ĐỊNH LÝ ANNE

ĐỊNH LÝ ANNE Tống Hữu Nhân (Sinh viên Đại học Y Dược, thành phố Hồ Chí Minh) Tóm Tắt Định lý Anne, đặt theo tên nhà toán học Pháp Pierre Leon-Anne (1806–1850), định lý thú vị hình học phẳng Bài viết giới thiệu định lý cách tổng quát khai thác việc giải lớp toán liên quan đến đường thẳng Gauss Định lý Anne Định lý (Pierre Leon-Anne) Cho tứ giác lồi ABCD Khi quỹ tích điểm P cho tổng diện tích [P AB] + [P CD] số thực r cho trước đường thẳng B A P X E D Y C Lời giải Ta dễ dàng chứng minh trường hợp ABCD có cặp cạnh đối song song Ngược lại, gọi E = AB ∩ CD Dựng X ∈ SA, Y ∈ SD cho EX = AB, EY = CD điểm E, X, Y cố định Khi ta có r = [P AB] + [P CD] = [P EX] + [P Y E] = [EXY ] + [P Y X] ⇔ [P XY ] = [EXY ] − r = const, E, X, Y cố định Suy P di chuyển đường thẳng cố định song song với XY Định lý Anne Tống Hữu Nhân Liên hệ với đường thẳng Gauss Bài toán Cho tứ giác toàn phần ABCD.EF Các điểm M, N, P trung điểm cạnh AC, BD, EF Chứng minh điểm M, N, P nằm đường thẳng gọi đường thẳng Gauss tứ giác toàn phần ABCDEF (Đường thẳng Gauss) F B P A N M E D C Lời giải Sử dụng tính chất trung tuyến, ta có đẳng thức sau 1 [M AB] + [M CD] = [CAB] + [ACD] = [ABCD], 2 1 [N AB] + [N CD] = [DAB] + [BCD] = [ABCD], 2 1 [P AB] + [P CD] = [F AB] + [F CD] = [ABCD], 2 nên theo định lý Anne, M, N, P thẳng hàng Ta thu điều phải chứng minh Nhận xét Đa số tài liệu giới thiệu đinh lý Anne đề cập cách tổng quát mà thường phát biểu dạng tương quan với đường thẳng Gauss sau : Điểm P nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD [P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA] = [ABCD] Bài toán Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh điểm O nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD (Định lý Newton) Lời giải Gọi R bán kính (O) Do ABCD ngoại tiếp nên theo định lý Pithot AB + CD = BC + DA, từ [OBA] + [ODC] = 1 · R · (BA + DC) = · R · (CB + AD) = [OCB] + [OAD] 2 Tống Hữu Nhân Định lý Anne B A N M O D C Suy [OBA] + [ODC] = [OCB] + [OAD] = [BADC], nên theo định lý Anne, O nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) điểm P nằm tứ giác Bốn đường thẳng qua điểm A, B, C, D vng góc với P A, P B, P C, P D tạo thành tứ giác XY ZT Chứng minh điểm O nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT T A A X P D O B P D B Z C C Y Lời giải Lấy P đối xứng P qua O gọi A , B , C , D hình chiếu P lên T X, XY, Y Z, ZT Do O trung điểm P P nên theo tính chất đường trung bình hình thang vng, dễ thấy A B C D nội tiếp (O) Sử dụng góc nội tiếp, ta có ∠P XY = ∠P AB = 90◦ − ∠XAB = 90◦ − ∠XB A = ∠P B A = ∠P XT Định lý Anne Tống Hữu Nhân Tương tự suy P P hai điểm liên hợp đẳng giác tứ giác XY ZT Từ đó, ta có · [P Y X] = P B · XY = P B · B X + P B · B Y = P X · sin ∠P XY · P X · cos ∠P XY + P Y · sin ∠P Y X · P Y · cos ∠P Y X = P X · P X · sin ∠P XY · cos ∠P XT + P Y · P Y · sin ∠P Y X · cos ∠P Y Z Biến đổi tương tự cho [P XY ], cộng lại ta · ([P Y X] + [P XY ]) = P X · P X · (sin ∠P XY · cos ∠P XT + sin ∠P XT · cos ∠P XY ) + P Y · P Y · (sin ∠P Y X · cos ∠P Y Z + sin ∠P Y Z · cos ∠P Y X) = P X · P X · sin ∠T XY + P Y · P Y · sin ∠XY Z Tương tự · ([P T Z] + [P T Z]) = P Z · P Z · sin ∠Y ZT + P T · P T · sin ∠ZT X Do O trung điểm P P nên · ([OY X] + [OT Z]) = · ([P Y X] + [P XY ] + [P T Z] + [P T Z]) = P X · P X · sin ∠T XY + P Y · P Y · sin ∠XY Z + P Z · P Z · sin ∠Y ZT + P T · P T · sin ∠ZT X Đây biểu thức đối xứng với P, P tứ giác XY ZT nên tương tự, ta suy [OY X] + [OT Z] = [OXT ] + [OZY ], nên theo định lý Anne, O nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Nhận xét Ta có số nhận xét sau (i) Kết luận cho điểm P mặt phẳng Khi điểm P trùng tâm O, ta thu toán (định lý Newton cho tứ giác ngoại tiếp) (ii) Ngược lại, cho tứ giác ABCD có hai điểm P, P liên hiệp đẳng giác Khi đó, hình chiếu P, P lên cạnh tứ giác ABCD thuộc đường tròn tâm O trung điểm P P điểm O nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) điểm P mặt phẳng Gọi X, Y, Z, T, H, K hình chiếu điểm P lên cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD Chứng minh trung điểm đoạn HK nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Lời giải Khi P ∈ (O), theo định lý Simson (H, X, Y ), (H, Z, T ), (K, T, X), (K, Y, Z) thẳng hàng Do đó, XY ZT.HK tứ giác tồn phần, hiển nhiên trung điểm HK nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Trường hợp P nằm (O) xin dành cho bạn đọc, ta chứng minh P nằm (O) Ta có ∠HXY = ∠HXB − ∠Y XB = ∠HP A − ∠Y P B (P HXA, P XBY nội tiếp) = ∠AP B − ∠HP Y = ∠AP B − ∠ACB (P HY C nội tiếp) Tống Hữu Nhân Định lý Anne B A X H Y O K T P D Z C Tương tự, ∠KXT = ∠AP B − ∠BDA Mà ABCD nội tiếp nên ∠ACB = ∠BDA, ∠HXY = ∠KXT , suy H, K liên hiệp đẳng giác tứ giác XY ZT Theo nhận xét (ii), trung điểm HK nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) điểm P nằm tứ giác Gọi O1 , O2 , O3 , O4 tâm đường tròn (P AB), (P BC), (P CD), (P DA) Chứng minh trung điểm đoạn OP nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1 O2 O3 O4 T A O4 X O1 D N N P O B O M M O2 O3 Y Z C Lời giải Kẻ đường kính P X, P Y, P Z, P T O1 , O2 , O3 , O4 Dễ thấy A, T, X thẳng hàng P A ⊥ T X Từ đó, theo tốn O nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Định lý Anne Tống Hữu Nhân Gọi O , M, N, M , N trung điểm P O, XZ, Y T, O1 O3 , O2 , O4 Xét phép vị tự DP2 : X −→ O1 , Y −→ O2 , Z −→ O3 , T −→ O4 , O −→ O Suy DP2 : M −→ M , N −→ N , mà O, M, N thẳng hàng nên O , M , N thẳng hàng, hay O nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1 O2 O3 O4 Tổng quát toán 5, ta toán sau Bài toán (Nguyễn Văn Linh) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ), (O4 ) qua cặp đỉnh (A, B), (B, C), (C, D), (D, A) cắt lại điểm X, Y, Z, T Chứng minh (a) Tứ giác XY ZT nội tiếp đường tròn (I) (b) Trung điểm đoạn OI nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1 O2 O3 O4 (Mathley, số 9, 2012) Lời giải (Ong Thế Phương, 11T, chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) (a) Sử dụng góc nội tiếp, ta có ∠T XY + ∠Y