LÝ THUYẾT CHIA HẾT VÀ ỨNG DỤNG A.LÍ THUYẾT I.ĐỊNH NGHĨA Giả sử a b hai số nguyên với b ≠ tồn cặp a = bq + r 0≤r < b số nguyên q r cho - Nếu r = 0, ta nói a chia hết cho b hay a bội b, kí hiệu a Mb Mặt khác người ta nói b chia hết a hay b ước a - Nếu r ≠ phép chia dư II.TÍNH CHẤT - Mọi số a ≠ chia hết cho - Nếu a Mb bMc a Mc -Số chia hết cho số b ≠ - a, b số nguyên, đồng thời a M b b Ma a = b - Nếu a M b ka M b( k nguyên) - Nếu aM b –a M b; a M (-b); (-a) M (-b) III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ THƯỜNG DÙNG - Nếu aM m b M m a b M m - Nếu a M m b m a + b m - Nếu a M m b M m ab M m - thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a M m an M m ( n tự nhiên) - Điều kiện cần đủ để hiệu hai số chia hết cho số thứ ba phép chia số cho số thứ ba có số dư a = cq1 + r (0 ≤ r < c); b = cq2 + r (0 ≤ r < c) Chứng minh: Giả sử ta có: cq + r − cq2 − r = c ( q1 − q2 ) Khi a – b = Như a – b M c a = cq1 + r1 (0 ≤ r1 < c); b = cq2 + r2 (0 ≤ r2 < c) Đảo lại : giả sử a – b M c Từ a – b = c ( q1 − q2 ) + ( r1 − r2 ) Vì a- b M c nên r1 − r2 Mc r1 − r2 < c nên r1 − r2 = hay r1 = r2 IV.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHÁC Định lí Nếu a, b số nguyên tố chọn hai số nguyên x0 , y0 cho ax0 + by0 =1 Định lí Nếu số n đồng thời chia hết cho a b, a, b nguyên tố n chia hết cho ab nMa n = ak n M b Chứng minh: Nếu n = bl ( k, l số nguyên) Mặt khác (a, b) = nên theo định lí ta chọn số nguyên x0, y0 cho ax0 + by0 =1 => l = lax0 + lby0 = lax0 + ny0 = lax0 + aky0 = a(lx0 + ky0 ) n = bl = ab( lx0 + ky0 ) M ab Định lí Nếu tích ac chia hết cho b a, b nguyên tố c chia hết cho b Chứng minh: Nếu (a, b) = theo định lí ta chọn số nguyên x0, y0 cho ax0 + by0 =1=> c = cax0 + cby0 Vì ac chia hết cho b nên cax0 chia hết cho b => c chia hết cho b V.CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho số có chữ số tận chữ số chẵn( 0; 2; 4; 6; 8) Dấu hiệu chia hết cho 3: Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho 3 Dấu hiệu chia hết cho 4: Một số chia hết cho hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 4 Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho số có chữ số tận 5 Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho đồng thời số chia hết cho n n −1 Dấu hiệu chia hết cho 7: Cho số N= an 10 + an −1.10 + + a1.10 + a0 N − a0 Gọi A = 10 Số N chia hết cho 2a0 – A chia hết cho (A< 2a0) A – 2a0 chia hết cho ( 2a0 < A) Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho số có ba chữ số tận lập thành số chia hết cho 8 Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho 9 Dấu hiệu chia hết cho 10: Một số chia hết cho 10 có chữ số tận đảo lại 10 Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số “đứng vị trí lẻ” tổng chữ số “đứng vị trí chẵn”( kể từ phải sang trái ) chia hết cho 11 VI PHÉP ĐỒNG DƯ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b chia cho số tự nhiên m ( m khác 0) có số dư ta nói “a đồng dư vói b theo mooddun m” viết a b( mod m) Vậy hai số a b đồng dư với theo môdun m a – b chia hết cho m Các tính chất: Với số nguyên dương a, b, c, d, d, m, ta có: a) a ≡ a (mod m) a ≡ b(mod m) ⇔ b ≡ a(mod m) a ≡ b(mod m); b ≡ c(mod m) ⇒ a ≡ c(mod m) a ≡ b(mod m) c ≡ d (mod m) a ± c ≡ b ± d (mod m) b) Nếu a ≡ b(mod m) c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m) c) Nếu n n a ≡ b (mod m ) a ≡ b (mod m) Nếu d) Nếu d ước chung dương a, b c; a ≡ b (mod m) => a c m ≡ (mod ) d d d Nếu c ước chung a, b (c, m) = 1; a ≡ b (mod m) => a b ≡ (mod m) c c e) a ≡ b (mod m) ; c > => ac ≡ bc ( mod mc ) Chú ý: n n ∀a.b ∈ N , ta có: a − b Ma − b * Trong n số nguyên liên tiếp (n ∈ N ) có số chia hết cho n * Trong n + số nguyên ( n ∈ N ) chia cho n phải có hai số chia cho n có số dư ( vận dụng nguyên tắc Dirichle) Tìm k chữ số tận số a tìm số dư chia a cho 10k VII ĐỊNH LÍ NHỎ FERMAT, ĐỊNH LÍ EULER, ĐỊNH LÍ WILSON Định lí nhỏ Fermat: Cho số nguyên tố p, với số nguyên a p ta có a ≡ a (mod p ) p −1 Ngoài , (a,p) =1 a ≡ 1(mod p) Định lí Euler: Cho số nguyên dương n.Gọi ϕ (n) số ngun dương khơng vượt q n Khi với số nguyên a nguyên tố ϕ ( n) ≡ 1(mod p ) với n, ta có: a Định lí Wilson: Cho số nguyên tố p, (p – 1)! + ≡ 0(mod p) B CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Bài 1: CMR, với n nguyên, n + không chia hết cho Giải: 2 - Nếu n = 3q n + = 9q + n + chia dư n + 1= - Nếu n = 3q + (3q + 1) + = 9q + 6q + = 3(3q + 2q) + n + chia dư n2 + = - Nếu n = 3q + (3q + 2)2 + = 9q + 12q + = 3(3q + 4q + 1) + n + chia dư Tóm lại , ∀n, n + M3 Bài 2: Với n nguyên dương , CM: n + 3n − 1M Giải: - Nếu n + tổng + - chia hết cho - Ta cần chứng Giả sử mệnh đề với n = k tức + 3k − 1M minh mệnh đề với n = k + k +1 + 3(k + 1) − = 7.7 k + 3k + k k k Thật vậy: = 7.7 + 7.3k − 7.3k − + + 3k + = 7(7 + 3k − 1) − 18k + Mỗi số hạng k +1 tổng chia hết cho + 3(k + 1) − chia hết cho Tóm lại n ∀ số Bài 3: với CMR tự nhiêndương n: n nguyên + 3n − 1M 212 n +1 + 17 n +1 + 15 M 19 n +1 n +1 + 15 = (19 + 2) n +1 + (19 − 2) n +1 + 15 Giải: Ta có : 21 + 17 n +1 = 192 n +1 + 192 n.2 + K + 2 n +1 = 19 A + 2 n +1 :19, r = 2n +1 (19 + 2) n +1 = 192 n +1 − 192 n.2 + K + ( −2) n +1 = 19 B + ( −2) n +1 (19 − 2) n +1 + (−2) n +1 = nên 212 n +1 + 17 n +1 + 15 M 19 Bài 4: Tìm số nguyên dương bé biết chia cho cho 14 số dư tương ứng 1; Giải: Gọi n số nguyên dương cần tìm Theo giả thiết đề bài, ta có: n = 3y + = 14z + (với y, x số tự nhiên) 2z + 2x + y = 4z + + Vì y số tự nhiên nên => 3y = 14z + hay số nguyên hay z + 1M3 => z + 2M => z = 3t -1 ( t nguyên ) Vì n số nguyên dương nhỏ nên t = Vậy n = 37 Bài 5: Chứng minh a b nguyên tố với số nguyên n , tìm số x cho ax + n chia hết cho b Giải: Vì (a, b) = nên tồn số nguyên x 0, y0 cho ax0 + by0 = => - ax0 = by0 Hay - ax0 chia hết cho b => n - nax0 chia hết cho b Như ta chọn x = - nx0 số ax + n chia hết cho b Bài 6: Chứng minh a b nguyên tố a b nguyên tố Giải: Vì (a, b) = nên tồn số nguyên x, y cho ax + by = 2 2 2 a x + b (2 axy + by ) = có dạng a2u + a x + axby + b y = => hay bv = 1( với u = x2, v = 2axy + by2 số nguyên) Nếu d ước chung a2 b d chia hết cho a2u + bv hay d chia hết cho hay d = 8n + 193 Bài 7: Tìm số tự nhiên n để phân số A = 4n + phân số tối giản 8n + 193 2(4n + 3) + 187 187 = 2+ 4n + 4n + Giải: Ta có A = 4n + = A tối giản 4n +3 không ước 11 17 hay 4n + không chia hết cho 11 17 Ta có: 4n + = 4(n -2) + 11=> n – không chia hết cho 11 hay n ≠ 11k + ( k ∈ N) 4n + = 4(n -12) + 51=> n – 12 không chia hết cho 17 hay n ≠ 17m + 12 ( m ∈ N) Vậy với n ≠ 11k + ( k ∈ N) n ≠ 17m + 12 ( m ∈ N) phân số A tối giản Bài 8: Có số có năm chữ số tận chữ số chia hết cho Giải: Các số có năm chữ số tận chữ số chia hết cho số gồm chữ số lại chia hết cho 3.các số có bốn chữ số từ 1000 đến 9999 có 9000 số, ba số liên tiếp có số chia hết cho Vậy có tất (9999-1002):3+1 = 3000 số chia hết cho Đó số số có năm chư số tận chữ số chia hết cho Bài 9: Cho n số a1, a2, a3, …., an số nhận giá trị -1 a 1a2 + a2a3 +…+ ana1 = 0.Chứng minh : n chia hết cho Giải: Vì số a1, a2, a3, …., an số nhận giá trị -1 nên số a1a2 , a2a3 ,…, ana1 nhận giá trị -1 Theo giả thiết a1a2 + a2a3 +…+ ana1 = nên số số hạng tổng vế trái nhận giá trị số số hạng tổng vế trái nhận giá trị - Suy n chẵn Lại có: a1a2 a2a3 … ana1 = (a1a2a3 …an)2 = Do số số hạng nhận giá trị -1 số chẵn Đặt số số hạng m = 2k n = 2m = 2.2k chia hết cho Bài 10: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương hai số chia hết cho Giải: Nếu a3 + b3 chia hết cho a3 + b3 số chẵn , a b tính chẵn, lẻ Suy a + b số chẵn nên a + b chia hết cho 2.(1) Vì a3 + b3 chia hết a3 + b3 chia hết cho cho 3.Vậy a + b3 +3ab(a+b) chia hết cho hay (a + b)3 chia hết cho => a + b chia hết cho (2) Từ (1), (2) => a+ b chia hết cho Đảo lại, a +b chia hết cho (a + b)( a2- ab + b2) =a3 + b3 chia hết cho Bài 11: Chứng minh bảy số sau:n, n +1.30; n+2.30; n+3.30; n+4.30 ; n+5.30; n+6.30 có số chia hết cho Giải: Hiệu hai số bảy số cho có dạng: r = (n + k.30) – (n + m.30) = (k – m).30 với m, k số nguyên ≤ k ≤ 6; ≤ m ≤ (k ≠ m) => −6 ≤ k − m ≤ ( k − m ≠ 0) (k – m).30 chia hết cho k – m chia hết cho tức k = m Do số hạng n + k.30 với k = 0;1;2;…;6 chia cho có số dư khác số dư Bài 12: Cho số A = 111 111*333 333 gồm 2003 chữ số bên trái dấu * 2003 chữ số bên phải dấu *.Hỏi phải thay dấu * chữ số để A chia hết cho Giải: Ta có: A = 111…111.102004 + (*) 102003 + 333…333 (2003 chữ số 2003 chữ số 3) 102003 − A = (*).102003 + (11102004 3) 103 ≡ −1(mod 7) ⇒ 102003 ≡ 5(mod 7) Vì 102003 − ⇒ 10 − ≡ 4(mod 7) ⇒ ≡ 2(mod 7) 102004 ≡ 1(mod 7) ⇒ 102004 + ≡ 4(mod 7) Suy A = (*) + 2.4 ≡ (*).5 + ≡ (mod 7) 2003 Mà ≤ * ≤ ⇒ * = Vậy số cần tìm A = 111 1114333 333 Bài 13: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Giải: Gọi p số ngun tố ta có p= 30q + r ( q, r số tự nhiên r < 30) + q = r = p số nguyên tố + Nếu q>0 p ≥ 30.Như r số lẻ, khơng chia hết cho 5(Vì 30 bội 2; 3; 30q + r số nguyên tố ) Suy r nhận giá trị 1; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.Vậy toán chứng minh Bài 14: Chứng minh khơng có số hai số p – p + số phương với p tích 2005 số nguyên tố đẦU TIÊN Giải: Từ giả thiết ta suy p chia hết cho khơng chia hết cho 4, mà số phương chia cho dư Vì p chia hết p – chia dư => p – khơng số phương Vì p chia hết cho không chia hết cho suy p chia cho dư nên p + khơng số phương Bài 15: Tìm chư số a biết A = 20a 20a 20a chia hết cho Giải: Ta có A = 20a 20a 20a = 20a 20a.1000 + 20 a = 20a.1000 + 20a 1000 + 20a.1000 + 20a ( ) = 1001.1000.20a + 20a Vì A 1010 chia hết 20a chia hết cho Ta có 20a = 196 + (4 + a) suy + a chia hết cho 7=> a = Bài 16 : Tìm chữ số tự nhiên a, b cho a – b = 4a + 1b5 chia hết cho Giải: Ta có 4a7 + 1b5 chia hết cho 9=> 512 + 10(a + b) chia hết cho hay 504 + 9(a + b) + + a + b chia hết cho Lại có : ≤ + a + b ≤ 27 => + a + b ∈ { 9; 18; 27}=> a + b ∈ { 1; 10; 19} Do a b số có chữ số a+ b ≥ a-b =6 nên a+b = 10=> a = 8; b = Bài 17: Tìm số lớn có dạng B = 1235679 x y chia hết cho 24 Giải: Ta có B = 1235679 x y chia hết cho 24 B phải chia hết cho B phải chia hết cho + + + + + + x + + y = 36 + 1+ x + y chia hết cho Hay x + y + chia hết cho (1) B phải chia hết cho x y chia hết cho x y có dạng x 40; x 42; x 44; x 46; x 48 (0 ≤ x ≤ 9) (2) => Dùng máy thử trường hợp x thoả mãn (1), (2) ta số: 1235679240; 1235679840; 1235679144; 1235679744; 1235679048; 1235679648; Bài 18: Tìm số n = phương Giải: Vì abcd biết n chia hết cho 11, a = b + c bc số bc số phương nên c 0; 1; 4; 5; 6; Mặt khác abcd chia hết cho 11 nên a + c – b – d nhận giá trị 0; -11; 11 a + c = b + d *Nếu a + c – b – d = ta có hệ a = b + c => 2c = d => c d Thay trực tiếp ta có số: 9812; 1012; 4048 a + c − b − d = 11 *Nếu a + c – b – d = 11 ta có hệ a = b + c => 2c – d = 11 Vậy c > d lẻ + Nếu c = d = + Nếu c = d = Thay trực tiếp ta có số: 7161; 9361; 9097 a + c − b − d = −11 *Nếu a + c – b – d = -11 ta có hệ a = b + c => d - 2c = 11 Vì d ≤ nên hệ vơ nghiệm Vậy ta có số thoả mãn đề bài: 9812; 1012; 4048; 7161; 9361; 9097 Bài 19: Tìm số dư chia 222555 cho Giải : Ta có 222 = 7.21 +5 nên 222 ≡ 5(mod 7)=> 222555 ≡ 5555(mod 7) Mặt khác: ≡ 25 ≡ 4(mod 7); ≡ 4.5 ≡ 6(mod 7) 54 ≡ 6.5 ≡ 2(mod 7); 55 ≡ 2.5 ≡ 3(mod 7); 56 ≡ 3.5 ≡ 41(mod 7); 6k ≡ 1(mod 7); => Mà 555 = 6.92+3 nên 5555= 56.92.53 => 5555 ≡ 1.6 ≡ (mod 7) Vậy dư chia 222555 cho 1 11 + + = Bài 20: Tìm chữ số a, b, c cho: ab.bc bc.ca ca.ab 3321 Giải: Quy đồng mẫu số ta được: 81.41 (ca + ab + bc ) = 11 ca.ab.bc (1) Do 41 số nguyên tố ước vế phải (1) nên 41 phải ước ba số ca; ab; bc Chẳng hạn caM41 Xét hai trường hợp: * ca = 41 hay c = 4; b = thay vào (1) ta 81.(41 + 1b + b4) = 11.1b.b4 => 81 ước 1b.b mà 1b chia hết cho 27 nên b phải chia hết cho 9, suy b = 5.thay vào (2) thoả mãn Lập luận tương tự abM41 bcM41 * ca = 82 hay c = , a = Thay vào (1) 81.(82 + 2b + b8) = 22.155*710* 4*16 81.(82 + 2b + b8) = 22.2b.b8 (3) Vế phải (3) chẵn nên vế trái b phải chẵn.Từ 81 ước số 2b.b8 mà 2b chia hết cho 81 nên b8 phải chia hết cho 3.Vì b chẵn nên b = 4, lúc 24.48 khơng chia hết cho 81 Bài tốn có nghiệm (a, b, c) là(1; 5; 4), (5; 4; 1), (4; 1; 5), (1; 5; 4), (5; 1; 4), (4; 5; 1) Bài 21: Cho A = 155*710* 4*16 chứng minh thay dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1; 2; cách tuỳ ý A chia hết cho 396 Giải: Ta thấy ba chữ số thay ba dấu (*) số a hàng lẻ ba số đơi khác thuộc tập hợp {1;; 2; 3} nên tổng chúng Mặt khác 396 = 4.9.11, 4; 9; 11 đơi ngun tố nên ta cần chứng minh A chia hết cho 4; 11 • A chia hết cho hai chữ số tận chia hết cho • A chia hết cho có tổng chữ số 36 chia hết cho • A chia hết cho 11 hieeuh số tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ • Vậy ta có đpcm Bùi Thị Hoa THCS Nguyễn Tất Thành, CưMgar, ĐăkLăk ... nên a + b chia hết cho 2.(1) Vì a3 + b3 chia hết a3 + b3 chia hết cho cho 3.Vậy a + b3 +3ab(a+b) chia hết cho hay (a + b)3 chia hết cho => a + b chia hết cho (2) Từ (1), (2) => a+ b chia hết cho... 1235679 x y chia hết cho 24 B phải chia hết cho B phải chia hết cho + + + + + + x + + y = 36 + 1+ x + y chia hết cho Hay x + y + chia hết cho (1) B phải chia hết cho x y chia hết cho x y... 2a0 chia hết cho ( 2a0 < A) Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho số có ba chữ số tận lập thành số chia hết cho 8 Dấu hiệu chia hết cho 9: Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho