giải toán trên máy tính cầm tay casio

Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thi chÝnh thøc Kú thi chän häc sinh giái tØnh Giải toán máy tính CầM TAY Khối 12 THPT - Năm học 2009-2010 Thi gian lam bai: 150 phỳt Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm trang C¸c giám khảo Số phách Điểm toàn (Do Chủ tịch Hội (Họ, tên chữ ký) thi đồng thi ghi) B»ng sè B»ng ch÷ GK Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, cơng thức áp dụng, kết tính tốn vào trống liền kề tốn Các kết tính gần đúng, khơng có định cụ thể, ngầm định xác tới chữ số phần thập phân sau dấu phẩy Bài (5 điểm) Tính giá trị hàm số f ( x) x = 0, 75 : f ( x) = ( 2 x + sin x + cos x ) log tan ( e −2 x + 1) + x x + Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài (5 điểm).Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hs y = x − 3x + và y = x2 + x + x2 + Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT-Trang Bài (5 điểm) Tính gần GTLN.NN hàm số: y = − x + x − + − x Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài (5 điểm) Cho dãy số un tm u1 = 1; un = 5un −1 + kun2−1 − (n = 2,3, 4, ) a) Chứng tỏ có giá trị k bé 30 giá trị dãy số nguyên Khi tính xác giá trị u10; u11 ; u12 ; u13 b) Với giá trị k tìm câu a), lập cơng thức truy hồi tính un + theo un +1 và un Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài (5 điểm) Tìm cs tận Tóm tắt cách giải: A = 29 2010 Kết quả: MTCT12THPT-Trang Bài (5 điểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau năm, bác An rút vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi số kỳ hạn tháng và thêm số tháng bác An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi kỳ hạn tháng, tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn tháng là thời điểm rút tiền ? Biết gửi tiết kiệm có kỳ hạn cuối kỳ hạn tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, rút tiền trước kỳ hạn, lãi suất tính tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím máy tính để giải Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài (5 điểm) Cho đa thức P( x) = ( x + 3) + ( x + 3) + ( x + 3) + ×××+ ( x + ) 20  2 a) Tính gần P  − ÷  3 b) Tìm hệ số xác số hạng chứa x5 khai triển và rút gọn đa thức P(x) Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT12THPT-Trang Bài (5 điểm).Trong ngày thi giải tốn máy tính cầm tay (20/12/2009), bạn Bình đố bạn Châu tìm số nguyên x nhỏ cho bình phương lên số nguyên có chữ số đầu là 2012 và chữ số cuối là 2009 Em giúp bạn Bình tìm số x này và viết xác số x Nêu sơ lược cách giải Tóm tắt cách giải: Kết quả:  3x + log y = 12 Bài (5 điểm) Tính gần nghiệm hệ phương trình:  x  27 − log y = 25 Tóm tắt cách giải: Kết quả: Bài 10 (5 điểm) Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R = 10cm , đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Tính bán kính viên bi (kết làm tròn đến chữ số lẻ thập phân) Cho biết cơng thức tính thể tích khối chỏm cầu hình cầu (O, R), có chiều cao h là: h  Vc hom cau = π h  R − ÷ 3  MTCT12THPT-Trang Hình Hình Tóm tắt cách giải: Kết quả: HẾT Đáp ỏn v biu im Bà i Điể m TP Cách giải f ( x) = ( Điể m toµ n bµi 2 x + sin x + cos x ) log tan ( e −2 x + 1) + x x + Trước tính, cần chuyển Mode tính đơn vị đo góc Radian f (0, 75) ≈ 0, 6063 Phương trình cho hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số: y = x − 3x + và y = x2 + x + là: x2 + x − 3x + = x2 + x + x2 + x + ⇔ x − x + − = x2 + x2 + Dùng chức SOLVE ta tìm hai nghiệm (khi lấy giá trị đầu là và 1): x1 ≈ 0, 701149664 và x2 ≈ 1,518991639 Dùng chức CALC để tính giá trị tung độ giao điểm: y1 ≈ 2, 7668 và y2 ≈ 2, 4018 MTCT12THPT-Trang Vậy: Hai đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm A ( 0, 7011; 2, 7668 ) , B(1,519; 2, 4018)  5 Hàm số: y = − x + x − + − x có tập xác định hàm số là: 1;   2 Đạo hàm hàm số: − x + 2) − x − − x2 + 4x − ( y'= − = − x2 + 4x − − 2x − x2 + 4x − × − x −2 x + y ' = ⇔ ( − x + 2) − 2x − − x2 + 4x − = ⇔ ( −x + 2) − 2x = −x2 + 4x − ⇔ ( − x + 2) − x = − x + x − ⇔ ( − x + ) ( − x ) = − x + x − (1 ≤ x ≤ 2,5) ⇔ 2x − 14 x + 32 x − 23 = (1 ≤ x ≤ 2,5) Giải phương trình, có nghiệm thực x = ≈ 1, 434802283 ∈ [ 1; 2,5] và hai nghiệm ảo Dùng chức CALC để tính giá trị hàm cận và điểm cực đại, ta được: Tương tự, ta có: f (1, 434802283) ≈ 2, 284542897; f (1) = ≈ 1, 732050808; f (2, 5) = Max f ( x) ≈ 2, 2845; Min f ( x) = ≈ 0,866025403 Vậy: ≈ 0,866 u1 = 1; un = 5un −1 + kun2−1 − (n = 2,3, 4, ) a) u1 = 1; u2 = 5u1 + ku12 − = − k − Để u2 ∈ N k − = 0, 1, 4, 9, 16 ⇔ k = 8, 9, 12, 17 , 24 (k < 30) Thử với k = 8, 9, 12, 17 : có u1 , u2 là số ngun, u3 ∉ Z Khi thử với k = 24 với nhiều un liên tiếp Với k = 24 : Ta có: u1 = 1, u2 = 9, u3 = 89; u4 = 881; u5 = 8721; u6 = 86329; u7 = 854569; u8 = 8459361; u9 = 83739041; u10 = 828931049 u11 = 8205571449; u12 = 81226783441; u13 = 804062262961; b) Công thức truy hồi un+2 có dạng: un + = aun +1 + bun + Ta có hệ phương trình:  u3 = au2 + bu1  9a + b = 89 ⇔ ⇔ a = 10; b = −1  89a + 9b = 881 u4 = au3 + bu2 un + = 10un +1 − un Do đó: Chứng minh sơ lược: Ta có: un = 5un −1 + 24un2−1 − 24 ⇒ un − 5un−1 = 24un2−1 − 24 ⇒ un2 − 10unun −1 + un2−1 + 24 = (1) 2 Thay n n +1: un +1 − 10un +1un + un + 24 = (2) Trừ (1) cho (2) ta có: un2+1 − un2−1 − 10un ( un +1 − un −1 ) = ⇔ ( un +1 − un −1 ) ( un +1 + un −1 − 10un ) = Dãy số đơn điệu tăng, nên: un +1 + un −1 − 10un ⇔ un +1 = 10un − un −1 MTCT12THPT-Trang Hay: un + = 10un +1 − un Ta có: 29 = 29 ≡ 512 ( mod 1000 ) 29 = 29×9 = ( 29 ) ≡ 5129 ≡ 5125 × 5124 ≡ 352 (mod 1000) ( ) 29 = 29 ×9 = 29 ( ) 29 = 29 ×9 = 29 ( ) = 29 ( ) = 29 ( ) = 29 ( ) 29 = 29 ≡ 9129 ≡ 952 (mod 1000) ( ) ( ) ≡ 3129 ≡ 552 (mod 1000); 29 = 29 ( ) ≡ 7129 ≡ 152 (mod 1000); 29 = 29 10 ≡ 3529 ≡ 912 (mod 1000) 29 = 29 ≡ 9529 ≡ 312 (mod 1000); 29 = 29 ( ) 11 10 ( ) ≡ 1529 ≡ 112 (mod 1000); 29 = 29 9 9 9 ≡ 3129 ≡ 552 (mod 1000); ≡ 5529 ≡ 712 (mod 1000); ≡ 1529 ≡ 112 (mod 1000); ≡ 1129 ≡ 752 (mod 1000); ≡ 7529 ≡ 512 (mod 1000); Do chu kỳ lặp lại là 10, nên Vậy: A = 29 2010 có ba số cuối là: 752 Số tiền nhận vốn lẫn lãi sau kỳ hạn tháng và sau 1; 2; ; 4; 5; 6; kỳ hạn tháng là: A 20000000 ( + 0, 72 ì ữ 100 ) ( + 0, 78 ì ữ 100 ) Dựng phớm CALC nhập giá tri A là 1; 2; 3; 4; 5; ta được: 22804326,3 đồng; 232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng; 27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56, Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: kỳ hạn Giải phương trình sau, dùng chức SOLVE và nhập cho A là ; 2; ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X là 0,6 (vì lãi suất khơng kỳ hạn thấp có kỳ hạn) A 20000000 ( + 0, 72 ì ữ100 ) ( + 0,78 ì ữ100 ) ( + X ữ100 ) − 29451583.0849007 = X = 0,68% A = Vậy số kỳ hạn tháng bác An gửi tiết kiệm là: kỳ hạn ; số tháng gửi không kỳ hạn là: tháng và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là 0,68%  2 a) P  − ÷ ≈ 68375, 2807  3 b) Hệ số số hạng chứa x5 là: 20 25 ∑ Ck5 × 3k −5 = 25 × 296031627712=9473012086784 k =5 Các số có chữ số mà bình phương lên có chữ số cuối là 2009 là: MTCT12THPT-Trang 2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997 4485 < 2012abcd < 4487; 14184 < 2012abcde < 14189 44855 < 2012abcdef < 44866; 141844 < 2012abcdefg < 141880 Số cần tìm là: x = 14186747 x = 201263790442009  3x + log y = 12  x  27 − log y = 25 u + v = 12 x Đặt u = > ; v = log y , Hệ phương trình trở thành:  3 u − v = 25  v = 12 − u (1) u + v = 12  v = 12 − u ⇔ ⇔  3 2u − 36u + 432u − 1753 = (2) u − v = 25 u − ( 12 − u ) = 25 Giải phương trình (2) ta nghiệm thực nhất: u ≈ 6,11572639 Thay vào (1) ta được: v ≈ 5,88427361 u = 3x ≈ 6,11572639 ⇒ x ≈ log 6,11572639 ≈ 1, 6483 ; v = log y ≈ 5,88427361 ⇒ y ≈ 25,88427361 ≈ 59, 0667 Vậy: Hệ phương trình có nghiệm gần là: ( x ≈ 1, 6483; y ≈ 59, 0667 ) Gọi x là bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < x < 10 ⇔ < x < Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào: h  416π   V1 = π h  R − ÷ = 16π 10 − ÷ = ≈ 435, 6341813  3  3 Khi thả viên bi vào khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi tích là: 2 x  4π x ( 30 − x )  V2 = π ( x )  R − ÷ =   Ta có phương trình: V2 − V1 = π x ⇔ 4π x ( 30 − x ) − 416π = 4π x 3 ⇔ x − 30 x + 104 = Giải phương trình ta có nghiệm: x1 ≈ 9, 6257 > (loại); x2 ≈ 2, 0940 < và x3 ≈ −1,8197 < (loại) Vậy: Bán kính viên bi là r ≈ 2, 09 cm 10 MTCT12THPT-Trang ... số cuối là 2 009 là: MTCT1 2THPT-Trang 2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997 4485 < 2012abcd < 4487; 14184 < 2012abcde < 14189 44855 < 2012abcdef < 44866; 141844 < 2012abcdefg < 141880... phương trình ta có nghiệm: x1 ≈ 9, 6257 > (loại); x2 ≈ 2, 094 0 < và x3 ≈ −1,8197 < (loại) Vậy: Bán kính viên bi là r ≈ 2, 09 cm 10 MTCT1 2THPT-Trang ... triển và rút gọn đa thức P(x) Tóm tắt cách giải: Kết quả: MTCT1 2THPT-Trang Bài (5 điểm).Trong ngày thi giải tốn máy tính cầm tay (20/12/2 009) , bạn Bình đố bạn Châu tìm số nguyên x nhỏ cho bình