Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ các đường cao BE và CF của tam giác ABC. (E thuộc AC, F thuộc AB). Chứng minh rằng:a) BCEF là tứ giác nội tiếp. b) EF.AB=AE.BC c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động
Trang 1Nghệ An 15Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O Điểm A chuyển động trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Kẻ các đường cao BE và CF của tam giác ABC (E thuộc AC, F thuộc AB) Chứng minh rằng:
a) BCEF là tứ giác nội tiếp b) EF.AB=AE.BC c) Độ dài đoạn thẳng EF không đổi khi A chuyển động
Nghệ An 14Câu 4 (3,0 điểm)
Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn đó (B,
C là các tiếp điểm) Gọi M là trung điểm của AB Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại N (N khác C)
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: MB2 = MN.MC c) Tia AN cắt đường tròn (O) tại D (D khác N) Chứng minh: góc MAN = ADC
Nghệ An 13 Câu 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại
H Tia AO cắt đường tròn (O) tại D
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Gọi m là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Nghệ An 12 Câu 4: (4 điểm)
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không đI qua tâm O (C nằm giữa M và D), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I Chứng minh:
a) Tứ giác MAOB nội tiếp b) MC.MD = MA2 c) OH.OM + MC.MD = MO2 d) CI là tia phân giác góc MCH
Trang 2Thanh Hóa 12
Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M
không trùng B; C; H) Từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB; AC (P thuộc AB;
Q thuộc AC)
1 Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn
2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH vuông góc PQ
3 Chứng minh rằng: MP + MQ = AH
Thanh Hóa 13 Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính EF Bán kính IO vuông góc với EF, gọi J là điểm bất kỳ trên cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L, kẻ LS vuông góc với EF (S thuộc EF)
a) Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp
b) Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN=EJ Chứng minh rằng, tam giác IJN vuông cân c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại E Lấy D là điểm nằm trên d sao cho hai điểm D và I nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng EF và ED.JF = JE.OF Chứng minh rằng đường thẳng
FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS
Thanh Hóa 14 Câu 4: (3,0 điểm)Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C là trung
điểm của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt
M và N Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao cho KI =
KM Gọi H là giao điểm của AK và MN Chứng minh rằng:
1 Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp 2 AK.AH = R2 3 NI = BK
Thanh Hóa 15. Câu 4 (3.0 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không qua O, cắt đường tròn (O) tại 2 điểm A, B Lấy điểm M bất kì trên tia đối của tia AB, qua M kẻ hai tiếp tuyển MC, MD với đường tròn (C, D là tiếp điểm)
1 Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn
Trang 32 Gọi H là trung điểm của AB Chứng minh HM là phân giác của góc CHD
3 Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P, Q Tìm vị trí của M trên (d) sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất
THAI BINH
12 Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O), dây cung BC (BC không là đường kính) Điểm A di động trên cung nhỏ BC (A khác B và C; độ dài đoạn AB khác AC) Kẻ đường kính AA’ của đường tròn (O), D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC Hai điểm E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến AA’ Chứng minh rằng:
1) Bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn
2) BD.AC = AD.A’C
3) DE vuông góc với AC
4) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố định
THAI BINH 13 Câu 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC có đường cao AH Trên đường thẳng BC lấy điểm M nằm ngoài đoạn BC sao cho MB > MC và hình chiếu vuông góc của M trên AB là P (P nằm giữa A và B) Kẻ MQ vuông góc với đường thẳng AC tại Q
1 Chứng minh 4 điểm A, P, Q, M cùng nằm trên một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn đó
2 Chứng minh: BA.BP = BM.BH
3 Chứng minh OH vuông góc với PQ
4 Chứng minh PQ > AH
THAI BINH 14 Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A
Trang 41, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT.
2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC
3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm
4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC
THAI BINH 15 Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F Gọi M là trung điểm của cạnh
HC a) Chứng minh AE.AB = AF.AC b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH c) Chứng minh HAM = HBO d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM Hung Yen
12 chuyeen Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE và
CF Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S, gọi BC và OS cắt nhau tại M
a) Chứng minh AB MB = AE.BS b) Hai tam giác AEM và ABS đồng dạng
c) Gọi AM cắt EF tại N, AS cắt BC tại P CMR NP vuông góc với BC
13 Câu 4:
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm H thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O) Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại
E Gọi I là giao điểm của AD và HC
1 Chứng minh tứ giác BHID nội tiếp đường tròn
2 Chứng minh tam giác IED là tam giác cân
3 Đường thẳng qua I và song song với AB cắt BC tại K Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD là trung điểm của đoạn CK
Trang 514Câu 4 ( 3,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R Hạ các đường cao AH, BK của tam giác Các tia AH, BK lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là D, E
a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn đó
b) Chứng minh : HK // DE
c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên (O) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CHK không đổi
15Câu 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O và AB
1) Chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn 2) Chứng minh HE song song với CD
3) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh ME=MF
Hải dương
12Câu 4 (3,0 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Vẽ các đường cao BE, CF của tam giác ấy Gọi H là giao điểm của BE và CF Kẻ đường kính BK của (O)
a) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tứ giâc AHCK là mình bình hành
c) Đường tròn đường kính AC cắt BE ở M, đường tròn đường kính AB cặt CF ở N Chứng minh
AM = AN
13Câu 4 (3,0 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn
Trang 62) Gọi I là trung điểm của BF Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho.
3) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của cắt AE và AF lần lượt tại M và N Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
14Câu 4 (3,0 điểm)
Qua điểm C nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm) Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A và B (A nằm giữa C và B) Kẻ dây DE vuông góc với AB tại điểm H
a) Chứng minh tam giác CED là tam giác cân b) Chứng minh tứ giác OECD là
tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh hệ thức AC.BH = AH.BC
15Câu IV (3 điểm)
Cho đường trong (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường BC và BD lần lượt tại E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF
1) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật 2) Gọi H là trực tâm của tam giác BPQ Chứng minh H là trung điểm của OA
3) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất
Nam DInh
12Bài 4: (3,0 điểm) chuyn
Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C là điểm thuộc nửa đường tròn (C khác A và C khác B) Kẻ đường cao CH của tam giác ABC và đường cao HK của tam giác HBC
1 Chứng minh CH.BC = HK.AB
2 Gọi M và I lần lượt là trung điểm của BH và CH, chứng minh MK vuông góc KI
Trang 73 Chứng minh đường thẳng IK tiếp xúc với đường tròn đường kính AH.
12Câu 4 (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Vẽ các tia tiếp tuyến Ax
, By ( Ax,
By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Trên nửa đường tròn đã cho lấy điể
m M
không trùng với A và B, tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại E và F
1) Chứng minh AEMO nội tiếp
2) Chứng minh EO = AE.EF
3) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB), gọi K là giao điểm của EB và MH Tính tỉ số MH/ MK
,13Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B)
1.:Chứng minh AE2 = EK.EB
2.Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn
3.Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M Chứng minh -
14Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B Trên cạnh BC lấy điểm E ( E khác B và C )
Đường tròn đường kính EC cắt cạnhAC tại M và cắt cắt đường thẳng AE tại N ( M khác C,
N khác E ).
1) Chứng minh các tứ giác ABEM, ABNC là các tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh ME là tia phân giác của góc BMN
3) Chứng minh AE.AN + CE.CB =AC2
Trang 8Hai phong 12Bài 3: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB = AC Đường tròn tâm O đường kính AB = 2R cắt các cạnh BC, AC lần lượt tại I, K Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt AI tại D, H là giao điểm của AI và BK
a Chứng minh tứ giác IHKC nội tiếp
b Chứng minh BC là tia phân giác của góc DBH và tứ giác BDCH là hình thoi
c Tính diện tích hình thoi BDCH theo R trong trường hợp tam giác ABC đều
13Bài 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB)
1 Chứng minh các tứ giác BDHF, BFEC nội tiếp
2 Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (F nằm giữa M và E) Chứng minh cung AM = cung AN
3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD
14Bài 3 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) cố định và tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt ở D’ và E’
1 Chứng minh rằng tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp và DE // D’E’
2 Chứng minh rằng OA vuông góc với DE
3 Cho các điểm B và C cố định Chứng minh rằng khi A di động trên cung lớn BC sao cho tam
giác ABC là tam giác nhọn thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE không đổi
BAC NINH
12Bài 4 (2,5 điểm) chuyen
Trang 9Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung BC cố định khác đường kính Gọi A là một điểm chuyển động trên cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho tam giác ABC nhọn; AD, BE, CF
là các đường cao của tam giác ABC Các đường thẳng BE, CF tương ứng cắt (O) tại các điểm thứ hai là Q, R
1/ Chứng minh rằng QR song song với EF
2/ Chứng minh rằng diện tích tứ giác AEOF bằng
3/ Xác định vị trí của điểm A để chu vi tam giác DEF lớn nhất
12Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn O Từ A là một điểm nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến AM và AN với (O) (M; N
là các tiếp điểm)
1) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO
2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại B và C (B nằm giữa A và C) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh I cũng thuộc đường tròn đường kính AO
3) Gọi K là giao điểm của MN và BC Chứng minh rằng AK.AI = AB.AC
13Câu 4 (3,0 điểm) chuyn
Cho nửa đường tròn đường kính BC, trên nửa đường tròn lấy điểm A (khác B và C) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Trên cung AC lấy điểm D bất kì (khác A và C), đường thẳng
BD cắt AH tại I Chứng minh rằng:
a) IHCD là tứ giác nội tiếp; b) AB2 = BI.BD;
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung AC
14 Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’ , BB’ ,CC’ cắt
nhau tại H Vẽ hình bình hành BHCD Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng
AH tại M
1 Chứng minh rằng năm điểm A, B ,C , D , M cùng thuộc một đường tròn
Trang 102) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng BM = CD và góc BAM = góc OAC
3) Gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC
15
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,nội tiếp đường tròn (O) (AB< AC) Các tiếp tuyến với (O) tại
B và C cắt nhau tại N Vẽ dây AM song song với BC Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M
và P
1) Cho biết 1/OB2 1/ NC2 1/16, tính độ dài đoạn BC 2) Chứng minhrằng
BP / AC CP / AB
3) Chứng minh rằng BC, ON và AP đồng quy
HA NOI
12
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB
1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh góc ACM = góc ACK
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai
điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và Chứng minh đường thẳng PB
đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK
13 Bài IV (3,5 điểm)
Trang 11Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB
< AC, d không đi qua tâm O)
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp
2) Chứng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm
3) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T Chứng minh MT // AC
4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài
14
Bài IV (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P
1 Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2 Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3 Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4 Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
15
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < CD) Gọi P là điểm
chính giữa của cung nhỏ AB; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I
a Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được và IK // AB
b Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC
c Chứng minh: AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED
d Gọi R1, R2 là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED