Các bài toán về tam giác đặc sắc

TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐẶC SẮC LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp em học tập ôn luyện thi đạt kết tốt nhất, Trung tâm TỐN THẦY BẢO giới thiệu đến thầy em chuyên đề toán tam giác đặc sắc Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để biên soạn chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán toán tam giác thường kì thi gần Chun đề gồm phần: • Hệ thơng kiến thức tam giác • Một số kiến thức nâng thường áp dụng • Các thí dụ minh họa • Bài tập tự luyện • Hướng dẫn giải Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề tốn tam giác giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐẶC SẮC I HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM GIÁC Tổng ba góc tam giác + Tổng ba góc tam giác 1800 + Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ + Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác + Định lí: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với + Nhận xét: Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với Hai tam giác a Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng b Các trường hợp hai tam giác • Trường hợp 1: Tam giác ABC A’B’C’ có AB = A' B'; BC = B'C'; CA = C'A' tam giác ABC A’B’C’ • Trường hợp 2: Tam giác ABC A’B’C’ có AB = A' B'; A = A'; CA = C' A' ABC A’B’C’ • Trường hợp 2: Tam giác ABC A’B’C’ có B = B'; BC = B'C'; C = C' ABC A’B’C’ c Các trường hợp tam giác vng • Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng • Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng (g.c.g) • Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng • Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Quan hệ yếu tố tam giác a Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác • Trong tam giác góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 • Trong tam giác cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn b Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu • Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn • Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó: - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn - Đường xiên lớn có hình chiếu lớn - Nếu hai đường xiên hai hình chiếu nhau, ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên c Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác • Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại • Hệ quả: Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại • Nhận xét: Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại Các đường đồng quy tam giác a Ba đường trung tuyến tam giác • Định nghĩa: Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Đôi đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC • Tính chất: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm, điểm gọi trọng tâm Trọng tâm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh b Ba đường phân giác tam giác • Định nhĩa: Trong tam giác ABC tia p.g góc A cắt cạnh BC điểm M, đoạn thẳng AM đglà đường phân giác tam giác ABC( ta gọi đường thẳng AM đường p.g tam giác) • Tính chất: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác c Ba đường trung trực tam giác • Định nghĩa: Trong tam giác đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác • Tính chất: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 d Ba đường cao tam giác • Định nghĩa Trong tam giác đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác • Tính chất: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Tam giác đồng dạng a Định lí Talets tam giác • Tỉ số hai đoạn thẳng + Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo + Tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo • Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A¢B¢ C¢D¢ có tỉ lệ thức: AB A¢B¢ AB CD hay = = CD C¢D¢ A¢B¢ CÂDÂ nh lớ Talột tam giỏc Nu mt đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ • Định lí Talets đảo: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác • Hệ quả: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho • Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng song song với cạnh cắt phần kéo dài hai cạnh lại b Tính chất đường phân giác tam giác: Trong tam giác đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn Chú ý: Định lí tia phân giác góc ngồi tam giác c Tam giỏc ng dng nh ngha: Tam giỏc AÂBÂCÂ gi đồng dạng với tam giác ABC A¢ = A, B¢ = B, C¢ = C A¢B¢ B¢C¢ CÂAÂ = = AB BC CA Kớ hiu: DA' B' C' ∽ DABC • Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 • Các trường hợp đồng dạng hai tam giác + Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với + Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với + Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với • Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông + Trường hợp 1: Nếu tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với + Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với + Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng với • Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: + Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng + Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng + Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng + Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng + Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng Hệ thức lượng tam giác a Hệ thức liên hệ cạnh, đường cao hình chiếu tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH + BC2 = AB2 + AC2 + AB2 = BC.BH AC2 = BC.CH + AH2 = BH.CH + AB.AC = BC.AH + 1 = + 2 AH AB AC b Tỉ số lượng giác góc nhọn Định nghĩa: Cho tam giác ABC vuông A, ta định nghĩa tỉ số lượng giác góc B sau Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 sin B = AC AB AC AB ; cos B = ; tan B = ; cot B = BC BC AB AC Chú ý: • Cho góc nhọn a Ta có < sin a < 1; < cos a < • Nếu sin a = sin b cos a = cos b tan a = tan b cot a = cot b a = b với a ; b hai góc nhọn c Tỉ số lượng giác hai góc phụ Cho hai góc nhọn a ; b có a + b = 90 0, ta có sin a = cosb , cos a = sin b , tan a = cot b , cot a = tan b d Một số hệ thức lượng giác tan a = sin a cos a cot a = sin2 a + cos2 a = cos a sin a + tan a = tan a cot a = 1 cos a + cot a = sin a e Liên hệ cạnh góc tam giác vng Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c Ta có b = a.sin B = a.cos C c = a.sin C = a.cos B b = c.tan B = c.cot C ; c = b.tan C = b.cot B II MỘT SỐ KIẾN THỨC NÂNG CAO THƯỜNG ÁP DỤNG Các công thức đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác tam giác Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c p = a+b+c Gọi h a ; h b ; h c , m a ; m b ; m c l a ; l b ; l c đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác tương ứng với cạnh a, b, c • Cơng thức đường cao = p ( p - a )( p - b )( p - c ) a hb = p ( p - a )( p - b )( p - c ) hc = b p ( p - a )( p - b )( p - c ) b • Cơng thức đường trung tuyến 2b2 + 2c - a m = a 2a + 2c - b2 m = b 2c + 2b2 - c m = c Từ hệ thức học sinh tiếp tục suy hệ thức sau: m a2 + m 2b + m c2 = Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO a + b2 + c ( ) Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 • Cơng thức đường phân giác A = 2p ( p - a ) = bcp ( p - a ) la = b+c b+c ( b + c ) cos A2 B 2ac.cos = 2p ( p - b ) = acp ( p - b ) lb = a+c a+c ( a + c ) cos B2 2bc.cos la = 2ab.cos a+b C = 2p ( p - c ) ( a + b ) cos A2 = abp ( p - c ) a+b Các cơng thức lượng giác tam giác • Định lí cosin: Cho tam giác ABC nhọn bất kì, ta có: AB2 = AC + BC - 2AC.BC.cos C BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos A AC = AB2 + BC - 2AB.BC.cos B Hệ quả: Với tam giác ABC nhọn thì: cos A = AB2 + AC2 - BC2 2AB.AC cos B = AB2 + BC2 - AC2 2AB.BC • Định lý sin: Trong tam giác ABC nhọn cos C = AC2 + BC2 - AB2 2AC.BC a b c = = = 2R , với R bán kính đường sin A sin B sin C tròn ngoại tiếp tam giác ABC Các định lí hình học tiếng tam giác • Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, kỷ I sau công nguyên) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ nằm đường thẳng BC, CA, AB cho chúng khơng có điểm nào, có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi A'B B' C C' A =1 A' C B' A C' B • Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ thuộc đường thẳng BC, CA, AB Khi AA’, A’, B’, C’ thẳng hàng BB’, CC’ đồng quy A'B B' C C' A = A' C B' A C' B Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 II CÁC THÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Cho tam giác ABC có ABC = 300 BAC = 1300 Gọi Ax tia đối tia AB, đường phân giác góc ABC cắt phân giác CAx D Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD E So sánh độ dài AC CE Lời giải Gọi Cy tia đối tia CB Dựng DH, DI, DK vng góc với BC AC, AB Từ giả thiết ta suy DI = DK; DK = DH nên C I suy DI = DH (CI nằm tia CA điểm I thuộc tia đối CA DI > DH ) Vậy CD tia phân giác ICy ICy B A H y D K E x góc tam giác ABC A + B 300 + 1300 Suy ACD = DCy = = = 800 2 Mặt khác ta có CAE = 180 - 130 = 50 Do CEA = 50 nên DCAE cân C Vậy ta CA = CE Ví dụ Cho tam giác ABC có đường phân giác BD CE cắt I ID = IE Chứng minh B = C hay B + C = 120 Lời giải Qua I kẻ IH ^ AB KI ^ AC Do I giao điểm hai đường phân giác nên IH = IK Lại có ID = IE nên DIHE = DIKD Suy ADB = BEC Ta xét trường hợp A KD E H I sau: + Trường hợp K Ỵ AD; H Ỵ BE ta có B BEC = A + C ( BEC góc ngồi DAEC ) 1 Và ADB = B + C ( ADBlà góc ngồi DBCD ) Từ ta A + C = C + B 2 Suy A = C 1 C + B nên 2A = B + C, ta B + C = 120 2 + Trường hợp K Ỵ DC; H Ỵ AE , tương tự ta có B + C = 120 + Trường hợp K Ỵ DC; H Ỵ BE , tương tự ta B = C + Trường hợp K Ỵ DA; H Î AE, tương tự ta B = C Vậy bốn trường hợp ta ln có B = C B + C = 120 Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Ví dụ Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Trên đoạn AD lấy điểm E F cho ABE = CBF Chứng minh ACE = BCF Lời giải Vẽ K, H, I cho BC, AC, AB đường trung trực KF, EH, EI Khi ta có HCE = 2ACE KCF = 2BCF Ta phải chứng minh ACE = BCF Ta có AI = AE = AH (vì AB đường trung trực EI) nên tam giác AHI cân A, mà AE phân giác nên AD đường trung trực IH, IF = FH (1) A H I E F B D C K Ta lại có BK = BF; IBE = FBK; BI = BE nên DBEK = DBIF , suy EK = FI (2) Từ (1) (2) suy EK = FH Xét tam giác HCF ECK ta có HC = EC Kết hợp với CF = CK EK = FH nên ta DHCF = DECK suy HCF = ECK Do ta HCE + ECF = KCF + FCE nên HCE = KCF Suy ACE = BCF Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M, N trung điểm AB, AC Kẻ NH ^ CM H Kẻ HE ^ AB E Chứng minh tam giác ABH cân HM phân giác góc BHE Lời giải Từ A kẻ AK ^ CM K AQ ^ HN Q Hai tam giác vng có MA = NC = AB A N E ACH = MAK nên DMAK = DNCH Suy AK = HC M Ta lại có DABK = DACH nên BKA = AHC Hai tam Q K H C giác vuông AQN CHN có NA = NC ANQ = HNC nên DANQ = DCHN Suy AQ = CH Từ suy AK = AQ nên HA tia phân giác góc B KHQ Do ta AHQ = 450 Þ AHC = 900 + 450 = 1350 Þ AKM = 1350 Từ AKB + BKH + AKH = 3600 Þ BKH = 1350 Tam giác vng AKH có KHA = 450 nên vng cân K suy KA = KH Xét hai tam giác BKA cà BKH có BK chung; BKA = BKH KA = KH Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Do DBKA = DBKH suy KHB = MAK AB = BH hay tam giác BAH cân B Ta có KHB = MAK KE // CA nên ACH = EHM mà ACH = MAK suy EHM = MHB nên HM tia phân giác EHB Ví dụ Tam giác ABC có B = 600 ; C = 300 Lấy điểm D cạnh AC Điểm E cạnh AB cho ABD = 200 ; ACE = 100 Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE Lời giải Tam giác ABC có B = 600 ; C = 300 nên B A = 90 Do I CEA = 900 - 100 = 80; BDA = 900 - 200 = 700 Ta có ( E K ) CKB = DKE = 1800 - KCB + CBK = 1200 D C A Gọi I giao điểm hai đường phân giác góc BCK KBC nên CKI = BKI = 600 Do KEA = BKE + KBE nên BKE = KEA - KBE = 80 - 20 = 60 Suy DIKB = DEKB suy KI = KE Tương tự ta chứng minh DIKC = DDKC suy KI = KD 1800 - 1200 = 300 Do KD = KE nên tam giác KDE cân K suy KDE = KED = Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có A = 20 0, điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh bên AB, AC cho BCM = 50 CBN = 60 Tính số đo góc MNA Lời giải Trên cạnh AB lấy điểm D cho AN = AD , DN //BC A AND = 80 Ta tính DNM Gọi I giao điểm BN CD tam giác IBC IDN tam giác IBC = 60 tam giác ABC cân A Ta chứng minh MN tia phân giác DNB Thật vậy, tam giác BDC có ( D ) ( MDI = BDC = 180 - DBC + DCB = 180 - 80 + 60 ) = 40 M (1) Trong tam giác BMC có MBC = 800 ; MCB = 500 Þ BMC = 500 nên tam giác BMC cân B Do BM = BC mà tam giác BIC nên IB = BC suy MB = BI Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO B N I C Trang 10 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 CA BK nên ta AB,CA = BK.CN = CN AB BM BK BM - BK MK JN KM Từ ta JC.BM = BK.CN Suy , = = = = CN CJ CN - CJ NJ JC KB Do BI = CI nên từ kết hợp kết ta MP = NQ Do PMQN hình bình hành Suy nên ta AM = AN Bài 24 + Nếu A tam giác ABC ta có A = B = C = 600 3 nên ta ; cot B = ; cot C = 3 cot A + cot B + cot C = Suy cot A = P N H + Ta cần chứng minh cot A + cot B + cot C = tam giác ABC Thật vậy, tứ giác ANHP có B M C A + APH + PHN + HNA = 360 Þ A + PHN = 180 Suy NAP = NHC Chứng minh tương tự ta ABC = MHC; ACB = MHB Xét hai tam giác CMH AMB có CMH = AMB = 90 MCH = MAB CM HM = Þ CM.BM = AM.AH AM BM Chứng minh tương tự ta DANH ∽ DBNC nên ta HN.BC = AH.CN Do DCMH ∽ DAMB nên ta Tam giác NHC vuông N nên ta có cot NHC = Chứng minh tương tự ta cot B = HN HN suy cot A = CN CN HM HM ; cot B = CM BM Do ta HN HM HM HM HM HN + + CN CM CM BM BM CN HM ( HN.BM + HM.CN + HN.CM ) HM ( HN.BM + HN.CM + HM.CN ) = = CN.CM.BM CN.AM.HM HN ( BM + CN ) + HM.CN HN.BC + HM.CN AH.CN + HM.CN = = = CN.AM CN.AM CN.AM AM.CN = =1 CN.AM Suy cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = Mà ta ln có cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 70 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 ( cot A - cot B ) + ( cot B - cot C ) + ( cot C - cot A ) ³ Û ( cot A + cot B + cot C ) ³ ( cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A ) 2 2 Û cot A + cot B + cot C ³ Theo giả thiết ta có cot A + cot B + cot C = Suy bất đẳng thức xẩy dấu Hay cot A = cot B = cot C Û A = B = C Do ta giác ABC Bài 25 Ta có AOB = BOC = 120 A E nên ta AOC = 120 J D Suy OAC + OCA = 60 O Do A = 60 nên OAB + OAC = 60 F B P Suy OAB = OCA Xét hai tam giác OAB OCA có J C H OAB = OCA AOB = AOC = 120 OA OA Kéo dài PD lấy điểm E cho tứ giác ADOE = OB OC hình thoi, ba điểm B, O, E thẳng hàng Từ D kẻ DE ^ DH với H OB nên ta OH = OE Tương tự kẻ EF ^ DE với F OC nên ta DHFE hình chữ nhật OB OB OA OD OB OB OA OF Ta có suy BD//CE suy BF//HC = = = = = = OE OA OC OC OH OA OC OC Gọi I giao điểm HF BC, J giao điểm OI DE BF BI BF BO BO BI BO Theo định lí Talet ta có nên ta suy OI//EC = ; = = = HC CI CO HO EO CI EO Do ta IJ//BD Ta thấy IJ qua O DEFH hình chữ nhật nên IO = JO Nên ta DOAB ∽ DOCA , Suy PO qua trung điểm BD Bài 26 Trong tam giác vuông IAE IAF ta A có O ìïIAE + AIE = 900 ìïIAE + IBA + IAB = 90 Þí E F í 0 I ïỵIAF = AIF = 90 ïỵIAF = ICA + IAC = 90 ì 0 B ïïIAE + CBA + 45 = 90 Từ ta í ïIAF + BCA + 450 = 900 ïỵ 1 Do ta IAE + IAF + CBA + BCA = 90 Þ EAF + BAC = 90 Þ EAF = 450 2 ( C ) ìOE = OA Gọi O trung điểm AI, IEA = IFA = 90 nên ta í ỵOF = OA Do ta tam giác OAE OAF cân tạo O Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 71 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Suy EOF = EOI + FOI = 2EAO + 2FAO = 2EAF = 900 Do tam giác OEF cân O, từ ta Do ta có OE = OF = OI nên EF2 = OE2 + OF2 = 2OI2 Mà lại có O trung điểm AI nên ta EF = AI hay 2EF2 = AI 2 Bài 27 B Cách Trước hết ta chứng minh công thức sau 2cos2a = + cos2a với < a < 450 Thật vậy, xét tam giác AHM có a a AHM = 900 ; AMH = 2a nên ta C HM HM cos2a = = AM a Do + cos2a = + HM a + HM CM + HM HC = = = a a a a ỉ CH 2CH2 2CH 2CH CH Li cú cos a = ỗ = = = = ÷ BC.CH BC 2a a è AC ø Từ ta 2cos2a = + cos2a Áp dụng công thức ta 2 cos 150 = + cos30 = + 2+ 2+ 8+4 = Þ cos 150 = = = 2 16 6+ Áp dụng hẳng đẳng thức sin2 a + cos2a = 1, ta có ( 6+ ) 16 Þ cos150 = ( = 6- ) 2+ 26- = Þ sin150 = 16 16 6+ 6- Vậy ta cos150 = sin150 = 4 Cách 2: Dựng tam giác ABC có A = 90 ; B = 600 Giả sử AC = (đvđd) sin 150 = - cos2 150 = - Khi ta BC = 2AB = Kẻ đường phân giác AD, theo tính chất đường phân giác AD AB AD 3 = = Þ = Þ AD = = -3 CD BC AD + DC + 2+ tam giác ta có ( Theo định lí Pitago ta có BD2 = AB2 + AD2 Þ BD2 = + 12 + - 12 = 12 - Do BD = sin 150 = ( )= -1 ( ) - Ta có cos150 = ( )( ) AB = BD ( ) -1 = ) +1 2 = 6+ - 1+ AD -3 6- = = = BD 6 -1 ( ) Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 72 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 6+ 6- sin150 = 4 Bài 28 Đặt DE = AE = x; DF = AF = y Vậy ta cos150 = A Kẻ DI ^ AB; DK ^ AC Ta có H BI = BD.cos60 = 20 = 10 Trong tam giác BDI có 2 E DI = BD - BI = 20 - 10 = 10 Ta có EI = 50 - x , áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng DEI ta ( ) F K I ED2 = EI + ID2 = ( 50 - x ) + 10 G D B C Û x = 2500 - 100x + x + 300 Û x = 28 Lại có CK = CD.cos60 = 40 = 20 Trong tam giác vuông DKC có DK = DC2 - KC2 = 402 - 202 = 1200 = 20 Ta có FK = 40 - y, áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng DFK ta có ( DF2 = DK + FK = ( 40 - y ) + 20 ) Û y = 1600 - 80y + y + 1200 Û y = 35 Kẻ EH vng góc với AF, ta có AH = EA.cos60 = 28 = 14 Do ta HF = y - 14 = 35 - 14 = 21; EH = x.sin 600 = 28 = 14 (14 ) + 12 Ong tam giác vng EFH có EF = EH2 + FH2 = = 1029 = 21 Vậy độ dài cạnh tam giác DEF DE = 28; DF = 35; EF = 21 Bài 29 Lấy C’ đối xứng với B qua O Lấy điểm E’ thuộc tia OB cho OE' = OE Lấy F’ thuộc tia OC A E' cho OF' = OF Gọi giao điểm C B E’C F’C’ A’ Khi dễ thấy BE = E' C Q O E Nên ta DBEC = DCE' C' , suy C' N EBC = E' CC' nên ABC = A' CC' Tương tự ta có CF = C' F' Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO F' M F Trang 73 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Nên ta DBCF = DCC' F' , suy BCF = CC'F' nên ACB = A' C' C Xét hai tam giác DABC DA' CC' có ABC = A' CC', BC = CC' ACB = A' C' C Từ ta DABC = DA' CC', suy DOBA = DOCA' Nên ta AO = A' O AOB = A'OC Þ AO ^ A'O Đặt OB = OC = x; OE = OE' = y Gọi Q giao điểm OA’ BC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác E’BC với cát tuyến OA’Q ta Từ ta có A'C = AB, A'E' = AE QC x A'E' =1 QB y A'C A ' E' AE AN = = A ' C AB AC QC x AN = QB y AC Gọi Q’ giao điểm NC với BC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến Q' C MB NA Q' C FC NA MNQ’ ta = =1 Q' B MA NC Q' B FA NC Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AEC với cát tuyến FOE’ ta suy FC BE x CN x = = FA BA y CA y Q'C x NA Do ta =1 Q' B y AC Q'C x NA QC x AN Q'C QC Từ ta suy , nên ta hai điểm Q Q’ trùng = Þ = Q' B y AC QB y AC Q' B QB Điều dẫn đến ba đường thẳng BC, A’O MN đồng quy O Do ta AO vng góc với OQ Bài 30 Gọi C D chân đường thẳng góc kẻ từ A đến O Do ta OB từ B đến OA Ta thấy trực tâm tam giác OPQ phải nằm DC Thật vậy, từ P kẻ đường cao tam giác OPQ D cắt DC H, ta chứng minh đường cao thứ hai kẻ từ Q C H Q P tam giác OPQ qua H Vì MP//BD nên theo định lí Talets ta có AM AP = BM DP Ta có PH/ AC nên theo định lí Talets ta có Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO A M B AP CH = DP DH Trang 74 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Cũng MQ//AC nên theo định lí Talets ta So sánh tỷ lệ ta có AM CQ = MB BQ CH CQ Theo định lí Talets đảo suy QH//BD = DH BQ Từ ta QH vng góc với OP Do QH đường cao thứ hai tam giác OPQ Vậy tập hợp điểm H trực tâm tam giác OPQ đoạn thẳng DC Giả sử M nằm đường A'B'//AB với A' OA B' OB tập hợp điểm H đoạn thẳng D'C'//DC Vậy M di chuyển bên tam giác OAB điểm H miền bên tam giác ODC Bài 31 Dựng tam giác ABM Khi ta có RAM = RBM = 450 ,AMR = BMR = 300 , A ARM = BRM = 1050 Do ta Q 450 M R DQAC ∽ DRAM nên ta 300 150 QA CA = RA MA B 45 300 Điều dẫn đến DQRA ∽ DCMA, ta C P QR RA QRA = CMA = CM MA Hoàn toàn tương tự ta có DPBC ∽ DRBM nên ta Từ suy DPRB ∽ DCMB nên ta Từ PB CB = RB MB PR RB PRB = CMB = CM MB PB CB PR RB , để ý RA = RBvà MA = MB nên ta QR = PR = = RB MB CM MB Từ QRA = CMA PRB = CMB ta QRA + PRB = AMB = 600 Nên ta suy QRP = 900 Bài 33 Vẽ đường cao BH tam giác ABC Do A đường phân giác BD cạnh bên tam giác ABC H nên tam giác BAD cân B Từ ta thấy BH D đường cao đồng thời đường trung tuyến tam giác BAD Do ta AH = AD Tam giác ABC có BD đường phân giác nên ta có B C DA AB b = = DC BC a Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 75 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 DA DC DA + DC AC b b2 = = = = Þ DA = Từ ta b a a+b a+b a+b a+b Tam giác ABh vuông H nên theo định lí Pitago ta AB2 = BH2 + AH2 Þ BH2 = AB2 - AH2 AD2 2 Nên ta BH = b Tam giác BCH vng H nên ta có BC2 = BH2 + CH2 Do suy BH = BC - CH - BC - ( AC - AH ) 2 Hay ta BH2 = a - b2 + b,AD - 2 ỉ AD = a -ỗb2 ữứ ố 2 AD2 AD2 AD2 2 = a - b + b,AD Û b2 - a = b.AD - b2 Từ kết ta b 4 b b2 a-b b Thay DA = vào đẳng thức ta ( b + a )( b - a ) = b - b2 Û = a+b a+b ab (a + b) Từ ta suy 1 b - = b a ( a + b )2 Bài 34 Vẽ tam giác DAE vuông cân E cho E D A nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ AB Ta có ADB = ADE + EDB = 90 + EDB Mà ta có ADB = 900 + ACB nên ta EDB = ACB AC BC Mà ta có AD = DE nên từ ta = AD BD AD BC = DE BD E D B C Xét hai tam giác ABC EBD có EDB = ACB AD BC nên ta DABC ∽ DEBD = DE BD AB BC AB BE Từ ta ABC = EBD = Þ = BE BD BC BD Từ ABC = EBD ta suy DBC = ABE Xét hai tam giác ABE CBD có DBC = ABE AB BE nên DABE ∽ DCBD = BC BD AB AE = Þ AB.CD = AE.BC BC CD Tam giác DEA vuông D nên theo định lí Pitago ta có AE2 = AD2 + DE2 = AD2 + AD2 = 2AD2 AC BC Do ta AE = 2AD Mà ta có nên AD.BC = AC.BD = AD BD Do ta AB.CD = AE.BC = 2AD.BC = 2AD.BD hay AB.CD = 2AC.BD Từ suy Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 76 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Bài 35 C1 Giả sử hai tam giác ABC A B1C1 A R nằm chồng lên cho lục giác S MNPQRS kí hiệu hình vẽ Q Các góc hai tam giác ABC A B1C1 B M hai góc đối đỉnh nên ta nhận A1 thấy tam giác P N B1 C A1MN; B1PQ; C1RS; CPN; ARQ; BMS đồng dạng với Từ ta MN PQ RS NP QR SM = = = = = A1M + A1N B1P + B1Q C1R + C1S CN + CP AQ + AR BS + BM Theo tính chất dãy tỉ số ta MN + PQ + RQ NP + QR + MS = A1M + A1N + B1P + B1Q + C1R + C1S CN + CP + AQ + AR + BM + BS Đặt độ dài cạnh tam giác a x = MN + PQ + RQ; y = NP + QR + MS y x Khi ta = Û x ( 3a - y ) = y ( 3a - x ) Û ( x - y )( 3a - x - y ) = 3a - y 3a - x Mặt khác ta có 3a = BC + CA + AB = ( BM + MN + NC ) + ( CP + PQ + QA ) + ( AR + RS + SB ) = ( CN + CP ) + ( AQ + AR ) + ( BS + BM ) + ( MN + PQ + RS ) > ( NP + QR + MS ) + ( MN + PQ + RS ) = y + x Hay ta 3a > x + y Þ 3a - x - y > Do từ đẳng thức ta suy x = y hay MN + PQ + RS = NP + QR + SM Bài 36 Ta xét trường hợp sau A A E E F B M B C I F C M G D + Trường hợp 1: Nếu tam giác ABC vng A Khi E nằm tia AB F nằm tia AB Hai tam giác vuông AEF ABC nên ta BC = EF Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 77 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Mà M trung điểm BC nên ta 2AM = BC ta EF = 2AM Mặt khác ta lại có MAE = ACM; ABB = BAM = AEF ABM + MAE = 90 Do ta MAE + AEF = 90 nên ta EF ^ AM + Trường hợp 2: Nếu tam giác ACB có BAC < 90 Khi tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD Nối B với D, từ B kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt AD G Xét hai tam giác AMC DMB có AM = MD, AMC = BMD, BM = CM Do ta DAMC = DDMB , suy CAM = BDM AC = BD Ta có AE ^ AB, BG ^ AB nên ta BG//AE suy EAM = BGA Mà ta có BGA = GBD + BMD EAM = EAC + CAM Do ta EAC = GBD Ta có AE = AB, EAF = ABD = 1800 - BAC, BD = AF = AC nên DEAF = DABD Từ suy EF = AD mà AD = 2AM nên ta EF = 2AM Cũng DEAF = DABD nên ta có AEF = ABD Mà ta có BAD + DAE = 90 nên AEF + DAE = 90 0, suy AM ^ EF + Trường hợp 3: Nếu tam giác ACB có BAC > 90 Chứng minh hoàn toàn tương tự ta EF = 2AM EF ^ AM Vậy toán chứng minh Bài 37 Trước hết ta phát biểu hai bổ đề: C Bổ đề 1: Trong tam giác ABC ta ln có AB BC CA (Định lí sin) = = sin C sin A sin B A' B' Bổ đề 2: Trong tam giác ABC ta ln có AB2 = BC2 + AC2 - 2BC.CAcosC(Định lí cosin) Giả sử = AB < AC < BC Gọi M trọng tâm M H E K Q C' A B F tam giác kẻ A'E ^ AC, B'Q ^ AB Khi A’E đường trung bình tam giác BCF Do A' E = BF AA' tam giác vuông AEA’ nên ta A' AE = 300 Tương tự = 2 B' BA = 30 Do A’B’//AB nên ta có A' B'M = B' BA = B' AM = 30 ta có DB' A' M ∽ DAA'B' Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 78 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 A' B' AA' = Þ A' B'2 = AA'.A' M A' M A' B' A' B' A' M A' M Do ta có A' B'2 = 3A' M Û = = sin A' B' M 2 Suy Như áp dụng định lí sin cho tam giác A’MB’ ta A'MB' = 60 A' MB' = 120 + Nếu A'MB' = 60 ta có B' A' A = A' AB = 900 , B' BA = 300 nên tam giác BAB’ cân A Do ta AB' = AB = Từ ta AC = 2AB = 2; BAC = 1200 21 21 Do ta CC' = Tam giác AA’B’ vng A’ nên ta AA '2 = AB'2 - A ' B'2 = Trong tam giác AA’B vng A có AH đường cao nên Áp dụng định lí cosin cho tam giác ACC’ ta C' C = AC + AC'2 - 2AC.AC'.cos120 = AA'.AB AA'.AB 21 = = 2 A' B AA' + AB CC' Do ta = AH AH = + Nếu A' M ' B = 120 , tam giác A’MB’ cân M, tam giác AMB cân M Suy ta có AA' = BB' dẫn đến AC = BC , điều mâu thuấn với giả thiết tam giác Abc không cân Do khả không xẩy CC' Vậy ta = AH Bài 38 + Điều kiện cần: Khi tam giác ABC H ta A tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1A A A1 Thật vậy, tam giác ABC AA’, BB’ CC’ đường trung trực cạnh K C' B1C1 , C1A1 , A1 B1 tam giác A1A A Mặt khác ta có tam giác A1A A nên H giao điểm ba B' H L B1 B C1 A' C đường trung trực đồng tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1A A + Điều kiện đủ: Khi H tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1A A tam giác ABC Thật vậy, H trực tâm tam giác ABC nên tứ giác BA'HC', CA'HB', BCB'C' nội tiếp Do ta C' A'H = C' BH = HCB' = HA' B' hay A’H phân giác C' A' B' Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 79 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Hồn tồn tương tự ta có B’H phân gốc góc A' B'C' Do H tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ Ta có C ' A 1// HB' B' A1// HC' tứ giác A1 B' HC' hình bình hành Hồn toan tương tự ta C'HA' B1 hình hình hành Do ta suy tứ giác A1A' B' B1 hình bình hành nên ta A B1// A' B' Tương tự ta có B1C1 // B'C' Gọi K L giao điểm A B1 với B'C' B1C1 với A' B' Khi ta tứ giác B' KB1L hình bình hành Trong hình bình hành B' KB1L đường phân giác góc B' B1 song song trùng Mà hai đường phân giác lại có giao điểm chung H(do H tân đường tròn nội tiếp hai tam giác A’B’C’ A1A A ) nên hai đường phân giác trùng nhau, ba điểm B', H, B1 thẳng hàng Do BB’ vng góc với AC A’C’ nên ta AC//A’C’ Mà ta lại có tứ giác AC' A' C nội tiếp nên ta BAC = BC' A' = BCA Tương tự ta ABC = ACB Do tam giác ABC Bài 39 Trên AC lấy điểm N cho ABN = 40 , ta A có ABN = BAN = 400 Do tam giác ABN cân N Do D ta BNC = 80 Do ta suy BNC = BCN = 800 E nên tam giác BCn cân B, suy BN = BC Trong tam giác BFC có FBC = 400 ; FCB = 700 nên BFC = 70 N B F C M Từ ta tam giác BCF cân B, suy BC = BF Như ta BN = BF Kéo dài BC lấy điểm M cho AB = AM , tam giác ABM Xét tam giác ABN tam giác MBF có AB = AM, BN = BF ABN = BAN = 400 Nên ta DABN = DMBF , mà ta có tam giác ABN cân N nên tam giác MBF cân F, ta FM = FB Từ AB = AM FM = FB suy AF đường trung trực MB hay AF vuông góc với BC Sưu tầm biên soạn TỐN THẦY BẢO Trang 80 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Bài 41 B ìïEDC = BAC = 90 (gt) a) Xét DEDC DBAC có í ïỵC chung EC BC Suy DEDC ∽ DBAC nên ta = DC AC ì EC BC = ï Xét DBEC DADC có í DC AC Þ ïC chung ỵ DBEC ∽ DADC H G M D A E C Suy BEC = ADC Mà AH = HD nên ADH = 450 Þ ADC = 1350 Þ BEC = 1350 Þ AEB = 450 Do DAEB vng cân A Từ ta tính BE = m ìïAHB = CAB = 900 (gt) b) Xét DAHB DCAB có í Þ DAHB DCAB B chung ùợ AB BH ị = ị AB2 = BH.BC Þ 2AB2 = 2BH.BC BC AB BE BH BM BH Þ BE = 2BH.BC Þ = Þ = 2BC BE BC BE ì BM BH = ï Xét DBHM DBEC có í BC BE Þ DBHM DBEC ùMBH chung ợ ị BHM = BEC = 1350 Þ AHM = 450 ìïAHC = BAC = 900 (gt) c) Xét DAHC DBAC có í Þ DAHC ∽ DBAC ïỵC chung AH AB Do ta Mặt khác DAEB vng cân A có AM trung tuyến AM = HC AC GB AB phân giác hay AG đường phân giác DABC Suy Từ ta có: = GC AC GB AH = Þ GB.HC = AH.GC Þ GB.HC = AH ( BC - GB ) GC HC Þ GB.HC = AH.BC - AH.GB Þ AH.GB + GB.HC = HD.BC Þ GB ( AH + HC ) = HD.BC Từ ta GB HD = BC AH + HC Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 81 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 Bài 42 A A M N E F' E' B Q B C P H' F H G' G C (c - x) MN AM ax MQ = BM sin 60 = = Û MN = BC AB c ax ( c - x ) a Suy diện tích MNPQ là: S = = x (c - x) 2c 2c a) + Đặt AM = x (0 £ x £ c) Ta có a+b ỉa+bư + Ta có bt ng thc ab ab Ê ỗ ữ (a > 0, b > 0) è ø ỉx+c-xư c2 Áp dụng bất đẳng thức ta cú x ( c - x ) Ê ỗ = ÷ è ø c Dấu đẳng thức xảy x = c - x Û x = Suy S £ c a c ac ac Vậy Smax = x = hay M trung điểm cạnh AC × = 2c 8 b) Giả sử dựng hình vng EFGH nội tiếp tam giác ABC Nối BF, đoạn BF lấy điểm F' Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' Ỵ AB; G',H' Ỵ BC) Ta có: E'F'//EF F'G'//FG, nên E' F' BE' BF' F' G' = = = EF BE BF FG Þ E' F' = F' G' Do E'F'G'H' hình vng + Cách dựng chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vng E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC) Dựng tia BF' cắt AC F Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy EFGH hình vng + Ta có BH' BG' BH'+ H'G' BH' ; cot gF' BC = = cot g600 = = = +1 = +1 E'H' F'G' F'G' E'H' 3 Suy tia BF' cố định E' di động AB, cắt AC điểm F Trường hợp hình vng E'F'G'H' có đỉnh F' cạnh AC; G' H' cạnh BC, lý luận tương tự ta có tia CE' cố định, cắt AB E Vậy tốn có nghiệm hình Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 82 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 + Đặt AE = x Ta có (c - x) EF AE ax HE = ( c - x ) sin B = = Þ EF = BC AB c ax ( c - x ) c2 = Ûx= c 2a + c 2 3a c Suy diện tích hình vng EFGH S = EF2 = 2a + c EFGH hình vng, nên EF = EH Û ( ) Bài 43 Ta có BC2 = AB2 + AC2 = BH2 + AH2 + AK2 + CK2 Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức ( ) BH2 + AH2 ³ ( BH + AH ) ( ) Tương tự ta có AK + CH2 ³ ( AK + CK ) A H Suy 2BC2 ³ ( BH + AH ) + ( AK + CK ) K C B Đặt BH + AH = m; AK + CK = n Vì CAK + BAH = 90 mà BAH + ABH = 90 nên CAK = ABH Dẫn đến tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAK ( ) AB2 + AC2 AB2 AC2 BC2 AH BH AB AH + BH m = = = = Do Nên = = ³ = 2 2 CK AK AC CK + AK n m n 2BC m +n ( ) Hay m £ 2AB; n £ AC Chu vi tứ giác BHKC BC + BH + AH + AK + KC = BC + m + n £ BC + ( AB + AC ) Vậy chu vi BHKC lớn BC + ( AB + AC ) Bài 44 a) Gọi I trung điểm BC + Tam giác BEC vuông E nên có BC IB = IC Þ EI = BI = CI = + Tam giác BFC vuông F nên có BC IB = IC Þ FI = BI = CI = BC Từ kết suy BI = FI = EI = CI = Vậy bốn điểm B, F, E, C thuộc đường tròn tâm I A E F M H K B D I C đường kính BC Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 83 TRUNG TÂM TOÁN THẦY BẢO - FANPAGE TOÁN THẦY BẢO Địa chỉ: CS1: số 289 Thụy Khuê, Tây Hồ, Hà Nội CS2: số 18 ngách 28/49 khu tập thể 28B Điện Biên Phủ, Ba Đình, Hà Nội - SĐT: 0943753699 b) Xét tam giác HAE HBD có AHE = BHD; HEA = HDB = 900 Nên ta DAHE ∽ DBHD Þ HA HE = Þ HA.HD = HB.HE HB HD Chứng minh tương tự ta có DAHF ∽ DCHD Þ HA HF = Þ HA.HD = HC.HF HC HD Từ kết ta HA.HD = HB.HE = HC.HF c) Ta có HA.HD = HC.HF Þ HD HF kết hợp với DHF = CHA = HC HA Suy DDHF ∽ DCHA Þ HDF = HCA Tương tự ta DDHE ∽ DBHA Þ HDE = HBA Mà ta lại có HBA = HCA Kết hợp kết ta HDF = HDE Do DH phân giác FDE Chứng minh tương tự ta có EH phân giác DEF Do H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF d) Kẻ DK ^ BE (K Ỵ BE) Gọi M giao điểm BE DF Þ sin BED = sin KED = Mặt khác DK DM mà DK £ DM Þ sin BED £ DE DE DM FM DM FM DM + FM DF = Þ = = = DE FE DE FE DE + FE DE + FE Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương DE EF ta có DE + EF ³ DE.EF Þ DF DF DF hay sin BED £ £ DE + EF DE.EF DE.EF Chứng minh tương tự ta có sin CFE £ DE FD.FE Do ta sin ADF.sin BED.sin CFE £ sin ADF £ EF DF EF DE.DF DE DE.DF DE.EF FD.FE Hay sin ADF.sin BED.sin CFE £ Dấu xẩy tam giác ABC - HẾT- Sưu tầm biên soạn TOÁN THẦY BẢO Trang 84 ... TAM GIÁC ĐẶC SẮC I HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM GIÁC Tổng ba góc tam giác + Tổng ba góc tam giác 1800 + Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ + Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác. .. tam giác tổng hai góc khơng kề với + Nhận xét: Góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với Hai tam giác a Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng b Các trường hợp hai tam giác. .. Các trường hợp đồng dạng hai tam giác + Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với + Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác