PP tọa độ trong không gian

Bạn cần tìm tài liệu để dạy chương PP tọa độ trong không gian? Bạn cần tìm tài liệu để ôn tập Phương pháp tọa độ trong không gian? Đây là phần tài liệu tôi sử dụng để ôn tập cho học sinh lớp học thêm của mình. Bạn cần thêm tài liệu có thể truy cập website của mình bằng cách ấn Ctrl chỉ vào link mình để sẵn nhé!

Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian CHỦ ĐỀ 3: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Email: tieutue@gmail.com SĐT: 0815699451 Website: lehai88.blogspot.com Facebook: https://www.facebook.com/thaylequanghai/ lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian CHỦ ĐỀ 3: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT I ÔN TẬP VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép tốn  Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hồn toàn tương tự mặt phẳng  Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB,O tuỳ ý Ta có: IA  IB  ; OA  OB  2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Điều kiện hai vectơ phƣơng: a b phương (a  0) ! k  R : b  ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có: MA  k MB; OM  OA  kOB 1 k Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a , b khơng phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb  Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc Tích vơ hƣớng hai vectơ  Góc hai vectơ khơng gian: AB  u , AC  v  (u , v )  BAC (00  BAC  1800 )  Tích vơ hƣớng hai vectơ khơng gian: u.v  u v cos(u , v ) + Cho u , v  Khi đó: + Với u  hoaëc v  Qui ước: u.v  + u  v  u.v  + u  u2 II HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vng góc không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian 2 Chú ý: i  j  k  i j  i.k  k j  Tọa độ vectơ: u   x; y; z   u  xi  y j  zk a) Định nghĩa: b) Tính chất: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R  a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )  ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1  b1   a  b  a2  b2 a  b  3   (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)  a phương b (b  0)  a  kb (k  R)  a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3 a1  kb1 a a a   a2  kb2    , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 a  kb   a  b  a1b1  a2b2  a3b3   a  a12  a22  a32  cos(a , b )  a.b  a  a12  a22  a22  a b a1b1  a2b2  a3b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32 (với a, b  ) 3.Tọa độ điểm: a) Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM  ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y =  M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB )  AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2  xA  kxB y A  kyB z A  kzB  ; ;  1 k 1 k   1 k x x y y z z   Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M  A B ; A B ; A B   2   Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC:  x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC  G A B C ; A ;  3    Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD:  x  x  x  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zC  G A B C ; ;   4  4.Tích có hƣớng hai vectơ: a) Định nghĩa: Cho a  (a1 , a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) a  a, b   a  b    b2 lehai88.blogspot.com a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2  ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b1 b1 b2  Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: k , i   j  [a, b]  a;  i , j   k ; [a, b]  b  j , k   i ;  [a, b]  a b sin  a, b   a, b phương  [a, b]  c) Ứng dụng tích có hƣớng:  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng  [a, b].c   Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:   AB, AD  SABC   AB, AC  VABCD A' B 'C ' D '  [ AB, AD] AA '  Thể tích tứ diện ABCD: VABCD   Diện tích hình bình hành ABCD:  Diện tích tam giác ABC: S ABCD [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương a  b  a.b  a b phương  a , b   a , b , c đồng phẳng   a , b  c  Phƣơng trình mặt cầu:  Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x  a )  ( y  b)  ( z  c )  R  Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b2  c  d  phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a  b2  c  d B BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép tốn vectơ khơng gian Bài Viết tọa độ vectơ sau đây: a  2i  j ; b  7i  8k ; c  9k ; d  3i  j  5k lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian Bài Viết dạng xi  yj  zk vectơ sau đây:    4  1  a   0; ;2 ; c   ;0; d   ; ; ; b  (4; 5;0) ;    3  3  5 Bài Cho: a   2; 5;3 , b   0;2; 1 , c  1;7;2 Tìm toạ độ vectơ u với: a) u  4a  b  3c b) u  a  4b  2c c) u  4b  c d) u  3a  b  5c e) u  a  b  2c f) u  a  b  c Bài Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: a) a  x  với a  1; 2;1 b) a  x  4a với a   0; 2;1 Bài Cho a  (1; 3; 4) a) Tìm y z để b  (2; y; z) phương với a b) Tìm toạ độ vectơ c , biết a vaø c ngược hướng c  a Bài Cho ba vectơ a  1; 1;1 , b   4;0; 1 , c  3;2; 1 Tìm: a)  a.b  c b) a  b c  c) a 2b  b 2c  c a d) 3a   a.b  b  c 2b e) 4a.c  b  5c Bài Tính góc hai vectơ a b : a) a   4;3;1 , b   1;2;3 c) a  (2;1; 2), b  (0;  2; 2) e) a  (4;2;4), b  (2 2; 2 2;0) Bài Tìm vectơ u , biết rằng:  a  (2; 1;3), b  (1; 3; 2), c  (3; 2; 4) a)  b) a   2;5;4 , b   6;0; 3 d) a  (3;2;2 3), b  ( 3;2 3; 1) f) a  (3; 2;1), b  (2;1; 1)  a  (2;3; 1), b  (1; 2;3), c  (2; 1;1) b)  u.b  11, u.c  20 u  b, u.c  6   a.u  5, u  a ,   a  (2;3;1), b  (1; 2; 1), c  (2; 4;3) a  (5; 3; 2), b  (1; 4; 3), c  (3; 2; 4) c)  d)  b u  4, c u  b u  9, c u  4   a.u  3, a.u  16, Bài Cho ba vectơ a, b , c Tìm m, n để c   a , b  : a) a   3; 1; 2 , b  1;2; m , c  5;1;7  b) a   6; 2; m , b  5; n; 3 , c   6;33;10  c) a   2;3;1 , b   5;6;4 , c   m; n;1 Bài 10 Xét đồng phẳng ba vectơ a, b , c trường hợp sau đây: a) a  1; 1;1 , b   0;1;2 , c   4;2;3 b) a   4;3;4 , b   2; 1;2  , c  1;2;1 c) a   3;1; 2 , b  1;1;1 , c   2;2;1 d) a   4;2;5 , b  3;1;3 , c   2;0;1 e) a  (2;3;1), b  (1; 2;0), c  (3; 2;4) f) a  (5;4; 8), b  (2;3;0), c  (1;7; 7) g) a  (2; 4;3), b  (1;2; 2), c  (3; 2;1) h) a  (2; 4;3), b  (1;3; 2), c  (3; 2;1) Bài 11 Tìm m để vectơ a, b , c đồng phẳng: a) a  1; m;2 , b   m  1;2;1 , c   0; m  2;2 b) a  (2m  1;1;2m 1); b  (m  1;2; m  2), c  (2m; m  1;2) c) a   m  1; m; m  2 , b   m  1; m  2; m , c  1;2;2 d) a  1; 3;2 , b   m  1; m  2;1  m , c   0; m  2;2 lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian Bài 12 Cho vectơ a, b , c , u Chứng minh ba vectơ a, b , c không đồng phẳng Biểu diễn vectơ u theo vectơ a, b , c :  a   2;1;0  , b  1; 1;  , c   2; 2; 1  u  (3;7; 7) b)   a  1;0;1 , b   0; 1;1 , c  1;1;0   u  (8;9; 1) d)  a)  c)   a  1; 7;9  , b   3; 6;1 , c   2;1; 7   u  (4;13; 6)  a  1;0;  , b   2; 3;0  , c   0; 3;   u  (1; 6; 22) VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm khơng gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm khơng gian – Sử dụng phép tốn vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt:  A, B, C thẳng hàng  AB, AC phương  AB  k AC   AB, AC    ABCD hình bình hành  AB  DC  Cho ABC có chân E, F đường phân giác ngồi góc A AB AB EC , FB  FC AC AC  A,B,C,D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng  AB, AC  AD  ABC BC Ta có: EB   Bài Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M:  Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz  Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M (1; 2;3) b) M (3; 1; 2) c) M (1;1; 3) d) M (1; 2; 1) e) M (2; 5;7) f) M (22; 15;7) g) M (11; 9;10) h) M (3;6;7) Bài Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M:  Qua gốc toạ độ  Qua mp(Oxy)  Qua trục Oy a) M (1; 2;3) b) M (3; 1; 2) c) M (1;1; 3) d) M (1; 2; 1) e) M (2; 5;7) f) M (22; 15;7) g) M (11; 9;10) h) M (3;6;7) Bài Xét tính thẳng hàng ba điểm sau: a) A(1;3;1), B(0;1; 2), C (0;0;1) b) A(1;1;1), B(4;3;1), C (9;5;1) c) A(10;9;12), B(20;3; 4), C (50; 3; 4) d) A(1;5; 10), B(5; 7;8), C (2; 2; 7) Bài Cho ba điểm A, B, C  Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác  Tìm toạ độ trọng tâm G ABC  Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành  Xác định toạ độ chân E, F đường phân giác ngồi góc A ABC BC Tính độ dài đoạn phân giác  Tính số đo góc ABC  Tính diện tích ABC Từ suy độ dài đường cao AH ABC a) A(1; 2; 3), B(0;3;7), C (12;5;0) b) A(0;13; 21), B(11; 23;17), C (1;0;19) c) A(3; 4;7), B(5;3; 2), C (1; 2; 3) d) A(4; 2;3), B(2;1; 1), C (3;8;7) e) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C (1;1; 3) f) A(4;1; 4), B(0;7; 4), C (3;1; 2) g) A 1;0;0  , B  0;0;1 , C  2;1;1 h) A(1; 2;6), B(2;5;1), C (1;8; 4) lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian Bài Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm: a) A(3;1;0) , B(2; 4;1) b) A(1; 2;1), B(11;0;7) c) A(4;1; 4), B(0;7; 4) d) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1) e) A(3; 4;7), B(5;3; 2) f) A(4; 2;3), B(2;1; 1) Bài Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: a) A(1;1;1), B(1;1;0), C (3;1; 1) b) A(3; 2; 4), B(0;0;7), C (5;3;3) c) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1), C (1;1; 3) d) A(0;13; 21), B(11; 23;17), C (1;0;19) e) A(1;0; 2), B(2;1;1), C (1; 3; 2) f) A(1; 2;6), B(2;5;1), C (1;8; 4) Bài Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) điểm M  Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ?  Tìm tọa độ điểm M a) A  2; 1;7  , B  4;5; 2  b) A(4;3; 2), B(2; 1;1) c) A(10;9;12), B(20;3; 4) d) A(3; 1; 2), B(1; 2; 1) e) A(3; 4;7), B(5;3; 2) f) A(4; 2;3), B(2;1; 1) Bài Cho bốn điểm A, B, C, D  Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện  Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD  Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD  Tính diện tích tam giác BCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A a) A(2;5; 3), B(1;0;0), C (3;0; 2), D(3; 1; 2) b) A 1;0;0  , B  0;1;0  , C  0;0;1 , D  2;1; 1 c) A 1;1;0  , B  0; 2;1 , C 1;0;  , D 1;1;1 d) A  2;0;0  , B  0; 4;0  , C  0;0;6  , D  2; 4;6  e) A(2;3;1), B(4;1; 2), C (6;3;7), D(5; 4;8) f) A(5;7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1;5;0) g) A(2; 4;1), B(1;0;1), C (1; 4; 2), D(1; 2;1) h) A(3;2;4), B(2;5; 2), C (1; 2;2), D(4;2;3) i) A(3; 4;8), B(1; 2;1), C (5; 2;6), D( 7; 4;3) k) A(3; 2;6), B(2;4;4), C (9;9; 1), D(0;0;1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'  Tìm toạ độ đỉnh lại  Tính thể tích khối hộp a) A 1;0;1 , B  2;1;  , D 1; 1;1 , C '  4;5; 5 b) A(0; 2;1), B(1; 1;1), D(0;0;0;), A '(1;1;0) c) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (1;1;1), C '(1; 2; 1) Bài Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB) b) Chứng minh S.ABC hình chóp c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH Bài 10 Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4) a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB) b) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP tứ diện c) Vẽ SH  (ABC) Gọi S điểm đối xứng H qua S Chứng minh SABC tứ diện Bài 11 Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp a) Phân tích vectơ OI , AG theo vectơ OA, OC, OD b) Phân tích vectơ BI theo vectơ FE, FG, FI Bài 12 Cho hình lập phương ABCD.EFGH a) Phân tích vectơ AE theo vectơ AC, AF , AH b) Phân tích vectơ AG theo vectơ AC, AF , AH lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian VẤN ĐỀ 3: Phƣơng trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: xI  – Bán kính R = IA = xA  xB y  yB z z ; yI  A ; zI  A B 2 AB Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0(*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R mặt cầu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b2  c  d  (S) có tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a  b2  c  d Bài Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) x  y  z  x  y   b) x  y  z  x  y  z   c) x  y  z  x  y  z  d) x  y  z  x  y  z  86  e) x  y  z  12 x  y  z  24  f) x  y  z  x  12 y  12 z  72  g) x  y  z  x  y  z   h) x  y  z  3x  y  i) 3x  y  3z  x  y  15 z   k) x  y  z  x  y  z  10  Bài Xác định m, t, , … để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm bán kính mặt cầu đó: a) x  y  z  2(m  2) x  4my  2mz  5m2   b) x  y  z  2(3  m) x  2(m  1) y  2mz  2m2   c) x  y  z  2(cos   1) x  y  2cos  z  cos 2   d) x  y  z  2(3  2cos2  ) x  4(sin   1) y  z  cos 4   e) x  y  z  2ln t.x  y  z  3ln t   f) x  y  z  2(2  ln t ) x  4ln t y  2(ln t  1) z  5ln t   Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R: a) I (1; 3;5), R  b) I (5; 3;7), R  c) I (1; 3; 2), R  d) I (2; 4; 3), R  Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A: a) I (2; 4; 1), A(5; 2;3) b) I (0;3; 2), A(0;0;0) c) I (3; 2;1), A(2;1; 3) d) I (4; 4; 