Các bài toán hình học ôn thi vào lớp 10

CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K x Chứng minh M trung điểm HK 1   Chứng minh HK AB CD BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp D C M E H K O A � 1 EAC AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE sđ � Ta có : B Hình 01 dây AC đường tròn (O)) � 1 xDB � sđ DB Tương tự: (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) � � � � Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên AC  BD Do EAC  xDB Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM �  EMD � � � ABD Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD (cùng chắn cung ED) Mà EAD (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung AD) � � ABD Do EM // AB Suy ra: EMD Chứng minh M trung điểm HK DAB có HM // AB � HM DH MK CK  �  AB DA CAB có MK // AB AB CB Mà DH CK HM MK   DA CB (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên AB AB Do MH = MK Vậy M trung điểm HK Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ 1   Chứng minh HK AB CD Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM  AB DB (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta KM BM  được: CD BD (2) HM KM DM BM DM  BM BD      1 BD BD Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: AB CD DB BD HM KM  2 CD Suy ra: AB , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK Do đó: HK HK 1  2   AB CD Suy ra: HK AB CD (đpcm) Lời bàn: � � Do AC = BD � ADC  BCD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE tốn giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé) Câu có cách chứng minh khác khơng? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm Câu toán quen thuộc lớp phải khơng em? Do học toán em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cách giải Em thử nghĩ xem? Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn (O) theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp � AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) � AM  MB Mà CD � // BM (gt) nên AM  CD Vậy MKC  90 D � � � AM  CM (gt) � OM  AC � MHC  90 K � � Tứ giác CKMH có MKC  MHC  180 nên nội tiếp = đường tròn C // M H A B O Chứng minh CD = MB DM = CB � Ta có: ACB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn (O) � AD  AB ADC có AK  CD DH  AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM  AD � � Vậy AD  AB � CM // AB � AM  BC � � � � � � � Mà AM  MC nên AM  BC � AM  MC  BC = 600 D K Tính diện tích phần tam giác ADC ngồi (O) theo R: đường tròn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD // M Gọi S diện tích phần tam giác ADC C = H A O S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC Ta có: S = S1 – S2 hình  Tính S1: 0 � � � � AD tiếp tuyến đường tròn (O) � AM  MC  BC  60 � AOD  60 1 R2 AD AO  R 3.R  2 Do đó: AD = AO tg 600 = R � SADO = AOD  COD (c.g.c) � SAOD = SCOD R2 � SAOCD = SADO = 2 = R  R 1200  R AC  1200 � S quạt AOC = 3600 =  Tính S2: � Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ B  Tính S: S = S1 – S2 = R  R 3R   R R 3  – = = (đvdt)   Lời bàn: Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh góc H K góc vng, để có góc K vng ta cần MB  AM CD// MB Điều suy từ hệ góc nội tiếp giả thiết CD // MB Góc H vng suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường tròn Khi gặp loại tốn đòi hỏi phải tư cao Thơng thường nghĩ có kết tốn xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải toán Với tập phát M trực tâm tam giác khơng phải khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm � C nằm nửa đường tròn mà BC  60 AD tiếp tuyến Chứng minh nhận định � xong ta lại trình bày phần đảo: AD tiếp tuyến BC  60 Từ kết luận Phát diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn (O) hiệu diện tích tứ giác AOCD diện tích hình quạt AOC tốn dễ tính so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); cắt Ax, By E F � Chứng minh: EOF  90 Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK  AB y F x Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a M E Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ A K N O B BÀI GIẢI CHI TIẾT � Chứng minh: EOF  90 EA, EM hai tiếp tuyến đường tròn (O) � cắt E nên OE phân giác AOM � Tương tự: OF phân giác BOM � � � Mà AOM BOM kề bù nên: EOF  90 (đpcm) hình Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng � � Ta có: EAO  EMO  90 (tính chất tiếp tuyến) � � Tứ giác AEMO có EAO  EMO  180 nên nội tiếp đường tròn �  900 MAB �  MEO � AMB  EOF �Tam giác AMB tam giác EOF có: � , (cùng chắn cung MO đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEMO Vậy Tam giác AMB tam giác EOF đồng dạng (g.g) Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh MK  AB AK AE  Tam giác AEK có AE // FB nên: KF BF Mà : AE = ME BF = MF (t/chất hai AK ME  tiếp tuyến cắt nhau) Nên KF MF Do MK // AE (định lí đảo định lí Ta- let) Lại có: AE  AB (gt) nên MK  AB Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a Gọi N giao điểm MK AB, suy MN  AB MK FK NK BK   FA (1)  BEA có NK//AE nên AE BE (2)  FEA có MK//AE nên AE FK BK FK BK FK BK    Mà KA KE (do BF // AE) nên KA  FK BK  KE hay FA BE (3) MK KN  Từ (1), (2) (3) suy AE AE Vậy MK = NK S AKB KN   S MN Tam giác AKB tam giác AMB có chung đáy AB nên: AMB Do S AKB  S AMB Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ MB  �  600 � MAB Tam giác AMB vuông M nên tg A = MA a a 1 a a � S AKB  a 2 2 = 16 Vậy AM = MB = � (đvdt) Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu q trình ơn thi vào lớp 10 chắn thầy ơn tập, em ôn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài tốn có nhiều câu khó, câu khó mà người đề khai thác từ câu: MK cắt AB N Chứng minh: K trung điểm MN Nếu ý MK đường thẳng chứa đường cao tam giác AMB câu tam giác AKB AMB có chung đáy AB em nghĩ đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng, toán qui tính diện tích tam giác AMB khơng phải khó phải khơng em? Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Hạ CH vuông góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng: � � a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) AQI  ACO c) CN = NH (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT x a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: M Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) Q OA = OC (bán kính đường tròn (O)) I � Do đó: MO  AC � MIA  90 �  900 � MQA Hai đỉnh I Q nhìn AM N A � AQB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) C O H x K Hình góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp đường tròn M Q Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap I Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ A C N O H B B � � b) Chứng minh: AQI  ACO � � Tứ giác AMQI nội tiếp nên AQI  AMI Hình � (cùng phụ MAC ) (2) � � AOC có OA = OC nên cân O � CAO ACO (3) Từ (1), (2) (3) suy � � AQI  ACO c) Chứng minh CN = NH � Gọi K giao điểm BC tia Ax Ta có: ACB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) AC  BK , AC  OM � OM // BK Tam giác ABK có: OA = OB, OM // BK � MA = MK Áp dụng hệ định lí Ta let cho ABM có NH // AM (cùng  AB) ta được: NH BN  AM BM (4) Áp dụng hệ định lí Ta let cho BKM có CN // KM (cùng  CN BN  AB) ta được: KM BM NH CN  (5) Từ (4) (5) suy ra: AM KM Mà KM = AM nên CN = NH (đpcm) Lời bàn Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q I nhìn AM góc vng Góc AQM vng có kề bù với ACB vng, góc MIA vng suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt � � � � Câu suy từ câu 1, dễ dàng thấy AQI  AMI , ACO  CAO , vấn đề lại � �  CAO cần IMA , điều khơng khó phải không em? Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ việc kéo dài BC cắt Ax K toán trở toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC AM E, D I Chứng minh IE = ID Nhớ tốn có liên quan đến phần thi ta qui toán giải đề thi cách dễ dàng Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C, tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D a) Chứng minh OD // BC b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT a) Chứng minh OD // BC x H ình F �  ODB � BOD cân O (vì OD = OB = R) � OBD � � � � Mà OBD  CBD (gt) nên ODB  CBD Do đó: OD // BC b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF � ADB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) � AD  BE E C // D = A B O � ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) � AC  BF EAB vng A (do Ax tiếp tuyến ), có AD  BE nên: AB2 = BD.BE (1) FAB vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC  BF nên AB2 = BC.BF (2) Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có: �  CAB � � (hai góc nội tiếp chắn cung BC) CDB � � �  CFA � � �CAB ( phụ FAC ) �  CFA � � CDB Do tứ giác CDEF nội tiếp Cách khác BD BC  �  DBC FBE có: B chung BF BE (suy từ BD.BE = BC.BF) nên chúng � � x đồng dạng (c.g.c) Suy ra: CDB  EFB Vậy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi: F � � � � � Ta có: ABD  CBD (do BD phân giác ABC ) � AD  CD Tứ giác AOCD hình thoi � OA = AD = DC = OC �  600 � � ABC  600 � AD = DC = R � � AD  DC AC  1200 � � � Vậy ABC  60 tứ giác AOCD hình thoi E D C Tính diện tích hình thoi AOCD theo R: � AC  1200 � AC  R Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ A O B 1 R2 OD AC  R.R  2 (đvdt) Sthoi AOCD = Hình Lời bàn Với câu 1, từ gt BD phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ � � đến cần chứng minh hai góc so le ODB OBD Việc ý đến góc nội tiếp chắn nửa đường tròn kết hợp với tam giác AEB, FAB vuông Ax tiếp tuyến gợi ý đến hệ thức lượng tam giác vuông quen thuộc Tuy nhiên chứng minh hai tam giác BDC BFE đồng dạng trước suy BD.BE = BC.BF Với cách thực có ưu việc giải câu Các em thử thực xem sao? Khi giải câu câu sử dụng câu , chứng minh giải Câu với đề yêu cầu xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD trở thành hình thoi khơng phải khó Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ đến cung AC 1200 từ suy số đo góc ABC 60 Tính diện tích hình thoi cần nhớ công thức, nhớ kiến thức đặc biệt mà q trình ơn tập thầy giáo bổ sung � AC  1200 � AC  R , em tính dễ dàng Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC E F ; BF cắt EC H Tia AH cắt đường thẳng BC N a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp A � b) Chứng minh FB phân giác EFN � c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC ABC BÀI GIẢI CHI TIẾT F E B H N a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp: � � Ta có : BFC  BEC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) � � Tứ giác HFCN có HFC  HNC  180 nên nội tiếp đường tròn đường kính HC) (đpcm) b) Chứng minh FB tia phân giác góc EFN: � � � Ta có EFB  ECB (hai góc nội tiếp chắn BE đường tròn đường kính BC) Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ C �  BFN � � ECB (hai góc nội tiếp chắn HN đường tròn đường kính HC) � � Suy ra: EFB  BFN Vậy FB tia phân giác góc EFN (đpcm) c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC tam giác ABC: �  BFC �  900 � � �  FAH  FBC có: AFH , AH = BC (gt), FAH  FBC (cùng phụ ACB ) Vậy  FAH =  FBC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: FA = FB �  450  AFB vuông F; FA = FB nên vuông cân Do BAC Bài (Các em tự giải) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cát H a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh AD AC = AE AB c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA  DE � d) Cho biết OA = R , BAC  60 Tính BH BD + CH CE theo R Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vuông góc hạ từ D Exuống đườngF thẳng AC C Chứng minh: a) Tứ giác EFDA nội tiếp = A // O B � b) AF phân giác EAD c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích (Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp: � � Ta có: AED  AFD  90 (gt) Hai đỉnh E F nhìn AD góc 90 nên tứ giác EFDA nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AF phân giác góc EAD: Ta có: Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ D �AE  CD � AE // OC � � � OC  CD � Vậy EAC  CAD ( so le trong) � � � � Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên CAO  OCA Do đó: EAC  CAD Vậy AF phân giác góc EAD (đpcm) c) Chứng minh tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng:  EFA  BDC có: �  CDB � EFA AE đường tròn ngoại tiếp tứ giác (hai góc nội tiếp chắn � EFDA) �  CAB � � �EAC �  BCD � � EAF � � � CAB  DCB � Vậy  EFA  BDC đồng dạng (góc- góc) d) Chứng minh tam giác ACD ABF có diện tích: 1 DF AC BC AF SACD = SABF = (1) BC AC  BC // DF (cùng  AF) nên DF AF hay DF AC = BC.AF (2) Từ (1) (2) suy : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: giải cách khác nữa) � Bài Cho tam giác ABC ( BAC  45 ) nội tiếp nửa đường tròn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường tròn (O) M (M  A) Đường vng góc với AC kẻ từ M cắt AC K AB P a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp b) Chứng minh MAP cân c) Tìm điều kiện ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng BÀI GIẢI H M a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp: K � � Ta có : MHC  90 (gt), MKC  90 (gt) C Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối A 1800 nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác MAP cân: � � AH // OC (cùng vng góc CH) nên MAC  ACO (so le trong) Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ O P B � � � ACO  CAO  AOC cân O (vì OA = OC = R) nên � Do đó: MAC  CAO Vậy AC � phân giác MAB Tam giác MAP có AK đường cao (do AC  MP), đồng thời đường phân giác nên tam giác MAP cân A (đpcm) � � � � � Cách Tứ giác MKCH nội tiếp nên AMP  HCK (cùng bù HMK ) HCA  CBA � � � (cùng sđ AC ), CBA  MPA (hai góc đồng vị MP// CB) AMP  � APM Vậy tam giác AMP cân A Suy ra: � c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng: Ta có M; K; P thẳng hàng Do M; K; O thẳng hàng P �O hay AP = PM Kết hợp với câu b tam giác MAP cân A suy tam giác MAP 0 � � Do CAB  30 Đảo lại: CAB  30 ta chứng minh P �O: 0 � � � Khi CAB  30 � MAB  60 (do AC phân giác MAB ) Tam giác MAO cân � O có MAO  60 nên  MAO Do đó: AO = AM Mà AM = AP (do  MAP cân A) nên AO = AP Vậy P �O � Trả lời: Tam giác ABC cho trước có CAB  30 ba điểm M; K O thẳng hàng Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn tâm O đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A M&N) Gọi I, P Q trung điểm đoạn thẳng OH, BH, CH Chứng minh: � � a) AHN  ACB A b) Tứ giác BMNC nội tiếp c) Điểm I trực tâm tam giác APQ BÀI GIẢI N O M B / I P / H // Q // C � � a) Chứng minh AHN  ACB : � ANH  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) � Nên Tam giác ANH vuông N AHC  90 (do AH đường cao  ABC) nên � � � tam giác AHC vng H Do AHN  ACB (cùng phụ HAC ) b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp: � � Ta có : AMN  AHN (hai góc nội tiếp chắn cung AN) � AHN  � ACB (câu a) Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ � � Vậy: AMN  ACB Do tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh I trực tâm tam giác APQ: OA = OH QH = QC (gt) nên QO đường trung bình tam giác AHC Suy ra: OQ//AC, mà AC  AB nên QO  AB Tam giác ABQ có AH  BQ QO  AB nên O trực tâm tam giác Vậy BO  AQ Mặt khác PI đường trung bình tam giác BHO nên PI // BO Kết hợp với BO  AQ ta PI  AQ Tam giác APQ có AH  PQ PI  AQ nên I trực tâm tam giác APQ (đpcm) Bài 11 Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường tròn (C A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh: a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường tròn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ I giác đó: � � Ta có ACB  ANB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) C � � Do đó: ICP  INP  90 � � Tứ giác ICPN có ICP  INP  180 nên nội tiếp K / M = N H P / = A đường tròn Tâm K đường tròn ngoại tiếp O tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường tròn (O) Tam giác INP vuông N, K trung điểm IP nên KN  KI  IP �  KNI � Vậy tam giác IKN cân K Do KIN (1) � � Mặt khác NKP  NCP (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường tròn (K)) (2) � � N trung điểm cung CB nên CN  BN � CN  NB Vậy  NCB cân N � � � � Do : NCB  NBC (3) Từ (1), (2) (3) suy INK  IBC , hai góc vị trí đồng vị nên KN // BC Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ B Mặt khác ON  BC nên KN  ON Vậy KN tiếp tuyến đường tròn (O) 0 � � � Chú ý: * Có thể chứng minh KNI  ONB  90 � KNO  90 * chứng minh � � �  900 KNA ANO  900 � KNO c) Chứng minh C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định: � � � � � Ta có AM  MC (gt) nên AOM  MOC Vậy OM phân giác AOC � � � � Tương tự ON phân giác COB , mà AOC COB kề bù nên MON  90 Vậy tam giác MON vuông cân O R Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R = khơng đổi Vậy C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với R đường tròn cố định (O; ) Bài 12 Từ điểm A ngồi đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E , dây DE không qua tâm O) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC K a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn B � b) Chứng minh HA tia phân giác BHC // 1   c) Chứng minh : AK AD AE O A // D BÀI GIẢI / K H / E C a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: � ABO  � ACO  900 (tính chất tiếp tuyến) � � Tứ giác ABOC có ABO  ACO  180 nên nội tiếp đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC: � � � � AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy AB  AC Do AHB  AHC Vậy HA tia phân giác góc BHC B 1   c) Chứng minh AK AD AE :  ABD  AEB có: = A _ Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap= D / Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ O K C H / E � � � � BAE chung, ABD  AEB (cùng sđ BD ) Suy :  ABD ~  AEB AB AD  � AB  AD AE Do đó: AE AB (1)  ABK  AHB có: � AB  � AC ) nên chúng đồng dạng BAH ABK  � AHB (do � chung, � AK AB  � AB  AK AH Suy ra: AB AH (2) Từ (1) (2) suy ra: AE.AD = AK AH �  AD  DH  AD  DH AD  AD  ED AH 2 AH  �   AK AE AD AK AE AD = AE AD = AE AD AE AD = AE  AD 1  AE AD = AD AE (do AD + DE = AE DE = 2DH) 1   Vậy: AK AD AE (đpcm) Bài 13 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Trên đường tròn (O;R) lấy điểm � M cho MAB  60 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Kẻ đường kính MOI đường tròn (O; R) MBJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình tròn (B; BM) nằm bên ngồi đường tròn (O; R) theo R BÀI GIẢI M a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến � � đường tròn (B; BM) Ta có AMB  ANB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) 60 A B O N Điểm M N thuộc (B;BM); AM  MB AN  NB Nên AM; AN tiếp tuyến (B; BM) b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng JI JN = 6R2 Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ I J �  MNJ �  900 MNI (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) Nên IN  MN JN  MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R Tam giác AMO cân � O (vì OM = OA), MAO  60 nên tam giác MAO AB  MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau) 1 OA  R Vậy HB = HO + OB = Nên OH = R 3R 3R R � NJ   3R 2 Vậy JI JN = 2R 3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngồi đường tròn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình tròn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình tròn (O; R) S1 diện tích hình tròn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4)   R 0 � � Tính S1: MAB  60 � MB  120 � MB  R Vậy: S1 =    R 600 � Tính S2: MBN  60 � S2 = 3600   3 R  R2 =  R 1200  R  0 � Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB MOB  120 � Squạt MOB = 360 1 1 R2 AM MB R.R OA = OB � SMOB = SAMB = 2 =4 =  R2 R2  = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3) Vậy S3 = � R 2 R R � 11 R  3R   � � � � 2 � = 3 R – � = (đvdt) Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A đường tròn lấy điểm C cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD đường tròn (O; R), với D tiếp điểm a) Chứng minh ACDO tứ giác nội tiếp b) Gọi H giao điểm AD OC Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai M Chứng minh � MHD  450 Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình tròn nằm ngồi đường tròn (O; R) C BÀI GIẢI // a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp: = �  CDO �  900 CAO (tính chất tiếp tuyến) M D � � Tứ giác ACDO có CAO  CDO  180 nên A nội tiếp đường tròn / I _ H O / B b) Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD: CA = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OD =R � OC  AD AH = HD Tam giác ACO vuông A, AH  OC 1 1 2R 4R  2   2 2 R  R  = 4R Vậy AH = AD = 2AH = AO AC = nên AH � c) Chứng minh MHD  45 : � �  900 AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) � CMA Hai đỉnh H M � � nhìn AC góc 900 nên ACMH tứ giác nội tiếp Suy ra: ACM  MHD � Tam giác ACB vuông A, AC = AB(gt) nên vuông cân Vậy ACB  45 � Do : MHD  45 d) Tính diện tích hình tròn (I) nằm ngồi đường tròn (O) theo R: 0 0 � � � � Từ CHD  90 MHD  45 � CHM  45 mà CBA  45 (do  CAB vuông cân B) � � � � Nên CHM  CBA � Tứ giác HMBO nội tiếp Do MHB  MOB  90 Vậy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác MHB trung điểm MB Gọi S diện tích phần hình tròn (I) ngồi đường tròn (O) S1 diện tích nửa hình tròn đường kính MB S2 diện tích viên phân MDB Ta có S = S1 – S2 Tính S1: �  900 � MB  R MB Vậy S1 = Tính S2: S2 = SquạtMOB – S  MOB �R �  R  � � � � � �  R 900 R  R R   = = 360 Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/  R2  R2 R2 R2   )=  S= ( Bài 15 Cho đường tròn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB) a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp � b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tg ABC c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH BÀI GIẢI M K a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp: � ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0 � � � Suy MCA  90 Tứ giác MNAC có N  C  180 N C E I A H O nên nội tiếp đường tròn b) Tính CH tg ABC D AB = (cm) ; AH = (cm) � HB = (cm) Tam giác ACB vuông C, CH  AB � CH  CH = AH BH = = � CH  (cm) Do tg ABC = BH c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O): � � Ta có NCA  NMA (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại tiếp � � � � � tứ giác MNAC) NMA  ADC (so le MN // CD) ADC  ABC (cùng chắn AC � � 1 ABC  � NCA � � � AC Suy CN tiếp tuyến sđ AC sđ � ) Nên NCA  ABC Do đường tròn (O) (xem lại tập 30 trang 79 SGK toán tập 2) d) Chứng minh EB qua trung điểm CH: Gọi K giao điểm AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD (cùng  � � � � � � với AB) � AKB  DCB (đồng vị) DAB  DCB (cùng chắn cung BD) DAB  MAN (đối � � � đỉnh) MAN  MCN (cùng chắn MN ) Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ B � � Suy ra: EKC  ECK � KEC cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA CI BI IH BI   KBE có CI // KE � KE BE ABE có IH // AE � AE BE CI IH  Vậy KE AE mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) Bài 16 Cho đường tròn tâm O, đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K (K nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ CD (E không trùng C D), AE cắt BD H a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm Tính chu vi hình tròn (O) � d) Cho BCD   Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo  để M thuộc đường tròn (O) Hướng dẫn B c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức lượng tính CA = 25 cm � R = 12,5 cm Từ tính C = 25  ? / M / A d) M � (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp � � ABM  � ACM  1800 _ �    1800 � 90  2MBC K O  C H E D �  180   MBC Từ tính Bài 17 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc xAC cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E a) Chứng minh ABE cân b) Đường thẳng BD cắt AC K, cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp � c) Cho CAB  30 Chứng minh AK = 2CK Bài 18 Từ điểm A ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN không qua tâm O Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB2 = AM AN Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp IB DB  c) Gọi D giao điểm BC AI Chứng minh IC DC � Bài 19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác BAC cắt BC D cắt đường tròn M Phân giác ngồi Acắt đường thẳng BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh: a) MN vng góc với BC trung điểm BC � � b) ABN  EAK c) AK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 20 Cho ba điểm A, B,C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài 21 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm (O) mà AC > BC Kẻ CD  AB ( D  AB ) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC E Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AE M OM cắt AC I MB cắt CD K a) Chứng minh M trung điểm AE b) Chứng minh IK // AB c) Cho OM = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R Bài 22 Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC a) Chứng minh BC2 = AP AQ b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP 1   c) Chứng minh PQ PB PC Bài 23 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường tròn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH  AB Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) � c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN Bài 24 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K � AKB a) Tính MIN � b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 25 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự điểm cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh rằng: a) BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI  BC AN AB  d) BN BD Bài 26 Cho hai đường tròn (O) (O1) Đường nối tâm OO1 cắt đường tròn (O) (O1) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF (E  (O), F  (O1)) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN  AD c) ME MA = MF MD - HẾT Fanpage: https://www.facebook.com/chiasetailieuhoctap Group: https://www.facebook.com/groups/399848470571937/ ... vuông M nên tg A = MA a a 1 a a � S AKB  a 2 2 = 16 Vậy AM = MB = � (đvdt) Lời bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2 010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu q trình ơn thi vào lớp. .. � a) Tứ giác AMQI nội tiếp b) AQI  ACO c) CN = NH (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2 010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT x a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp: M Ta... EAD c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích (Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) BÀI GIẢI a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp: