Đề cương toán rời rạc (ĐHLT và ĐHCQ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG TOÁN RỜI RẠC Trình độ đào tạo: Đại học Hệ đào tạo: Chính qui Hưng Yên, Tháng năm 2016 TOÁN RỜI RẠC LỜI NÓI ĐẦU Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) tên chung nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, ngành tập hợp lại từ xuất khoa học máy tính làm thành sở toán học khoa học máy tính Nó gọi toán học dành cho máy tính Người ta thường kể đến toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boolean Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất ngành toán học làm việc với tập hữu hạn đếm vào toán học rời rạc số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, Trong cấu trúc, đối tường rời rạc cấu trúc thực sự, hầu hết cấu trúc định nghĩa thông qua kiểu khác Do vậy, modul này, nội dung trình bày cấu trúc quan trọng Có thể nói toán học rời rạc môn tiên hiệu để người học nâng cao tư toán học phân tích, thiết kế thuật toán rèn luyện kỹ lập trình với thuật toán phức tạp Không “cửa ngõ” để người học tiếp cận với nhiều modul khoa học máy tính (như Chương trình dịch, lý thuyết tính toán, Trí tuệ nhân tạo, ) Mặc dù cẩn trọng trình biên soạn, nhiên tài liệu không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Chúng mong góp ý quí báu tất đọc giả bạn đồng nghiệp Mọi góp xin gửi về: Khoa Công nghệ Thông tin – Trường ĐHSPKT Hưng Yên Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Mục lục Danh mục hình vẽ Bài Tổng quan môn học 1.1 Mở đầu 1.2 Tại học toán rời rạc 1.3 Toán học rời rạc nghiên cứu 10 1.4 Học toán rời rạc 12 1.5 Toán rời rạc ứng dụng 13 BÀI 2: Logic mệnh đề (propositional logic) 14 2.1 Mệnh đề 14 2.2 Các phép toán lôgic 16 2.2.1 Phép phủ định 16 2.2.2 Phép hội 16 2.2.3 Phép tuyển 17 2.2.4 Phép kéo theo 18 2.2.5 Phép tương đương 19 2.3 Sự tương đương lôgic luật 20 2.3.1 Giới thiệu 20 2.3.2 Sự tương đương lôgic 20 2.4 Bài tập 23 Bài Logic vị từ (predicate logic) 24 3.1 Vị từ 24 3.1.1 Định nghĩa 24 3.1.1 Các phép toán vị từ 24 3.2 Lượng từ 25 3.2.1 Mệnh đề tồn 25 3.2.2 Mệnh đề tất 26 3.2.3 Quy tắc phủ định mệnh đề có lượng từ 27 3.2.4 Một số lượng từ hai biến 28 3.2.5 Một số quy tắc phổ dụng 28 3.3 Logic tìm kiếm mạng 29 3.4 Logic lập trình 29 3.5 Logic đời sống 29 3.6 Logic tính toán 30 3.7 Logic suy luận 30 3.8 Logic giải toán kĩ thuật 31 Bài Thảo luận Logic 34 4.1 Logic mệnh đề 34 4.1.1 Logic suy luận 34 4.1.2 Mạch logic số 34 4.2 Logic vị từ 34 4.2.1 Logic suy luận 34 4.3 Logic mờ (*) 34 4.4 Thảo luận 34 Bài Một số phương pháp chứng minh 35 5.1 Giới thiệu 35 5.1.1 Vai trò chứng minh 35 5.1.2 Một số thuật ngữ 35 5.2 Chứng minh nhờ luật suy diễn 36 5.2.1 Giới thiệu 36 Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC 5.2.2 Một số ví dụ 38 5.3 Các phương pháp chứng minh cho mệnh đề kéo theo 39 5.3.1 Chứng minh trực tiếp 39 5.3.2 Chứng minh gián tiếp 40 5.3.3 Chứng minh cách phân chia trường hợp 41 5.3.4 Chứng minh vacuous 42 5.3.5 Chứng minh trivial 42 5.4 Chứng minh phản chứng 43 5.5 Chứng minh quy nạp 44 5.6 Chứng minh cách đưa phản ví dụ 45 5.7 Một số ngộ nhận thường gặp 46 Bài Ứng dụng phương pháp chứng minh nhờ luật suy diễn 47 6.1 Ứng dụng 47 6.2 Bài tập 47 Bài Số Ma trận 49 7.1 Thuật toán 49 7.1.1 Giới thiệu 49 7.1.2 Định nghĩa 49 7.1.3 Các đặc trưng thuật toán: 50 7.2 Độ phức tạp thuật toán 50 7.2.1 Khái niệm độ phức tạp thuật toán 50 7.2.2 So sánh độ phức tạp thuật toán: 52 7.3 Số nguyên thuật toán 55 7.3.1 Thuật toán Euclide 55 7.3.2 Biểu diễn số nguyên 57 7.3.3 Thuật toán cho phép tính số nguyên 58 7.4 Số học đồng dư 60 7.5 Ma trận 62 7.5.1 Giới thiệu ma trận ứng dụng ma trận 62 7.5.2 Các phép toán ma trận 62 7.5.3 Các loại ma trận đặc biệt 63 Bài Số nguyên ứng dụng 65 8.1 Số học đồng dư ứng dụng 65 8.1.1 Hàm băm 65 8.1.2 Các số giả ngẫu nhiên 65 8.1.3 Mật mã 65 8.2 Số nguyên tố ứng dụng 66 8.2.1 Số nguyên tố 66 8.2.2 Thuật toán sàng số nguyên tố 67 8.3 Giải thuật đệ quy 69 8.3.1 Khái niệm đệ quy 69 8.3.2 Thuật toán đệ qui 70 8.3.3 Đệ quy lặp 71 BÀI Kỹ thuật đếm (Count technique) 74 9.1 Định nghĩa 74 9.2 Nguyên lý cộng nguyên lý nhân 74 9.2.1 Nguyên lý cộng 74 9.2.2 Nguyên lý nhân 76 9.3 Nguyên lý bù trừ 79 9.4 Nguyên lý Dirichlet 80 9.4.1 Nguyên lý Dirichlet tổng quát 81 9.4.2 Một số ứng dụng nguyên lý Dirichlet 81 Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC 9.5 Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp (*) 82 9.5.1 Chỉnh hợp 82 9.5.2 Tổ hợp 83 9.5.3 Hoán vị 85 9.5.4 Hoán vị lặp 86 9.6 Bài tập 87 Bài 10 Quan hệ truy hồi (Recurrence Relations) 88 10.1 Định nghĩa 88 10.2 Một số ví dụ 88 10.3 Kỹ thuật giải phương trình truy hồi 90 10.4 Bài tập 90 Bài 11 Thảo luận kỹ thuật đếm 91 11.1 Nhắc lại lý thuyết 91 11.2 Bài tập kỹ thuật đếm 91 11.3 Bài tập kỹ thuật đếm nâng cao 92 Bài 12 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị 93 12.1 Định nghĩa đồ thị 93 12.2 Đường - chu trình - Đồ thị liên thông 95 12.3 Phân loại đồ thị 98 12.3.1 Đồ thị vô hướng liên thông 98 12.3.2 Đồ thị có hướng liên thông 99 12.4 Một số loại đồ thị đặc biệt 100 Bài 13 Biểu diễn đồ thị máy tính 104 13.1 Ma trận kề - Ma trận trọng số 104 13.2 Danh sách cạnh (cung) 106 13.3 Danh sách kề 107 13.4 Bài tập 108 Bài 14 Đồ thị Euler – Hamilton 109 14.1 Đồ thị Euler 109 14.1.1 Định nghĩa 109 14.1.2 Các ví dụ 109 14.1.3 Định lý Euler 110 14.1.4 Thuật toán Flor tìm đường chu trình Euler 113 14.1.5 Một số toán liên quan(*) 113 14.2 Đồ thị Hamilton 113 14.2.1 Định nghĩa 114 14.2.2 Định lý Dirak 114 14.2.3 Thuật toán liệt kê tất chu trình Hamilton đồ thị 115 Bài 15 Cài đặt đồ thị, thuật toán tìm chu trình Euler liệt kê chu trình Hamilton 118 15.1 Cài đặt biểu diễn đồ thị máy tính 118 15.2 Cài đặt thuật toán liệt kê chu trình Euler 118 15.3 Cài đặt thuật toán liệt kê chu trình Hamilton 119 Bài 16 Thuật toán tìm kiếm đồ thị ứng dụng 120 16.1 Duyệt đồ thị theo chiều rộng (BFS) 120 16.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâu (DFS) 123 16.3 Bài tập 125 16.4 Ứng dụng 126 Bài 17 Cây khung 128 17.1 Cây khung 128 17.1.1 Cây 128 17.1.2 Cây khung đồ thị 129 17.2 Bài toán khung nhỏ 131 Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC 17.3 Xây dựng tập chu trình đồ thị 132 17.4 Thuật toán Kruskal 133 17.5 Thuật toán Prim 135 Bài 18 Ứng dụng toán đồ thị liên thông liên thông toán khung nhỏ 137 18.1 Thuật toán duyệt đồ thị toán liên thông 137 18.2 Một số thuật toán xây dựng khung(*) 138 18.3 Ứng dụng toán khung nhỏ 139 18.4 Cài đặt thuật toán Prim/Kruskal 140 18.4.1 Cài đặt thuật toán Prim 140 18.4.2 Cài đặt thuật toán Kruskal 142 Bài 19 Bài toán tìm đường ngắn 146 19.1 Các khái niệm mở đầu 146 19.2 Đường ngắn xuất phát từ đỉnh Thuật toán Ford-Bellman 146 19.3 Trường hợp ma trận trọng số không âm Thuật toán Dijkstra 148 19.4 Đường đồ thị chu trình (*) 150 19.5 Đường ngắn tất cặp đỉnh (*) 153 Bài 20 Ứng dụng toán tìm đường ngắn 155 20.1 Ứng dụng toán tìm đường ngắn 155 20.2 Cài đặt thuật toán Dijkstra 155 Bài 21 Bài toán luồng cực đại mạng 158 21.1 Mạng - Luồng mạng – Bài toán luồng cực đại 158 21.1.1 Mạng – Luổng mạng 158 21.2 Bài toán luồng cực đại 159 21.3 Lát cắt đường tăng luồng Định lý Ford_Fulkerson 159 21.4 Thuật toán tìm luồng cực đại 162 21.5 Bài tập 170 Bài 22 Lý thuyết đồ thị ứng dụng 171 22.1 Một số toán liên quan tới đồ thị 171 22.1.1 Các toán liên quan tới bậc đồ thị 171 22.1.2 Các toán liên quan đến tính liên thông đồ thị 172 22.1.3 Các toán có liên quan đến đường chu trình Hamilton 172 22.1.4 Các toán liên quan đến đồ thị tô màu 176 22.1.5 Bài toán 180 22.1.6 Bài toán ghép cặp 181 22.1.7 Đồ thị Euler 181 22.1.8 Các toán có tính tổng hợp 182 22.2 Duyệt rộng mảng hai chiều 183 22.3 Bài toán đám cưới vùng quê 185 22.4 Bài tập 186 Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC Danh mục hình vẽ Hình 12.1 Sơ đồ mạng máy tính 93 Hình 12.2 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại 93 Hình 12.3 Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo 94 Hình 12.4 Mạng máy tính với kênh thoại chiều 94 Hình 12.5 Đường đồ thị 95 Hình 12.6 Đồ thị G H 96 Hình 12.7 Đồ thị liên thông mạnh G đồ thị liên thông yếu H 97 Hình 12.8 Đồ thị vô hướng 98 Hình 12.9 Đồ thị có hướng 99 Hình 12.10 Đồ thị đầy đủ 100 Hình 12.11 Đồ thị vòng 101 Hình 12.12 Đồ thị bánh xe 101 Hình 12.13 Đồ thị lập phương 101 Hình 12.14 Đồ thị hai phía 102 Hình 12.15 Đồ thị K4 đồ thị phẳng 102 Hình 12.16 Các miền tương ứng với biểu diễn phẳng đồ thị 103 Hình 13.1 Đồ thị vô hướng G Đồ thị có hướng G1 104 Hình 14.1 Mô hình cầu Konigsberg 109 Hình 14.2 Đồ thị G1, G2, G3 110 Hình 14.3 Đồ thị H1, H2, H3 110 Hình 14.4 Minh hoạ cho chứng minh định lý 14.1 111 Hình 14.5 Du lịch 20 thành phố 113 Hình 14.6 Đồ thị Hamilton G3, nửa Hamilton G2, G1 không nửa Hamilton 114 Hình 14.7 Đồ thị đấu loại D5, đấu loại liên thông mạnh D6 115 Hình 16.1 Đồ thị vô hướng 121 Hình 16.2 Đồ thị vô hướng 127 Hình 17.1 Cây rừng 128 Hình 17.2 Đồ thị khung 129 Hình 17.3 Đồ thị khung nhỏ 136 Hình 18.1 Minh họa bước thuật toán Prim tìm khung nhỏ 142 Hình 18.2 Minh họa bước thuật toán Kruskal tìm khung nhỏ 145 Hình 19.3 Đồ thị minh hoạ PERT 153 Hình 21.1 Mạng G luồng f Đồ thị có trọng số Gf tương ứng 161 Hình 21.2 Mạng G minh họa bước thuật toán ford-Fullkerson 166 Hình 21.3 Mạng G với luồng cực đại lát cắt hẹp 167 Hình 21.4 Ví dụ tồi tệ thuật toán ford_Fulkerson 169 Hình 21.5 Tăng luồng dọc theo đường tăng 170 Hình 22.1 Kết thi đấu đội bóng chuyền A, B, C, B, E 173 Hình 22.2 Sơ đồ nhà học sinh 174 Hình 22.3 10 thành phố 174 Hình 22.4 bố trí lịch thi cho học sinh THPT với môn thi ngày 175 Hình 22.5 Vị trí nhà đường nối nhà học sinh 176 Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC Hình 22.6 Bản đồ có miền 177 Hình 22.7 Lập lịch thi môn 179 Hình 22.8 Tô màu cho đồ thị lịch thi 180 Hình 22.9 Kết xếp hạng đội 181 Hình 22.10 Tuyển chọn biên dịch viên 183 Hình 22.11 Hướng di chuyển robot 184 Hình 22.12 Mạng tương ứng với toán đám cưới vùng quê 185 Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC Bài Tổng quan môn học 1.1 Mở đầu Toán học rời rạc ngày trở thành quen thuộc năm gần ứng dụng to lớn ngành tin học Toán học rời rạc ngành toán học giải đối tượng hay cấu trúc rời rạc Đối tượng rời rạc đối tượng mà chúng phân biệt, phân tách khỏi để đếm Số tự nhiên, số hữu tỉ (được coi tỉ số số tự nhiên), môtô, nhà, người, … đối tượng rời rạc Mặt khác số thực bao gồm số vô tỉ không rời rạc (chúng ta biết hai số thực khác tồn số thực khác chúng) Thuật ngữ ”Toán học rời rạc”cũng để phân biệt với”Toán học liên tục” Trong đối tượng rời rạc thường coi có liên quan mật thiết tới số tự nhiên đối tượng liên tục số thực Trong modul này, nghiên cứu đối tượng rời rạc số tự nhiên, mệnh đề, tập, quan hệ, hàm, đồ thị, hay lý thuyết số, …tất chúng rời rạc Chúng ta học khái niệm, tính chất quan hệ chúng với với đối tượng khác Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất ngành toán học làm việc với tập hữu hạn đếm vào toán học rời rạc số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, Có thể nêu vài ví dụ dùng tới toán học rời rạc: - Có password hợp lệ cho hệ thống máy tính? - Có tồn đường nối máy tính mạng? - Có địa internet hợp lệ? - Đường ngắn máy tính mạng gì? - Có bước trình xếp? - Có mạch để cộng số nguyên thiết kế? - Khả trúng giải thưởng cho vé số bao nhiêu? - Cách tốt để lập lịch họp hội đồng thành viên mà cạnh tranh nào, giả thiết đưa vài người có tên hội đồng - Làm lập lịch tất nhiệm vụ dự án lớn (giống dự án xây dựng dự án để bắt đầu đưa sản phẩm thị trường) - Sẽ có đủ số điện thoại để cung cấp tất điện thoại, máy fax, điện thoại di động cho Việt Nam? - Làm thể mô hình phân tích thay đổi dân số, thay đổi lượng tiền dự án đầu tư Modul học cấu trúc rời rạc kỹ thuật để giải vấn đề Vậy câu hỏi đặt là: Toán rời rạc dùng nào? Thực tế toán học rời rạc dùng đa dạng nhiều chuyên ngành, lĩnh vực Tuy nhiên, thấy phần lớn dùng liên quan tới: - Đếm đối tượng Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC - Xem xét quan hệ tập hữu hạn (hoặc đếm được) - Phân tích trình có số bước hữu hạn - Cơ tất xử lý thông tin số: Những thao tác cấu trúc rời rạc nhớ - Nó ngôn ngữ khái niệm tảng cho tất lĩnh vực khoa học máy tính - Các khái niệm rời rạc sử dụng rộng rãi toán học, kỹ thuật, kinh tế, sinh học, … Đặc biệt toán học rời rạc công cụ tuyệt vời để suy luận logic 1.2 Tại học toán rời rạc Có số lý quan trọng để nghiên cứu toán học rời rạc Thứ nhất, thông qua modul này, người học phát triển khả toán học, khả hiểu tạo chủ đề toán học Người học vô khó khăn để tiến xa ngành tin học mà kiến thức toán học Thứ hai, toán học rời rạc cung cấp sở toán học để mở cánh cửa cho người học tiếp tục với modul cao cho khóa học khoa học máy tính, bao gồm: cấu trúc liệu, thuật toán, lý thuyết sở liệu, lý thuyết automat, ngôn ngữ hình thức, trình biên dịch, bảo mật máy tính, thiết kế mạch máy tính, mạng máy tính hệ điều hành, …sinh viên nhận thấy khóa học vô khó khăn sở toán học modul toán học rời rạc Toán học rời rạc toán tính toán Khoa học máy tính đại xây dựng hầu hết dựa toán học rời rạc, đặc biệt toán tập hợp lý thuyết đồ thị Điều có nghĩa là: nhà lập trình máy tính sinh viên muốn học thuật toán phải cần tảng toán học rời rạc chắn Bởi vậy, hầu hết trường đại học, môn toán học rời rạc bắt buộc với sinh viên bậc đại học Toán học rời rạc toán giới thực Nhiều sinh viên than phiền tính truyền thống toán cấp như: đại số, đồ thị, lượng giác, phần tương tự vậy- câu hỏi đặt là: “học toán cấp với nội dung truyền thống tốt điểm nào?” Một vài chủ đề trừu tượng toán học thường làm sinh viên sợ không vượt qua Ngược lại, toán học rời rạc , đặc biệt toán đếm xác suất, cho phép sinh viên (kể h/s học cấp nhanh chóng tìm vấn đề quan trọng giới thực vấn đề khó lại thú vị) Toán học rời rạc dạy suy luận toán học kỹ thuật chứng minh Đại số thường dạy sinh viên nhớ chuỗi công thức thuật toán (ví dụ, công thức quadratic, hệ thống phương trình tuyến tính ), hình học thường dạy chuỗi tập áp dụng”định nghĩa – định lý – chứng minh” Còn với toán học rời rạc, sinh viên suy nghĩ linh hoạt sáng tạo Có mối quan hệ vài công thức Có số khái niệm để làm chủ ứng dụng toán học Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang TOÁN RỜI RẠC Như vây, đồ thị có đỉnh bậc k với k≠0 k≠19 Suy đồ thị có đỉnh bậc đỉnh bậc 19 (nếu không đồ thị phải có đỉnh có bậc k’ ≠k), ≤ k ≤ 18 trái với giả thiết) 22.1.2 Các toán liên quan đến tính liên thông đồ thị Bài toán 22.3 Một lớp học có 40 học sinh nghỉ hè Biết em có địa 20 bạn bạn có địa bạn bạn có địa bạn CMR em lớp nhắn tin cho Giải: Bài toán chuyển qua đồ thị sau: - Cho học sinh tương ứng với đỉnh đồ thị Lớp có 40 học sinh tức đồ thị có 40 đỉnh - Hai học sinh có trao đổi địa cho hai đỉnh tương ứng nối cạnh vô hướng - Mỗi em có địa 20 bạn nghĩa đỉnh có bậc 20 - Khi bạn nhắn tin cho đồ thị tồn đường hai đỉnh tương ứng Ta ký hiệu đồ thị G Theo định lý dirak đồ thị G đồ thị Halmiton, nên G liên thông, mà đồ thị liên thông hai đỉnh tùy ý có đường nối với Bới hai bạn lớp nhắn tin cho Bài toán 22.4 Tại đỉnh đồ thị liên thông ta viết số thực cho số viết đỉnh trung bình cộng số viết đỉnh kề với đỉnh CMR tất số viết Giải: Để cho gọn, ta ký hiệu số ghi đỉnh x x Giả sư a số nhỏ số viết tất đỉnh b số viết đỉnh b bất kỳ, ta chứng minh a=b Vì đồ thị liên thông, nên tồn đường (a, a1, a2, … ak) Nếu a nối với m đỉnh x, y,… ,z thì: a =(x+y+……+z)/m Song a≤ x; y; … ;z nên a = x = y = … = z Điều có nghĩa a = Cho a1 đóng vai trò a (điều hoàn toàn a1 = a) nên số nhỏ số viết) a1 =a2 =… cuối ta có kết a =a1=a2=……ak =b 22.1.3 Các toán có liên quan đến đường chu trình Hamilton Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 172 TOÁN RỜI RẠC Đồ thị đấu loại đồ thị có hướng, mà đỉnh nối với cung Tên gọi đấu loại xuất đồ thị biểu diễn kết thi đấu bóng chuyền, bong bàn hay trò chơi mà không cho phép hòa Hãy sử dụng đồ thị để giải toán sau: Bài toán 22.5 Có đội bóng chuyền thi đấu với để tranh cúp quốc gia Biết hai đội đấu với trận đội phải đấu với đội khác, đồng thời trận hòa Giải: Ta cho tương ứng đội bóng đỉnh đồ thị, hai đội thi đấu với ta dùng cung nối đỉnh tương ứng, chiều cung đỉnh tương ứng với đội bóng thắng sang đỉnh tương ứng đội bóng thua Như đồ thị thiết lập đồ thị đầy đủ có hướng với đỉnh Đồ thị Hình 29.1 mô tả kết thi đấu đội bóng chuyền A, B, C, B, E Theo định lý: “Đồ thị đầy đủ, có hướng luôn có đường Hamilton” Nên vào đường Hamilton ta sếp đội trưởng đội đứng theo hàng dọc sau: A,E, C, D, B A B E D C Hình 22.1 Kết thi đấu đội bóng chuyền A, B, C, B, E Bài toán 22.6 Hình 29.2 cho sơ đồ nhà học sinh A,B, C, D, E, G ,H ,K Hãy tìm đường từ nhà học sinh A qua học sinh khác lần để đến sân vận động S (khi A đến nhà bạn bạn A đến sân vận động) Giải: Trước hết ta thấy đỉnh A, E, C có đỉnh bậc 2, đương Hamilton xuất phát từ A phải qua cạnh BC, CD, DE, EG Khi ta xóa cạnh BD, DK, DH (đánh dấu x), đồng thời cạnh AG xóa (đánh dấu xx) Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 173 TOÁN RỜI RẠC K D H E B S C A G Hình 22.2 Sơ đồ nhà học sinh Tiếp theo học sinh A tiếp từ G sang H sang K cuối từ đỉnh K sang đỉnh S Đường Hamilton tạo thành ABCDEFGHS mô tả toàn hành trình học sinh xuất phát từ A tới sân vận động S, theo yêu cầu toán đặt Bài toán 22.7 Một nước có 10 thành phố Hãy thiết lập mạng cầu hàng không (bằng đồ thị) cho: - Mỗi thành phố có cầu hàng không nối trực tiếp với thành phố khác - Từ thành phố có đường hàng không tới thành phố tùy ý khác hành trình tới đích qua thành phố lần Giải: Mạng hàng không cần tìm (Hình 29.3) đồ thị gồm 10 đỉnh, bậc đồ thị có chu trình Hamilton Hình 22.3 10 thành phố Bài toán 22.8 Dùng phương pháp đồ thị để thể việc bố trí lịch thi cho học sinh THPT với môn thi ngày Yêu cầu phải bố trí lịch thi cho hai môn thi thầy giáo không rơi vào hai ngày liên tiếp Biết thầy giáo có nhiều môn thi Giải: Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 174 TOÁN RỜI RẠC Ta xây dựng lược đồ G (Hình 29.4) đỉnh tương ứng với môn thi thuộc thầy khác Đồ thị Hình 29.4 mô tả trường hợp: thầy có môn thi (tương ứng với đỉnh A,B, D,E) thầy có môn thi (tương ứng với đỉnh F, G), thầy thứ có môn thi (tương ứng với đỉnh C) Do thầy giáo có số môn thi không vượt 4, nen đỉnh kề với đỉnh Do đỉnh đồ thị G có bậc không nhỏ 3, nên tổng bậc đỉnh không nhỏ Do theo định lý 14.1 đồ thị G có xích Hamilton (gồm cạnh tô đậm) Dựa vào đường Hamilton mà ta lập lịch thi theo yêu cầu toán B C A D G I E Hình 22.4 bố trí lịch thi cho học sinh THPT với môn thi ngày Bài toán 22.9 Vị trí nhà đường nối nhà học sinh A,B,C,D,E,F,G,H,K mô tả Hình 29.5 CMR: Bạn A đến nhà bạn K với điều kiện: Trên đường A phải ghé qua nhà bạn khác lần: Mỗi bạn qua thăm bạn khác lần ròi lại trở nhà Giải: Thực chất toán yêu cầu chứng minh đồ thị hình 123.5 Hamilton nối đỉnh A với đỉnh K Thật vậy, đồ thị có xích Hamilton (a) nối đỉnh A đỉnh K, phải qua tất đỉnh lại, đỉnh bậc 2: E, F, G nghĩa phải qua cạnh AE, ED, DF, FK, CG, GH Có khả xảy ra: Nếu a không qua đỉnh lần, đồng thời qua đỉnh E, F, G: Ngược lại, a qua đỉnh E, F, G phải qua đỉnh từ lần trở lên Như tới mâu thuẫn, với tính chất xích Hamilton nên không tồn xích Hamilton nối đỉnh A đỉnh K Bài toán chứng minh Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 175 TOÁN RỜI RẠC H B C G D A K F E Hình 22.5 Vị trí nhà đường nối nhà học sinh Đồ thị Hình 22.5 có chu trình Hamilton, chẳng hạn β: A, E, D, F, K, H, G, C, B, A nên em xuất phát từ vị trí mình, theo chu trình β, thăm bạn lần lại quay trờ nhà Bài toán 22.10 Trên bàn cờ 4x4 ô vuông Chứng minh mã qua tất ô, ô lần, trở ô ban đầu A1 X1 X2 A2 X8 B1 B2 X3 X7 B4 B3 X4 Giải: Coi ô bàn cờ đỉnh đồ thị, hai ô thực bước mã tương ứng với đỉnh kề đồ thị, ta cần chứng minh: đồ thị chu trình Hamilton Trước hết xét tất nửa yếu tố đồ thị Các đỉnh A1,A3 kề B2, B4 đỉnh A2, A4 kề với B1, B3 Do nửa yếu tố phải chứa hai chu trình không giao (A1,B2,A3,B4,A1); (A2,A4,B3,A2) Xem hai chu trình không giao đồ thị phận, chúng thành phần liên thông nửa yếu tố, nửa yếu tố đồ thị không liên thông nên chu trình Hamilton (theo khẳng định 4.3) A4 X6 X5 A3 22.1.4 Các toán liên quan đến đồ thị tô màu Những toán liên quan đến tô màu đồ dẫn đến nhiều kết lí thuyết đồ thị Khi đồ tô màu, hai miền có chung biên giới tô màu khác Mỗi đồ coi đồ thị phẳng Trong đồ, ta coi hai miền có chung đường biên hai miền kề (hai miền có chung điểm biên không coi kề nhau).Một đồ thường tô màu, cho hai miền kề tô hai màu khác Ta gọi cách tô màu đồ cách tô màu Để đảm bảo chắn hai miền kề màu trùng nhau, tô miền màu khác Tuy nhiên việc làm nói chung không hợp lý.Nếu Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 176 TOÁN RỜI RẠC đồ có nhiều miền khó phân biệt màu gần giống Do người ta dùng số màu cần thiết để tô đồ Một toán đặt là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô màu đồ Ta xét ví dụ sau: Bản đồ hình 14.1 bên có miền,nhưng cần có màu (vàng, đỏ, xanh) để tô đồ Chẳng hạn, màu vàng tô cho M1 M4, màu đỏ tô cho M2 M6, màu xanh tô cho M3 M5 Hình 22.6 Bản đồ có miền Các định nghĩa: Định nghĩa 22.1 Tô màu đồ thị vô hướng gán màu cho đỉnh cho hai đỉnh kề phải khác màu Một đồ thị tô màu bắng cách gán màu khác cho đỉnh Tuy vậy, với hầu hết đồ thị, ta tô màu chúng với số màu số đỉnh Vậy số màu cần thiết ? Định nghĩa 22.2 Số màu (sắc số) đồ thị số màu tối thiểu cần thiết để tô màu đồ thị Mỗi đồ mặt phẳng biểu diễn đồ thị, miền đồ biểu diễn đỉnh; cạnh nối hai đỉnh, miền biểu diễn hai đỉnh kề Đồ thị nhận cách gọi đồ thị đối ngẫu đồ xét Rõ ràng đồ mặt phẳng có đồ thị đối ngẫu phẳng Bài toán tô màu miền đồ tương đương với toán tô màu đỉnh đồ thị đối ngẫu cho hai đỉnh liền kề có màu, mà ta gọi tô màu đỉnh đồ thị Số màu cần dùng để tô màu đồ thị G gọi sắc số đồ thị G ký hiệu χ(G) Mệnh đề 22.1: Nếu đồ thị G chứa đồ thị đồng phôi với đồ thị đầy đủ Kn χ(G) ≥ n Mệnh đề 22.2: Nếu đơn đồ thị G không chứa chu trình độ dài lẻ χ(G) =2 Mệnh đề 22.3: Với số nguyên dương n, tồn đồ thị không chứa K3 có sắc số n Định lý 22.1:(Định lý màu Kempe-Heawood): Mọi đồ thị phẳng tô màu Định lý 22.2 (Định lý màu Appel-Haken): Mọi đồ thị phẳng tô Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 177 TOÁN RỜI RẠC màu Thuật toán tô màu cho đồ thị thỏa mãn điều kiện số màu Dữ liệu vào: đồ thị G = (V, E) Dữ liệu ra: đồ thị G = (V, E) có đỉnh gán màu Các bước: B1: Lập danh sách đỉnh đồ thị E’=[v1,v2,…,vn] xếp theo thứ tự bậc giảm dần: d(v1) ≥ d(v2) ≥ … ≥ d(vn) Đặt i = 1; B2: Tô màu i cho đỉnh danh sách Duyệt đỉnh tô màu i cho đỉnh không kề đỉnh tô màu i B3: Nếu tất đỉnh tô màu kết thúc, đồ thị tô i màu Ngược lại, sang bước B4 B4: Loại khỏi E’ đỉnh tô màu Sắp xếp lại đỉnh E’ theo thứ tự bậc giảm dần Đặt i = i + quay lại B2 Bài toán 22.11 Lập lịch thi Hãy lập lịch thi trường đại học cho sinh viên có hai môn thi lúc Có thể giải toán lập lịch thi mô hình đồ thị, với đỉnh môn thi, có cạnh nối hai đỉnh có sinh viên phải thi hai môn biểu diễn hai đỉnh Thời gian thi môn biểu thị màu khác Như việc lập lịch thi tương ứng với việc tô màu đồ thị Giải pháp: Biểu diễn đồ thị:  Mỗi môn học đỉnh  Nếu môn học dự thi sinh viên nối cạnh  Cách lập lịch tương ứng với toán tô màu đồ thị Ta xét ví dụ cụ thể: Lập lịch thi cho môn học cho sinh viên môn thi bị trùng Giả sử môn học đuợc đánh số từ tới cặp môn thi sau có chung sinh viên: 2, 3, 4, 7, 3, 4, 5, 7, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, Giải:  Biểu diễn đồ thị:  Mỗi môn thi đỉnh đồ thị Như đồ thị có đỉnh Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 178 TOÁN RỜI RẠC  Hai môn thi có sinh viên trùng nối với cạnh  Thực tô màu cho đồ thị thu ta thu số màu cần tô cho đồ thị số đợt thi cần tổ chức cho môn thi Ta có đồ thị vẽ sau: Hình 22.7 Lập lịch thi môn  Thực việc tô màu sau: B1:Tính xếp bậc đỉnh đồ thị theo chiều giảm dần ta có danh sách đỉnh xếp sau: E={2,3,7,1,4,6,5} B2:Bắt đầu từ đỉnh tô cho màu vàng.Sau duyệt tất đỉnh lại danh sách đỉnh không kề với tô cho đỉnh màu đỉnh 3.Nhìn vào đồ thị có đỉnh không kề với đỉnh nên tô màu vàng cho đỉnh B3:Loại khỏi E đỉnh tô màu nên E={2,7,1,4,6} B4: chọn đỉnh đỉnh bắt đầu tô màu xanh cho nó.Các đỉnh lại đồ thị 7,1,4,6,5.Tuy nhiên đỉnh kè với đỉnh nên màu xanh tô cho đỉnh mà B5: Loại đỉnh khỏi E E={7,1,4,6} B6: chọn đỉnh đỉnh bắt đầu.Tô màu nâu cho nó.Các đỉnh lại ta thấy có đỉnh không kề với đỉnh nên tô màu nâu cho đỉnh B7: xóa đỉnh tô màu khỏi E E={1,6} B8: E lại đỉnh không kề với nên tô màu cho chúng.Chọn màu đỏ Vậy với bước ta tô màu cho đồ thị tương úng cho số màu tô Hình biểu diễn đồ thị tương ứng Việc lập lịch thi việc tô màu đồ thị Vì số màu đồ thị nên cần có đợt thi Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 179 TOÁN RỜI RẠC Hình 22.8 Tô màu cho đồ thị lịch thi Ta có bảng lịch thi sau: Đợt Thi Môn Thi I 1,6 II III 3,5 IV 4,7 22.1.5 Bài toán Bài toán 22.11 Có đội bóng A, B, C, D lọt vào vòng bán kết giải đội mạnh khu vực Có dự đoán xếp sau: Đội B vô địch, đội D nhì Đội B nhì, đội C giải ba Đội A nhì, đội C tư Biết dự đoán đội Hãy cho biết kết xếp hạng đội Giải: Ta ký hiệu: B1: Đội B B2: Đội B nhì D2: Đội D nhì A2: Đội A nhì C3: Đội C ba C4: Đội C bốn Để biết kết xếp hạng đội ta vẽ sau: Hai nhánh ứng với dự đoán thứ Từ nhánh lại rẽ thành hai nhánh ứng với dự đoán thứ Tiếp tục rẽ nhánh dự đoán thử theo cách ta có cây: Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 180 TOÁN RỜI RẠC Hình 22.9 Kết xếp hạng đội Ta chọn đường từ “gốc ” O đến “ngọn” cạnh không mang chữ trùng Vì đội xếp hai hạng khác số trùng (vì hai đội xếp hạng hạng), đồng thời thứ tự xếp hạng đội thỏa mãn điều kiện đầu Đường tô nét đậm với dãy ký hiệu B1, C2, A3, D4 cho ta xếp hạng cần tìm 22.1.6 Bài toán ghép cặp Bài toán 22.12 Một đoàn du lịch gồm 2n (n ≥ 1) người Mỗi người quen (từ trước) với n người đoàn CMR xếp đoàn du lịch ngồi đoàn tầu, cho ghế có người quen nhau(từ trước ) ngồi cạnh Giải: Coi du khách đỉnh đồ thị Hai đỉnh kề hai du khách tương ứng quen (từ trước) Ta đồ thị với 2n đỉnh bậc đỉnh không nhở n Theo định lý 29.5 tồn cặp ghép n đỉnh vào n đỉnh, nên theo cặp ghép này, mà xếp du khách ngồi cặp ghế thỏa mãn yêu cầu: hai người quen (từ trước ) ngồi cạnh 22.1.7 Đồ thị Euler Bài toán 22.13 Đa diện lồi có k (k ≥ 5) mặt, mà từ đỉnh có cạnh Hai người chơi trò chơi sau: người tô đỏ mặt mặt lại Người thắng người tô mặt có chung đỉnh CMR tồn cách chơi mà người chơi trước luôn thắng Giải: Theo nhận xét đa diện lồi coi đồ thị phẳng Giả sử tất đa diện có bậc Khi đó: cạnh thuộc hai diện nên m=3k/2 Mặt khác từ đỉnh có cạnh, nên đỉnh chung diện, đồng thời diện có đỉnh nên số đỉnh số diện hay n=k Sử dụng định lý Euler: n-m+f=2 hay k- (3k/2) + k =2 suy k=4 Điều trái với giả thiết (k ≥ 5) Như có diện bậc không nhỏ (ký hiệu diện D1) Khi chơi sau: Bước 1: Gọi a người tô trước, tô diện D1 Ta nhận thấy rằng: diện D1 kề với không diện (vì diện bậc 4); hai diện kề với D1 qua đỉnh D1, kề (vì đỉnh có cạnh, có cạnh thuộc diện D1 nên cạnh lại phải chung cho diện ) Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 181 TOÁN RỜI RẠC Bước 2: Sau người thứ tô, chắn diện kề với D1 đồng thời kề liên tiếp đôi Không giảm tổng quát, giả sử D2, D3, D4 kề với diện lại A tô D3 Bước 3: Sau người thứ tô, chắn lại diện D2, D4 diện mà A phải tô để thắng 22.1.8 Các toán có tính tổng hợp Bài toán 22.14 Một quan cần tuyển người để lập thành nhóm có đủ lực biên dịch tài liệu từ thứ tiếng Anh, Pháp, Nga, Đức, Trung Quốc Bồ Đào Nha sang tiếng Việt Có người đến dự tuyển, người biết thứ tiếng số thứ tiếng người biết nhiều thứ tiếng chung thứ tiếng Biết thứ tiếng có người biết Hỏi xảy trường hợp tuyển chọn yêu cầu không? Tại sao? Giải: Ta cho tương ứng ngoại ngữ đỉnh: A,P, N, D, T, B người biết thứ tiếng biểu diễn cạnh nối đỉnh tương ứng với ngoại ngữ Do người biết ngoại ngữ nên ứng với người đồ thị có cạnh Mặt khác người biết nhiều thứ tiếng chung tức hai cạnh khác nối với cặp đỉnh Ngoài thứ tiếng có hai người biết đỉnh có bậc Bởi toán phát biểu sau: Cho đơn đồ thị có đỉnh cạnh bậc đỉnh không nhỏ Liệu xảy trường hợp cạnh đôi không kề hay không? Tại ? Trước hết ta thấy G liên thông G có đỉnh bậc đỉnh lớn không liên thông đỉnh cô lập thành tam giác rời G có cạnh suy g có chu trình(nếu không G có cạnh treo, điều trái với giả thiết) Mặt khác 7x2=14=6x2+2, nên G có đỉnh bậc (hoặc đỉnh bậc 4) đỉnh lại phải bậc 2, đến ta xét trường hợp sau: Trường hợp G có đỉnh A có bậc (hình a) với cạnh AB, AD, AN, AP Khi T kề với A mà kề đỉnh khác, P N chẳng hạn đỉnh lại B D phải kề Đến ta chọn cạnh BD, NT, PA không kề Trường hợp G có đỉnh bậc 3, giả sử A P Do G liên thông nên có đường từ A tới P Ta tạm bỏ đường (vẫn giữ đỉnh A P) Có thể xảy ra: G không liên thông Như ta hai chu trình (còn gọi sơ cấp) phân biệt, chu trình gồm cạnh Ta chọn cạnh AP hai cạnh không kề với TB ND (hình b) G liên thông Khi ta chu trình sơ cấp (vì đỉnh có bậc 2) Ta có đường từ A đến P (một đường tạm bỏ, hai đường theo chu trình), đường ngắn có độ dài (hình c) độ dài (hình d: APT ADB) Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 182 TOÁN RỜI RẠC Trên hình c chu trình độ dài luôn chọn cạnh kè chẳng hạn AD, PT, BN Trên hình d việc chọn cạnh thuộc đường ngắn từ A đến P hai cạnh không kề với chu trình sơ cấp lại AD, TB, NB, DP, AT, NB Vậy trường hợp ta tìm cạnh đôi kề A P T T N A B P N D B D Hình 22.10.b Hình 22.10.a B B N T N T P A A D P D Hình 22.10.c Hình 22.10.d Hình 22.10 Tuyển chọn biên dịch viên Bài toán 22.15 Một tổ học sinh lớp 10 chuyên toán có 11 học sinh Buổi họp tổ vào dịp đầu năm học, bạn tổ trưởng phát điều thú vị bạn tổ quen bạn khác Ngay bạn A đứng lên bác bỏ phát Vậy hai bạn ý nói ? Vì ? Giải: Giả sử bạn tổ trưởng nói Khi cho tương ứng đỉnh đồ thị bạn tổ hai bạn quen có cạnh nối đỉnh tương ứng Dễ thấy bậc đỉnh Do số cạnh đồ thị 11x3/2 Phép chia có thương không nguyên, phát tổ trưởng số người quen bạn tổ không dẫn đến bạn A nói 22.2 Duyệt rộng mảng hai chiều Trong số trường hợp, đơn cử toán robot xén cỏ, lưới ô vuông, hay toán bàn cờ, đưa toán đồ thị(như phần 29.2) ta thấy số đỉnh đồ thị tăng lên nhanh theo số ô cỏ-hoa hay tăng theo kích thước bàn Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 183 TOÁN RỜI RẠC cờ Một cách giải khác, ta duyệt mảng chiều Khi tên đỉnh (i,j) tương ứng với chiều Thậm chí, số trường hợp, ta duyệt mảng chiều, với tên đỉnh đồ thị (i,j,k) tương ứng với chiều(bài toán dế) Bây ta xét toán duyệt mảng chiều sau: Bài toán 22.16 robot Cho lưới ô vuông số có đặt vật cản Các ô lại trống Từ ô lưới robot đến ô khác theo quy tắc cho sẵn theo toán đặt (có thể đến ô chung cạnh, đến ô nằm đường chéo theo kiểu mã…) Yêu cầu tìm đường ngắn cho robot từ ô (xp1, xp2) đến ô (kt1; kt2) Phân tích toán Để trình bày toán đơn giản ta giả sử quan hệ kề ô lưới có chung cạnh Thuật toán hoàn toàn giống với thuật toán duyệt chiều rộng đồ thị bình thường Ta coi ô (i,j) lưới đỉnh Tuy nhiên có khác biệt lớn duyệt đỉnh kề với ô (i.j) biểu diễn quan hệ kề cách khó khăn Và để giảm bớt thời gian tính toán người ta đưa cách biểu diễn liệu qua hai mảng dh, dc Từ ô đến ô kề với ta xác định hướng Ví dụ: Theo quan hệ kề xác định từ ô (i,j) lưới đến ô: (i,j + 1); (i,j - 1); (i + 1; j); (i - 1; j ) Như ta quy ước hướng từ ô i, j đến ô khác hình vẽ: (i - 1; j ) hướng (i,j - 1) (i,j + 1) (i,j) hướng hướng (i + 1; j) hướng Hình 22.11 Hướng di chuyển robot Như ta quy định hướng biểu h, h = 1,2,3,4 - đh [h] độ tăng giảm số hàng ô kề với ô (i,j) - dc [h] độ tăng giảm số cột ô kề với ô (i,j); Đối với toán cụ thể mảng dh dc cố định thay đổi Khi duyệt đỉnh kề ô (i,j) ta cần duyệt tất hướng để tới Trong trường hợp mảng dh dc khai báo sau: int [] dh = {0,-1,0,1}; int[] dc = {1,0,-1,0}; Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 184 TOÁN RỜI RẠC Một thay đổi mảng trước mảng hai chiều Giá trị truoc[i,j] đánh dấu hướng để từ ô phía trước tới ô (i,j) Do lật ngược lại ta phải thay đổi hướng góc 1800 Vì phải coi đỉnh ô nên hàng đợi q duong phải thay đổi phần cài đặt Chú ý không bên lưới ta coi bên lưới đặt vật cản => Biểu diễn ma trận a[i,j] a[i,j] = ô vật cản; a[i,j] = ô có vật cản 22.3 Bài toán đám cưới vùng quê Có m chàng trai vùng quê Đối với chàng trai ta biết cô gái mà vừa ý Hỏi tổ chức đám cưới chàng trai sánh duyên với cô gái mà vừa ý Ta xây dựng đồ thị với đỉnh biểu thị chàng trai cô gái, cung biểu thị vừa ý chàng trai với cô gái Khi ta thu đồ thị hai phía Ví dụ 22.1 Có chàng trai { T1, T2, T3,T4} cô gái { G1, G2, G3,G4, G5} Sự vừa ý cho bảng sau Chàng trai Các cô gái mà chàng trai ưng ý T1 G1, G4, G5 T2 G2 T3 G2, G3,G4 T4 G2, G4 Đồ thị tương ứng cho hình 30.1 Hình 22.12 Mạng tương ứng với toán đám cưới vùng quê Đưa vào điểm phát s điểm thu t Nối s với tất đỉnh biểu thị chàng trai, nối t với tất đỉnh biểu thị cô gái Tất cung đồ thị có khả thông qua Bắt đầu từ luồng 0, ta tìm luồng cực đại mạng xây dựng theo thuật Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 185 TOÁN RỜI RẠC toán ford-Fulkerson Từ định lý tính nguyên, luồng cung số Rõ ràng luồng cực đại đồ thị có giá trị Vmax = m, toán có lời giải, cung với luồng cách tổ chức đám cưới thoả mãn điều kiện đặt Ngược lại, toán có lời giải Vmax = m Bài toán đám cưới vùng quê trường hợp riêng toán cặp ghép đồ thị hai phía mà để giải xây dựng thuật toán hiệu 22.4 Bài tập Bài toán luồng cực đại có nhiều ứng dụng việc giải toán tổ hợp Khó khăn phải xây dựng mạng tương ứng cho việc tìm luồng cực đại tương đương với việc giải toán tổ hợp đặt Mục giới thiệu số toán Khoa Công nghệ Thông tin - ĐHSPKT Hưng Yên Trang 186 ... thấy khóa học vô khó khăn sở toán học modul toán học rời rạc Toán học rời rạc toán tính toán Khoa học máy tính đại xây dựng hầu hết dựa toán học rời rạc, đặc biệt toán tập hợp lý thuyết đồ thị... Tại học toán rời rạc 1.3 Toán học rời rạc nghiên cứu 10 1.4 Học toán rời rạc 12 1.5 Toán rời rạc ứng dụng 13 BÀI 2: Logic mệnh đề (propositional... sinh viên muốn học thuật toán phải cần tảng toán học rời rạc chắn Bởi vậy, hầu hết trường đại học, môn toán học rời rạc bắt buộc với sinh viên bậc đại học Toán học rời rạc toán giới thực Nhiều sinh