2), A(0;0;0) e) I (4; 1; 2), A(1; 2; 4) lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ khơng gian Bài Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4; 1), B(5; 2;3) b) A(0;3; 2), B(2; 4; 1) c) A(3; 2;1), B(2;1; 3) d) A(4; 3; 3), B(2;1;5) e) A(2; 3;5), B(4;1; 3) f) A(6; 2; 5), B(4;0;7) Bài Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) A 1;1;0  , B  0; 2;1 , C 1;0;  , D 1;1;1 b) A  2;0;0  , B  0; 4;0  , C  0;0;6  , D  2; 4;6  c) A(2;3;1), B(4;1; 2), C (6;3;7), D(5; 4;8) d) A(5;7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1;5;0) e) A(6; 2;3), B(0;1;6), C (2;0; 1), D(4;1;0) f) A(0;1;0), B(2;3;1), C (2; 2; 2), D(1; 1; 2) Bài Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với:  A(1; 2;0), B (1;1;3), C (2;0; 1) ( P)  (Oxz )  A(2;0;1), B(1;3; 2), C (3; 2;0) ( P)  (Oxy ) a)  b)  Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T), với:  I (5;1;1)  I (3; 2; 2) a)  2 (T ) : x  y  z  x  y  z   b)  2 (T ) : x  y  z  x  y  z   VẤN ĐỀ 4: Vị trí tƣơng đối hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) S2(I2, R2)  I1 I  R1  R2  (S1), (S2)     I1 I  R1  R2  (S1), (S2) I1 I  R1  R2  (S1), (S2) tiếp xúc I1 I  R1  R2  (S1), (S2) tiếp xúc R1  R2  I1I  R1  R2  (S1), (S2) cắt theo đường tròn Bài Xét vị trí tương đối hai mặt cầu:  x2  y  z  8x  y  z    2  x  y  z  4x  y  4z   b)  ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2   2   x  y  z  x  10 y  z  21  c)   x  y  z  x  y  10 z    2   x  y  z  4x  y  2z   d)   x2  y  z  2x  y  4z    e)  2  x  y  z  6x  y  4z    x2  y  z  4x  y  2z    f)  2   x  y  z  6x  y  2z   a)   x  y  z  x  y  z  15   2   x  y  z  x  12 y  z  25  Bài Biện luận theo m vị trí tương đối hai mặt cầu: 2  ( x  2)  ( y  1)  ( z  3)  64 a)  2 2  ( x  4)  ( y  2)  ( z  3)  (m  2) 2  ( x  2)  ( y  2)  ( z  1)  25 c)  2 2  ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  (m  1) 2  ( x  3)  ( y  2)  ( z  1)  81 b)  2 2  ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  (m  3) 2  ( x  3)  ( y  2)  ( z  1)  16 d)  2 2  ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  (m  3) VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) – Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M Chẳng hạn có dạng: ( x  a )  ( y  b)  ( z  c )  R hoặc: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ khơng gian 2.Tìm tập hợp tâm mặt cầu  x  f (t )  – Tìm toạ độ tâm I, chẳng hạn:  y  g (t ) (*)  z  h(t )  – Khử t (*) ta có phương trình tập hợp điểm – Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) Bài Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho: a) MA2  MB2  30 b) MA 2 MB c) MA2  MB  k (k  0) Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3) Tìm tập hợp điểm M(x; y; z) cho: a) MA2  MB  124 MA c) AMB  900  MB e) MA2  MB  2(k  1) (k  0) b) d) MA = MB Bài Tìm tập hợp tâm I mặt cầu sau m thay đổi: a) x  y  z  x  y  2(m  3) z  19  2m  b) x  y  z  2(m  2) x  y  z  2m   c) x  y  z  x  y  2(m  1) z  2m2   d) x  y  z  4(2  cos m) x  2(5  2sin m) y  z  cos 2m   e) x  y  z  2(3  4cos m) x  2(4sin m  1) y  z   2sin m  -=oOo= - lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian Bài 17 Cho bốn điểm S (1; 2; 1), A(3; 4; 1), B(1; 4;1), C (3; 2;1) a) Chứng minh S.ABC hình chóp b) Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh hình chóp c) Viết phương trình đường vng góc chung SA BC Bài 18 Cho bốn điểm S (1; 2;3), A(2; 2;3), B(1; 1;3), C (1; 2;5) a) Chứng minh S.ABC tứ diện b) Viết phương trình hình chiếu SA, SB mặt phẳng (ABC) VẤN ĐỀ 2: Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Bài Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x  1  t  x   2t  x   2t ' x 1 y  z     a) d1 : b) d1 :  y   t ; d :  y  3  t '   ; d :  y  t 2  z  2  3t  z  5t  z  1 t '    x  y z 1 x7 y 2 z c) d1 :   ; d2 :   6 8 6 12 x 1 y  z  x 7 y 6 z 5 d) d1 :   ; d2 :   6 x 1 y  z  x  y 1 z  e) d1 :   ; d2 :   Bài Chứng tỏ cặp đường thẳng sau chéo Viết phương trình đường vng góc chung chúng:  x   2t  x  2t '  x   2t  x  2t '     a) d1 :  y   t ; d :  y   t ' b) d1 :  y   2t d :  y   3t '  z  2  3t  z   2t '  z  t ; z      x  y 1 z  x  y  z 1 c) d1 :   ; d2 :   2 2 x  y 1 z x y 1 z  d) d1 :   ; d2 :   2 2 x 7 y 3 z 9 x  y 1 z 1 e) d1 :   ; d2 :   1 7  x  3t x  1 t '   Bài Tìm giao điểm hai đường thẳng d1 d2: d1 :  y   2t ; d :  y  2t ' z   t z   t '   Bài Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt Khi tìm toạ độ giao điểm chúng:  x   mt x  1 t '   a) d1 :  y  t ; d :  y   2t '  z  1  2t z   t '   lehai88.blogspot.com x  1 t x   t '   b) d1 :  y   2t ; d :  y   t ' z  m  t  z   3t '   Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian VẤN ĐỀ 3: Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: a) c) d) e)  x  2t  x  3t    b) d :  y   4t ; ( P) : x  y  z   d :  y   t ;( P) : x  y  z  10  z   t  z  4t    x  12 y  z  d:   ; ( P) : x  y  z   x  11 y  z d:   ; ( P) : x  y  z   x  13 y  z  d:   ;( P) : x  y  z   Bài Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để: i) d cắt (P) ii) d // (P) iii) d  (P) x 1 y  z    ; ( P) : x  y  z   m 2m  x  y  z 1 b) d :   ; ( P) : x  y  z   m m2  x   4t ;  c) d :  y   4t; ;( P) : (m  1) x  y  z  n    z  3  t  a) d :  x   2t  d) d :  y   3t ; ( P) : (m  2) x  (n  3) y  z    z   2t  Bài Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m để: x  m  t  a) d :  y   t cắt ( P) : x  y  z   điểm có tung độ  z  3t  lehai88.blogspot.com iv) d  (P) Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian VẤN ĐỀ 4: Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: x y 1 z   ; (S ) : x2  y  z  x  z   1  x  2  t  b) d :  y  t ; (S ) : x  y  z  x  y  z   z   t  a) d :   x   2t  c) d :  y   t ; z   t  (S ) : x2  y  z  x  y  z   x  1 t  d) d :  y   t ; z   (S ) : x2  y  z  x  y  z   Bài Biện luận theo m, vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S): x  1 t  d :  y  m  t ; (S ) : x2  y  z  x  z   z   t  Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d:  x   4t  a) I (1; 2;1); d :  y   2t  z  4t   x  y  z 1 c) I (4; 2; 1); d :   2 x  1 t  b) I (1; 2; 1); d :  y   z  2t  x 1 y z  d) I (1;2; 1); d :   1 Bài Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R = Viết phương trình tiếp tuyến d (S), biết: a) d qua A(0; 0; 5)  (S) có VTCP a  (1; 2; 2) b) d qua A(0; 0; 5)  (S) vng góc với mặt phẳng: ( ) : 3x  y  z   Cho tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện, với: a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3) b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0) c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1) d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2) lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng d  Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a d (M , d )   Cách 2:  Cách 3: đường thẳng d)  M M , a  a – Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d – d(M,d) = MH – Gọi N(x; y; z)  d Tính MN2 theo t (t tham số phương trình – Tìm t để MN2 nhỏ – Khi N  H Do d(M,d) = MH Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (d1 , d )   a1 , a2 .M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đƣờng thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đƣờng thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng () Bài Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d:  x   4t  a) A(2;3;1), d :  y   2t  z  4t   x  y 1 z c) A(1;0;0), d :   x  y 1 z  e) A(1; 1;1), d :   2  x   2t  b) A(1; 2; 6), d :  y   t z  t   x  y 1 z  d) A(2;3;1), d :   2 Bài Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo Tính khoảng cách chúng:  x   2t  x  2t '   a) d1 :  y   t ; d :  y   t '  z  2  3t  z   2t '    x   2t  x  2t '   b) d1 :  y   2t ; d :  y   3t '  z  t ; z     x   2t  x   3t ' x  y 1 z x y 1 z    c) d1 :  y   4t ; d :  y   t ' d) d1 :   ; d2 :    2  z  4t  2;  z   2t '   x 7 y 3 z 9 x  y 1 z 1 e) d1 :   ; d2 :   1 7 x  y 1 z  x  y  z 1 f) d1 :   ; d2 :   2 2 lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian Bài Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với Tính khoảng cách chúng:  x   2t  x   4t ' x 1 y  z  x  y  z 1   a) d1 :  y   3t ; d :  y   6t ' b) d1 :   ; d2 :   6 3 12 z   t  z   2t '   x  y 1 z  x  y  z 1 c) d1 :   ; d1 :   Bài Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) Tính khoảng cách chúng:  x  3t   a) d :  y   4t ; ( P) : x  y  z    z  4t    x   2t  b) d :  y  t ; ( P) : x  z    z   2t  VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đƣờng thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a1 , a2 cos  a1 , a2   a1.a2 a1 a2 Góc đƣờng thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với hình chiếu d () sin  d , ( )   Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a22  a32 Bài Tính góc hai đường thẳng:  x   2t  x  2t   a) d1 :  y  1  t ; d :  y  1  3t  z   4t  z   2t   b) d1 : x 1 y  z  x  y 3 z    ; d2 :   1 2 Bài Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P): d: x 1 y 1 z    ; 2 ( P) : x  y  z  10  Bài Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1) a) Chứng minh cặp cạnh đối tứ diện đơi vng góc với b) Tính góc AD mặt phẳng (ABC) c) Tính góc AB trung tuyến AM tam giác ACD d) Chứng minh AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC) b) Tính góc tạo SC (ABC) góc tạo SC AB c) Tính khoảng cách từ C đến (SAB) từ B đến (SAC) d) Tính khoảng cách từ C đến AB khoảng cách SA BC -=oOo= -lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ khơng gian §3 GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A LÝ THUYẾT Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta thực bước sau: Bƣớc 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp Bƣớc 2: Dựa vào giả thiết toán xác định tọa độ điểm có liên quan Bƣớc 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải tốn Chú ý: Thơng thường ta dựa vào yếu tố đường thẳng vng góc với mặt phẳng để chọn hệ trục Oxyz cho dễ xác định toạ độ điểm liên quan MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với H hình chiếu O (ABC) Chứng minh DABC có ba góc nhọn Chứng minh H trực tâm DABC 1 1    2 OH OA OB OC Gọi    (OAB), ( ABC )  ,    (OBC ), ( BCA)  ,    (OAC ), ( ACB)  Chứng minh Chứng minh cos2   cos2   cos2   Giải: Chọn hệ trục Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c > 0) 1.Chứng minh DABC có ba góc nhọn: z Ta có: AB AC  (a; b; 0)(a; 0; c)  a  C  BAC nhọn Tương tự: ABC , ACB nhọn Vậy DABC có ba góc nhọn 2.Chứng minh H trực tâm DABC: Ta có phương trình mp (ABC): O x y z     bcx  acy  abz  abc  a b c A OH  ( ABC )  uOH  n( ABC )  (bc; ac; ab) x  x  bct  (t  R)  Phương trình đường thẳng OH:  y  act  z  abt  Thay x, y, z vào phương trình mp(ABC): (b2c  a 2c  a 2b2 )t  abc abc t 2 2 2 a b b c c a   ab c a 2bc a 2b c  H 2 ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2   a b b c c a a b b c c a a b b c c a  lehai88.blogspot.com H B y Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian  a2 AH  (ab  ac ; bc ; b c)  a 2b  b c  c a  b2  BH  (ac ;  a 2b  bc ; a c) 2 2 2  a b b c c a  a2 AH BC  (ab  ac ; bc ; b 2c)(0;  b; c)   a 2b  b c  c a  b2  BH AC  (ac ;  a 2b  bc ; a 2c )(a; 0; c)  2 2 2  a b b c c a  AH  BC   H trực tâm DABC  BH  AC 1 1 3.Chứng minh    2 OH OA OB OC abc a 2b  b c  c a OH  d (O, ( ABC ))    OH a 2b c a 2b  b c  c a 1 1 1 a 2b  b c  c a       OA2 OB OC a b c a 2b 2c 1 1     2 OH OA OB OC 4.Chứng minh cos2a + cos2b + cos2g = Nhận xét: cos   cos  (OAB), ( ABC )   cos  n(OAB ) , n( ABC )  Gọi n  n( ABC )  (bc; ac; ab) n1  n(OAB )  k  (0, 0, 1); n2  n(OBC )  i  (1, 0, 0); n3  n(OAC )  j  (0, 1, 0)  cos2   cos2   cos2   cos2 (n1, n)  cos2 (n2 , n)  cos (n3 , n) Vậy: a 2b b2c a 2c  2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a a b b c c a cos   cos   cos   Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 2a Gọi O trung điểm AH Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) O, lấy điểm S cho OS = 2a 1.Tính cosin góc  tạo hai mặt phẳng (SAB) (SAC) 2.Trên đoạn OH lấy điểm I Đặt OI = m (0 < m < a) Mặt phẳng (a) qua I, vuông góc với AH cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q a Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x b Tìm m để diện tích MNPQ lớn Giải: Gọi D trung điểm AB lehai88.blogspot.com z S P 2a E C j A N O a x Q m I D M B H y Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian  OD  OH BC 4a  BC  a  OD  BC  AH  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:  a  O(0; 0; 0), D  ; 0;  , H (0; a 0), S (0; 0; 2a)    2a   2a   A(0;  a; 0), B  ; a;  , C   ; a;      Tính cosj: Vẽ BE  SA E  CE  SA (vì SA  ( BCE ))    BEC SA  (0; a; 2a)  a(0; 1; 2) x   Phương trình đường thẳng SA:  y  a  t  z  2t  Phương trình mp(BCE):  y (t  R) a   2z  Thay x, y, z vào phương trình (BCE), ta được: 2a  t  4t   t  2a   2a 8a 4a  2a ; ;  (5; 3;  3) EB    3a 4a      E  0;  ;    5   EC    2a ; 8a ;  4a    2a (5;  3; 3)    5  2a 2a  (5; 3;  3)(5;  3; 3) 35 3  cos   cos( EB, EC )    85 17  2a    85 85  3 Vậy cos   17 2.Ta có: I(0; m; 0), OH  a(0; 1; 0)  phương trình mp(MNPQ): y – m = a.Tính SMNPQ: Ta có:  2a  2a AB   ; 2a;   (1; 3; 0) ;   2a  2a  AC    ; 2a;    (1;  3; 0) 3   a  2a  SB   ; a;  2a   (2; 3;  3) ;   a  2a  SC    ; a;  2a    (2;  3; 3) 3   lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ khơng gian x  t  Phương trình đường thẳng AB:  y  a  3t z   (t  R) am  M  AB  ( MNPQ)  M  ; m;    x  t  Phương trình đường thẳng AC:  y  a  3t (t  R) z    a  m  N  AC  ( MNPQ)  N  ; m;     x  2t  Phương trình đường thẳng SB:  y  3t (t  R)   z  2a  3t  2m  Q  SB  ( MNPQ)  Q  ; m; 2a  2m     x  2t  Phương trình đường thẳng SC:  y   3t (t  R)   z  2a  3t  2m  P  SC  ( MNPQ)  P   ; m; 2a  2m    ma   a  3m   2a  2m  ; 0; 2a  2m  ; MP   ; 0; 2a  2m  ; MN   ; 0;  3        [ MQ, MP]  [ MP, MN ]  4m  4a     8m(m  a)     0; ;    0; ; 0    3      MQ   S MNPQ    8m(a  m) 4a  4m  4a 2a    m  m   2 3 3   S MNPQ  (3m  2am  a ) b/ Tìm m để (SMNPQ)max: Bảng xét dấu: – m 3m2  2am  a  SMNPQ  – 4a 8a  3 3 lehai88.blogspot.com a 4a + – Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian Vậy ( SMNPQ ) max  8a a m  3  a   ( a  m )  m      a   8a   Cách khác: SMNPQ  3(a  m)  m        3  ( coâsi )  8a a a  ( SMNPQ )max   am  m  m  3 3 Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA= a, OB = b, OC = c 1.Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp (S) OABC Tính bán kính r (S) 2.Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) (OMP) vng góc  1  2 2 a b c Giải: Chọn hệ trục Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) 1.Tính r: Ta có: VI AOB  VI OBC  VI OCA  VI ABC  VOABC z r abc (SOAB  SOBC  SOCA  SABC )  C SABC  [ AB, AC ] M c  [(a; b; 0), (a; 0; c)] N 2 2 2  a b b c c a O b a r abc P (1)  (ab  bc  ca  a 2b  b 2c  c a )  6x A abc Vậy r  ab  bc  ca  a 2b2  b2 c2  c2 a2 1 2.Chứng minh (OMN)  (OMP)    a b c c  b c a a b  Ta có: M  0; ;  , N  ; 0;  , P  ; ;   2 2 2 2  ab   bc ac n(OMN )  [OM , ON ]   ; ;    4  ab   bc ac n(OMP )  [OM , OP]    ; ;    4   (OMN )  (OMP)  n(OMN ) n(OMP )   b c a c a 2b      a (c  b2 )  b2c 16 16 16 lehai88.blogspot.com  1   2 a b c B y Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ khơng gian Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a 2; ASB   1.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2.Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 3.Tìm a để tâm mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp trùng Giải: Ta có: AC = BD = 2a Gọi SO đường cao SO= h Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h)  C (a; 0;0), D(0;  a; 0) Tâm I R (S) ngoại tiếp chóp S.ABCD Do S.ABCD hình chóp tứ giác nên I  OS  I (0; 0; z0 ) Phương trình mặt cầu (S): x2  y  z  z0 z  d  a  d   h  z0 h  d  d  a   h2  a z   2h  A, S  ( S ) Vậy: x A SA.SB (a; 0;  h)(0; a;  h) h2   SA.SB a  h2 a  h2 r 2a h VS ABCD  Stp ; VS ABCD  h(a 2)  3 S xp  4SSAB  SA.SB sin   2(a  h ) sin   Stp  S xp  S ABCD  2(a  h ) sin   2a a cos  (1  cos  ) a2h  2 a  (a  h ) sin   sin   cos  a cos  (1  cos  )  r  sin   cos  Tìm a để I  J I J  OI  OJ  lehai88.blogspot.com C a Tâm J r (S/) nội tiếp chóp S.ABCD: Ta có: J  OS  J (0; 0; r ), OJ  r Vậy: OJ  h O a cos   h (a nhọn DSAB cân S)  cos  a R cos  (1  cos  ) a(2cos   1) OI  cos  (1  cos  ) r a D   h2  a  h2  a  h2  a  I  0; 0; , R   a     2h  2h   2h  Mặt khác: cos   z S a cos  (1  cos  ) a(2 cos   1)   sin   cos  cos  (1  cos  ) B y Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian  (2cos   1)(1  sin   cos  )  2cos  (1  cos  )  (1  cos  sin )  (sin   cos  )   (sin   cos  )(sin   cos   1)   sin   cos  (do sin    cos   0)    45o Vậy I  J    45o (do  nhoïn) BÀI TẬP (A–2006) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.ABCD với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A(0; 0; 1) Gọi M, N trung điểm AB, CD a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa AC tạo với mặt phẳng Oxy góc , biết cos   a) d(AC, MN) = ĐS: 2 b) (Q1): x  y  z   , (Q2): x  y  z   (A–2006) Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OOAB ĐS: 3a V= 12 (B–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) hai đường thẳng: x y 1 z 1 d1 :   1 vaø x  1 t  d2 :  y  1  2t z   t  a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 d2 b) Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho ba điểm A, M, N thẳng hàng ĐS: a) (P): x  y  5z   b) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1) (B–2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB ĐS: VAINB = a3 36 (D–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng: d1 : x  y  z 1   1 vaø d2 : x 1 y 1 z 1   1 a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1 b) Viết phương trình đường thẳng  qua A, vng góc với d1 cắt d2 ĐS: a) A (–1; –4; 1) b) : x 1 y  z    3 5 (D–2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ĐS: lehai88.blogspot.com V= 3a 50 Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian (A–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x y 1 z  d1 :   1 vaø  x  1  2t  d2 :  y   t z   a) Chứng minh d1 d2 chéo b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): x  y  z  cắt hai đường thẳng d1, d2 ĐS: b) d: x  y z 1   4 (A–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ ĐS: diện CMNP VCMNP = 3a 96 (B–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x  y  z  x  y  z   , (P): x  y  z  14  a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường tròn có bán kính b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn ĐS: a) (Q): y  z  ; b) M (1; 1; 3) (B–2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ĐS: d(MN, AC) = a (D–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) đường thẳng : x 1 y  z   1 a) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MA2  MB nhỏ x y2 z 2 b) M(–1; 0; 4)   1 (D–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC  BAD  900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc ĐS: a) d: A SB Chứng minh SCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt ĐS: phẳng (SCD) d(H, (SCD)) = a (A–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng d: x 1 y z    2 a) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn ĐS: lehai88.blogspot.com a) H(3; 1; 4) b) (P): x  y  z   Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian (A–2008) Cho lăng trụ ABC.ABC có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA, BC ĐS: V= a3 cos   a3 ; cos   (B–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(– 2; 0; 1) a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng x  y  z   cho MA = MB = MC ĐS: a) x  y  z   b) M(2; 3; –7) (B–2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ĐS: V= (D–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3) a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: a) x  y  z  3x  y  3z  b) H(2; 2; 2) (D–2008) Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.ABC khoảng cách hai đường thẳng AM, BC ĐS: V= a ; d= a (A–2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 15a (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z  11  Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt ĐS: V= cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn ĐS: H(3; 0; 2), r = (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x  y  z   va hai đường thẳng 1 : x 1 y z  x 1 y  z  Xác định toạ độ điểm M   , 2 :   1 2 thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) ĐS: lehai88.blogspot.com  18 53  M  ; ;   35 35 35  Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian -=oOo= lehai88.blogspot.com ...Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian CHỦ ĐỀ 3: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT I ÔN TẬP VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép tốn  Định... Phương pháp tọa độ khơng gian §3 GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A LÝ THUYẾT Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta thực bước sau: Bƣớc 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz... Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz lehai88.blogspot.com Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ không gian 2 Chú ý: i  j  k  i j  i.k  k j  Tọa độ vectơ: u   x;