Bài giảng Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự

Bài giảng Chương 3: Đáp ứng tần số và mạch lọc tương tự cung cấp cho người đọc các kiến thức: Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB, giản đồ Bode, thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số, thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƢƠNG 3: ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƢƠNG TỰ Nội dung 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 Đáp ứng tần số hệ LT- TT- BB (LTIC) Giản đồ Bode Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực điểm zêrơ hàm H(s) Mạch lọc Butterworth Mạch lọc Chebyshev Biến đổi tần số Mạch lọc thỏa điều kiện truyền khơng méo Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Lọc lĩnh vực quan trọng xử lý tín hiệu Chương trình bày ý niệm lọc lý tưởng Trong chương này, ta thảo luận đặc tính cách thiết kế mạch lọc thực tế Các đặc tính lọc lọc đặc trưng đáp ứng với sóng sin với tần số từ đến  Đặc tính gọi đáp ứng tần số lọc Hảy bắt đầu với việc xác định đáp ứng tần số hệ LT – TT – BB Nhắc lại với h(t ) , ta dùng ý niệm H ( ) cho biến đổi Fourier H (s) cho biến đổi Laplace Đồng thời, hệ thống nhân ổn định tiệm cận, tất cực H (s) nằm bên trái mặt phẳng phức Do đó, vùng hội tụ H (s) bao gồm trục j, ta có biến đổi Fourier H ( ) cách thay s = j vào biến đổi Laplace H (s) tương ứng Do đó, H ( j ) H ( ) biểu diễn đặc tính hệ thống ổn định tiệm cận Trong chương này, ta tìm lý thuận tiện dùng ý niệm H ( j ) thay cho H ( ) 7.1 Đáp ứng tần số hệ LT – TT – BB Phần tìm đáp ứng hệ thống với ngõ vào sin Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng hệ LT – TT – BB với ngõ vào hàm mủ không dừng f (t )  e st hàm mủ không dừng H ( s)e st Như thế, cặp vào – hệ thống e st  H (s)e st Đặt s   j vào hệ thức trên, ta có: e jt  H (s) e jt  jt  jt e  H ( j ) e Cộng hai hệ thức trên, có: cos t  H ( j)e jt  H ( j)e jt  Re[ H ( j)e jt ] (7.1) (7.2a) (7.2b) (7.3) Viết H ( j ) theo dạng cực H ( j )  H ( j ) e jH ( j ) Thì quan hệ (7.3) thành (7.4) cos t  H ( j ) cost  H ( j )] Nói khác đi, đáp ứng y(t ) hệ thống với ngõ vào cost y(t )  H ( j ) cos[t  H ( j )] (7.5a) Tương tự, đáp ứng với tín hiệu cos(t   ) y(t )  H ( j ) cos[t    H ( j )] (7.5b) Kết có cho s  j , hệ thống ổn định tiệm cận quan hệ (7.1) giá trị s nằm vùng hội tụ H (s) Trường hợp hệ thống không ổn định hay biên ổn định, vùng không bao gồm trục ảo s  j Phương trình (7.5) cho thấy ngõ vào có tần số theo radian , đáp ứng sin với tần số  Ngõ có biên độ dạng sin H ( j ) nhân với biên độ ngõ vào, có góc pha góc pha tín hiệu vào dời góc H ( j ) (xem hình 7.1) Thí dụ, hệ thống có H ( j10)  H ( j10)  300 , hệ thống khuếch đại sóng sin có tần số   10 theo tỉ lệ làm trễ góc pha 30 Đáp ứng với tín hiệu vào cos(10t  500 ) 3x5 cos(10t  500  300 )  15 cos(10t  200 ) Rõ ràng H ( j ) độ lợi hệ thống, đồ thị H ( j ) theo  hàm độ lợi hệ thống theo tần số  Hàm gọi đáp ứng biên độ Tương tự, H ( j ) đáp ứng pha đồ thị của H ( j ) theo  cho thấy phương thức hệ thống thay đổi pha tín hiệu vào Hai đồ thị trên, hàm theo , gọi đáp ứng tần số hệ thống Ta thấy H ( j ) có chứa thơng tin H ( j ) H ( j ) Do đó, H ( j ) gọi đáp ứng tần số hệ thống Đáp ứng tần số cho thấy phương thức hệ thống đáp ứng với sóng sin với nhiều tần số khác Như thế, đáp ứng tần số biểu diễn đặc tính lọc hệ thống ■ Thí dụ 7.1: Tìm đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ đáp ứng pha) hệ thống có hàm truyền s  0,1 H ( s)  s5 Đồng thời, tìm đáp ứng hệ thống y(t ) ngõ vào (a) cos 2t (b) cos (10t – 500) Trong trường hợp j  0,1 H ( j )  j  Viết theo dạng cực H ( j )     0.01   H ( j )  tan 1    tan 1   5  0,1    25 Các đáp ứng biên độ pha theo  vẽ hình 7.1a Các đồ thị cung cấp đầy đủ thông tin đáp ứng tần số hệ thống với ngõ vào sin (a) Khi tín hiệu vào f (t )  cos 2t ,   H ( j 2)  (2)  0,01 (2)  25  0,372   2 H ( j 2)  tan 1    tan 1    87,10  21,80  65,30 5  0,1  Ta tìm trực tiếp đáp ứng tần số hình 7.1a tương ứng với  = Kết có nghĩa ngõ vào sin có tần số  = 2, độ lợi biên độ hệ thống 0,372 góc dịch pha 65,30 Nói cách khác, biên độ 0,372 lần biên độ vào, góc pha ngõ dịch pha tín hiệu vào với 65,30 Như thế, đáp ứng hệ thống với ngõ vào cos 2t y(t )  0,372 cos(2t  65,30 ) Các ngõ ngõ vào tương ứng vẽ hình 7.1b (b) Khi tín hiệu vào cos (10t – 500), thay tính giá trị H ( j ) H ( j ) phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị đáp ứng tần số vẽ hình 7.1a  = 10 Các giá trị là: H ( j10)  0,894 H ( j10)  260 Như vậy, tín hiệu sin với tần số  = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ 0,894 lần biên độ tín hiệu vào góc pha tín hiệu dời so với góc pha tín hiệu vào 26 Như vậy, đáp ứng ngõ với tín hiệu vào cos (10t – 500) y(t )  0,894 cos(10t  500  260 )  0,894 cos(10t  240 ) Trường hợp tín hiệu vào sin (10t – 500), đáp ứng 0,894sin (10t – 500+ 260 ) = 0,894sin (10t –240 ) ` Đáp ứng tần số hình 7.1a cho thấy hệ thống mạch lọc có đặc tính thơng cao, đáp ứng tốt với tín hiệu sin tần số cao ( lớn 5) triệt tín hiệu tần số thấp ( thấp 5) ■  Thí dụ C7.1 dùng máy tính Vẽ đáp ứng tần số hàm truyền H ( s)  s5 s  3s  2 num=[1 5]; den=[1 2]; w=.1:.01:100; axis([log10(.1)log10(100) -50 50]) [mag, phase, w]=bode(num, den, w); subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag)) subplot(211),semilogx(w,phase)  ■ Thí dụ 7.2: Tìm vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ đáp ứng pha) (a) khâu trễ lý tưởng T giây (b) khâu vi phân lý tưởng (c) khâu tích phân lý tưởng (a) Khâu trễ lý tƣởng T giây Hàm truyền khâu trễ lý tưởng (phương trình 6-54) H (s)  e  sT  H ( j )  e  jT nên H ( j )  H ( j )  T (7.6) Đáp ứng biên độ đáp ứng pha vẽ hình 7.2a Đáp ứng biên độ (đơn vị) với tần số Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T Kết giải thích qua ghi nhận tín hiệu cost qua khâu trễ lý tưởng T giây, ngõ cos(t – T) Biên độ ngõ giống với biên độ ngõ vào với giá trị  Do đó, biên độ đáp ứng (độ lợi) đơn vị với tần số Hơn nữa, ngõ cos (t  T )  cos(t  T ) có độ dịch pha – T so với ngõ vào cost Do đó, đáp ứng pha tỉ lệ tuyến tính với tần số , độ dốc – T (b) Khâu vi phân lý tƣởng: có hàm truyền (xem phương trình (6.55) H (s)  s  H ( j)  j  e j / , H ( j )   H ( j )   / (7.7) Đáp ứng biên độ đáp ứng pha vẽ hình 7.2b Đáp ứng biên độ tăng tuyến tính theo tần số, đáp ứng pha (/2) với tần số Kết giải thích từ nhận xét tín hiệu cost qua vi phân lý tưởng, thí ngõ   sin t   cost   / 2 Do đó, biên độ sóng  lần biên độ tín hiệu vào, tức biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số  Hơn nữa, sóng có dịch pha /2 so với sóng vào cost Do đó, đáp ứng pha (/2) với tần số Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [ H ( j )   ], nên thành phần tần số cao tăng cường (hình 7.2b) Mọi tín hiệu thực tế bị nhiễm nhiễu, tín hiệu có chất có băng thơng rộng, nên tín hiệu có thành phần có tần số cao Mạch vi phân làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có ích, nên thực tế không dùng vi phân lý tưởng (c) Bộ tích phân lý tƣởng: có hàm truyền (phương trình (6.56)) 1  j  j / , H ( s)   H ( j)    e s j    H ( j )  H ( j )    Đáp ứng biên độ đáp ứng pha vẽ hình 7.2c Đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch với tần số, độ dịch pha (–/2) theo tần số Kết giải thích với nhận xét tín hiệu cost qua khâu tích phân 1   lý tưởng, ngõ sin t  cos t   Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch    2 với , đáp ứng pha số (–/2) theo tần số Do có độ lợi 1/, tích phân lý tưởng triệt thành phần tần số cao lại tăng cường thành phần tần số thấp có  < Do đó, tín hiệu nhiễu (nếu không chứa thành phần tần số thấp) bị tích phân loại bỏ ■  Bài tập E 7.1 Tìm đáp ứng tần số hệ LT – TT – BB đặc trưng d2y dy df   y (t )   f (t ) dt dt dt ngõ vào sóng 20 sin(3t  350 ) Đáp số 10,23 sin(3t  61,910 )  7.1-1 Đáp ứng xác lập với ngõ vào tín hiệu sin nhân Từ trước, ta bàn đáp ứng hệ thống LT – TT – BB với ngõ vào sin không dừng (bắt đầu từ t   ) Trong thực tế, ta cần quan tâm đến ngõ vào sóng sin nhân (sóng sin t  ) Xét ngõ vào e jt u (t ) , t  , thay t   Trường hợp F (s)  /( s  j) Hơn nữa, phương trình (6.51) cho đa thức đặc tính cho H (s)  P(s) / Q(s) Q(s) Q(s)  (s  1 )(s  2 ) (s  n ) Do Y ( s)  F ( s) H ( s)  P( s ) ( s  1 )(s  2 )  ( s  n )(s  j ) Khai triển đa thức cho vế phải, gọi hệ số tương ứng với n thừa số (s  1 )(s  2 ) (s  n ) k1 , k , , k n Hệ số tương ứng thừa số cuối (s  j ) P(s) / Q(s) s j  H ( j ) Do đó, n Y ( s)   i 1 ki H ( j )  , s  i s  j n Và y(t )   ki e it u (t )  H ( j )e jt u (t ) (7.9) i 1 = thành phần độ ytr (t ) + thành phần xác lập yss (t ) Đối với hệ ổn định tiệm cận, thừa số chế độ e it giảm theo thời gian, đó, gồm thành phần thường gọi thành phần độ Thừa số cuối H ( j )e jt tồn mãi, gọi thành phần xác lập đáp ứng, cho bởi: yss (t )  H ( j )e j t u(t ) Từ phương pháp tìm phương trình (7.5a), ta thấy hệ có ngõ vào sin nhân cos t , đáp ứng xác lập cho bởi: yss (t )  H ( j ) cos[t  H ( j )]u(t ) (7.10) Tóm lại, H ( j ) cos[t  H ( j )]u(t ) đáp ứng tổng với ngõ vào sóng sin khơng dừng cos t , gọi đáp ứng xác lập với ngõ vào t  Giản đồ Bode Giúp vẽ đáp ứng tần số dễ dàng dùng tỉ lệ logarithm Đồ thị đáp ứng biên độ pha hàm theo  theo trục logarithm gọi giản đồ Bode Từ tính tiệm cận đáp ứng biên độ pha, ta vẽ giản đồ dễ dàng hơn, hay với hàm truyền bậc cao Xét hệ thống có hàm truyền K ( s  a1 )( s  a2 ) (7.11a) H ( s)  s( s  b1 )( s  b2 s  b3 ) 7.2 Trong thừa số bậc hai (s  b2 s  b3 ) giả sử nghiệm phức liên hợp Sắp xếp lại (7.11a) theo dạng: s  s    1  1 Ka a  a1  a2  H ( s)  (7.11b) b1b3  s   s b2 s  1  s  1  b1  b3 b3   j  j  1  1   a a Ka1a2    H ( j )  b1b3    j b2 j ( j )     j   1  b  b  b  3   (7.11b) Phương trình cho thấy H ( j ) hàm phức theo  Đáp ứng biên độ H ( j ) đáp ứng pha H ( j ) là: H ( j )  Ka1a2 b1b3 1 j j 1 a1 a2 j b2 j ( j ) j  1  b1 b3 b3 (7.12a) Và  b2 j ( j )     j  j  j        H ( j )  1    1  a   j  1  b   1  b  b  (7.12b) a    3      Phương trình (7.12b) cho thấy hàm pha gồm tổng dạng thừa số: (i) góc j pha j, lệch pha 900 với giá trị  (ii) pha thừa số bậc  , a (iii) pha thừa số bậc hai  b2 j ( j )  1    b3 b3   Ta vẽ đồ thị ba hàm pha  tầm từ đến , dùng đồ thị, ta dựng hàm pha hàm truyền từ phép cộng đáp ứng Chú ý thừa số nằm tử số, góc pha mang dấu cộng, nằm mẫu số góc pha mang dấu trừ Điều cho phép vẽ dễ dàng hàm pha H ( j ) theo  Phép tính H ( j ) bao gồm phép tính nhân chia nhiều thừa số khác Khi chuyển việc vẽ H ( j ) sang vẽ log H ( j ) , ta chuyển phép nhân, chia thành phép tính cộng trừ Có thể vẽ theo trục logarithm với đơn vị decibel (dB), thí dụ giá trị log biên độ 20 log10 H ( j ) (dB) Các đồ thị (log biên độ pha) dựng theo phương pháp gọi giản đồ Bode Hàm truyền phương trình (7.12a) biên độ theo log là: 20 log H ( j )  20 log Ka1a2 j j  20 log   20 log   20 log j b1b3 a1 a2 j b2 j ( j )  20 log   20 log   b1 b3 b3 (7.13) Thừa số 20 log( Ka1a2 / b1b3 ) số Ta thấy biên độ log tổng bốn dạng thừa số (i) số, (ii) cực hay zêrô gốc ( 20 log j ), (iii) cực hay zêrô bậc 20 log[1  j / a] , (iv) cực hay zêrô dạng phức 20 log[1  jb  / b3  ( j) / b3 ] Ta vẽ bốn dạng theo  dùng chúng để dựng đồ thị biên độ log hàm truyền Hảy thảo luận với thừa số: Hằng số ka1a2 / b1b3 Biên độ log thừa số số, 20 log( Ka1a2 / b1b3 ) Góc pha trường hợp zêrơ Cực (hay zêrô) gốc Biên độ theo log Cực dạng tăng theo thừa số  20 log j , viết thành  20 log j  20 log  Hàm vẽ theo  Tuy nhiên, đơn giản dùng tỉ lệ log cho biến  Định nghĩa biến u theo (7.14) u  log  Vậy (7.15a)  20 log   20u Hàm biên độ log  20u vẽ theo u hình 7.3a Đây đường thẳng có độ dốc  20 qua trục u u = Tỉ lệ  (u = log) xuất hình 7.3a Đồ thị dạng semilog dùng để vẽ, nên ta vẽ trực tiếp  giấy semilog Tỉ lệ 10 gọi decade tỉ lệ gọi octave Ta thấy tỉ lệ (octave) theo tỉ lệ  0,3010 (là log10 ) theo tỉ lệ u Chú ý u tăng đồng đều, tương đương với tăng đồng tỉ lệ  Do đó, đơn vị theo trục u tương đương với decade tỉ lệ  Tức đồ thị biên độ có độ dốc  20dB / decade hay  20(0,3010)  6,02dB / octave (thường gọi 6dB/octave) Tuy nhiên, đồ thị biên độ qua trục   = 1, u  log10    = Trường hợp zêrô gốc, thừa số biên độ - log 20log Đây đường thẳng qua   có độ dốc 20dB/decade (hay 6dB/octave) Đường thẳng ảnh phản chiếu qua trục  đồ thị cực qua gốc vẽ đường gián đoạn hình 7.3a Pha Hàm pha tương ứng với cực gốc  j (xem phương trình 7.12b) Do đó: (7.15b) H ( j )  j  900 Pha số (- 90 ) với , vẽ hình 7.3b Khi zêrơ gốc, góc pha j  900 Đây ảnh phản chiếu giản đồ pha có cực gốc vẽ thành đườn gián đoạn hình 7.3b Cực (hay zêrơ) bậc Biên độ log j Ta hảy tìm hiểu tác a động tiệm cận hàm với giá trị cực trị  (a) Biên độ log có cực bậc – a  20 log  (a) Khi 