Bạn cần tìm tài liệu để dạy chương Nguyên Hàm. Tích phân và Ứng dụng tích phân? Bạn cần tìm tài liệu để ôn tập Nguyên hàm tích phân và ứng dụng Tích phân? Đây là phần tài liệu tôi sử dụng để ôn tập cho học sinh lớp học thêm của mình. Bạn cần thêm tài liệu có thể truy cập website của mình bằng cách ấn Ctrl chỉ vào link mình để sẵn nhé!
Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân CHỦ ĐỀ 3: NGUN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Email: tieutue@gmail.com SĐT: 0815699451 Website: lehai88.blogspot.com Facebook: https://www.facebook.com/thaylequanghai/ lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân CHỦ ĐỀ 3: NGUYỀN HÀM TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN §1 NGUYÊN HÀM A LÝ THUYẾT Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi lànguyên hàm f K nếu: F '( x) f ( x) , x K Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: f ( x)dx F ( x) C , C R Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất f '( x)dx f ( x) C f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp 0dx C ax C (0 a 1) ln a cos xdx sin x C a x dx dx x C x dx x 1 C, 1 ( 1) sin xdx cos x C dx ln x C x e x dx e x C dx tan x C cos2 x dx cot x C sin x eaxb dx eax b C, (a 0) a 1 dx ln ax b C ax b a cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) a sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0) a Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu f (u )du F (u ) C u u ( x) có đạo hàm liên tục thì: f u ( x).u '( x)dx F u ( x) C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: udv uv vdu B BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x) x 3x lehai88.blogspot.com x b) f ( x) x4 x2 c) f ( x) x 1 x2 Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân ( x 1)2 x2 x g) f ( x) 2sin 2 k) f ( x) sin x.cos x d) f ( x) n) f ( x) e x e x 1 f) f ( x) h) f ( x) tan x i) f ( x) cos x cos x sin x.cos x e x o) f ( x) e x cos x m) f ( x) 2sin 3x cos x l) f ( x) p) f ( x) e3 x 1 Bài 2.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x) x3 x 5; b) f ( x) 5cos x; F (1) 3 5x2 ; x x3 e) f (x)= ; x c) f ( x) 3 x x e) f ( x) x x x x2 ; x F (e) d) f ( x) F (2) f) f ( x) x x F ( ) F (1) ; x F (1) 2 Bài Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện: a) g ( x) x cos x x ; f ( x) x sin x; F 3 2 F ( ) F (2) 2 b) g ( x) x sin x x ; f ( x) x cos x; c) g ( x) x ln x x ; f ( x) ln x; VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f ( x)dx phương pháp đổi biến số Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u( x).u '( x) ta đặt t u( x) dt u '( x)dx Khi đó: Chú ý: Sau tính f ( x)dx = g (t )dt , g (t )dt dễ dàng tìm g (t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Lũy thừa Phân thức Căn thức sin xdx cos xdx dx cos2 x tan x 1 dx sin x cot x 1 ln x dx x lehai88.blogspot.com Cách đổi biến Thử đặt u biểu thức bên lũy thừa Thử đặt u mẫu thức Thử đặt u thức Thử đặt u cos x Thử đặt u sin x Thử đặt u tan x Thử đặt u cot x Thử đặt u ln x Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến x a sin t , a2 x2 a x 2 t x a cos t , 2 0t x a tan t , t 2 0t x a cot t , Bài Tính nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): a) (5 x 1)dx b) dx (3 x)5 c) d) (2 x 1)7 xdx e) ( x3 5) x dx f) x s) etan x cos2 x dx c) f) 1 x g) x2 1.xdx h) e x dx o) x.e x 1dx ex ln x q) dx x r) xdx x dx 5 dx i) x (1 x ) tan xdx m) cos2 x e x dx p) x dx x3 sin x l) dx cos x k) sin x cos xdx n) 3x dx ex Bài Tính nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): dx a) d) g) b) (1 x ) dx 4 x x dx 1 x dx (1 x ) e) x2 x dx h) x dx x 1 x2 dx dx i) x3 x2 1.dx VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: P( x).e dx P( x).cos xdx P( x).sin xdx P( x).ln xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) x Vận dụng công thức nguyên hàm phần: udv uv vdu Bài Tính nguyên hàm sau: a) x.sin xdx b) x cos xdx d) ( x x 3) cos xdx lehai88.blogspot.com e) x sin xdx c) ( x 5) sin xdx f) x cos xdx Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân h) x3e x dx i) ln xdx l) ln xdx m) ln( x 1)dx n) x tan xdx o) x cos xdx p) x cos xdx q) x ln(1 x )dx r) x.2 x dx s) x lg xdx ln xdx x e) x.sin x dx c) sin x dx h) sin(ln x)dx i) cos(ln x)dx g) x.e x dx k) x ln xdx Bài Tính nguyên hàm sau: a) e x dx b) d) cos x dx g) ln(ln x) dx x f) sin xdx Bài Tính nguyên hàm sau ( nâng cao) a) e x cos xdx b) e x (1 tan x tan x)dx d) g) ln(cos x) dx cos2 x x ln x x x2 e) h) dx ln(1 x) dx x2 c) e x sin xdx f) x cos x dx x3 1 x dx ln x i) dx x VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức là: F ( x) G ( x) A( x) C1 (*) F ( x ) G ( x ) B ( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x) A( x) B( x) C nguyên hàm f(x) Bài 1.Tính nguyên hàm sau: sin x cos x a) sin x cos xdx b) sin x cos xdx c) d) cos x sin x cos xdx e) sin x sin x cos4 xdx f) g) 2sin x.sin xdx k) h) cos x.sin xdx e x ex e x dx l) ex ex e x dx sin x sin x cos xdx cos4 x sin x cos4 xdx ex i) x x dx e e e x m) x x dx e e VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàmcủa số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f ( x) P( x) Q( x) – Nếu bậc P(x) bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Chẳng hạn: A B ( x a)( x b) x a x b A Bx C , với b2 4ac ( x m)(ax bx c) x m ax bx c A B C D 2 ( x a) ( x b) x a ( x a) x b ( x b)2 f(x) hàm vô tỉ ax b ax b tm đặt cx d cx d t xa xb đặt ( x a)( x b) + f(x) = R x, m + f(x) = R f(x) hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: sin ( x a) ( x b) 1 , sin( x a).sin( x b) sin(a b) sin( x a).sin( x b) sin ( x a) ( x b) 1 + , cos( x a).cos( x b) sin(a b) cos( x a).cos( x b) cos ( x a) ( x b) 1 + , sin( x a).cos( x b) cos(a b) sin( x a).cos( x b) + Nếu R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) đặt t = cosx + Nếu R(sin x, cos x) R(sin x, cos x) đặt t = sinx + Nếu R( sin x, cos x) R(sin x,cos x) đặt t = tanx (hoặc t = cotx) + Bài Tính nguyên hàm sau: dx x( x 1) dx d) x x 10 x g) dx ( x 1)(2 x 1) dx k) x( x 1) a) dx ( x 1)(2 x 3) dx e) x 6x x h) dx x 3x dx l) 1 x3 b) Bài Tính nguyên hàm sau: a) 1 b) x d) dx x 1 dx x4 x e) x 1 dx x2 x dx x3 x g) dx x x 24 x h) x dx 1 x x lehai88.blogspot.com x2 x2 1dx dx f) x 4 x3 i) dx x 3x x m) dx x 1 c) dx x 1 x dx f) x( x 1) c) 1 i) 3 x dx 1 x x Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân k) dx (2 x 1)2 x dx l) m) x2 5x Bài Tính nguyên hàm sau: a) sin x sin xdx b) cos x sin 3xdx cos x dx x2 x c) (tan x tan x)dx dx dx d) sin x cos xdx e) 2sin x f) cos x g) sin x cos x dx h) sin x cos x dx i) dx cos x cos x 4 -=oOo= §2 TÍCH PHÂN A LÝ THUYẾT Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục K a, bK Nếu F nguyên hàm f K thì: b F(b) – F(a) gọi làtích phân f từ a đến b kí hiệu f ( x)dx a b f ( x)dx F (b) F (a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a f ( x)dx f (t )dt f (u)du F (b) F (a) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox hai đường thẳng b S f ( x)dx x = a, x = b là: a Tính chất tích phân b a b a b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx b b a a b kf ( x)dx k f ( x)dx (k: const) a f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx a Nếu f(x) [a; b] b a b c b a a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx b f ( x)dx a Nếu f(x) g(x) [a; b] b a b f ( x)dx g ( x)dx a Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b f u ( x).u '( x)dx a u (b ) f (u )du u (a) đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác định K, a, bK lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b K thì: b b udv uv a vdu b a a Chú ý:– Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm b – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho vdu dễ tính a b udv a B BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b f ( x)dx F (b) F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tính tích phân sau: a) ( x x 1)dx 1 x d) dx x 2 1 e) g) ( x 1)( x x 1)dx x2 2x dx k) x3 x 4 x 2 c) e i) x )dx x x x 4 x dx e2 l) x f) ( x dx h) ( x x x x )dx 2 x 1 dx x2 x b) ( x e3 x 1 )dx x 7x dx 1 x m) x dx 3 x2 Bài Tính tích phân sau: a) x 1dx d) xdx 1 x dx e) dx x2 x2 b) 3x c) ( x x x x )dx 1 x f) dx x x 9dx Bài Tính tích phân sau: a) sin(2 x )dx b) (2sin x 3cosx x)dx c) sin 3x cos x dx d) tan x dx cos x e) tan x dx lehai88.blogspot.com f) (2cot x 5) dx Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân g) k) cos x 0 cos x dx dx 0 sin x h) l) sin( x) dx sin( x) (tan x cot x)2 dx i) sin x.cos xdx m) cos x dx Bài Tính tích phân sau: ( x 1).dx 1 x x ln x e x e x a) x x dx e e b) ex dx ex e) h) d) g) ln e cos x sin xdx 1 e x (1 e c) e x )dx x x x dx e2 x 0 ex dx ex 0 2x dx e ln x i) dx x f) VẤN ĐỀ 2: Tính tích phânbằng phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g ( x)dx a b u (b ) a u (a) Nếu viết g(x) dạng: g ( x) f u( x).u '( x) g ( x)dx f (u )du Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến Lũy thừa Thử đặt u biểu thức bên lũy thừa Phân thức Thử đặt u mẫu thức Căn thức Thử đặt u thức sin xdx Thử đặt u cos x cos xdx Thử đặt u sin x dx cos2 x tan x 1 dx sin x cot x 1 ln x dx x Dạng 2:Giả sử ta cần tính Thử đặt u tan x Thử đặt u cot x Thử đặt u ln x f ( x)dx Đặt x = x(t) (t K) a, b K thoả mãn = x(a), = x(b) b b a a f ( x)dx f x(t ) x '(t )dt g (t )dt lehai88.blogspot.com g (t ) f x(t ).x '(t ) Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Dạng thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến a x x a sin t , a2 x2 x a cos t , 2 0t x a tan t , t 2 0t x a cot t , t Bài Tính tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1 a) x(1 x)19 dx d) k) e x 1 l) cos x.sin x o) dx sin x cos x 4sin x dx 3ln x ln x dx x m) sin x ex dx 1 e x e n) i) dx ln xdx 2x e ln x2 e x dx x 2x h) x x2 f) x3 1 x dx x5 0 x dx c) e) x 1 x dx dx ln x3 0 (1 x )3 xdx 2x 1 g) b) p) 2sin sin x dx x cos x Bài Tính tích phân sau (đổi biến số dạng 2): a) dx b) g) 1 k) x c) x x dx x2 dx e) ( x 1)( x 2) 1 x dx d) x 3 0 x dx 1 h) x2 x dx l) x2 1 x2 1 x x 2 f) x 1 dx x3 dx i) xdx x2 dx 1 x m) x x x dx dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b b b b x P( x).e dx P( x).cos xdx P( x).sin xdx P( x).l n xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) a lehai88.blogspot.com a a a Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Bài Tính tích phân sau: a) x sin xdx d) x cos xdx e) x tan xdx i) ln( x x)dx cos xdx f) ( x 2)e2 x dx h) x ln xdx 2 e xe x dx x ln c) g) b) ( x sin x) cos xdx 2 2 2 k) e3 x sin xdx e o) x3 ln xdx e m) ln xdx l) ecos x sin xdx e p) ln x dx x q) x (e 2x x 1)dx 1 e VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng cơng thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ Bài Tính tích phân sau: a) x dx b) x dx e) c) x x 9dx x dx x dx ( x x )dx f) 2 h) x 2 3 g) x dx d) x 2 x3 x xdx i) x dx 1 Bài Tính tích phân sau: 2 a) cos xdx b) d) sin xdx e) g) sin x dx c) 2 cos xdx f) h) cos xdx tan x cot x 2dx sin x dx 0 cos x cos x cos3 xdx i) 2 sin xdx VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ Bài Tính tích phân sau: a) 1 d) dx x x3 x 1 x b) dx 0 x2 5x dx lehai88.blogspot.com e) x3dx 0 x2 x x dx 1 x c) f) x dx (1 x) Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân x 11 dx h) dx g) x( x 1) 2 x3 x x x 3x dx 1 k) l) 3x 3x 2 x3 3x dx Bài Tính tích phân sau: dx a) x 2x 0 ( x 2)2 ( x 3)2 dx 2 x2 1 x3 x x c) dx x2 dx f) h) x 2008 1 x(1 x 2008 ) dx i) l) x2 1 x dx m) dx x4 2 ( x 1)2 dx x4 0 x2 dx 0 x2 dx x 1 x 1 x(1 x ) dx x2 0 (3x 1)3 dx m) x3 x 0 x2 dx e) k) 3x g) b) d) i) x 5x x3 x 0 x dx 1 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vơ tỉ Xem lại cách tìm ngun hàm hàm số vơ tỉ Bài Tính tích phân sau: 2 a) x x 1dx b) g) dx x x 1 x 1 dx 3x k) 2 n) x 1 x dx 10 1 x dx 1 x c) dx x2 dx e) 2x 1 4x 1 d) x x3 f) o) x m) x x2 x5 x3 x2 p) x2 x4 dx dx dx x 1 4x i) dx 3x h) x3 x 1dx l) dx x 1 x x dx dx x3 Bài Tính tích phân sau: a) x 1 x dx 2 b) d) x 2008dx 1 g) 1 x 2 k) x2 (1 x ) lehai88.blogspot.com dx e) x 10 x dx h) l) dx x 2008 (1 x )3 f) 1 x dx i) x x dx 1 x dx c) 2 dx x2 2 dx 1 x x2 m) x3dx x2 12 x x 8dx Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Bài Tính tích phân sau: a) 2 cos xdx cos x b) sin x cos x cos xdx sin x sin x d) cos3 x sin x cos5 xdx e) dx 3cos x 0 g) f) cos xdx h) cos x cos xdx cos x cos x cos xdx 2 c) cos x sin x sin x dx 3cos x tan x cos x dx i) Bài Tính tích phân sau: ln a) ln dx e 1 ln x dx d) ln x ln x ln ln g) (e 0 e) 1) e x c) e 1 x 2x x(e x 1)dx ln f) 1 ex x b) x e e x dx dx h) e e e x dx (e x 1)3 ln ex x 3ln x ln x dx x x dx i) e x 1dx VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác Bài Tính tích phân sau: 4 a) sin x.cos xdx b) tan xdx d) sin xdx e) sin xdx 2 f) cos 3x g) sin x cos xdx h) sin x cos3 xdx 2 k) (sin x cos x)dx 3 0 cos x l) dx cos x i) sin x cos5 xdx n) tan xdx o) tan xdx p) sin x 0 cos2 x dx cos3 x 0 cos x dx /3 r) dx sin x.cos x 4 sin x cos x dx cos x m) sin x 3cos x dx c) q) s) sin /6 dx x.cos x Bài Tính tích phân sau: a) sin x cos x sin x cos x dx cos3 x sin x cos5 xdx b) lehai88.blogspot.com c) cos x tan x cos x dx Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân d) cos x(sin x cos x)dx e) (tan x esin x cos x)dx 1 sin x f) sin xdx Bài Tính tích phân sau: 2 a) dx sin x cos x d) dx cos x dx b) cos x sin x dx c) 2 cos x e) dx cos x f) sin x sin x dx Bài Tính tích phân sau: a) (2 x 1) cos xdx xdx b) cos x 2 d) sin xdx e) 0 ln(sin x) dx cos x i) (2 x 1) cos xdx k) e sin xdx 2x l) x tan xdx m) x sin x cos xdx n) esin x sin x cos3 xdx f) sin x.e2 x 1dx dx 2 x cos xdx h) x g) cos(ln x)dx 0 x cos c) o) ln(1 tan x)dx dx cos p) 0 x VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm ngun hàm Bài Tính tích phân sau: a) e x dx 0 1 e x ln8 d) e ln x dx ex 1 dx g) e x e) ln ln x 1 x(ln x 1)dx dx x e 5 ln8 ln3 e 1.e dx x e c) 2x ln f) x dx 4 ex dx ex e x 0 e x dx 2x h) e 0 e x dx i) l) e 2 x 0 e x dx m) e k) b) ln ex Bài Tính tích phân sau: a) e x sin xdx lehai88.blogspot.com b) xe2 x dx c) xe x dx dx Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân e) x ln 1 x dx d) (e cos x) cos xdx x e2 g) e ln x ln(ln x) dx x f) ln x ln x dx x ln x e3 e ln x dx x e h) i) ln(ln x) dx x e2 l) ln( x 1) dx x 1 ln x k) dx x ln(sin x) cos2 x dx m) VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số lẻ [-a; a] a f ( x)dx a Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn [-a; a] a a a f ( x)dx 2 f ( x)dx Vì tính chất khơng có phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: a Bước 1: Phân tích I f ( x)dx a a a f ( x)dx f ( x)dx J f ( x)dx; K f ( x)dx a a Bước 2: Tính tích phân J f ( x)dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a – Nếu f(x) hàm số lẻ J = –K I = J + K = – Nếu f(x) hàm số chẵn J = K I = J + K = 2K Dạng Nếu f(x) liên tục hàm chẵn R thì: f ( x) + a x 1dx 0 f ( x)dx (với R a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự 0 f ( x) f ( x) J x dx; K x dx a 1 a 1 f ( x) f ( x) f ( x) I x dx x dx x dx a 1 a 1 a 1 Để tính J ta đặt: t = –x Dạng Nếu f(x) liên tục 0; 2 Để chứng minh tính chất ta đặt: f (sin x)dx f (cos x)dx t x Dạng Nếu f(x) liên tục f (a b x) f ( x) f (a b x) f ( x) đặt: t=a+b–x Đặc biệt, a + b = đặt t=–x a + b = 2 đặt t = 2 – x lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức là: F ( x) G ( x) A( x) C1 (*) F ( x ) G ( x ) B ( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x) A( x) B( x) C nguyên hàm f(x) Bài Tính tích phân sau (dạng 1): a) x x x x 1 dx cos x ln x x dx d) cos x ln( x b) 1 sin x dx cos x f) h) x sin x x dx 1 2 x dx 1 x x g) 1 x cos x.ln x dx x )dx c) e) 2 xdx sin x i) x cos x dx x sin Bài Tính tích phân sau (dạng 2): 1 x4 a) x dx 1 1 sin x dx x 1 d) b) x 1 dx 2x 3 h) (e x 1 e) f) (4 x 1 dx 1)( x 1) dx 1)( x 1) sin x sin 3x cos x dx ex c) 1 g) x2 dx 2x sin x cos6 x dx i) 6x x sin x dx 2x Bài Tính tích phân sau (dạng 3): n sin x b) dx sin x cos7 x cos x * a) n dx (n N ) n cos x sin x sin 2009 x c) 2009 dx sin x cos 2009 x cos x d) dx cos x sin x sin x 0 cos4 x sin xdx e) Bài Tính tích phân sau (dạng 4): x.sin x a) dx cos x x cos x b) dx sin x 2 d) ln(1 tan x)dx lehai88.blogspot.com e) x.cos xdx sin x dx cos x c) ln f) x.sin xdx Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân x g) dx sin x x sin x h) dx cos x l) x sin x cos x dx k) sin x ln(1 tan x)dx i) x sin x 0 cos2 x dx m) x sin x cos4 xdx Bài Tính tích phân sau (dạng 5): 2 sin x a) dx sin x cos x c) cos x 0 sin x cos xdx sin x 0 sin x cos4 xdx e) cos x 0 sin x cos4 xdx f) sin x g) dx sin x cos6 x cos6 x h) dx sin x cos6 x 2 i) 2sin x.sin xdx k) cos x.sin xdx ex n) x x dx e e 1 ex l) x x dx e e 1 e x m) x x dx e e 1 e x e x e x dx 1 o) -=oOo= - lehai88.blogspot.com sin x sin x cos xdx d) cos x b) dx sin x cos x Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A LÝ THUYẾT Diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b S f ( x) dx là: (1) a Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] – Hai đường thẳng x = a, x = b b S f ( x) g ( x) dx là: (2) a Chú ý: Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) khơng đổi dấu thì: b a b f ( x) dx f ( x)dx a Trong cơng thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b a c d b f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a = c d c d b a c d f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) khơng đổi dấu) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S g ( y ) h( y ) dy c Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm điểm a b S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b Thể tích B là: V S ( x)dx a lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox: b V f ( x)dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d là: V g ( y )dy c B BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: ln x , y 0, x , x e x e ln x d) y , y 0, x e, x x a) y x x 6, y 0, x 2, x b) y ln x , y 0, x 1, x e x e) y ln x, y 0, x , x e f) y x3 , y 0, x 2, x e x 1 g) y h) y lg x , y 0, x , x 10 , y 0, x 0, x 10 1 x c) y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 3x , y 0, x x 1 c) y e x , y 2, x e) y x , y x x 1, y a) y b) y x , y x, y d) y x , x y 0, y f) y x x 5, y 2 x 4, y x 11 x2 27 , y 27 x i) y x, x y 0, y h) y x , y x x 4, y x c) y 5x 2 , y 0, y x, x e) y x, y 0, y x b) y sin x 2cos x, y 3, x 0, x g) y x , y k) y x x 5, y x x 3, y 3x 15 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x, y , y 0, x e d) y x x, y x 3x 6, x 0, x f) y x x 2, y x x 5, y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , y x x b) y x2 x , y x 1 c) y x2 , y x e) y x , y x lehai88.blogspot.com x2 d) y ,y x2 2 f) y x x, y x x Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân x2 , y x2 i) y x x, y x 2 x k) y x 2, y x g) y h) y x , y Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , x y b) y x 0, x y c) y y x 0, x y d) y x 1, y x e) y x, y x, y 0, y f) y ( x 1)2 , x sin y g) y x, x y 16 h) y (4 x)3 , y x i) x y 0, x y k) x y 8, y x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x.e x ; y 0; x 1; x b) y x.ln x; y 0; x 1; x e c) y e x ; y e x ; x d) y 5x 2 ; y 0; x 0; y x e h) y x sin x; y x; x 0; x 2 e) y ( x 1)5 ; y e x ; x f) y ln x , y 0, x , x e g) y sin x cos x, y 0, x 0, x i) y x sin x; y ; x 0; x k) y sin x sin x 1, y 0, x 0, x VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y sin x, y 0, x 0, x b) y x3 x2 , y 0, x 0, x c) y sin x cos6 x , y 0, x 0, x e) y x3 1, y 0, x 1, x g) y x2 x3 , y d) y x , x f) y x2 , y x h) y x x, y x i) y sin x, y cos x, x , x l) y x x 6, y x x k) ( x 2)2 y 9, y m) y ln x, y 0, x Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: 2 y c) y e x , x 0, y e a) x , y 1, y lehai88.blogspot.com b) y x , y d) y x , y 1, y Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân ƠN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: x 1 d) dx x2 1 2 e) xdx 0 ( x 1)2 h) ( x x )dx 2x f) l) dx 5x x3 x x dx 0 x2 dx 1 x x i) x3 0 x dx x dx 3 k) x c) g) x7 dx x8 x b) a) x x dx xdx 0 1 x2 xdx ( x 1) m) Bài Tính tích phân sau: x dx a) x 1 1 x 2x d) e) dx g) x x dx h) 2dx x5 4 f) xdx 2 x 2 x i) x x x ( x 1) s) dx x dx x 3 dx x 1 x 3 3 m) 1 7/3 x3 1x3 dx q) x 1 dx 3x 1 dx x 1 x2 dx 1 10 x5 0 p) x4 o) x5 1 x dx 1 1 x dx l) x3 x dx x x3dx r) 1 k) c) x 1 x dx x2 x b) t) x3 1 x dx Bài Tính tích phân sau: /4 a) /2 d) b) cos x 4sin x dx cos x(sin x cos4 x)dx /4 k) x tan x dx /2 o) /2 sin x sin x dx 3cos x e) h) tan x /4 cos x cos x /2 sin x l) dx cos x /2 2004 sin x dx 2004 sin x cos 2004 x sin x sin x sin 3x dx /3 p) c) cos f) i) xdx x sin x cos /2 m) x dx sin x 3cos x dx /4 4sin x dx cos x dx sin x cos x dx cos x /2 /2 sin x /2 g) /2 2sin x dx sin x q) 2sin x dx sin x Bài Tính tích phân sau: a) x ln( x 5)dx lehai88.blogspot.com b) ln( x x)dx 2 c) ( x 2)e2 x dx Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân /2 d) (e e g) cos x) cos x dx x 1 ln xdx x dx e) x e 2e x ln x 2e x 0 ( x 2)2 dx /2 o) e 3x sin x dx e r) ln x dx x ln x f) x ln x dx 1 h) ( x 1)e x dx i) k) e ln sin x 2x (4 x x 1)e dx e ln(1 x) dx x2 s) m) ln x p) dx x e x l) dx 1 e q) x ln(1 x )dx e3 3ln x ln x dx x t) ln x dx x ln x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x3 3x 1, y 0, x 0, x 1 4 1 e) y x , y 0, x 2, x x 1 2x 1 g) y , y 0, x x 1 c) y x4 x2 , y b) y , y 0, x 2, x 2 x d) y e x , y 2, x f) y x x, y x x h) y x2 x , y0 x 1 Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục: a) y x , y 0, x 3; Ox b) y x ln x , y 0, x 1, x e; Ox x c) y xe , y 0, x 1; Ox d) y x , y x 2; Ox e) y x, x 0; Oy f) x ye y , x 0, y 1; Oy lehai88.blogspot.com ... đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân CHỦ ĐỀ 3: NGUYỀN HÀM TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN §1 NGUN HÀM A LÝ THUYẾT Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi l nguyên. .. lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x)... d) cos x b) dx sin x cos x Chủ đề 3: Nguyên hàm Tích phân ứng dụng tích phân §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A LÝ THUYẾT Diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị