Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes

Bài viết Nghiên cứu nghiệm xấp xỉ cho hệ phương trình Navier – Stokes trình bày phương pháp POD là một phương pháp tuyến tính trong đó ta sẽ xác định một hệ cơ sở trực chuẩn. Hệ cơ sở này sẽ xác định một không gian cỡ nhỏ hơn để xây dựng một mô hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIÊN CỨU NGHIỆM XẤP XỈ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Nguyễn Thị Lý Trường Đại học Thủy lợi, email:lycs2@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp POD phương pháp tuyến tính ta xác định hệ sở trực chuẩn Hệ sở xác định không gian cỡ nhỏ để xây dựng mơ hình rút gọn nhờ phép chiếu Galerkin ([1]) Phép chiếu Galerkin hệ véc tơ sở POD đưa vào hệ Navier-Stokes dẫn đến hệ phương trình vi phân bậc hai PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Cho    miền liên thông, bị chặn Xét hệ phương trình khơng dừng Navier Stokes Bài tốn I Tìm u  (u1 , u2 ) , p cho với T  u t  u  (u  )u  p  f   (0, T )    (0, T ) divu     (0, T ) u( x, y, t )  φ( x, y, t ) u( x, y, 0)  φ( x, y, 0)  Trong u biểu diễn véc tơ vận tốc, p áp suất,  số (nghịch đảo số Reynolds), f  ( f1 , f ) trọng lượng, φ( x, y, t ) hàm véc tơ Ta viết lại Bài toán I dạng tốn khác sau: Bài tốn II Tìm (u, p)  H (0, T ; X )  L2 (0, T ; M ) cho với t  (0, T ) , (ut , v )  a (u, v )  a1 (u, u, v )  b( p, v )  (f , v )  v  X  q  M b(q, u)  u ( x, 0)   Trong X  H 01 () , M  L20 () a(u, v )    u.vdxdy ,  a1  u, v, w   w v   v j  ui w j  ui xj j v j dxdy  i , j 1  xi i  với u, v, w  X , b(q, v )   qdiv vdxdy  Để tìm nghiệm phương pháp số cho Bài toán II, ta rời rạc hóa Bài tốn II Chúng ta sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho biến không gian dùng sơ đồ sai phân hữu hạn đạo hàm theo thời gian Cho L số nguyên dương, kí hiệu bước thời gian k  T / L ( T toàn thời gian): t ( n )  nk ;  n  L ; (u nh , phn )  X h  M h có xấp xỉ tương ứng theo phương pháp phần tử hữu hạn (u (t ( n ) ), p (t ( n ) )  (u n , p n ) Do dùng sơ đồ nửa ẩn Euler cho thời gian phương pháp phần tử hữu hạn để đưa toán I trở thành tốn sau đây: Bài tốn III Tìm (u nh , phn )  X h  M h cho (u nh , v h )  ka (u nh , v h )  n 1 n n  ka1 (u h , u h , v h )  kb( ph , v h )  n n 1  k ( f , v h )  (u h , v h ) v h  X h  n b(qh , u h )  qh  M h u    h  n  L 75 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Xét ma trận K  ( K ij )  R  tương ứng với snapshots U i i 1 xác định Gọi  X h  X h  M h Cho: Ui ( x, y )  (u1nhi , u2nih , phni )T (i  1,2, , ), đặt: V  span U1 , U , , U   không gian sinh snapshots U i i1 ,  giả sử có véc tơ khác   khơng Gọi ψ j l sở trực giao i1 V , với l  dimV Khi véc tơ khơng gian biểu diễn dạng l U i   ( U i , ψ j ) Xˆ ψ j với i  1,2, ,  j1 Kij  (Ui , U j ) Xˆ  Ma trận K nửa xác định dương có hạng l Mệnh đề 2: Cho 1  2   l  giá trị riêng không âm K v1 , v , , v l véc tơ riêng trực giao tương ứng Khi sở POD bậc d  l xác định  ψi   ( vi ) j U j i đó: Trong ( vi ) j tọa độ thứ j véc tơ ( U i , ψ j ) Xˆ ψ j riêng v i Hơn nữa, công thức sai số xác định  ((uhni , ψ u j )0 ψ u j ,( phni , p j )0 p j ) (.,.)0 L2 - tích bên trong, ψ u j  p j d  U i   (U i , ψ j ) Xˆ ψ j   i 1 j 1 sở trực giao tương ứng u p Ta có: V  span U1 , U , , U  X d  M d  V d với M d  Mh  M nj h b( p , u )  (1  i , j   ) tức b( p j , ψ u j )  0(1  i, j  l ) d (Ui , ψ j ) Xˆ ψ j  Ui   ψ j  j 1  i 1 j 1 d cho: (ψ i , ψ j ) Xˆ   ij Xˆ   u1nhi    Một nghiệm ψ j  u2nih d j1 j  d 1 j X d  Xh  X Xh  Pd : X h  X d và: Ph : X \ X h  X h \ X d L2 - phép chiếu  d : M  M d định nghĩa tương ứng và: (  d p, qd )0  ( p, qd )0 q  M d d u  X p  M Tốn tử tuyến tính P h  d xác định bị chặn: 2  phni   0 Xˆ l  a( P hu, v h )  a(u, v h ) v h  X h với  i  d ,1  j  i Ph Xˆ đó: Ui  Xét phép chiếu Ritz P h : X  X h cho: Định nghĩa Phương pháp POD xây dựng sở trực chuẩn cho với d (1  d  l ) trung bình bình phương sai số thành phần U i d - tổng riêng tương ứng nhỏ  V d  span ψ1 , ψ , , ψ d  Cho  span ψ1 , ψ , , ψ l  ni h j 1 gọi sở ( P d u)  u ,  d p)  p) u  X p  M POD bậc d 76 0 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 Bổ đề Với d (1  d  l ) toán tử chiếu P d  thỏa mãn d   (u nhi  P d u nhi  i 1  ni  u h  P d u nhi  i 1 2  l  j  d 1  Ch j l  j  d 1  ( phni   d phni  i 1  [1] P Holmes, J.L Lumley, and G Berkooz Turbulence, Coherent Structures, Dynamical Systems and Symmetry Cambridge Monographs on Mechanics, Cambridge University Press, 1996 l  j  d 1 Trong báo này, tác giả xây dựng sở trực chuẩn phương pháp POD Sau sử dụng phép chiếu để xây dựng mơ hình rút gọn xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Navier – Stokes TÀI LIỆU THAM KHẢO j và:  KẾT LUẬN j u nhi  (u1nhi , u2nih ) (u1nhi , u2nih , phni )T V Do đó, sử dụng V d  X d  M d , thu cơng thức rút gọn cho Bài toán III Bài toán IV: Tìm (u nd , pdn ) V d cho (u nd , v d )  ka (u nd , v d )  ka1 (u nd1 , u nd , v d )  n n n 1 d kb( pd , v d )  k ( f , v d )  (u d , v d ) v d  X  n qd  M d b(qd , u d )  u   d  n  L Chú ý: Bài tốn IV mơ hình rút gọn MFE dựa phương pháp POD Bài toán III 77 ... Trong báo này, tác giả xây dựng sở trực chuẩn phương pháp POD Sau sử dụng phép chiếu để xây dựng mơ hình rút gọn xấp xỉ nghiệm hệ phương trình Navier – Stokes TÀI LIỆU THAM KHẢO j và:  KẾT LUẬN... X h cho: Định nghĩa Phương pháp POD xây dựng sở trực chuẩn cho với d (1  d  l ) trung bình bình phương sai số thành phần U i d - tổng riêng tương ứng nhỏ  V d  span ψ1 , ψ , , ψ d  Cho. .. năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Xét ma trận K  ( K ij )  R  tương ứng với snapshots U i i 1 xác định Gọi  X h  X h  M h Cho: Ui ( x, y )  (u1nhi , u2nih , phni