CHUYÊN đề ôn TOÁN THPT HAY NHẤT và mới NHẤT

BÀI GIẢNG: GIỚI THIỆU NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ: NGUN HÀM, TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I GIỚI THIỆU: + Nguyên hàm :  f  x  dx Nguyên hàm phép tốn ngược lại với đạo hàm Ví dụ: Đạo hàm  x  ' 3x ngược lại 3x nguyên hàm  x  ' Trong chương nguyên hàm chia thành dạng tiêu biểu khác với chương hàm số chương loga Ví dụ chương hàm số: - Bài : Khảo sát vẽ đồ thị Bài : Tính đơn điệu hàm số Bài : Tìm giá trị lớn nhỏ Bài : Tương giao Bài : Cực trị…… Trong chương hàm số không liên quan đến nhau, làm học phần riêng rẽ Nhưng với nguyên hàm phải học dạng b + Tích phân :  f  x  dx a Tích phân khác nguyên hàm chỗ có thêm hai cận a b Kết nguyên hàm biểu thức kết tích phân số cụ thể Phương pháp làm nguyên hàm tích phân gần giống nhau, khác vài trường hợp +) Ứng dụng: - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I CƠNG THỨC: (1) x dx  x 1  C  1dx  x  C  1 (2) dx   C x (4) e x dx  e x  C  x dx  ln x  C (3) x + Ta có:  x3  '  x ,  3x dx  3 x 2dx  x3  C + Ta có:  x3  x  '  3x  x x  1  1 dx  x3dx   dx  x      C x x  x Tổng quát: +) k f  x  dx  k  f  x  dx +)  f  x   g  x  dx =  f  x  dx  g  x  dx Ví dụ 1: Tính a) x 3dx b) x dx  e)  xdx d) xdx c) x dx Giải a) x 3dx = x +C b) x dx  c) x d)  dx = x6 + C x 3 dx =  xdx  x dx = e) xdx  1 1 31 +C=  +C x x 2 x +C x +C= 3 2 x +C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! Ví dụ a) x3  x  1dx b)  x2  3  4dx x2 c)  ( x  2) dx d) x 3   x   dx x   Giải a) x   x  dx = x  x3  x  C 3 1    1 b)   x    dx = ( x   4)dx  x  3.    x + C x x    x   1 c) ( x  2)2 dx   x  x  dx  x3  x  x  C 3 3   d) x  x   dx =   x3   dx  x  3ln x  C x x    II CÔNG THỨC HÀM HỢP (1)   ax  b  (2)   ax  b  (3)  ax  b dx  a ln ax  b  C (4) e  1 ax  b dx =  1  ax  b  + C 1 a dx   1 C  ax  b  a 1 dx  eax  b  C a Ví dụ Tính nguyên hàm sau:  x b)  1   dx  2 a)  (2 x  1) dx d)   2xdx e)  2x  dx c) f) e   x  1 1 x dx dx Giải a) (2 x  1)4 dx   x  1  C  x  x b)  1   dx = 1    2   C  2  2 c)   x  1 2 dx  1 C  x  1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! 3/  xdx     x  dx    x   C d)  e)  2x  dx = 1 ln x   C f) e1 x dx  e1 x  1  C Ví dụ Tìm hàm số f  x  biết: a) f '  x   x  f 1  b) f '  x   x  x f     5x2 c) f '  x   f  e   x d) f '  x   ax  b f  1  2, f 1  4, f ' 1  x2 Giải   a) f  x    x1  dx  x  x  C  x  x  C  f 1   c   c  Vậy f  x   x  x  b) Ta có: f  x      2 x2 x  x dx  x   C  x x  x  C 3 40 Có f     4  42  C   C   3 40 Vậy f  x   x x  x  3  5x2 x  5x2 5x2 3   f  x   dx     x  dx  3ln x   C x x  c) f '  x   Mà f  e   5e2 5e2 5e2  C 1 3  C 1 C  2 2 x 5e2  f  x   3ln x    2  3ln e  b  x2 ax b   1  C d) f  x     ax  1 dx  a  b.    C  x  2 x   x Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! ) f  1   a bc  2 a bc  ) f  1   a  b  ) f 1    a    b  1  c   Vậy f  x   x   x Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN (TIẾT 1) CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM I Lý Thuyết Ngun hàm có dạng: I   f  x  dx +) Tác dụng: Phương pháp đổi biến có tác dụng đưa nguyên hàm từ dạng dài dòng phức tạp thành nguyên hàm đơn giản nhiều (các dạng SGK dạng dễ mà học) +) Phương pháp chung: Bước 1: Đặt f  x   t Bước 2: Vi phân vế: f '  x  dx  dt Bước 3: Thay (Bước 1) (Bước 2) vào đề  Làm nguyên hàm đơn giản Chú ý: Một số cơng thức tính đạo hàm hay gặp: (1)  sin x  '  cos x (2)  cos x  '   sin x (3)  tan x  '  cos2 x (4)  cot x  '   (5) e  '  e (6)  ln x  '  x sin x x x Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a) I   x( x  1) dx b) I   sin x.cos3 xdx c)  ln x dx x Giải a) Đặt x   t  B1  xdx  dt  B  1  I   t dt  t  C   x  1  C 5 b) Đặt cos x  t  B1   sin xdx  dt  B2 1  I   t  dt    t 3dt   t  C   cos4 x  C 4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! c) Đặt ln x  t  B1  dx  dt x  B2  1  I   tdt  t  C  ln x  C 2 Ví dụ Tính nguyên hàm: a) x  ( x2  1)2 dx b) 2e x  e2 x  2ex  dx c)  cos dx x(tan x  3)2 Giải a) Đặt x   t I   B1  xdx  dt  B  dt 1  1 1   dt      C   C t 2 t  t x 1 b) Biến đổi ta có: 2e x 2e x dx dx   e2 x  2ex   ex    Đặt e x   t  B1  e x dx  dt I   1 dt      C  2 x C t e 1  t c) Đặt tan x   t I   B 2  B1  dx  dt cos2 x  B2 1 dt    C   C t t tan x  Ví dụ Tính nguyên hàm: a)  3x x dx 2 b) ∫ Giải a) Đặt 3x   t  xdx  dt I  dt 1 1   dt  ln t  C  ln 3x   C t 6 t 6 b) Biến đổi ta được: sin x  tan xdx   cos x dx Đặt cos x  t   sin xdx  dt I  1 dt   ln t  C   ln cos x  C t Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN (TIẾT 2) CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM * Nguyên hàm chứa Chú ý: +) Thường đặt = t (C1) +) Đổi biến lượng giác hóa (C2) +) Phương pháp đổi biến: B1: Đặt f ( x)  t B2: Lũy thừa vế => vi phân B3: Thay B1 B2 vào đề Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a)  3x x3  1dx b) d)  sin x cos xdx e) x   x2 dx e2 x ex  c) x ln x dx ln x  dx Giải x3   t  x3   t  3x dx  2tdt a) Đặt  I   t.2tdt   2t dt  t3 C  3 x  1  C  x  t   x2  t  2 xdx  tdt   xdx  tdt b) Đặt  I    t  tdt     t dt   t C   2  x  3 C ln x   t  ln x   t  ln x  t   dx  2tdt x c) Đặt t  1  t3  2tdt  2  t  1 dt    t   C t 3   ln x       ln x    C     I    Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! d) Đặt cos x  t  cos x  t   sin xdx  3t dt  I  2 t t  3t  dt  6 t dt  6 t   C  6 cos x  7 C e x   t  e x   t  e x  t   e x dx  2tdt e) Đặt  t3  t 1 2tdt    t  1 dt    t   C t 3   ( e x  1)3   2  ex    C     I  Ví dụ Tính nguyên hàm a) x d)   x2 dx b)  x.(2  x 4x 1 dx 2x 1  e) x 33 3ln x )dx ln x  c)  sin x  sinx dx  3cos x dx x2  Giải a) Đặt  x  t   x  t  x   t  2 xdx  3t dt  3t  3  t4 t7   I     t  t  dt   t  t dt        C 2 2    3  x2     2  x     C 2    b) Biến đổi ta có:   x.  x Đặt A   xdx  B Đặt 3ln x  3ln x dx  dx   x  ln x   x ln x  x2  C  x2  C 3ln x dx x ln x  1 ln x   t  t  ln x   2tdt  dx x B  t  1 t 2tdt    t  1 dt   2t  6t  C   I  A  B  x2  2    6t  6t  C 3 ln x   ln x   C  ln x   ln x   C Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! c) Đặt  3cos x  t   3cos x  t  3sin x  2tdt  cos x  t 1 2t   2cos x  3  2t    1  3   2tdt   2t   dt   2t  1dt    t  t   C I    t 3 9 9  2x 1  t  2x 1  t  2x  t 1 d) Đặt x   t  2dx  2tdt  dx  tdt  2t    1 2t  1 t  2t  t   I  tdt   dt   dt t2 t2 t2 14 t3 t2   2t  4t   dt    7t  14 ln t   C = t2 2  t  2t  7t  14 ln t   C x   t  x   t  x  t   xdx  2tdt  xdx  tdt e) Đặt t dt   dt (t  4)t t 4 1 1  dt    dt t2 t2  t   t   I   1 t 2 ln t   ln t    C  ln C 4 t2 - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG: TÍNH NGHUYÊN HÀM THEO PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN (TIẾT 3) – PHẦN CHUYÊN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM * Chứa (Lượng giác)  a  x dx  Đặt x = a sint  a  x dx  Đặt x = a tant  x  a dx  Đặt x = a sin t Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a)  d) x  x2 dx  x2 dx b)  e)   2x  x2 dx x2  c)   x2 dx dx Giải a) Đặt x  sin t  t  arcsin x  dx  cos tdt  I    sin t cos tdt   cos t cos tdt   cos tdt  1  cos 2tdt 2 1 1  (t  sin 2t )  C  (arcsin x  sin arcsin x)  C 2 2 b) Biến đổi: I    x  x dx = Đặt x + = 2sin t  t  arcsin   (1  x  x2 )dx    ( x  1)2 dx x 1  dx  2cos tdt  I     2sin t  2cos tdt   cos t 2cos tdt   cos t cos tdt   I1   4cos tdt  2 1  cos 2t dt   t  sin 2t   C     I2    4cos tdt  2 1  cos 2t dt  2  t  sin 2t   C    I cos t  I  I cos t  c) Đặt x = 2sin t => t = arcsin x  dx  2cos tdt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa - GDCD tốt nhất! I   4sin t 2 cos tdt   4(1  sin t ) 2 cos tdt   cos tdt cos t x   1dt  t  C  arcsin  C d) Đặt x  sin t ta có : dx  cos tdt  I   sin t  sin t cos tdt   sin t cos t cos tdt TH 1: cos t   I   sin t.cos tdt   sin 2tdt 1   1  cos 2t  dt   dt   cos 2tdt 4 1  cos 4t 1   t  dt  t   t  sin 4t   C 4 8  1  t  sin 4t  C 32 TH : cos t  sin 2tdt 4 1 1  cos 4t    1  cos 2t  dt    dt   dt 4 1    t   t  sin 4t   C 8  1   t  sin 4t  C 32  I    sin t.cos tdt   e) Đặt x  tan t  dx  I  dt cos2 t 1 1 cos t cos t dt   dt   dt   dt   dt 2 cos t cos t cos t  sin t tan t  cos t cos t Đặt sin t = u  costdt  du I  1  1  du   du      du    ln u   ln u    C  1 u  u  u  1  u  1 u  1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa - GDCD tốt nhất! BÀI GIẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN (TIẾT 3) – PHẦN CHUYÊN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM *Một số nguyên hàm đổi biến tiêu biểu 1) ln x   x ln x  x dx 2) e x  e x  x 2e x   2ex dx 4) dx 1  5) x x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x  3)  sin x cos x  4sin x x sin(  x) 6)  dx sin x  2(1  sin x cos x) dx Giải 1) Ta có: ln x  ln x   x ln x  x dx =  x ( ln x  )dx Đặt ln x   t  ln x  t   dx  dt x I  t 3 dt    dt  t  3ln t  C  ln x   3ln ln x   C t t 2) Ta có: dx ex   e x   e x  e x  1 dx Đặt e x  t  e x dx  dt I  1 ex dt     dt   ln t  ln t    C   ln x C t  t  1 t t 1 e 1 3) Ta có: Đặt  sin x cos x  4sin x dx =  sin x cos x  sin x  3sin x dx   sin x 3sin x 1 dx 3sin2 x   t  3sin2 x  1 t  3sin 2xdx  2tdt I  2t dt 2   dt  t  C  3sin x   C t 3 3 4) Ta có: x  e x  x 2e x x (1  2e x )  e x ex x3 ex = dx dx  x  dx   dx   2ex   2ex   2ex   2e x Đặt e x  t  e x dx  dt Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! ex 1  dx   dt  ln 2t   C  ln 2e x   C x  2e 2t  2 x  I   ln 2e x   C 5)  x sin x  ( x  1) cos x dx = x sin x  cos x   1  x sin x  x cos x  cos x dx = x sin x  cos x   x sin x  cos x   x cos x dx x sin x  cos x x cos x x cos x dx dx = x   x sin x  cos x x sin x  cos x Đặt x sin x  cos x  t   sin x  x cos x  sin xdx  dt  x cos xdx  dt dt  ln t  C  ln x sin x  cos x  C t  I  x  ln x sin x  cos x  C I  6) Ta có:     +) sin   x   sin cos x  cos sin x   cos x  sin x  4 4  +) sin x  1  sin x cos x   2sin x cos x  1  sin x cos x   1  2sin x cos x    sin x  cos x  =>  I   2  cos x  sin x  cos x  sin x dx  dx   sin x  cos x 2  sin x  cos x  Đặt sin x  cos x  t  cos x  sin xdx  dt I  2 1 dt      C  t t  - HẾT - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! ... http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất! BÀI GIẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN CƠ BẢN (TIẾT 1) CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN MƠN TỐN... Bước 2: Vi phân vế: f '  x  dx  dt Bước 3: Thay (Bước 1) (Bước 2) vào đề  Làm nguyên hàm đơn giản Chú ý: Một số cơng thức tính đạo hàm hay gặp: (1)  sin x  '  cos x (2)  cos x  ' ... giác hóa (C2) +) Phương pháp đổi biến: B1: Đặt f ( x)  t B2: Lũy thừa vế => vi phân B3: Thay B1 B2 vào đề Ví dụ Tính nguyên hàm sau: a)  3x x3  1dx b) d)  sin x cos xdx e) x   x2 dx e2 x