Hệ thống phương trình Navier - Stokes - Voight là một mở rộng phương trình Navier - Stokes - Voight khi bổ sung toán tử thể hiện sự ảnh hưởng của tính đàn hồi đến chuyển động của chất lỏng và xuất hiện khi ta nghiên cứu chuyển động chất lỏng nhớt đàn hồi.
Hệ phương trình Navier - Stokes - Voight mở rộng hệ phương trình Navier - Stokes bổ sung toán tử thể ảnh hưởng tính đàn hồi đến chuyển động chất lỏng xuất ta nghiên cứu chuyển động chất lỏng nhớt đàn hồi Việc chứng minh tồn KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG tập hút lùi hệ trường hợp khơng có trễ nhóm tác giả C.T.Anh, P.T.Trang TẬP HÚT LÙI CỦA PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES - VOIGHT Từ khóa: Navier - Stokes - Voight, nghiệm yếu, tập hút lùi,HẠN trễ vơ hạn BA CHIỀU VƠ trình bày [1] Trong báo này, tập trung vào việc chứng minh tồn tập hút lùi trường hợp hệ phương trình Navier - Stokes - Voight có trễ vơ hạn SUMARY Đặng Thị Phương Thanh, Nguyễn Đình Như÷ Trường Đại học Hùng Vương The Navier - Stokes - Voight equations is an extension of the Navier - Stokes equations when we additional operator that shows the influence TÓM of theTẮT elasticity of the fluid motion, and appears when Hệ thống phương trình Navier - Stokes - Voight mở rộng phương trình Navier - Stokes we study the motion of matter visco-elastic liquid The proof of the existence of pullback attractor Voight bổ sung tốn tử thể ảnh hưởng tính đàn hồi đến chuyển động chất lỏng ofxuất thishiện equations without has been proved by the author andtạiP.T.Trang ta nghiên cứudelay chuyển động chất lỏng nhớt đàngroup hồi Việc chứngC.T.Anh minh tồn tập hútin lùi hệ trường hợp khơng có trễ nhóm tác giả C.T.Anh , P.T Trang trình [1] In this paper, we focus on proving the existence of the pullback attractor in case bày the Navier [1} Trong báo này, tập trung vào việc chứng minh tồn tập hút lùi trường - Stokes - Voighttrình withNavier infinite delay hợp hệ phương - Stokes - Voight có trễ vơ hạn Key words: infinite Navier - Stokes - Voight, Từ khóa: Navierdelay, - Stokes - Voight, nghiệm yếu, tậppullback hút lùi, trễattractor, vô hạn weak solution ĐẶT VẤN Đặt vấnĐỀ đề Các phương trình đạo hàm riêng có trễ xuất nhiều trình vật lý sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, mơ hình quần thể sinh học, Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ hai thập kỉ gần Lý thuyết hệ động lực tán xạ vơ hạn chiều Bài tốn lý thuyết nghiên cứu tồn tính chất tập hút Bên cạnh đó, vấn đề chứng minh nghiệm hệ phương trình Navier - Stokes ba chiều Viện Toán học Clay Mỹ bình chọn bảy tốn thiên niên kỷ Nỗ lực giải toán làm phát sinh nhiều hướng nghiên cứu thú vị Một hướng nghiên cứu quan tâm nhiều nghiên cứu hệ phương trình Navier - Stokes - Voight, hệ phương trình g - Navier - Stokes Hệ phương trình Navier - Stokes Voight thường xuất ta nghiên cứu chuyển động chất lỏng nhớt đàn hồi trở thành hệ phương trình Navier - Stokes hệ số đàn hồi Do đó, việc chứng minh tồn tập hút lùi hệ phương trình Navier - Stokes - Voight giúp hoàn thiện lý thuyết hệ động lực học chất lỏng ChoΩ miền bị chặn R3 với biên Γ ∂t u − ν u − α2 (∂t u) + (u · ∇)u + ∇p ∇·u u(t, x) u(τ + s, x) = f (t) + F (t, ut ) in (τ, T ) × Ω, = in (τ, T ) × Ω, = on (τ, T ) × Γ, = φ(s, x), s ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω, (1) u = u(t, x) = (u1 , u2 , u3 ) hàm vectơ vận tốc, p = p(x, t) hàm áp suất, ν > hệ số nhớt, α hệ số đàn hồi chất lỏng, f = f (x, t) ngoại lực tác dụng Cho không gian Banach X Xét hàm u : (−∞, T ) → X, với t < T ta ký hiệu ut hàm 124 KHCN (31) - 2014 xác định (−∞, 0] cho ut (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0] Với γ > 0, không gian chứa trễ = on (τ, T ) × Γ, = φ(s, x), s ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω, u(t, x) u(τ + s, x) u = u(t, x) = (u1 , u2 , u3 ) hàm vectơ vận tốc, p = p(x, t) hàm áp suất, ν > hệ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG số nhớt, α hệ số đàn hồi chất lỏng, f = f (x, t) ngoại lực tác dụng Cho không gian Banach X Xét hàm u : (−∞, T ) → X, với t < T ta ký hiệu ut hàm xác định (−∞, 0] cho ut (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0] Với γ > 0, không gian chứa trễ Cγ (V ) = {ϕ ∈ C((−∞, 0]; V ) : ∃ lim eγs ϕ(s) ∈ V }, s→−∞ không gian Banach với chuẩn ϕ γ := eγs ϕ(s) sup s∈(−∞,0] Để nghiên cứu toán (1), ta giả thiết: (H1) Miền Ω miền bị chặn R3 với biên Γ, thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré Ω: Tồn λ1 > cho |φ|2 dx ≤ Ω λ1 |∇φ|2 dx, ∀φ ∈ H01 (Ω) Ω (H2) f ∈ L2loc (R; V ) (H3) F (t, ut ) : (τ, T ) × Cγ (V ) → (L2 (Ω)) cho: (i) ∀ξ ∈ Cγ (V ), hàm (τ, T ) t → F (t, ξ) đo được, (ii) F (t, 0) = với t ∈ (τ, T ), (iii) Tồn số LF > cho với t ∈ R với ξ, η ∈Cγ (V ): |F (t, ξ) − F (t, η)| ≤ LF ξ − η γ Nghiệm yếu toán (1) định nghĩa sau: Định nghĩa Nghiệm yếu khoảng (τ, T ) toán (1) hàm u ∈ C((−∞, T ]; V ); du ∈ L2 (τ, T ; V ), với uτ = φ cho dt d u(t) + νAu(t) + α2 A(∂t u(t)) + B(u(t), u(t)) = f (t) + F (t, ut ) V dt (2) với hầu khắp t ∈ (τ, T ) νλ1 < 2γ Giả thiết f ∈ L2loc (R; V ), F : [τ, T ] × + λ1 α2 Cγ (V ) → (L2 (Ω)) thỏa mãn điều kiện (H1) -(H3), φ ∈ Cγ (V ) xác định Khi đó, tồn Định lý Chọn γ cho nghiệm yếu u toán (1) khoảng (τ, T ) Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Một nửa trình U X họ tham số ánh xạ U (t, τ ) : X → X với −∞ < τ ≤ t < +∞, thỏa mãn điều kiện sau: (i) U (t, τ ) ∈ C(X; X) với t ≥ τ (ii) U (τ, τ ) = Id với τ ∈ R (iii) U (t, τ ) = U (t, r)U (r, τ ) với −∞ < τ ≤ r ≤ t < +∞ Cho U nửa trình xác định không gian metric (X, d) Một họ B0 = {B0 (t) : t ∈ R} tập X gọi tập hấp thụ tập bị chặn với tập bị chặn B X, với t, tồn thời gian τ (B, t) cho: U (t, τ )B ⊂ B0 (t) ∀τ ≤ τ (B, t) t dãy {τn },- 2014 {xn } ⊂ x Nửa trình U gọi B0 - compact tiệm cận với mọiKHCN (31) 125 vớiτn ≤ t, lim τn = −∞, xn ∈ B0 (τn ), dãy {U (t, τn )xn } compact tương đối X n→+∞ Định nghĩa Một họ A = {A(t) : t ∈ R} gọi hút lùi nửa trình U t ∈ R} tập X gọi tập hấp thụ tập bị chặn với tập bị chặn B X, với t, tồn thời gian τ (B, t) cho: KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNGUVƯƠNG (t, τ )B ⊂ B0 (t) ∀τ ≤ τ (B, t) Nửa trình U gọi B0 - compact tiệm cận với t dãy {τn }, {xn } ⊂ x vớiτn ≤ t, lim τn = −∞, xn ∈ B0 (τn ), dãy {U (t, τn )xn } compact tương đối X n→+∞ Định nghĩa Một họ A = {A(t) : t ∈ R} gọi hút lùi nửa trình U thỏa mãn điều kiện sau: (i) A(t) tập compact X với t ∈ R (ii) Có tính bất biến, tức là, U (t, τ )A(τ ) = A(t) ∀τ ≤ t (iii) Hút tập bị chặn dạng hút lùi, tức với tập bị chặn cho trước B X, ta có ∀t ∈ R, lim dist(U (t, τ )B, A(t)) = 0, τ →−∞ dist(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập C1 C2 ; tức là, dist(C1 , C2 ) = sup inf d(x, y) x∈C1 y∈C2 Mệnh đề Giả thiết f ∈ L2loc (R, V ) F : R × Cγ (V ) → (L2 (Ω))3 thỏa mãn giả thiết (H1) - (H3) νλ1 tham số ánh xạ U (t, τ ) : C (V ) → C (V ), < 2γ Khi đó, họ với τ < T Giả sử γ γ + λ1 α2 với τ ≤ t, xác định U (t, τ )φ = ut , u nghiệm tốn (1), xác định nửa q trình Cγ (V ) Mệnh đề Dưới giả thiết Mệnh đề 1, đánh giá sau thỏa mãn cho nghiệm toán (1) với t ≥ τ : ut 2γ 2LF νλ1 + λ1 α2 −( 1+λ − λ α2 )(t−τ ) 1α ≤ e φ λ1 α 2 γ t + να2 e −( νλ1 u(s) ds ≤ e 1+λ1 α2 (t−τ ) − 2LF λ1 α2 )(t−s) f (s) 2∗ ds (3) τ t ν νλ1 1+λ1 α2 (|u(τ )|2 + α2 u(τ ) ) + τ 2LF (t−τ ) + α2 e λ1 α2 φ λ1 γ t νλ + 2ν νλ1 −1 − 1+λ1 α2 τ e 1+λ1 α2 e s f (s) 2∗ ds (4) τ t + 2ν −1 e 2LF λ1 α2 t− νλ1 1+λ1 α2 τ e ( νλ1 1+λ1 α2 − 2LF λ1 α2 )s f (s) 2∗ ds τ Chứng minh: Để ngắn gọn, phác thảo ý chứng minh sau: Thay v u phương trình d (u(t), v) + ν(Au(t), v) + α2 (A∂t u(t), v) + b(u(t), u(t), v) = f (t), v + (F (t, ut ), v) dt sử dụng bất đẳng thức Young đánh giá cho trễ với t ≥ τ , kết hợp với giả thiết νλ1 < 2γ, ta có + λ1 α2 νλ1 1+ λ1 α2 − 1+λ 126 KHCN 22 (31) - 2014 (t−τ ) 1α ut γ ≤ e φ λ1 α t γ + 2e τ − 2νλ1 1+λ1 α2 (t−s) f (s) να2 ∗ + LF us λ1 α 2 γ ds dt (u(t), v) + ν(Au(t), v) + α2 (A∂t u(t), v) + b(u(t), u(t), v) = f (t), v + (F (t, ut ), v) sử dụng bất đẳng thức Young đánh giá cho trễ với t ≥ τ , kết hợp với giả thiết νλ1 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG < 2γ, ta có + λ1 α2 ut 2γ νλ1 + λ1 α2 − 1+λ (t−τ ) 1α ≤ e φ λ1 α t γ + 2e − f (s) να2 2νλ1 (t−s) 1+λ1 α2 ∗ + τ LF us λ1 α 2 γ ds nữa, Do Hơn Bổ đề Gronwall, ta nhận (3) t Hơn nữa, νλ1 − (t−τ ) ν 1+λ1 α2 u(s) ds e t νλ1 − (t−τ ) ν τ u(s) ds e 1+λ1 α2 νλ1 − (t−τ ) ≤ e 1+λ1 α2 τ (|u(τ )|2 + α2 u(τ ) ) + 2ν −1 ≤e − νλ1 (t−τ ) 1+λ1 α2 t (|u(τ )|2 + α2 u(τ ) ) + 2ν νλ1 2LF − (t−s) e 1+λ1 α2 us 2γ ds t λ1 2LF τ − νλ1 (t−s) us 2γ ds + νλ1 e 1+λ1 α2 − λ1 (t−τ ) (|u(τ )|2 + α2 u(τ ) ) + ≤ e 1+λ1 ατ + t t −1 τ e e − − νλ1 (t−s) 1+λ1 α2 νλ1 (t−s) 1+λ1 α2 f (s) 2∗ ds f (s) 2∗ ds τ 2L νλ1 − F )(t−τ ) −( + α2 e 1+λ1 α2 λ1 α2 φ 2γ λ 2L νλ1 νλ1 − −( − F2 )(t−τ ) 2 2 (t−τ ) t 1+λ1 α2 λ1 α e (|u(τ )| + α u(τ ) ) + φ 2γ + α ≤ e 1+λ1 ανλ 2L νλ1 (t−τ ) − −( − F2 )(t−s) λ 2 2 − e 1+λ1 α +α φ γ + e 1+λ1 α λ1 α f (s) ∗ ds t ν λ 2LF νλ1 νλ1 τ −( 1+λ − (t−τ ) − λ α2 )(t−s) 1α − e 1+λ1 α2 e + α2 φ 2γ + f (s) 2∗ ds λ1 ν τ Kết hợp với đánh giá (3), ta có (4) Việc chứng minh Mệnh đề hoàn thành Kết Giả hợp thiết với đánh giá (3), ta có (4) Việc chứng minh Mệnh đề hoàn thành νλ1 2LF < Giả thiết λ1 α + λ1 α2 νλ1 2LF < λ1 α + λ1 α2 e ( −∞ ( e Từ (6), ta có 2L νλ1 − F2 )s 1+λ1 α2 λ1 α (5) f (s) 2∗ ds < +∞ (6) f (s) 2∗ ds < +∞ (6) −∞ t Từ (6), ta có 2L νλ1 − F2 )s 1+λ1 α2 λ1 α (5) e ( t −∞ ( 2L νλ1 − F2 )(t−s) 1+λ1 α2 λ1 α νλ1 − 2LF )(t−s) f (s) 2∗ ds < +∞ ∀t ∈ R e 1+λ1 α2 λ1 α2 f (s) 2∗ ds < +∞ ∀t ∈ R Sự tồn tập hút lùi kết trực tiếp Định lý 13 [3], Mệnh đề 1, Mệnh −∞ đề tồn tập hút lùi kết trực tiếp Định lý 13 [3], Mệnh đề 1, Mệnh Sự đề Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO C.T.Anh and P.T.Trang, Pull-back attractors for three dimensional Navier-Stokes-Voigt equations in some of the Royal Society of Edinburgh, A 143 C.T.Anh and unbounded P.T.Trang, domain, Pull-backProceedings attractors for three dimensional Navier-Stokes-Voigt (2013), 223-251 equations in some unbounded domain, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, A 143 T.223-251 Caraballo and J Real, Asymptotic behaviour of Navier-Stokes equations with delays, (2013), Proc R Caraballo Soc London A 459Asymptotic (2003), 3181-3194 T andSer J Real, behaviour of Navier-Stokes equations with delays, R P Soc Marín-Rubio, J Real and J Valero, Pullback attractors for a two-dimensional NavierProc London Ser A 459 (2003), 3181-3194 Stokes in an J.infinite delay Nonlinear 74 (2011), P.equations Marín-Rubio, Real and J case, Valero, PullbackAnal attractors for a2012-2030 two-dimensional NavierStokes equations in an infinite delay case, Nonlinear Anal 74 (2011), 2012-2030 KHCN (31) - 2014 127 5 ... dimensional Navier- Stokes- Voigt (2013), 22 3-2 51 equations in some unbounded domain, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, A 143 T.22 3-2 51 Caraballo and J Real, Asymptotic behaviour of Navier- Stokes. .. P.T.Trang, Pull-back attractors for three dimensional Navier- Stokes- Voigt equations in some of the Royal Society of Edinburgh, A 143 C.T.Anh and unbounded P.T.Trang, domain, Pull-backProceedings... Một họ A = {A(t) : t ∈ R} gọi hút lùi nửa trình U t ∈ R} tập X gọi tập hấp thụ tập bị chặn với tập bị chặn B X, với t, tồn thời gian τ (B, t) cho: KHOA HỌC CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC HÙNGUVƯƠNG (t, τ )B