Sự tồn tại nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HUYỀN TRANG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM MẠNH ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy Thái Nguyên, năm 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Trần Thị Huyền Trang i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Phạm Thị Thủy Do kiến thức mẻ khoảng thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô người để luận văn hồn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn q thầy quan tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn 1.1.2 Không gian hàm suy rộng 1.1.3 Không gian Sobolev 1.2 Phương trình Navier – Stokes 10 Chương Nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes 15 2.1 Bài toán 15 2.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  15 2.1.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  16 2.2 Bài toán 23 2.2.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  × 23 2.2.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes 0,T    24 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo iii Lời nói đầu Phương trình Navier – Stokes lần Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho chất lỏng không nén năm 1822 cho chất lỏng nhớt Nhưng Navier đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng yếu tố xuất phương trình Cho đến George Stokes thiết lập lại dựa giả thiết xác báo tựa đề On the theories of the internal friction of fluids in motion, xuất năm 1845 Cho đến có nhiều cơng trình nghiên cứu phương trình Navier – Stokes Tuy nhiên, hiểu biết phương trình Navier – Stokes cịn khiêm tốn, muốn biết lượng nhiệt lưu thông máy bay bay, hình thành bão, chuyển động khơng khí, giải thích tượng sóng đập vào tàu chạy mặt nước, ta phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes, nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes ngày trở nên thời cấp thiết Luận văn trình bày vài kết nghiên cứu nghiệm tốn chứa hệ phương trình Navier – Stokes Luận văn bố cục thành hai chương với Lời nói đầu, Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chương nội dung luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết sở cần thiết sử dụng Chương Chương 2: Nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes Trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh, tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes miền    với khoảng 0, T  ,0  T   miền bị chặn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong Chương trình bày lại số kiến thức sở làm tảng để nghiên cứu chương Các tài liệu tham khảo trích dẫn [1], [2], [3], [4], [7] 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn Định nghĩa 1.1.1 Giả sử   n miền với n  Nếu n  1,    a, b  khoảng mở với   a  b   Giả sử k  , ta kí hiệu C k    không gian tất hàm u:   u  x x cho D u tồn liên tục  với   n ,0    k C    không gian tất hàm u :   C     :  C k    gọi không gian hàm trơn  k 0 Giả sử M bao đóng tập M  n Ta kí hiệu supp u : x ; u  x   0 giá hàm u :   Nếu k  k   ta đặt C0k   : u  C k   ; supp u compact , supp u   Do u  C0k    nghĩa u  C k    u   ngoại trừ tập compact  Đặc biệt C0k    không gian tất hàm trơn u không ngoại trừ tập compact phụ thuộc vào u Giả sử u M hạn chế hàm u tập M Với k    hiệu C k  không gian tất hạn chế u  với u  C k sup   k , x n D u  x    k   ta kí   cho n Nếu k   ta thay   k    Ta xác định chuẩn u Ck  u D u  x    :  sup  k , x Ck  Nếu k   ta thay   k    Ta ký hiệu    k Cloc  : u  ; u  C k  n  Giả sử n  2,0  T   Ta xác định không gian trường vectơ không phân kỳ trơn   C0,    : u  C0    ; div u  n Ta xét không gian thử   C0   0, T  ; C0,     : u  C0   0, T     ; div u  , n div áp dụng cho biến số x   x1 , , xn      C0 0, T  ; C0,     : u 0,T  ; u  C0   1, T     ; div u  n 1.1.2 Không gian hàm suy rộng Giả sử   n miền với n  Trong lý thuyết hàm suy rộng, khơng gian tuyến tính C0    hàm trơn  gọi không gian thử   C0    gọi hàm thử Cho phiếm hàm tuyến tính F :   F   ,   C0    Hàm F liên tục với miền G  , G  , tồn k  C  C  F , G   cho F    C    Ck G thỏa mãn với   C0    Định nghĩa 1.1.2 Khơng gian tuyến tính C0    tất phiếm hàm tuyến tính F : C0      F   liên tục, gọi không gian hàm suy rộng  Kí hiệu F     F ,    F ,  giá trị F  Mỗi hàm f  L1loc    xác định hàm suy rộng định nghĩa  f ,  Ta kí hiệu hàm suy rộng f ,  f ,  f , :  f  dx   f Do ta xác định f với hàm suy rộng f , phép nhúng L1loc     C0    Mỗi f  L1loc    gọi hàm suy rộng quy Xét tốn tử vi phân D  D11 Dn n với   1 , , n   n Với F  C0    hàm suy rộng D F  C0    định nghĩa  D F ,  :  1  F , D  ,   C0     Đặc biệt, với f  L1loc    hàm suy rộng D f   D f ,.  C0    định nghĩa  D f ,  :  1  f , D   1    f  D  dx  Nếu D f quy tồn hàm L1loc    biểu thị qua D f cho  D f ,   D f ,    D f dx với   C0     Kí hiệu D f  L1loc    D f quy coi hàm L1loc    Giả sử F  C0    D : a D ,   k k , a  (1.1) toán tử vi phân DF  C0    định nghĩa  DF ,     1  k  a  F , D  ,   C0    (1.2) Đặc biệt, f  L1loc    Df định nghĩa (1.2) hàm suy rộng quy xác định hàm biểu thị qua Df ta viết đơn giản Df  L1loc    Khi  Df ,   Giả sử Df ,    Df  dx    1 a f , D với   C0       k f  L1loc      1 , , n   n D f Nếu quy, D f  L1loc    ta gọi D f đạo hàm yếu cấp  f Nếu  q   ký hiệu D f  Lq    D f quy hàm Lq    , ta viết D f q   Tương tự, Df  Lq    với D thỏa mãn (1.1) quy Ta xét không gian tương ứng cho trường vectơ Giả sử m C0   : 1 , ,m  ,  j  C0   , j  1, , m m khơng gian hàm thử có giá trị vectơ   1 , ,m  trang bị tôpô tương ứng Với F   F1 , , Fm  , Fj  C0    , j  1, , m ta định nghĩa hàm  F ,  , F:    1, ,m   C0   m  F ,    F ,  :  F1 ,1     F1 ,m  Ta ký hiệu  m m C0    C0       F1 , , Fm  ; Fj  C0    , j  1, , m  không gian suy rộng không gian thử C0   m Giả sử f  L1loc     1 , , n   m   f ,   n f   f1 , , f m  xác định hàm suy rộng f ,   f  dx  f   f11   f mm ,  1, ,m   C0   Khi ta có phép nhúng m m m L1loc     C0     Để xác định nghiệm yếu phương trình Navier – Stokes ta xét không gian hàm thử không phân kỳ   C0,    :   C0    ; div    C0    n n Không gian C0,    hàm tuyến tính liên tục định nghĩa C0,    không gian tất hạn chế F C 0, Do   n , F  C0,     C0,    F C 0,  , F  C0,       n Xét không gian Hilbert L2   với tích vơ hướng n u, v   u, v :  u  x  v  x  dx  không gian L2    : C0,    n bao đóng chuẩn  L2    n Với u  L2   xác định hàm u, :  n u, ,   C0   ta n phép nhúng tự nhiên n n L2     C0     Tương tự, với u  L2    xác định hàm u, :  u,  ,   C0,    phép nhúng tự nhiên L2     C0,    Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao P : L2   Helmholtz 1.1.3 Không gian Sobolev n L2   gọi phép chiếu   X  u :  0, T   L2    :  A1/2u  , A1/2u  L4  0, T ; L2     ,  A1/2u     t trang bị chuẩn u X   A1/2u  t 2,4;T  A1/2u Vì  A1/2u   L4  0, T ; L2    , đồ t 2,4;T   A1/2u  t  liên tục từ  0, T   L2    t Đặc biệt, điều kiện ban đầu  A1/2u   0  xác định có bất đẳng thức nội suy u  t   A1/2 A1/2u  t   A1/2u  t  1/2 A1/2u  t  1/2 Từ (1.9) ta có u  L4loc 0, T  ; L2    , u  X Cho X nhúng liên tục vào L8  0, T ; L4    ta u 4,8;T c u X, u  X , c  (2.14) Xét u  X đặt u  A1/2u f  A1/2ut  A1/2u  L4  0,T ; L2    Rõ ràng u nghiệm toán u  t   Au  f , u    Từ Bổ đề 2.5 ta có A1/2u  t    e t  t   A u  t    A1/2e t  t   A fd , fd ,0  t  T , u 4,8;T  c A3/8u 2,8;T  c A7/8u 2,8;T c f 2,4;T c u với c  X Để chứng minh điều ta sử dụng (1.10) với   , q  (2.12) với 8   , r  8, s  Từ (2.13) ta đặt   v  t   e  tAu0 ,U  v  u h  A1/2 P div  uu   L4 0, T ; L2   Vậy 20 U  t    A1/2e t  t   A hd , A1/2U  t    e t  t   A hd Áp dụng (2.11) với s  từ (2.9) ta U X  c1 h  c1 uu 2,4;T  c2 u 2,4;T 4,8;T   với c1 , c2  (2.15) Vậy U  v  u  X  L8  0,T ; L4    (2.16) Để giải toán điểm bất động (2.13) X ta xác định tốn tử phi tuyến tính   U  t    A1/2et   A A1/2 P div  uu  d t t   A1/2e  t   A A1/2 P div   v  U  v  U   d (2.17) Áp dụng (2.15) với U thay  U  ta kết luận  : X  X  U  X  c2 v  U   c2 U 4,8;T 4,8;T  v  4,8;T (2.18) Nghiệm u  L8  0, T ; L4    (2.13) điểm bất động U  X  xác định U  v  u Để tìm điểm bất động U  X  cho b  v  U  X  b  c U 4,8;T , (2.18) có dạng  b   b với c  X Xét phương trình bậc hai b y  y    0,   c c   Chọn  *  (2.7) cho  *    Khi b  v  4c  4,8;T  *1/8 suy 4cb  phương trình bậc hai có nghiệm dương vơ bé y1 cho  y1  2b Xác định hình cầu đóng B  U  X : U   U    U   t    t A1/2e  t   A A1/2 P div 21 X  y1  b , với U  B   v  U U  U   U  U  v  U   d  U    U   c U X  2cy1 U  U  X X  b  U X  b U  U   4cb U  U  X X Điều chứng tỏ  : B  B co thắt nghiêm ngặt từ định lý điểm bất động Banach tồn U  X thỏa mãn  U   U Đặt u  v  U , v  L  0,T ; L2     L2loc 0, T  ;W0,1,2    mà U  L8  0, T ; L4    Vậy u  v  U  L8  0,T ; L4    uu  L4  0, T ; L2    Hơn nữa, u  L4loc  0,T ; L2    nên U  L2loc 0, T  ;W0,1,2    Do u  L2loc 0, T  ;W0,1,2    Vì  U   U nên từ (2.17) có u  t   etAu0   A1/2e t  t   A A1/2 P div uud ,0  t  T Ở F : uu  L2loc 0, T  ; L2    từ Bổ đề 2.5 suy u nghiệm yếu hệ phương trình Stokes với f  div F Do u thỏa mãn bất đẳng thức lượng (2.10) 0,T  (2.2) với T thay T    0, T  Mặt khác F , u    uu, u   u,  u 2   divu, u 2   Khi bất đẳng thức lượng (2.10) thỏa mãn dạng t 2 1 u  t    u d  u   ,0  t  T 2 Vậy u nghiệm mạnh hệ (2.1) mà ta tìm ii) chứng minh Chứng minh i) Giả sử (2.5) thỏa mãn, ta tìm T  cho (2.7) không đổi Từ ii) cho thấy tồn nghiệm mạnh u  L8  0,T ; L4    hệ (2.1) với u    u0 Do (2.5) điều kiện đủ 22 Ngược lại, giả sử u  L8  0,T ; L4    nghiệm mạnh hệ (2.1) 0, T  ,0  T   Khi từ (2.13), (2.16) có v  u  L8  0, T ; L4    v  t   e tAu0 Do  T Từ (1.12),   T etAu0 dt   etAu0 dt   u0 thỏa mãn (2.5) Vậy i) chứng minh 2.2 Bài toán Cho   miền bị chặn biên  lớp C 2,1 ,  T   Xét toán chứa hệ phương trình Navier – Stokes  0,T    có dạng ut  u  u.u  p  f , div u  0, (2.19) u   0, u t 0  u0 , với điều kiện ban đầu u0  L2    ngoại lực f  div F , F  L2  0, T ; L2    Một hệ phương trình tuyến tính (hệ phương trình Stokes) tương ứng  0,T    với điều kiện u0 , f  div F có dạng Et  E  h  f , div E  0, (2.20) E   0, E t 0  u0 Ta tìm nghiệm yếu nghiệm mạnh tốn có chứa hệ phương trình Navier – Stokes 2.2.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  × Định nghĩa 2.6 Cho u0  L2    , f  div F , F  L2  0, T ; L2    Khi u  L  0, T ; L2     L2  0, T ;W01,2    gọi nghiệm yếu  0,T    hệ phương trình (phi tuyến tính) Navier – Stokes (2.19) với điều kiện ban đầu u0 , f  u, wt ,T  u, w ,T  uu, w ,T  u0 , w 0   F , w ,T thỏa mãn hàm thử w  C0 0, T  ; C0,    bất đẳng thức lượng 23 t t 2 1 u  t    u d  u     F , u  d 2 0 (2.21) với  t  T Định nghĩa 2.7 Một nghiệm yếu u (2.19) với điều kiện u0 , f gọi nghiệm mạnh  0,T    có số mũ  s  ,  q  ,   gọi số mũ Serrin s q cho thỏa mãn điều kiện bổ sung Serrin u  Ls  0,T ; Lq    Định nghĩa 2.8 Nghiệm E  L  0, T ; L2     L2  0, T ;W01,2    (2.22) gọi nghiệm yếu  0,T    hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20) với điều kiện u0 , f  E, wt ,T  E, w ,T  u0 , w 0   F , w ,T (2.23) cho hàm thử w  C0 0, T  ; C0,    đẳng thức lượng t 1 E  t    E d  u0 2 2 t   F , E  d (2.24) thỏa mãn với  t  T 2.2.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T    Cho u, E nghiệm yếu với điều kiện u0 , f thỏa mãn Định nghĩa 2.6  0,     cho  s  ,  q   cho   số mũ Serrin Khi đó, s q điều kiện 0  T    : E  Ls  0, T ; Lq    cần đủ cho tồn khoảng 0,T  với  T   Vậy u  Ls  0,T ; Lq    nghiệm mạnh  0, T  24 Do điều kiện Serrin địa phương cho nghiệm E hệ tuyến tính (2.20) cần đủ cho tồn nghiệm mạnh địa phương u hệ phi tuyến tính (2.19) với số mũ Serrin s, q Chú ý Với c  c  , q       , q   số v q  c A v , v  D  A  ,    q, 2   A e  tAq 3  ,    1, q  v  ct  e  t v q , v  Lq    ,    1, t  (2.25) (2.26) q Ngoài ra, D  Aq1/2   W01,q    Lq   chuẩn Aq1/2v  v q , v  D  Aq1/2  q tương đương Trong trường hợp q  ta ký hiệu A21/2  v , v  D  Aq1/2  Nếu g  div G với G   Gij   Lq    , đối số gần chứng tỏ Aq1/ Pq i , j 1 div G  Lq    định nghĩa tổng quát Aq1/2 Pq div G, v  G, Aq1/2v , v  Lq    , q  q q 1 Aq1/2 Pq div G q c G q (2.27) Hệ phương trình Stokes   vt  Aq v  f , v    với f  Ls 0, T ; Lq   ,1  s, q   (2.28) có nghiệm v  C 0, T  ; Lq    thỏa mãn vt , Aqv  Ls  0,T ; Lq    vt q , s ;T  Aq v q , s ;T c f q , s ;T , c  c  , q, s   (2.29) v t    e t  t   Aq f   d ,  t  T Áp dụng (2.26) với    ta có Aq v  t   c   t    t q  f   d ,0  t  T với c  c  , q   q 25 (2.30) áp dụng đánh giá Hardy – Littlewood với    s  ,    Aq v c f q , s ;T với c  c  , , q, s   q , ;T Tiếp đó, đặt v  Aq1/2v ta có v  t    Aq1/2e t  t   Aq dụng (2.25) với 2  1  s  (2.31)   1, áp s q f   d ,  t  T Cho 3 3  ,  (2.26) với    (2.31) ta có 2q q q/2 2q v q , s ;T c f q s , ;T 2 với c  c  , q   (2.32) Từ (2.28) có v q , s ;T     c   Aq1/2v    t  q s , ;T 2    A v  q s , ;T  2  1/2 q (2.33) Cuối ta xét hệ phương trình Stokes có dạng Et  E  h  div F , div E  0, (2.34) E   0, E t 0  u0 , (2.20) với u0  L2    tổng quát (2.20) với F  Lrloc 0,T  ; L2    ,1  r   Khi E  t   etAu0   A2 e t  t   A P div Fd ,  t  T (2.35) xác định với A  A2 , P  P2 , từ (2.23) suy E  L1loc 0, T  ;W0,1,2    (2.36) E nghiệm yếu (2.34) Ngược lại, E thỏa mãn (2.36) (2.23) ta (2.35) Tuy nhiên, u0  L2    áp dụng (2.9) với r  E xác định (2.35) thỏa mãn (2.22), (2.23), (2.24) (2.37) nghiệm yếu xác định (2.34) theo Định nghĩa 2.8 Định lý 2.10 Cho   miền bị chặn với biên  lớp C 2,1 ,  T  ,   u0  L2    , f  div F với F  L2 0, T ; L2   cho  s  ,  q   cho 26   Giả sử E nghiệm yếu hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20) s q với điều kiện u0 , f thỏa mãn E  Ls  0, T ; Lq    Khi đó, tồn  *   *  , q   không đổi với tính chất sau: Nếu E  Ls 0,T ; Lq     * (2.38) hệ phương trình Navier – Stokes (2.19) có nghiệm mạnh u  Ls  0,T ; Lq    với điều kiện u0 , f khoảng  0, T  Chứng minh Từ giả thiết Định lý, ta phải tìm số  *   *  , q   (2.38) cho (2.19) có nghiệm mạnh u  Ls  0,T ; Lq    với điều kiện   u0 , f Giả sử có nghiệm u  Ls 0,T ; Lq   u nghiệm yếu (2.19) nên u  Ls  0, T ;W01,2     L2  0, T ; L6    Từ bất đẳng thức Hưlder ta có uu 2, r ;T c u 3, s ;T u 6,2;T c u q , s ;T u 6,2;T  , 1  r  s,   , c  c  , q   r s Với F  L2  0,T ; L2    r  uu  F  Lrloc 0,T  ; L2    Áp dụng (2.36) với F thay F  uu  F , E cho E  t   etAu0   A2 e t  t   A P div Fd ,  t  T (2.39) Mặt khác, u thỏa mãn (2.36) (2.23) với F thay F Vì u nghiệm mạnh (2.19) u  t   E  t  thỏa mãn (2.39) Đặt U  u  E ta U  t    A2 e t  t   A P div  uu  d ,  t  T Áp dụng (2.32) với f thay A P div  uu  từ (2.27) ta có 27 (2.40) U  c uu q , s ;T q s , ;T 2 c u q , s ;T   (2.41) Khi ta  U  t    t  t   A Ae  A P div  U  E U  E   d (2.42) Vậy (2.40) tương đương với phương trình điểm bất động U   U  (2.43) Cho không gian Banach s q     12  12    12   q /2 2 X  v  0, T   L    :  Aq v  , Aq v  L  0, T ; L     , Aq v          t   trang bị chuẩn v X  1    Aq v   t  Aq2 v q s , ;T 2 q s , ;T 2 nhận nghiệm U  X Vậy u  U  E nghiệm cần tìm Định lý 2.10 Cho U  X,  U  E U  E   áp dụng (2.29) q, s thay  vA 2 với U  ,  f  A 2P div q s , , áp dụng (2.27) bất đẳng thức 2 Hölder, áp dụng (2.33) cho U ta  U  Đặt b  E q , s ;T X  a U X  E q , s ;T  với a  a  , q   ta  U  X  b  a U  b   b X (2.44) Chọn  *   *  , q   (2.38) cho 4ab  (2.45) Khi phương trình bậc hai y  ay  b có nghiệm dương vơ bé y1 cho   y1  2b   4ab 28  1  2b Vì y1  ay12  b  b, hình cầu đóng B  v  X : v  y1  b   Cụ thể, từ (2.44) X ta có  U   B khơng đổi với U  B Hơn nữa, từ (2.42) cho U , U  B ta có   U    U   t    A e t  t   A  A P div U  E  U  U   U  U U  E  d , tương tự (2.44) có  U    U  X  a U X b U  2ay1 U  U X X   b U U  4ab U  U X X (2.46) Do  : B  B co thắt nghiêm ngặt, áp dụng định lý điểm bất động Banach ta có U  B thỏa mãn (2.43) Áp dụng (2.33) với v thay U ta U q , s ;T c U X   với c  c  , q   Tiếp theo, ta xác định u  U  E chứng minh u nghiệm cần tìm Định lý 2.10 u q , s ;T  U q , s ;T  E q , s ;T  tức u  Ls  0,T ; Lq    Vậy, u nghiệm yếu hệ phương trình (2.19) Ta viết U   U  dạng t  t   A U   A e  A P div  uU  uE  d ,  t  T (2.47) Áp dụng phương pháp làm trơn Yosida sau: Ta xác định tính gần Yosida U U n  J nU 1 với 1  1 J n   I  A  , n  , I đồng thức Vậy U  U n  A 2U n , J n n n   12 A J n toán tử giới hạn L2    với n Khi áp dụng J n cho hai n vế (2.47) ta 2  t   A A U n  t    A e t J n P div  uU  uE  d ,  t  T Hơn nữa, áp dụng công thức 29 (2.48)  12   J n P div  uU  uE   J n P  u U n   A J n A P div  uA 2U n   J n P  u E  n   1 1 1 với      từ bất đẳng thức Hưlder ta có 2 q  J n P div  uU  uE    c u U n c u ta (2.37), (2.26) 2  A   A1/2 P div uA1/2U n  U n  E 1/2 q 2    u E    với c  c  , q   3  ,   Từ (2.48) ta có  2q A1/2U n  t   A1/2 J nU  t   c   t    t 2   u A 1/2 q Un  u  E  d với c  c  , q   Cuối cùng, áp dụng đánh giá Hardy – Littlewood, (2.30) (2.31) với 1 1          sử dùng bất đẳng thức Hưlder ta có 2 2 s  A1/2U n 2,2;T c u A 1/2 q , s ;T Un 2,2;T  E 2,2;T  (2.49) với c  c  , q   Hằng số  *   *  , q   (2.38) chọn cho thỏa mãn (2.45) Dựa vào b  E mãn c u q , s ;T q , s ;T (2.44) (2.46) ta thấy * chọn bổ sung thỏa  Khi từ (2.49) ta có A1/2U n 2,2;T  2c u q , s ;T E 2,2;T với c  c  , q   độc lập với n Cho n   ta có A1/2U U , u  U  E  L2  0,T ;W01,2    Vì uu  L2  0,T ; L2    nên từ (2.47) U  t    e t  t   A 30 P  u u  d 2,2;T   1 1 1 1 1 1 3 Áp dụng (2.25), (2.26) với 2   ,  , q1     , q2     ta q1 q2 q 2 q 2 q U t  q  c  t Aq2 e  t   Aq Pq  u u  d  c   t    t q2  u u d , q2 c  c  , q   Khi từ đánh giá Hardy – Littlewood ta có U q1 ,s1 ;T  c u u 1 q2 ,s2 ;T c u q ,s;T u  , 2,2;T 1 1 1 1 1 1 s1     , s2     ,     ,1     , c  c  , q   s q s1 s2 2 s 2 s Ngoài ra, áp dụng bất đẳng thức nội suy tiêu chuẩn E q1  c E 1    3    , c  c  , q   0, ta có E  q1  q   Do u  U  E  Ls1 0,T ; Lq1   uu 2,2;T s1 q1 , s1 ;T c u  c E q ,s;T 2,2;T E  s1  2,;T E 1 ,   u q ,s ;T   1 Cuối cùng, từ (2.47) ta  t   A u  t   e u0   A e t  tA  A P div  uu  F  d ,  t  T   Khi uu  F  L2 0, T ; L2   ta thấy u thỏa mãn điều kiện tương ứng E (2.36), (2.37) với F thay uu  F Vậy u nghiệm yếu hệ phương trình tuyến tính (2.20) với E, f  div F thay u , div  uu  F  Áp dụng uu, u   u,  u   div u, u  0 từ (2.24) suy (2.21) thỏa mãn u nghiệm mạnh (2.19) theo Định nghĩa 2.7 Vậy Định lý 2.10 chứng minh 31 Định lý 2.11 Cho   miền bị chặn biên  lớp C 2,1 cho   u0  L2    , f  div F , F  L2 0, ; L2   ,  s  ,  q  , cho  1 s q Khi đó:   Tồn nghiệm mạnh u  Ls 0,T ; Lq   hệ phương trình (phi tuyến tính) Navier – Stokes (2.19) khoảng 0,T  ,  T   với điều kiện u0 , f tồn nghiệm yếu E hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20) khoảng  0,T   ,  T    với điều kiện u0 , f thỏa mãn điều kiện Serrin E  Ls  0,T ; Lq      Chứng minh Từ giả thiết Định lý cho u  Ls 0,T ; Lq   nghiệm mạnh (2.19) với điều kiện u0 , f khoảng  0, T  ,0  T   Xét nghiệm yếu E hệ phương trình (2.20) 0,T  với điều kiện u0 , f   Khi ta thấy E  Ls 0, T ; Lq   không đổi với T   T Từ (2.38), (2.39) (2.40) ta có u t   E t    A2 e t  t   A A P div  uu  F  d ,  t  T  Từ (2.41) ta có E q , s ;T  u  E u  uE q , s ;T  u  q , s ;T q , s ;T  u  u q , s ;T q , s ;T   nghĩa E  Ls 0,T ; Lq   Ngược lại, tồn nghiệm yếu E khoảng  0, T   ,0  T    với   điều kiện u0 , f thỏa mãn E  Ls 0,T ; Lq   , ta chọn số T thỏa mãn  T  T cho thỏa mãn (2.38) Định lý 2.10 mang lại tồn nghiệm mạnh   mong muốn u  Ls 0,T ; Lq   Vậy Định lý 2.11 chứng minh 32 Kết luận Luận văn “Sự tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes” trình bày kiến thức sau:  Trình bày số tính chất không gian hàm: hàm trơn, hàm suy rộng, hàm Sobolev định nghĩa phương trình Navier – Stokes  Trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh tốn có chứa hệ phương trình Navier – Stokes  Trình bày tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes Cuối cùng, lần nữa, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy, người tận tình hướng dẫn tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn văn 33 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Adams R A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [3] Apostol T M (1974), Mathematical Analysis, Addison – Wesley, Am – sterdam [4] Farwig R., Galdi G P., Sohr H (2006), A new class of weak solutions of the Navier – Stokes equations”, Comptes Rendus Mathematique, Mathematical Problems in Mechanics (348), 335-339 [5] Galdi G P (1994), An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier – Stokes equations, Vol I, Linearized Steady Problems, SpringerVerlag, New York [6] Kozono H (2001), Weak solutions of the Navier – Stokes equations with test functions in the weak – Ln spaces, Tohoku Math J (53), 55-79 [7] Hermann Sohr (2001), The Navier – Stokes Equations, An Elementary Functional Analytic Approach, Birkhãuser Advanced Texts, Birkhãuser Verlag, Basel [8] Reinhard Farwig, Hermann Sohr & Werner Varnhorn (2011), Necessary and sufficient conditions on local strong solvability of the Navier – Stokes system, Applicable Analysis: An International Journal, 90:1, 47-58 [9] Reinhard Farwig (2010), Hermann Sohr, On the existence of local strong solutions for the Navier – Stokes equations in completely genaral domains, Nonlinear Analysis 73, 1459-1465 [10] Sohr H., Farwig R., Kozono H (2007), Very weak, weak and strong solutions to the instationary Navier – Stokes system, J Neeas Center for Mathematical Modeling, P Kaplicky, Prague 34 ... dụng Chương Chương 2: Nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes Trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh, tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes miền    với... ;T 14 Chương Nghiệm mạnh địa phương tốn chứa hệ phương trình Navier – Stokes Chương trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh, tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes hai trường... trình Navier – Stokes  Trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh tốn có chứa hệ phương trình Navier – Stokes  Trình bày tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes Cuối cùng,