Bài viết chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình p-Laplace với dữ liệu độ đo trong không gian Marcinkiewicz. Ý tưởng chính của chứng minh là dựa vào định lí điểm bất động Schauder cho một ánh xạ liên tục, xác định trên một tập lồi, đóng, có ảnh là tập tiền compact.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 16, Số 12 (2019): 982-992 ISSN: 1859-3100 Vol 16, No 12 (2019): 982-992 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH P-LAPLACE VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN MARCINKIEWICZ Nguyễn Thành Nhân*, Lê Đức Việt Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tác giả liên hệ: Nguyễn Thành Nhân – Email: nhannt@hcmue.edu.vn Ngày nhận bài: 04-6-2019; ngày nhận sửa: 21-6-2019; ngày duyệt đăng: 30-10-2019 * TĨM TẮT Trong báo cáo này, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm phương trình p-Laplace với liệu độ đo khơng gian Marcinkiewicz Ý tưởng chứng minh dựa vào định lí điểm bất động Schauder cho ánh xạ liên tục, xác định tập lồi, đóng, có ảnh tập tiền compact Để xây dựng ánh xạ thỏa tính chất này, áp dụng số đánh giá gradient nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu độ đo, nghiên cứu vài báo gần Từ khóa: nghiệm renormalized; khơng gian Marcinkiewicz; phương trình p-Laplace Giới thiệu Trong báo này, chứng minh tồn nghiệm renormalized cho phương trình p-Laplace có dạng sau pu b x | u |q , x , x , u 0, (1) với tập mở bị chặn n ( n ) độ đo Radon hữu hạn ; b hàm đo bị chặn ; với p toán tử p-Laplace p u div(| u | p 2 u ) , tham số p p q p Phương trình (1) biết đến mơ hình mơ lí thuyết tăng trưởng bề mặt Vật lí, đưa (Kardar, Parisi, & Zhang, 1986) Ngồi ra, phương trình cịn xem dạng ổn định phương trình độc lập thời gian Hamilton-Jacobi Dạng tổng quát phương trình phương trình dạng Riccati tựa tuyến tính, khảo sát số nhà tốn học Mengesha, Martio Nguyen báo (Mengesha, & Nguyen 2016), (Martio, 2011) (Nguyen, 2014) Trong đó, tác giả Cite this article as: Nguyen Thanh Nhan, & Le Duc Viet (2019) Existence of a renormalized solution to the p-Laplace equation with measure data in Marcinkiewicz spaces Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 16(12), 982-992 982 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân tgk chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình dạng Riccati tựa tuyến tính với số giả thiết khác miền tham số p, q Chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình p-Laplace (1) dựa số đánh giá gradient phương trình elliptic tựa tuyến tính có dạng div A x, u , x , u 0, x , (2) đó, A tốn tử tựa tuyến tính Caratheodory thỏa hai điều kiện sau A x , y c1 y p 1 , A x, y A x, z , y z c2 y z 2 p2 2 yz , với c1, c2 hai số, x, y, z thuộc Rn Liên quan đến tốn đánh giá gradient phương trình (2), có nhiều kết công bố gần đây, với giả thiết khác toán tử A, miền tham số p Chẳng hạn báo (Nguyen, 2014) đánh giá miền Reifenberg A có chuẩn BMO nhỏ, báo (Tran, 2019) đánh giá miền p-capacity không gian Lorentz, báo (Tran & Nguyen, 2019) đánh giá miền p-capacity 3n không gian Morrey-Lorentz cho trường hợp p … 2n n Chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình dạng Riccati tương ứng tác giả nghiên cứu ứng dụng đánh giá gradient Tiếp tục chuỗi nghiên cứu này, áp dụng kết đánh giá gradient nghiệm phương trình 3n (2) báo gần (Tran, 2019) trường hợp kì dị p để chứng 2n n minh tồn nghiệm renormalized phương trình (1) khơng gian Marcinkiewicz, cịn gọi khơng gian Lp yếu Kết báo phát biểu định lí sau Định lí 1.1 Cho n , n miền bị chặn có phần bù thỏa mãn điều kiện p-capacity b hàm đo được, bị chặn Giả sử 3n 1 p ( p 1) (3) p 2 , p 1 q p 1 2n n n n Khi đó, tồn cho độ đo Radon hữu hạn thỏa ||| |||Ls , ( ) , phương trình (1) có nghiệm renormalized u thỏa đánh giá ||| u |||qLqs , ( ) c ||| |||Ls , ( ) , s (4) n( q p 1) c số không phụ thuộc vào u q 983 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 982-992 Chúng nhấn mạnh phương trình (1) khơng phải dạng đặc biệt phương trình dạng Riccati nghiên cứu (Tran, & Nguyen, 2019) xuất hàm đo b vế phải Trong báo này, ta chứng minh tồn nghiệm phương trình (1) với ý tưởng Chúng nhận xét chứng minh so với chứng minh (Tran, & Nguyen, 2019) khơng có khác biệt phương pháp, mà cần số đánh giá kĩ thuật cụ thể đánh giá chuẩn khơng gian Marcinkiewicz Trong chứng minh định lí chính, kế thừa số kết báo gần có chứa vài khái niệm nghiệm renormailzed điều kiện p-capacity Chúng tơi khơng trình bày lại định nghĩa chi tiết để tránh phức tạp không cần thiết cho báo Các khái niệm đọc nhiều tài liệu tham khảo (Maso et al., 1999) (Tran, 2019) Không gian Marcinkiewicz Trước hết, nhắc lại định nghĩa số tính chất biết khơng gian Marcinkiewicz Mặc dù tính chất khơng xuất nhiều tài liệu tham khảo, chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh tính chất báo nhằm tạo liền mạch viết thuận lợi cho người đọc Định nghĩa 2.1 Với s , không gian Marcinkiewicz Ls , () , hay cịn gọi khơng gian Lp yếu, tập hợp hàm f đo Lebesgue cho || f ||Ls , ( ) , || f ||Ls , ( ) : sup x : f ( x) s , 0 với kí hiệu | W | độ đo Lebesgue tập đo W n Liên hệ không gian Marcinkiewicz không gian Lebesgue thể sau: với r s ta có Ls () Ls , () Lr () Liên hệ suy từ Bổ đề 2.2 Bổ đề 2.2 Cho tập n E đo cho | E | Khi đó, với r s , ta có đánh giá r 1 s r E | f ( x)}| dx s r | E | s || f ||Ls , () r Chứng minh: Đầu tiên, từ định nghĩa tựa chuẩn khơng gian Marcinkiewicz, ta có f s Ls , ( ) sup s {x : f ( x ) } s {x : f ( x ) } 0 Từ suy s f s Ls , ( ) {x E : f ( x ) } 984 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân tgk Ngoài ra, hiển nhiên {x E : f ( x) } E Do đó, ta thu đánh giá sau s {x E : f ( x) } E , s f Ls , ( ) Mặt khác, với ý E s f s s , L Es f () 1 s , L () E s f Ls , ( ) , ta suy E , s f s Ls , ( ) E s f , 0 , s Ls , ( ) , 0 Áp dụng bất đẳng thức trên, với , ta thu đánh sau | f ( x)}| r E dx r r 1 x E : f ( x) d 0 r r 1 x E : f ( x) d r r 1 x E : f ( x) d 0 0 r r 1 E , s f 0 0 s Ls , ( ) r r 1 E d r r 1 s f 0r E Bằng cách chọn E s r 0r s f sr f Ls , ( ) s Ls , ( ) d r r 1 E , s f s Ls , ( ) 0 s Ls , ( ) d d đánh giá trên, ta suy điều phải chứng minh Ngoài ra, nhận xét || ||Ls , ( ) Định nghĩa 2.1 tựa chuẩn không gian Ls , () , không thỏa bất đẳng thức tam giác trường hợp tổng quát Điều không bảo đảm tính lồi tập bị chặn theo tựa chuẩn Để giải khó khăn này, xét chuẩn khác ||| |||Ls , ( ) không gian Ls , () Điều thú vị chuẩn xét tương đương với tựa chuẩn Định nghĩa 2.1 Việc chứng minh ||| |||Ls , ( ) chuẩn không gian Ls , () dễ dàng Mệnh đề 2.3 Trên không gian Ls , () với s ta định nghĩa 1 ||| f |||Ls , ( ) : sup | E | s | f ( x) | dx 0| E |, E E 985 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 982-992 Khi đó, ||| |||Ls , ( ) chuẩn Ls , () Bổ đề 2.4 Cho tập n Khi với s 1; f Ls , () ta có || f ||Ls , ( ) ||| f |||Ls , ( ) s || f ||Ls , ( ) s 1 Chứng minh: Với số thực , xét tập E x : f ( x) 1 1 Khi đó, ta có ||| f |||Ls , ( ) sup | E | s | f ( x) | dx | E | s | f ( x) | dx 0| E |, E E E Mặt khác, | f ( x) | dx E x: f ( x ) | f ( x) | dx x : f ( x) E Từ đó, với , ta có đánh giá sau 1 ||| f |||Ls , ( ) | E | s 1 E E s x : f ( x) s Đánh giá dẫn đến ||| f |||Ls , ( ) sup x : f ( x) s || f ||Ls , ( ) 0 Bất đẳng thức ||| f |||Ls , ( ) s || f ||Ls , ( ) có từ cách áp dụng Bổ đề 2.2 với s 1 r s , E x : f ( x) với Tiếp theo, trước bắt đầu chứng minh kết chính, chúng tơi trích dẫn lại số đánh giá gradient số báo gần Tổng hợp kết này, đưa Hệ 2.7, sở cho chứng minh Định lí 1.1 Định lí 2.5 (Tran, 2019) 3n Cho n , p , n n miền bị chặn có phần bù thỏa mãn điều 2n kiện p-capacity Khi tồn số C cho với nghiệm renormalized u cho (2) với độ đo Radon hữu hạn , s (0, p] t (0, ] , ta có || u ||Ls ,t ( ) C [ M ( )] p 1 , Ls ,t ( ) đó, M1 hàm cực đại với hệ số không nguyên độ đo hữu hạn , định nghĩa | | ( BR ( x)) , x n , R n1 R 0 với BR ( x) kí hiệu cầu tâm x bán kính R M ( )(x) sup 986 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân tgk Bổ đề 2.6 (Maso et al., 1999) Cho < s < n độ đo Radon hữu hạn n Khi tồn số C C (n, s) cho || M 1[ ] || ns , Lns ( n ) C || ||Ls , ( n ) Hệ 2.7 ns p Khi đó, tồn ns số C cho với nghiệm renormalized u (2), cho trước độ đo Dưới giả thiết Định lí 2.5 Bổ đề 2.6, giả sử thêm với q ta có || | u | || s ( p 1) n L q ( ns ) , q p 1 C q Ls , ( ) () Chứng minh: Đầu tiên, từ định nghĩa tựa chuẩn không gian Marcinkiewicz, ta viết lại || | f |q || s ( p 1) n , q ( n s ) L () || | f | ||q s ( p1) n , ( n s ) L () Từ Định lí 2.5, tồn C1 cho với nghiệm renormalized u phương trình (2) với liệu độ đo Radon hữu hạn , s (0, p] ta có || | u | || C [ M ( )] q s ( p 1) n , ( n s ) L q 1 q p 1 s ( p 1) n , ( n s ) () Từ suy [ M ( )] L p 1 s ( p 1) n , ( n s ) L [ M ( )] () (5) () p 1 sn , L( ns ) ( ) Theo Bổ đề 2.6, tồn C2 cho || M1[ ] || p 1 ns , p 1 C Lns ( n ) || || p 1 Ls , ( n ) (6) Kết hợp (5) (6) ta thu | | u | ||q s ( p1) n, L ( ns ) () q C1q C2p 1 || ||Lps,1( n ) Với số C C C q 1 p 1 , ta có điều phải chứng minh Chứng minh Định lí 1.1 Trong tồn mục này, chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh Định lí 1.1 Chứng minh bao gồm bốn bước, với ý tưởng áp dụng định lí điểm bất động Schauder cho ánh xạ liên tục T, từ tập lồi, đóng vào có ảnh tập tiền compact 987 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 982-992 Cụ thể, bước đầu tiên, xây dựng tập V lồi, đóng ứng với tơpơ mạnh khơng gian Sobolev W01,1 ( ) Tính lồi tập hợp thu nhờ chuẩn không gian Marcinkiewicz giới thiệu Mệnh đề 2.3 Trong bước chứng minh thứ hai, xây dựng ánh xạ T từ tập hợp V vào Sự xác định ánh xạ chứng minh nhờ Hệ 2.7 Tiếp theo, chứng minh tính liên tục tập ảnh V qua ánh xạ T tiền compact bước thứ ba Cuối cùng, tồn nghiệm phương trình (1) thu cách áp dụng định lí điểm bất động Schauder cho ánh xạ T Chứng minh Định lí 1.1: Bước Với , xét tập hợp V u W01,1 () : ||| u |||Ln ( q p1), ( ) Trước hết, ta chứng minh V tập đóng tơpơ mạnh W01,1 ( ) Xét uk kN dãy hàm V mà hội tụ W01,1 ( ) đến hàm u Ta cần chứng minh u V Lấy E tập cho E , ||| u k |||Ln ( q p1), ( ) , k nên ta suy 1 |E| n ( q p 1) 1 n ( q p 1) | u ( x ) | dx sup | E | | u ( x ) | dx k k E E | E |, E ||| uk |||Ln ( q p1), ( ) , k Vì uk hội tụ u hầu khắp nơi nên từ theo định lí hội tụ bị chặn Fatou ta có 1 |E| n ( q p 1) | u( x) | dx E 1 n ( q p 1) Vì vậy, ||| u |||Ln ( q p1), ( ) sup | E | | u ( x ) | dx , hay u V Trong chứng E | E |, E minh trên, ta lưu ý với giả thiết (3) Định lí 1.1, ta suy n ( q p 1) Tiếp theo, ta chứng minh V tập lồi Với u, v V t [0,1] ta cần w tu (1 t )v V Gọi E tập cho | E | Khi 1 |E| n ( q p 1) 1 | w( x) | dx | E | n ( q p 1) E t ||| u |||Ln ( q p1), ( ) t | u ( x) | dx (1 t ) | v( x) | dx E E (1 t ) ||| v |||Ln ( q p1), ( ) t (1 t ) 1 Suy ||| w |||Ln ( q p1), ( ) sup | E | n ( q p 1) | w( x) | dx , hay w V | E |, E E 988 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân tgk Bước Với v V , gọi u nghiệm renormalized phương trình q p u b x | v | , x , x u 0, (7) Ta định nghĩa T : V V xác định T (v ) u Ta chứng minh tồn 0 cho ||| ||| n ( q p 1) , q L , T định nghĩa ánh xạ () Đầu tiên, tồn tính nghiệm renormalized phương trình (7) tham khảo (Maso el al., 1999) Do đó, phép đặt T (v ) u xác định Tiếp theo, ta chứng minh T (v) u V với v V Đặt s n(q p 1) , từ giả thiết (3) ta suy s Áp dụng Hệ 2.7, tồn C1 q để với nghiệm renormalized u (2), ta có || | u | || C1 q s ( p 1) n L q ( n s ) Dễ thấy từ s , () q p 1 Ls , ( ) n(q p 1) s ( p 1)n ta có s Vậy, q q (n s) || | u |q ||Ls , ( ) C1 q p 1 Ls , ( ) (8) Ta có || | u |q ||Ls , ( ) || | u | ||qLqs , ( ) s s ||| | u | |||qLqs , ( ) ||| u |||qLqs , ( ) , suy từ s 1 s 1 Bổ đề 2.4 Mặt khác, áp dụng Bổ đề 2.4, ta có C1 Vậy từ (8) ta suy q p 1 Ls , ( ) q C1 ||| ||| ps,1 L () q p 1 s ||| u |||qLqs , ( ) C1 ||| ||| s , hay dạng tương đương L () s 1 sC ||| u |||Lpqs1, ( ) s 1 p 1 q ||| ||| s , L sC Khi đó, tồn số C s 1 p 1 q () cho ||| u |||Lpqs1, ( ) C ||| ||| s , , L (9) () với nghiệm renormalized u (2) Mặt khác, b hàm bị chặn nên tồn số K cho b x K , x Để chứng minh u V0 , ta tồn cho ||| |||Ls , ( ) , phương 989 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 982-992 q sK p 1 trình Ct ||| |||Ls , ( ) C t có nghiệm t0 Thật vậy, xét hàm số s 1 thực biến sau q sK p 1 f t Ct ||| |||Ls , ( ) C t , s 1 t 0, Với ý f (0) , lim f (t ) phương trình f '(t ) có nghiệm t t* thỏa f (t*) ||| |||Ls , ( ) , số khơng phụ thuộc vào ||| |||Ls , ( ) Vậy hàm f có nghiệm t0 (0, t*] ||| |||Ls , ( ) Nói cách khác, tồn số thực t0 cho: p 1 sK Ct0 ||| |||Ls , ( ) C t0 q s 1 Với 0 t0q , từ định nghĩa T , với v V0 , u T (v ) nghiệm renormalized phương trình (7) Áp dụng đánh giá (9) Bổ đề 2.4, ta có ||| u |||Lp 1 ( ) C ||| b x | v |q ||| C ||| b x | v |q ||| ||| ||| qs , Ls , ( ) Ls , ( ) sK C || v ||qLqs , ( ) ||| ||| s , L () s sK C 0q ||| ||| s , L () s 1 p 1 sK C t0 ||| ||| s , t0 q 0p 1 L () s Từ suy ||| u |||Lqs , ( ) 0 , tức u V0 Do T : V V ánh xạ Bước Ta chứng minh ánh xạ T : V0 V0 ánh xạ liên tục, tập T V0 compact ứng với topo mạnh W01,1 ( ) Trước hết, ta chứng minh T liên tục topo mạnh W01,1 () Giả sử vk kN dãy V0 cho vk hội tụ W01,1 ( ) v V0 Với k N , uk T (vk ) nghiệm renormalized phương trình p uk b x | vk |q , uk 0, với ||| vk |||Ln ( q p1), ( ) 0 x , x 990 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Nguyễn Thành Nhân tgk Hơn nữa, || vk || Lr ( ) ||| vk |||Ln ( q p1), ( ) với q r n ( q p 1) , nên ta suy || vk || Lr ( ) , dẫn đến vk Lr ( ) Từ đó, theo Mệnh đề 2.8 (Tran, 2019) ta suy có dãy vk j jN vk kN hội tụ hầu khắp nơi v , từ dẫn đến dãy vk j hội tụ mạnh Lq ( ) Vì vậy, dãy vk hội tụ v Lq () Mặt khác, từ Định lí 3.4 (Maso et al., 1999), tồn dãy uk j jN cho uk j hội tụ u hầu khắp nơi , với u nghiệm renormalized p u b x | v |q , u 0, x , x Hơn nữa, uk j hội tụ u hầu khắp nơi Tương tự lập luận trên, uk hội tụ mạnh u theo topo W01,1 ( ) Vậy ta chứng minh T liên tục Tiếp theo, để chứng minh T (V0 ) tập compact, ta lấy dãy uk T (vk ) T (V0 ) với vk V0 , k Từ đó, ta có q p uk b x | vk | , uk 0, x , x , u hầu khắp nơi Áp dụng Định lí hội tụ Vitali, ta có u với ||| vk |||Ln ( q p1), ( ) 0 Áp dụng kết [1, Theorem 3.4], tồn dãy uk j u W01,1 ( ) cho uk j kj hội tụ mạnh u topo W01,1 ( ) Bước Như vậy, ta chứng minh có số dương 0 cho ||| ||| n ( q p1) , q L () , ánh xạ T : V0 V0 liên tục T V0 compact topo W01,1 ( ) V0 tập lồi, đóng Áp dụng định lí Điểm cố định Schauder, tồn điểm bất động u V0 ánh xạ T Điểm bất động u nghiệm (1) Mặt khác, chứng minh Bước 3, nghiệm u phải thỏa bất đẳng thức (4) Định lí 1.1 chứng minh hồn tồn Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi Lời cảm ơn: Bài báo tài trợ Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đề tài cấp sở, mã số CS.2018.19.02TĐ 991 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 982-992 TÀI LIỆU THAM KHẢO Kardar, M., Parisi, G., & Zhang, Y C (1986) Dynamic scaling of growing interfaces Phys Rev Lett., 56, 889-892 Maso, G D., Murat, F., Orsina, L., & Prignet, A (1999) Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data Ann Sc Norm Super Pisa (5) (IV), 28, 741-808 Martio, O (2011) Quasilinear Riccati type equations and quasiminimizers Adv Nonlinear Stud., 11, 473-482 Mengesha, T., & Nguyen, C P (2016) Quasilinear Riccati-type equations with distributional data in Morrey space framework J Differ Equ., 260, 5421-5449 Nguyen, C P (2014) Global integral gradient bounds for quasilinear equations below or near the natural exponent Ark Mat., 52, 329-354 Tran, M P (2019) Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular case Nonlinear Anal, 178, 266-281 Tran, M P., & Nguyen, T N (2019) Existence of a renormalized solution to the quasilinear Ricattitype equation in Lorentz spaces C R Math Acad Sci Paris, 357, 59-65 Tran, M P., & Nguyen, T N (2019) Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic equations with measure data Commun Contem Math., 30 pages, to appear EXISTENCE OF A RENORMALIZED SOLUTION TO THE P-LAPLACE EQUATION WITH MEASURE DATA IN MARCINKIEWICZ SPACES Nguyen Thanh Nhan*, Le Duc Viet Ho Chi Minh City University of Education Corresponding author: Nguyen Thanh Nhan – Email: nhannt@hcmue.edu.vn Received: June 04, 2019; Revised: June 21, 2019; Accepted: October 30, 2019 * ABSTRACT The aim of this paper is to prove the existence of a renormalized solution to the p-Laplace equation with low-integrability measure data in Marcinkiewicz spaces based on the Schauder fixed point theorem for a continuous map defined on a closed and convex set with the image being a precompact set The gradient estimates for a solution to a class of quasilinear elliptic equations with measure data are applied in this study Keywords: renormalized solution; Marcinkiewicz spaces; p-Laplace equations 992 ... mạnh phương trình (1) khơng phải dạng đặc biệt phương trình dạng Riccati nghiên cứu (Tran, & Nguyen, 2019) xuất hàm đo b vế phải Trong báo này, ta chứng minh tồn nghiệm phương trình (1) với ý... gradient nghiệm phương trình 3n (2) báo gần (Tran, 2019) trường hợp kì dị p để chứng 2n n minh tồn nghiệm renormalized phương trình (1) khơng gian Marcinkiewicz, cịn gọi khơng gian Lp... Nhân tgk chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình dạng Riccati tựa tuyến tính với số giả thiết khác miền tham số p, q Chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình p-Laplace (1) dựa