ σ z ⎟⎠ ' xz = ⎛ ρ '2 ⎜ u ⎜ ⎜ ' ' ⎜uv ⎜ ⎜ ⎜ ' ' ⎝u w ' ' ρv '2 uv ' u w ⎞⎟ ' ⎟ ⎟ w v ⎟⎟ ⎟ '2 ρ w ⎟⎠ ' ' vw 40 ' ' (3.6) 3.2.4 Các hệ số trao đổi rối Do phức tạp trình rối, chưa nắm vững chế chi tiết tượng Đối với yêu cầu thực tiễn, việc xác định quy luật phân bố đặc trưng trung bình theo thời gian chuyển động rối cần thiết Tuy nhiên lý thuyết phù hợp cho vấn đề chưa khám phá, đường đáng tin cậy phải dựa vào kết thực nghiệm bán thực nghiệm Đối với dòng động lượng việc sử dụng biểu thức thực nghiệm Boussinesq đông đảo nhà nghiên cứu chấp nhận , theo dịng ứng suất tỷ lệ với hệ số trao đổi rối gradient vận tốc trung bình τ ' ' = − ρ ⎛⎜ u v ⎞⎟ = ⎠ ⎝ t ∂u Aτ ∂y (3.7) đó⎯u - vận tốc trung bình độ cao y tính từ biên dưới, Aτ - hệ số trao đổi rối Thông thường người ta sử dụng hệ số trao đổi rối động học K = Aτ/ρ thay hệ số động lực học Aτ Khác với hệ số nhớt phân tử γ, không đổi chất lỏng, hệ số nhớt rối K phụ thuộc vào vận tốc trung bình u Mối phụ thuộc thiết lập thơng qua giả thiết bổ sung khác Prandtl người thu kết đáng kể đưa giả thiết “ quãng đường (khoảng cách) xáo trộn” Xét dòng chất lỏng chuyển động mặt phẳng với giả thiết vận tốc trung bình khơng biến đổi đường dịng song song hướng chuyển động song song với trục x Như điều kiện biên là: u = u(y), v = w = Trong trường hợp tất ứng suất lại ứng suất tiếp tuyến: τ' xy ( ) = τ t = −ρ u v = ' ' ∂u Aτ ∂y (3.8) Theo Prandtl dịng rối xuất khối lượng chất lỏng có vận tốc riêng, chuyển động phạm vi theo hướng x hướng vng góc, với điều kiện thành phần ứng suất theo hướng x không biến đổi Cho khối chất lỏng xuất tầng y1-1 có vận tốc u(y1-1) chuyển dịch quảng đường l theo hướng vng góc với hướng chuyển động Gọi quảng đường l khoảng cách xáo trộn rối Trên tầng khác, vận tốc khối chất lỏng khác với vận tốc môi trường xung quanh đại lượng tỷ lệ với khoảng cách l mức độ phân lớp dịng trung bình: Δ u1 = u (y ) − u(y − l ) ≈ l⎛⎜⎜ ∂∂uy ⎞⎟⎟ 1 ⎝ ⎠1 Tương tự khối chất lỏng từ tầng y1 +1 đến tầng y1 có hiệu vận tốc Δu2= u(y1-1) 41 Δ u2 = u (y + l ) − u (y ) ≈ l⎛⎜⎜ ∂∂uy ⎞⎟⎟ 1 ⎝ ⎠1 Xem Δu1 Δu2 nhiễu động rối , giá trị trung bình chúng : u ' = ( ) ⎛ ∂u ⎞ Δ u1 + Δ u = l ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂y ⎠ (3.9) Từ biểu thức 3.9 thấy quảng đường xáo trộn l khoảng cách theo hướng vuông góc với dịng mà chất lỏng cho hiệu vận tốc vị trí xuất phát vị trí giá trị tuyệt đối đại lượng nhiễu động trung bình vận tốc u Đối với nhiễu động vận tốc ngang hình dung sau: hai khối chất lỏng từ tầng y1 - l y1 + l rơi vào tầng y1 , chúng lại gần tách xa với vận tốc 2u’ Như tầng y1 xuất chuyển động theo phương ngang từ y1 tới y1 Đại lượng (v’) có độ lớn tương tự u’: v ' ⎛ ∂u ⎞ ' = ε u = ε l ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂y ⎠ (3.10) Các nhiễu động vận tốc v’ u’ có dấu ngược , viết: ⎛⎜ ' ' ⎞⎟ = −k ' ' uv ⎝u v ⎠ (3.11) với k hệ số tương quan dương (k > 0) Sử dụng công thức (3.9) (3.10) ta có: ⎛ ⎞ ⎞⎟ = −ε ⎜ ∂u ⎟ ⎛⎜ u v l ⎠ ⎝ ⎜ ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ' ' 2 (3.12) Gộp tích số -ε.l2 vào l2 ta có: ⎡⎛ ∂u ⎞⎤ = ρ τ l ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎢⎣⎝ ∂y ⎠⎥⎦ t 2 ⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ = ρ l ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠ (3.13) Biểu thức cuối cho ta mối liên quan trực tiếp ứng suất tiếp tuyến gradient vận tốc trung bình So sánh với cơng thức (3.6) biểu thức hệ số Aτ biến đổi thành: Aτ = ρ l ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂y ⎟ ⎝ ⎠ (3.14) Dựa vào công thức , kết hợp với giả thiết khác quảng đường xáo trộn dễ dàng tính đặc trưng rối lớp biên Các công thức (3.13) (3.14) 42 Taylor đưa sở giả thiết bảo tồn rối Karman ứng dụng lý thuyết đồng dạng thứ ngun, theo trường nhiễu động vận tốc điểm khác quy mơ kích thước: chọn kích thước độ dài quảng đường xáo trộn l, cịn kích thước vận tốc vận tốc động lực u* : u * = τ = t ρ ' uv ' Vận tốc động lực u* đại lượng đặc trưng cho cường độ dòng rối cường độ trao đổi động lượng đo nhiễu động vận tốc gây nên Sau phân tích thứ ngun, từ phương trình chuyển động ta rút cơng thức (3.13) Mặt khác, cách tương tự ta có: ' uv ' ⎛ du u ,d = f⎜ ⎜ dy d ⎝ y ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ hay: ⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dy ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ τ = −ρ⎜u v ⎟ = κ ρ ⎝ ⎠ ⎛ d 2u ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜d y ⎟ ⎝ ⎠ ' ' 2 κ = 0,4 , So sánh với cơng thức Bousinesq, ta có biểu thức hệ số rối: ⎛ du ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ dy ⎟ ⎝ ⎠ = ρ Aτ κ ⎛ d 2u ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜d y ⎟ ⎠ ⎝ 2 3.2.5 Sự phân bố dòng rối gần mặt tường dài vô hạn Dạng tổng quát phân bố (profil) vận tốc Trên sở suy luận thứ nguyên đặc trưng thống kê trung bình dòng khoảng cách z từ mặt tường phụ thuộc vào ứng suất ma sát τ0 , khoảng cách z tham số chất lỏng hệ số nhớt ν mật độ ρ, tham số τ0 ρ nằm dạng τ0/ ρ không phụ thuộc trực tiếp vào mật độ Thông thường đại lượng thay vận tốc độn lực u* tính theo ứng suất lớp biên sát mặt: 43 đổi, chất lỏng không chuyển động; g véc tơ lực trọng trường với module g; Ω véc tơ vận tốc quay đất; v véc tơ vận tốc; ∇ toán tử lapla: ∇ = ∂ ∂ + i ∂x ∂y j + ∂ k với ∂z véc tơ đơn vị i, j, k Trong thực tế mật độ nước biển không khác so với giá trị ổn định ρ0 lấy làm giá trị áp suất thuỷ tĩnh Vế trái phương trình 3.20 cho ta tổng lực quán tính, lực Coriolis, lực chênh r lệch áp suất, trọng lực Nếu số hạng F , thể tổng lực lại tác động lên chất lỏng, vế phải kể đến lực ma sát rối phương trình chuyển động (3.20) viết dạng sau: dv dt + Ω ×v + ρ ∇ pt − (ρ − ρ ) ρ 0 g = νΔ v (3.22) pt hiệu giá trị thực giá trị thuỷ tĩnh áp suất pt = P0 - pr, cịn hệ số nhớt phân tử ν=μ/ρ0 Trong phương trình này, gia tốc trọng trường biến đổi mật độ nằm biểu thức: b ⎛ ⎞ ⎜ ρ − ρ0⎟ ⎠ =⎝ ρ g (3.23) cho ta véc tơ lực (lực đẩy) đơn vị diện tích hay lực đẩy Acsimet Phương trình (3.22) viết dạng sau: dv dt + Ω ×v + ρ → ∇ pt − b e = νΔ v (3.24) → e - vectơ đơn vị theo z b module véc tơ lực Bằng cách thể đại lượng khác thành hai phần: trung bình nhiễu động phương trình (3.24) viết: d (U + u dt ) + Ω × (U + u ) + = νΔ (U + u ) ρ → ∇(Ρ + p ) − (B + b ) e = (3.25) véc tơ vận tốc v thể thành hai phần véc tơ vận tốc trung bình U nhiễu động u 47 3.3.2 Các phương trình liên tục, biến đổi nhiệt khuyếch tán biển Đối với chất lỏng chuyển động định luật bảo toàn khối lượng, động lượng với phương trình trạng thái định luật nhiệt động lực học phải bảo đảm Định luật bảo toàn khối lượng thể qua phương trình liên tục bảo toàn độ muối dạng sau: ∂ρ + div⎛⎜ ρ v ∂t ⎝ ⎞=0 ⎟ ⎠ (3.26) ∂ ρs ∂ ρs + div + div⎛⎜ ρ s vs ⎞⎟ = ∂t ∂t ⎠ ⎝ (ρ v + I ) = s s (3.27) I s = ρ ⎛⎜ v − v ⎞⎟, ⎝ ⎠ s s M = ρv mật độ dòng muối khối lượng nước trao đổi đối lưu chuyển động vĩ mô v Với giá trị mật độ muối tính tích mật độ nước độ muối: ρs=ρ.s, phương trình chuyển dạng sau: ∂ρ + ρdiv (v ) = ∂t (3.28) ∂s + div(I s ) = (3.29) ∂t Phương trình bảo tồn lượng (nhiệt lượng) hệ mở xác định theo phương trình sau: ρ n δQ = dε + δA − ∑ h j δemj (3.30) ⎛ ∂H ⎞ ⎟ h = ⎜⎜ ⎟ ⎝ ∂m j ⎠ j T , p , mj entanpi riêng phần j , δemj - phần khối lượng thêm vào trao đổi với môi trường xung quanh Đối với trường hợp cân hệ nhiệt độ áp suất khơng đổi, ta có: n n 1 δQ = dε + pdV − ∑ h j δemj = dH − ∑ h j δemj = (3.31) Với thể tích xác định V, phương trình viết cho hệ cân bằng: 48 ( ) − ∫q n d ∑ = ∑ ⎛ − ∫ ⎜π ∑⎝ → ⎛ ⎞ r d ⎜ v + ε ⎟dV − ⎛⎜ ρ X ρ v ∫ ∫ ⎜ ⎟ dt v ⎜ V ⎝ ⎝ ⎠ V (n ) v ⎞⎟⎠d ∑ + ∫ {h ⎛⎜⎝ I n ⎞⎟⎠ + h ⎛⎜⎝ I → ∑ s s → w w ⎞ ⎟dV − ⎟ ⎠ n (3.32) ⎞⎫ ⎟ ⎬d ∑, ⎠⎭ Dấu trừ bên trái cho ta hướng thơng lượng lấy theo pháp tuyến ngồi, đại lượng cho ta tổng nhiệt lượng trao đổi Các số hạng bên phải cho ta thành phần biến đổi lượng hệ: thành phần đầu - vận tốc biến đổi, thành phần thứ hai ba - tương ứng công lực khối lực mặt tác động từ bên ngoài, thành phần thứ tư nămg lượng biến đổi trao đổi khối lượng với môi trường xung quanh tương ứng dòng muối nước gây nên Khi thể tích tới 0, đại lượng vơ hướng q(n) phụ thuộc vào hướng véc tơ pháp tuyến n bề mặt Sau biến đổi tích phân sử dụng tốn tử đạo hàm tồn phần theo thời gian: d ∂ = + v ∇ dt ∂t công thức (3.32) biến đổi dạng sau: ⎞⎫⎪ d ⎧⎪ ⎛⎜ v ⎨ ρ ⎜ + ε ⎟⎟⎬ = dt ⎪ ⎠⎪⎭ ⎩ ⎝ ⎧⎪ ⎛ → α α⎫ ⎪ v ⎞ α α αβ β ∇α ⎨ ρ ⎜⎜ + ε ⎟⎟ v + q − π v + hs I s + hw I w ⎬ + ρ X × v ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ ⎠ (3.33) Để đảm bảo cân cần có bảo tồn khối lượng: Is + Iw= hsIs + hwIw = (hshw)Is, mặt khác theo định nghĩa entanpi: ⎛ ∂H ⎞ ⎟ h −h =⎜ ⎝ ∂s ⎠ s w T,p Nếu lực khối X có hàm U viết: ∂ (ρU ) + ∇α (ρU vα ) − ρ ∂ U ∂t ∂t Phương trình (3.31) biến đổi sau: → ρ X v = ρ ∇α U vα = ⎞⎫⎪ ∂ ⎧⎪ ⎛⎜ v ⎨ ρ ⎜ + ε + U ⎟⎟⎬ = ∂t ⎪ ⎠⎪⎭ ⎩ ⎝ ⎧⎪ ⎛ ⎞ α α ∂H αβ β − ∇α ⎨ ρ ⎜ v + ε + U ⎟ v + q − π v + ⎜ ⎟ ∂s ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎫⎪ ∂U I s ⎬⎪ + ρ ∂t ⎭ (3.34) (3.35) α Gọi ∋ = (v2/2)+ ε +U lượng riêng toàn phần chất điểm hàm 49 lực không đổi (∂U/∂t=0) trường hợp lực trọng trường từ (3.35) ta có phương trình bảo tồn lượng dạng sau: → ∂ (ρ ∋ ) = −div I ∋ ∂t I α ∋ (3.36) α ⎛ ∂H ⎞ α α αβ β ⎟ I v + q −π v + ⎜ ⎝ ∂s ⎠ α = ρ∋ (3.37) s T,p Vế trái phương trình thành phần véctơ mật độ dòng lượng, ρ∋αvα dòng lượng đối lưu chuyển động với vận tốc v, số hạng lại liên quan tương ứng tới dịng nhiệt, cơng lực mặt trao đổi khối lượng Mặt khác từ phương trình chuyển động , nhân vơ hướng với véctơ vận tốc ta có: ∂⎛ ρ ⎜v ∂t ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ 2⎞ v ⎟+ ρ α v ∇α ⎜⎜ ⎟⎟ = ρ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ X α v + v ∇β π α α αβ (3.38) cho lực khối U, phương trình chuyển dạng sau: ⎞⎫⎪ ∂ ⎧⎪ ⎛⎜ v ⎨ ρ ⎜ + U ⎟⎟⎬ = ∂t ⎪ ⎠⎪⎭ ⎩ ⎝ ⎫ αβ ⎧⎪ ⎛ ⎞ α ∂U αβ β ⎪ − ∇α ⎨ ρ ⎜ v + U ⎟ v − π v ⎬ − π eαβ + ρ ⎜ ⎟ ∂t ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ ⎠ (3.39) đó: π αβ = p m +σ αβ αβ tenxơ ứng suất nhớt; mαβ tenxơ đơn vị: mαβ = 1, α=β mαβ = , α≠β α eαβ eαβ tenxơ biến dạng biểu thức sau α ∇α v β ∂ ∂ α β = v β + v α = ∇ β v + ∇α v ta dễ dàng rút ∂x ∂x → = div v Trong phương trình vế trái thể biến đổi lượng học, biểu thức toán tử grad vectơ dịng lượng học vận chuyển (bình lưu) hai số hạng cuối cho ta nguồn lượng học sản sinh đơn vị thời gian Trừ hai vế tương ứng phương trình (3.39) (3.35) ta thu phương trình biến đổi nội hệ : α ∂ {ρ (ε )} = − ∇α ⎧⎨ ρ (ε ) vα + q + ∂H ∂t ∂s ⎩ I α s ⎫ αβ ⎬ + π eαβ ⎭ (3.40) Kết hợp phương trình bảo tồn khối lượng, phương trình (3.40) trở thành: 50 ρ dε ⎧ α ∂H = − ∇α ⎨q + dt ∂s ⎩ I α s ⎫ αβ ⎬ + π eαβ ⎭ (3.41) Trong sở lý thuyết nhiệt động học, người ta sử dụng phương trình biến đổi entropi qua dạng phương trình Gibbs dη dε dv ds = +p −μ dt dt dt dt Có thể biến đổi phương trình dạng phụ thuộc vào thông lượng muối Is, nhiệt T q ứng suất nhớt σαβ Ta viết: dη ρ dε pρ dv μρ ds = ( )+ − ) dt T dt T dt T dt Trong trình biến đổi cơng thức sử dụng tính chất biến đổi tenxơ: ρ π e αβ αβ ρ = − pdiv v + dη ⎧ α ∂H = − div ⎨q + dt T ∂s ⎩ αβ σ αβ e → ⎫ αβ + + μ div ⎬ I s ⎭ 2T π eαβ Is α (3.42) Từ công thức (3.42) kết hợp định nghĩa nhiệt độ T, áp suất p độ muối , thu phương trình tương quan yếu tố qua dạng : ⎛ c p dT ∂ν dp ∂η ds ⎞ → ⎟ = −div q + − + ⎜ T dt ∂T dt ∂s dt ⎟ ⎝ ⎠ → αβ ⎛ ∂H ⎞ ⎛ ∂H ⎞ + μ ⎟div I s + σ eαβ + I s ∇α ⎜ ⎜− ⎟ s ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ∂s ⎠ ρT ⎜ (3.43) Sử dụng cơng thức định nghĩa hố μ Entanpi H: dH=d(ε+pv) =Tdη+vdp+μds với điều kiện áp suất không đổi theo độ muối, ta có: ∂η ∂H −T ∂s ∂s Ta viết (3.43) dạng sau đây: μ= → dp ⎞ αβ ⎛ dT ⎛ ∂H ⎞ − Γ ⎟ = −div q + σ αβ e + I s ∇α ⎜ ⎟, dt dt ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ⎠ ρCp⎜ (3.44) Γ- gradient nhiệt độ biến đổi đoạn nhiệt: ⎛ ∂ν ⎞ ⎟ ⎝ ∂T ⎠ C T⎜ Γ= p p = ∂T ∂p Có thể thấy rõ Γdp nhỏ nhiều so với dT có q trình xáo trộn ngang 51 (Γdp vào khoảng 1-20C z = 2000 m, dT vào khoảng 100C) nước mặt biển Γdp/dt bỏ qua Cũng bỏ qua thành phần nhỏ ∇αT, ∇αp, ∇αs ∇αv β ta thu phương trình truyền nhiệt cho mơi trường chuyển động : → ⎛ dT ⎞ ⎟ = −div q ⎝ dt ⎠ ρCp⎜ (3.45) Trong thực tế , mật độ nước đại dương thường biến đổi: (δρ/ρ)≈ 10-3, phương trình liên tục đơn giản hoá: ∂ρ + div v = ∂t (3.46) Ngoại trừ trường hợp sóng âm, ∂ρ/∂t có giá trị lớn, trường hợp khác đại lượng bỏ qua phương trình liên tục có dạng đơn giản : div v = (3.47) Cuối hệ phương trình viết lại dạng sau đây: ( ) α ∂ α αβγ = − + ρ + ρ ε v β Ωγ g ρ v ∇ Π αβ β ∂t div v = ∂ ∂t (ρ S ) = −div⎛⎜⎝ ρ S v + I s ⎞⎟ ⎠ (3.48) (3.49) → (3.50) đó: Παβ = ρ v v α ⎡ ε β + p mαβ − σ αβ số αβγ = ⏐ -1 ⎣ +1 hoán vị số lẻ lần số 1, 2, hoán vị số chẵn lần số 1, 2, ứng dụng phép lấy trung bình phương trình nêu trên, ta thu hệ phương trình đặc trưng trung bình vận tốc, nhiệt độ độ muối: ∂ ∂t (ρ v ) = − ∇ Π β + ρ g + ρ 0ε α α αβ αβγ v β Ωγ divv = (3.51) (3.52) ∂ ∂t (ρ T ) = −div⎛⎜ ρ T v + q + C ρ T v' ⎞⎟ ⎝ ⎠ (3.53) ∂ ∂t (ρ S ) = −div⎛⎜ ρ (3.54) → 0 ⎝ ' p → S + I s + ρ0 S v ' ⎞ v' ⎟ 52 ⎠ : Π αβ =ρ α vv + p m − ⎛⎜σ ⎝ β αβ αβ −ρ 'α v v 'β ⎞⎟ ⎠ (3.55) Như đặc trưng trung bình, ta rút phương trình tương tự đặc trưng tức thời, thông lượng bổ sung thêm thành phần rối tương ứng: → q+ → J → → , σ ρ C T v' , J q I +J , s s αβ αβ +R đó: → J q = ' p → s = ρ S v' , ' αβ R = − ρ vα v β ' ' Thông thường thông lượng rối lớn nhiều so với đặc trưng tương ứng trình phân tử gây nên Như toán dẫn tới việc xác định mối tương quan thông lượng rối đặc trưng trung bình 3.4.DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC VÀ KHUYẾCH TÁN 3.4.1.Định luật bảo tồn khối lượng phương trình khuyếch tán Do đặc điểm nước sơng, biển khơng khí xem hỗn hợp Theo quan điểm bên cạnh thành phần Ơxy Nitơ chiếm 99% khí phân tử nước chiếm 96,5% biển, cịn có thành phần thứ cấp nước khí muối hoà tan nước cuối thành phần tỷ trọng thấp thể dạng vệt Nếu xem xét mật độ vận tốc dịch chuyển thành phần ρi v i ta có phương trình bảo tồn khối lượng dạng sau: ∂ρ i i i i i (3.56) + ∇.⎛⎜ ρ v ⎞⎟ = S + I ⎝ ⎠ ∂t Si Ii tốc độ biến đổi nguồn thành phần “i” đơn vị thể tích tác động bên ngồi (sông đổ vào biển, nguồn thải,v.v ) trình bên ( phản ứng hố học, sinh thái học,v.v ) Các đại lượng xem nguồn có giá trị dương có dấu ngược lại xem phân huỷ Để tiện lợi thực tế nghiên cứu người ta đưa đại lượng mật độ ρ động lượng theo vận tốc tổng thể v hỗn hợp xác định theo biểu thức sau: ρ = ρ v= ∑ρ , i ∑ρ v i (3.57) i (3.58) 53 Σ tổng tất thành phần hỗn hợp Đại lượng ρv động lượng đơn vị thể tích (kg.m-2.s-1) Các vận tốc thành phần không thiết phải vận tốc hỗn hợp, phần tải ρivi thành phần phân tích thành phần tải dịng tổng thể v phần trượt qua chất lỏng: ρ v =ρ v+ ρ i i i ⎛ i ⎞ ⎜⎜ v − v ⎟⎟ ⎝ ⎠ i (3.59) Phần trượt khuyếch tán phân tử hay chuyển động thăng, giáng (migration) trường trọng lực phần tử nặng lắng đọng xuống, phần tử nhẹ bốc lên cao Nếu cho rằng: ρ (v − v ) = ρ m + ϕ i i i i i (3.60) mi tốc độ thăng giáng ϕ i thông lượng phân tử Như phương trình (3.56) viết: ∂ρ ∂t ( i + ∇ ρ i v )= φ i − ∇.ϕ i (3.61) φ =S +I i i i − ∇ ⎛⎜ ρ ⎝ i m ⎞⎟⎠ i đặc trưng cho tốc độ chung nguồn (hoặc phân huỷ) cục thành phần “i” tương tác với bên ngoài, tương tác bên thăng giáng Phương trình (2.43) thể quy luật bảo tồn khối lượng: biến đổi theo thời gian khối lượng cục thành phần kết chuyển dịch chất lỏng, khuyếch tán phân tử tốc độ nguồn phân huỷ 3.4.2.Phép xấp xỷ Boussinesq phương trình liên tục Các chất lỏng thực tế khí tượng hải dương bao gồm nước khơng khí ln đặc trưng biến động không đáng kể mật độ, nhiệt độ, so với giá trị ρ0, T0, Chúng ta viết : = ρ0+ρ’ với ρ’