ZT = ∠T AB + ∠Y CB + ∠T AC + ∠Y CD = ∠DAB + ∠BCD = 180◦ , hay XY ZT nội tiếp đường tròn (I) (b) Do đường nối tâm trung trực dây chung, nên ta có [IXO2 ] = [IO2 Y ], [IY O3 ] = [IO3 Z], [OAO1 ] = [OO1 B], [AO4 O1 ] = [T O1 O4 ], [IZO4 ] = [IO4 T ], [OBO2 ] = [OO2 C], [IT O1 ] = [IO1 X]; [OCO3 ] = [OO3 D], [BO1 O2 ] = [XO2 O1 ], [CO2 O3 ] = [Y O3 O2 ], Từ [IO1 O2 ] = [XIO1 ] + [XO1 O2 ] + [XO2 I] = [ODO4 ] = [OO4 A]; [DO3 O4 ] = [ZO4 O3 ] · [IT O1 BO2 Y ] Biến đổi tương tự cho [IO3 O4 ], cộng lại ta · ([IT O1 BO2 Y ] + [IY O3 DO4 T ]) = · ([O1 O2 O3 O4 ] + [AO4 O1 ] + [BO2 O1 ] + [CO2 O3 ] + [DO4 O3 ]) [IO1 O2 ] + [IO3 O4 ] = Tống Hữu Nhân Định lý Anne B A O1 O2 X T O4 I J O Y Z C D O3 Tương tự, [OO1 O2 ] + [OO3 O4 ] = · ([O1 O2 O3 O4 ] + [AO1 O4 ] + [BO1 O2 ] + [CO3 O2 ] + [DO3 O4 ]) Gọi J trung điểm OI [JO1 O2 ] + [JO3 O4 ] = 1 · ([IO1 O2 ] + [IO3 O4 ] + [OO1 O2 ] + [OO3 O4 ]) = · [O1 O2 O3 O4 ], 2 nên theo định lý Anne, J nằm đường thẳng Gauss tứ giác O1 O2 IO3 O4 Nhận xét Khi tứ giác XY ZT suy biến thành điểm P ta thu toán Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA tạo thành tứ giác M N P Q Chứng minh (a) Tâm O nằm đường thẳng Gauss tứ giác M N P Q (b) (Titu Andreescu, Luis Gonzalez, Cosmin Pohoata) Điểm Euler-Poncelet tứ giác M N P Q nằm đường thẳng Gauss tứ giác ABCD Định lý Anne Tống Hữu Nhân Lời giải (a) Gọi E = AB ∩ CD, F = BC ∩ AD Gọi A1 , B1 , C1 , D1 giao điểm phân giác góc A, B, C, D với (O) Vì AA1 , CC1 phân giác ABCD nội tiếp nên sd A1 C1 = sd A1 B + sd C1 B = (∠A1 AB + ∠C1 CB) = ∠DAB + ∠BCD = 180◦ , hay A1 C1 đường kính (O), từ suy A1 B1 C1 D1 hình chữ nhật E C X B A1 N D1 M T Z P I O Q F D C1 Do Q, N tâm nội tiếp B1 Y A EAD bàng tiếp ECD, kết hợp góc nội tiếp, ta có ∠QN M = ∠BN E = ∠ABN − ∠BEN 180◦ − ∠D − ∠E ∠A ∠B − ∠E = = = 2 = ∠BAM = ∠A1 B1 M Suy A1 B1 NQ C1 D1 Từ đó, theo định lý Thales, ta đặt M A1 M B1 A1 B1 C1 D1 P C1 P D1 = = = = = = h MQ MN NQ NQ PN PQ Do A1 B1 C1 D1 hình chữ nhật, kết hợp tỷ số h, ta có · ([D1 M N ] + [B1 P Q]) 1 = ([D1 B1 N ] + [B1 D1 Q]) = ([M N P Q] + [N D1 P ] + [QB1 M ]) 2(h + 1) 2(h + 1) 1 = ([M N P Q] + h · [N P Q] + h · [QM N ]) = · [M N P Q] 2(h + 1) [OM N ] + [OP Q] = Do theo định lý Anne, O nằm đường thẳng Gauss tứ giác M N P Q Tống Hữu Nhân Định lý Anne (b) Gọi I = M P ∩ N Q Do Q, N tâm nội tiếp EAD bàng tiếp ECD nên EI phân giác ∠AED, tương tự F I phân giác ∠CF D Từ đó, biến đổi góc, ta dễ dàng chứng minh IE ⊥ IF Mặt khác, biến đổi góc, dễ chứng minh M N P Q nội tiếp, kết hợp M P ⊥ N Q, suy I điểm Euler-Poncelet M N P Q Ta cần chứng minh I nằm đường thẳng Gauss ABCD Giả sử EI cắt BC, AD X, Y ; F I cắt AB, CD Z, T Do EX, F Z phân giác ∠BEC, ∠BF A EAC ∼ EDB, F AC ∼ F BD, ta có XB EB DB FB ZB = = = = , XC EC AC FA ZA nên theo định lý Thales, XZ AC, tương tự Y T AC, XZ Y T Chứng minh tương tự, ta có XY ZT , suy XY ZT hình bình hành, hay XY cắt ZT trung điểm I đoạn Gọi k tỉ số đồng dạng EA = kc, ED = kb Ta có EAD [ADCB] = [EAD] − [EBC] = EBC Từ đặt EB = b, EC = c 1 · (k bc − bc) · sin E = · (k − 1)bc · sin E 2 Theo công thức độ dài đường phân giác đ k bc bc E bc E XY = EY − EX = · − · cos = · (k − 1) · cos k(b + c) b + c b+c Do EI = EX + XI = EX + bc E · XY = (k + 1) · cos b+c Kẻ IH ⊥ AB, IK ⊥ CD Do EI phân giác ∠AED nên IH = IK = IE · sin E bc E E bc = (k + 1) · cos sin = · (k + 1) · sin E b+c 2 b+c Từ đó, ta có · (IH · AB + IK · CD) bc = · (k + 1) (kc − b + kb − c) · sin E = · (k − 1)bc · sin E b+c = · [ADCB] [IBA] + [IDC] = Do theo định lý Anne, I nằm đường thẳng Gauss ABCD Hy vọng qua viết nhỏ này, bạn đọc tìm thấy thú vị riêng vẻ đẹp độc đáo đinh lý Anne Cuối cùng, xin gửi số tập để bạn đọc thử sức Định lý Anne Tống Hữu Nhân Bài tập Bài tập Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Lấy điểm X, Y thuộc AB Z, T thuộc AC cho AX = BY, AZ = CT Chứng minh trung điểm đoạn AM nằm đường thẳng Gauss tứ giác XY ZT Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến đỉnh B, C cắt tiếp tuyến đỉnh A Y, X Đường thẳng qua tâm O, vng góc OA cắt cạnh BC điểm T Chứng minh trung điểm đoạn OT nằm đường thẳng Gauss tứ giác BXCY Bài tập Chứng minh tam giác, ba đường thẳng nối trung điểm đoạn thẳng nối đỉnh - tiếp điểm đường tròn nội tiếp trung điểm cạnh đối diện đồng quy tâm nội tiếp Bài tập Chứng minh tam giác, ba đường thẳng nối trung điểm đường cao cạnh đối diện đỉnh đồng quy điểm Lemoine 10 Tống Hữu Nhân Định lý Anne Tài liệu tham khảo [1] Định lý Anne, Wikipedia https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Anne [2] Léon Anne’s Theorem, WolframMathWorld http://mathworld.wolfram.com/LeonAnnesTheorem.html [3] Nguyễn Văn Linh, Đường thẳng Newton mở rộng, Euclidean Geometry Blog https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2010/11/27/ the-generalization-of-newton-line-2/ [4] Titu Andresscu, Cosmin Pohoata, 110 Geometry Problems for the IMO, XYZ Press, 2014 [5] G.I Golovina, I.M Yaglom, Induction in Geometry, Mir Pubisher-Moskow, 1979 [6] Andrew Jobbings, The converse of Léon Anne’s theorem [7] Titu Andreescu, Luis Gonzalez, Cosmin Pohoata, Newton and Midpoints of Diagonals of Circumscriptible Quadrilateral, Mathematical Reflections, 2014 [8] Newton’s Theorem: What is it? A Mathematical Droodle, Cut the Knot http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NewtonTheorem.shtml# explanation [9] AoPS : http://artofproblemsolving.com/ 11 ... lý Anne Tài liệu tham khảo [1] Định lý Anne, Wikipedia https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD _Anne [2] Léon Anne s Theorem, WolframMathWorld http://mathworld.wolfram.com/LeonAnnesTheorem.html... theo định lý Anne, I nằm đường thẳng Gauss ABCD Hy vọng qua viết nhỏ này, bạn đọc tìm thấy thú vị riêng vẻ đẹp độc đáo đinh lý Anne Cuối cùng, xin gửi số tập để bạn đọc thử sức Định lý Anne Tống... ]) = · [M N P Q] 2(h + 1) [OM N ] + [OP Q] = Do theo định lý Anne, O nằm đường thẳng Gauss tứ giác M N P Q Tống Hữu Nhân Định lý Anne (b) Gọi I = M P ∩ N Q Do Q, N tâm nội tiếp EAD bàng tiếp