Bạn cần tìm tài liệu để dạy chương Ứng dụng của đạo hàm Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số? Bạn cần tìm tài liệu để ôn tập Ứng dụng của đạo hàm Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số? Đây là phần tài liệu tôi sử dụng để ôn tập cho học sinh lớp học thêm của mình. Bạn cần thêm tài liệu có thể truy cập website của mình bằng cách ấn Ctrl chỉ vào link mình để sẵn nhé
Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Email: tieutue@gmail.com SĐT: 0815.699.451 Website: lehai88.blogspot.com Facebook: https://www.facebook.com/thaylequanghai/ lehai88.blogspot com Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Hàm số f đồng biến K (x1, x2 K, x1< x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K (x1, x2 K, x1< x2 f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x) 0, x I 3.Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục B BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Phương pháp giải: Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y khơng tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Bài 1.Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y x x d) y x3 x x x x2 1 2x 1 k) y x5 x x 26 n) y x2 g) y x2 x 4 e) y (4 x)( x 1)2 c) y x x h) y x x i) y b) y l) y d) y 2x 1 x2 g) y x x lehai88.blogspot com x x 2 10 10 m) y 1 x x 15 x p) y 3x x 1 2 x o) y x Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y 6 x x3 3x f) y x3 3x x 1 1 x x2 x2 x e) y x 3x b) y h) y x x c) y x2 x x2 x f) y x 2 x i) y x x Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Phương pháp giải Cho hàm số y f ( x, m) , m tham số, có tập xác định D Hàm số f đồng biến D y 0, x D Hàm số f nghịch biến D y 0, x D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' ax bx c thì: a b c0 y ' 0, x R a a b c0 y ' 0, x R a 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g ( x) ax bx c : Nếu < g(x) ln dấu với a Nếu = g(x) dấu với a (trừ x = b ) 2a Nếu > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g ( x) ax bx c với số 0: x1 x2 P S x1 x2 P S x1 x2 P 5) Để hàm số y ax3 bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: Tính y Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a Biến đổi x1 x2 d thành ( x1 x2 )2 x1 x2 d (1) (2) Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x x 13 x3 b) y 3x x c) y 2x 1 x2 Bài Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y x3 3mx (m 2) x m d) y mx xm lehai88.blogspot com x3 mx 2x 1 x 2mx e) y xm b) y xm xm x 2mx 3m2 f) y x 2m c) y Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số Bài Tìm m để hàm số: a) y x3 3x mx m nghịch biến khoảng có độ dài 1 b) y x3 mx2 2mx 3m nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y x3 (m 1) x (m 3) x đồng biến khoảng có độ dài 4.Bài 4.Tìm m để hàm số: x3 (m 1) x (m 1) x đồng biến khoảng (1; +) b) y x3 3(2m 1) x (12m 5) x đồng biến khoảng (2; +) mx c) y (m 2) đồng biến khoảng (1; +) xm a) y VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải:Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc f(x) đồng biến khoảng ; lehai88.blogspot com Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phƣơng trình có nghiệm Phương pháp giải Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: Chọn nghiệm x0 phương trình Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Bài Giải phương trình sau: a) x x c) x x x x 16 14 Bài Giải phương trình sau: a) x x x c) 3x x 5x Bài Giải hệ phương trình sau: b) x5 x3 3x d) x 15 3x x b) ln( x 4) x d) 2x 3x 5x 38 2 x y y y a) 2 y z z z 2 z x x x x y3 y y b) y z z z z x x x y x 12 x c) z y 12 y x z 12 z tan x tan y y x 5 d) 2 x y x, y 2 sin x sin y 3x y e) x y x, y sin x y sin y x f) 2 x y x, y cot x cot y x y g) 5 x y 2 0 x, y HD: a, b) Xét hàm số f (t ) t t t d) Xét hàm số f(t) = tant + t c) Xét hàm số f (t ) 6t 12t =oOo= - lehai88.blogspot com Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT I.Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D R) x0 D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) D x0 (a; b) cho f(x) < f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) D x0 (a; b) cho f(x) > f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dƣơng x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dƣơng sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 B BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí Tìm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y 3x x3 b) y x3 x x x4 x2 x 3x g) y x2 e) y x x d) y lehai88.blogspot com h) y 3x x x 1 x4 f) y x 2 x x 15 i) y x 3 c) y x3 x2 15x Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y ( x 2)3 ( x 1) b) y x2 x 1 x2 x c) y d) y x x e) y x x Bài Tìm cực trị hàm số sau: f) y x x x x2 b) y 2x 1 e) y x 4sin x a) y x 3x x x2 x c) y e x 4e x d) y x 5x 2ln x f) y x ln(1 x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Phương pháp giải Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: Hàm số bậc ba y ax3 bx cx d có cực trị Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) ax03 bx02 cx0 d + y( x0 ) Ax0 B , Ax + B phần dư phép chia y cho y ax bx c P( x) = (aa 0) có cực trị Phương trình y = có hai a'x b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác a' Hàm số y Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: y ( x0 ) P ( x0 ) Q( x0 ) y ( x0 ) P '( x0 ) Q '( x0 ) Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Bài Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y x3 3mx 3(m2 1) x m3 b) y x3 3(2m 1) x 6m(m 1) x c) y x m(m2 1) x m4 xm d) y x mx m x m 1 Bài Tìm m để hàm số: a) y (m 2) x3 3x mx có cực đại, cực tiểu b) y x3 3(m 1) x (2m2 3m 2) x m(m 1) có cực đại, cực tiểu c) y x3 3mx (m2 1) x đạt cực đại x = 2 d) y mx 2(m 2) x m có cực đại x x 2mx đạt cực tiểu x = xm x2 x m f) y có giá trị cực đại x 1 e) y lehai88.blogspot com Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị hàm số Bài Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: a) y x3 3x 3mx 3m b) y mx3 3mx (m 1) x c) y x mx x 3 d) y Bài Tìm a, b, c, d để hàm số: x (m 1) x m2 4m x 1 x = 27 b) y ax bx c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = a) y ax3 bx cx d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x bx c đạt cực trị –6 x = –1 x 1 ax bx ab d) y đạt cực trị x = x = bx a ax x b e) y đạt cực đại x = x2 c) y Bài 5.Tìm m để hàm số : a) y x3 2(m 1) x (m2 4m 1) x 2(m2 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 ( x1 x2 ) x1 x2 b) y x3 mx mx đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 x2 3 c) y mx (m 1) x2 3(m 2) x đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 x2 3 Bài Tìm m để hàm số : x mx m có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x m 1 x (m 1) x m2 4m b) y có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực tiểu x 1 a) y đạt giá trị nhỏ Chú ý Hàm số y ax bx cx d y ax bx c y Ax Bx C Tính chất Có cực trị (y’=0 có nghiệm) Khơng có cực trị (y’=0 vơ nghiệm nghiệm kép) Có cực trị có cực trị có cực đại Có cực trị có cực tiểu Có cực trị Có cực trị cực đại Có cực trị cực tiểu Có cực trị đỉnh tam giác Có cực trị đỉnh tam giác vng Có cực trị đỉnh tam giác có diện tích S lehai88.blogspot com Điều kiện a 0; b 3ac b2 3ac (xét trường hợp a=0) a.b0;b