KHÔNG CẦN PHẢI SOẠN BÀI VẤT VẢ, GẦN 150 CÂU TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ VỚI ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT, RÕ RÀNG, NỘI DUNG VÀ TRÌNH BÀY PHÙ HỢP, CHỈ CẦN DOWNLOAD VÀ SỬ DỤNG NGAY. THÍCH HỢP ĐỂ ÔN TẬP VÀ SOẠN BÀI KIỂM TRA CHO HỌC SINH.BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMGIỚI HẠN CỦA DÃY SỐCâu 1. Cho dãy số xác định bởi , , . Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?A. là dãy số giảm.B. là cấp số nhân.C. .D. .Lời giảiTa có: . .Dự đoán : .Ta chứng minh đúng với mọi , .Giả sử đúng với , . Tức là .Ta cần chứng minh đúng với , tức là .Thật vậy, ta có : .Do vậy đúng với .Khi đó, với ta có nên .Vậy khẳng định đúng là .Câu 2. Giá trị của. bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có: .Câu 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:A. Nếu , thì .B. Nếu , thì .C. Nếu , thì .D. Nếu , thì .Lời giảiTheo nội dung định lý.Câu 4. Cho các số thực thỏa . Tìm giới hạn .A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có là một cấp số nhân với công bội là nên: .Tương tự, .Suy ra .Câu 5. Giá trị của. bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giải .Câu 6. Giá trị của. bằng:A. B. .C. .D. .Lời giảiTa có: .Câu 7. Giá trị của bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có Do .Câu 8. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao . Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằngA. B. C. D. Lời giảiGọi là khoảng cách lần rơi thứ Ta có , ,…, ,…Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ bằng .Gọi là khoảng cách lần nảy thứ Ta có , ,…, ,…Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến đến lần nảy thứ bằng .Vậy tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng .Câu 9. Giới hạn có giá trị bằng?A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có kết quả quen thuộc .Do đó .Câu 10. Tính giới hạn: .A. .B. .C. .D. .Lời giảiĐặt: Nên Câu 11. Giới hạn dãy số với là:A. .B. .C. .D. .Lời giải .Vì .Câu 12. Cho dãy số xác định bởi , với mọi . Tính .A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có , , ,., với mọi . Do đó .Câu 13. Giá trị của. bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giải .Câu 14. Tính giới hạn: .A. .B. .C. .D. .Lời giảiCách 1: .Cách 2: Bấm máy tính như sau: và so đáp án.Câu 15. Giá trị của bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có: .Câu 16. Chọn kết quả đúng của :A. .B. .C. .D. .Lời giải .Vì .Câu 17. Tìm .A. B. C. D. Lời giải .Câu 18. Tính giới hạn của dãy số trong đó .A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có: Suy ra .Câu 19. Cho dãy số như sau: , , , Tính giới hạn .A. B. C. D. Lời giảiTa có Ta có Suy ra .Câu 20. Giá trị của. bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có: .Câu 21. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội .A. .B. .C. .D. .Lời giải .Câu 22. Tính giới hạn: .A. .B. .C. .D. .Lời giảiCách 1: .Cách 2: Bấm máy tính như sau: và so đáp án.Câu 23. Giá trị đúng của là:A. .B. .C. .D. .Lời giải .Vì .Câu 24. Tìm biết .A. .B. .C. 2.D. 1.Lời giảiTa có: , nên .Câu 25. Giá trị của bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có: Suy ra .Câu 26. Tìm .A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có = .Câu 27. Giá trị của bằng:A. .B. .C. .D. .Lời giảiTa có: .Câu 28. Tính giới hạn .A. .B. .C. .D. .Lời giảiĐặt:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Câu Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = , xn+1 = + xn , n ∈ ¥ Mệnh đề mệnh đề ? x A ( n ) dãy số giảm x B ( n ) cấp số nhân C lim xn = +∞ D lim xn = Lời giải Ta có: π = 1 + cos ÷ = 2.2 cos π = 2cos π x2 = + 4 4.2 4.2 π π π = + cos ÷ = 2.2 cos = cos x3 = + x2 4.2 4.2.2 4.2 π xn = cos n −1 ( 1) 4.2 Dự đoán : Ta chứng minh ( ) với n ∈ ¥ , n ≥ π k ∈ ¥ , k ≥ 2) 4.2k −1 Giả sử ( ) với n = k , ( Tức π xk +1 = cos 1) ( 4.2k Ta cần chứng minh với n = k + , tức Thật vậy, ta có : π π = 1 + cos k −1 ÷ = 2.2 cos π = cos k k −1 xk +1 = + xk 4.2 4.2 4.2 xk = cos Do ( ) với n ∈ ¥ , n ≥ xn = cos * Khi đó, với n ∈ ¥ ta có π ≤2 4.2 n −1 nên lim xn = Vậy khẳng định lim xn = B = lim Câu Giá trị n n! n3 + 2n bằng: B A −∞ C D +∞ Lời giải n Ta có: n! n3 + 2n < n nn n3 + 2n = n n3 + 2n → 0⇒ B = Trang 1/48 Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu lim un = +∞ C Nếu lim un = , , lim un = +∞ lim un = B Nếu lim un = +∞ D Nếu lim un = −a , , lim un = −∞ lim un = a Lời giải Theo nội dung định lý I = lim a < 1; b < Câu Cho số thực a, b thỏa Tìm giới hạn 1− b A − a B C +∞ + a + a + + a n + b + b + + b n D −∞ Lời giải n Ta có 1, a, a , , a cấp số nhân với công bội a nên: + a + a + + a n = Tương tự, − a n +1 1− a + b + b + + b n = − b n +1 1− b − a n +1 1− b lim I = lim − an +1 = 1− b 1− a 1− b Suy Câu Giá trị F = lim ( ) bằng: n+ 1+ n B +∞ A C D −∞ C −∞ D Lời giải F = +∞ Câu Giá trị A H = lim ( ) bằng: n2 + n + − n B +∞ Lời giải Trang 2/48 n+ 1 n H = lim = lim = 2 1 n + n + 1+ n 1+ + + n n Ta có: 1+ Câu Giá trị A = lim ( ) bằng: n2 + 2n + + n B −∞ A C D +∞ Lời giải 2 A = lim n 1+ + + 1÷ = +∞ ÷ n n Ta có 2 lim n = +∞;lim 1+ + + 1÷ = ÷ n n Do Câu Một bóng cao su thả từ độ cao 81m Mỗi lần chạm đất bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao lần rơi trước Tổng khoảng cách rơi nảy qu ả bóng từ lúc th ả bóng lúc bóng khơng nảy A 234 B 567 C 162 D 405 Lời giải Gọi ri khoảng cách lần rơi thứ i n −1 2 rn = ÷ 81 r = 81 3 Ta có r1 = 81 , ,…, ,… Suy tổng khoảng cách rơi bóng từ lúc th ả bóng cho đ ến l ần r th ứ n n 2 1− ÷ 81 1− Gọi ti khoảng cách lần nảy thứ i n −1 2 2 2 tn = ÷ t1 = 81 t2 = ÷ 81 ,…, 3 , Ta có 81 ,… Trang 3/48 Suy tổng khoảng cách nảy bóng từ lúc th ả bóng cho đ ến đ ến l ần n ảy n−1 2 1− ÷ 81 1− thứ n Vậy tổng khoảng cách rơi nảy qu ả bóng từ lúc th ả bóng cho đ ến lúc bóng không nảy n n−1 2 2 1− ÷ ÷ 1− ÷ 3 S = lim 81 + 81 ÷ = 405 2 ÷ 1− 1− 3 ÷ 12 + 22 + 32 + 42 + + n lim n + 2n + Câu Giới hạn có giá trị bằng? A B C D Lời giải n ( n + 1) ( 2n + 1) Ta có kết quen thuộc + + + + n 1 1 + ÷ + ÷ 1.2 n n = = n ( n + 1) ( 2n + 1) = lim 2 2 2 + + + + + n = lim 1 + + ÷ lim ( n3 + n + ) n n n + n + Do 2 2 = 1 lim + + + 1.3 3.5 n ( 2n + 1) Câu 10 Tính giới hạn: A B C D Lời giải Đặt: Trang 4/48 A= 1 + + + 1.3 3.5 n ( 2n + 1) ⇒ 2A = 2 + + + 1.3 3.5 n ( 2n + 1) 1 1 1 ⇒ A = − + − + − + + − 3 5 n 2n + 1 2n ⇒ 2A =1− = 2n + 2n + n ⇒ A= 2n + 1 n 1 lim + + + = lim = = lim n ( 2n + 1) 2n + 1.3 3.5 2+ n Nên Câu 11 Giới hạn dãy số ( un ) với A un = 3n − n 4n − là: C −∞ B D +∞ Lời giải −1 ÷ 3n − n n lim un = lim = lim n ÷ = −∞ 4n − 4− ÷ n −1 lim n3 = +∞; lim n =− 4− n Vì Câu 12 Cho dãy số ( un ) xác định u1 = , un+1 = A + un * với n ∈ N Tính lim un C B D −1 Lời giải * u = + u1 = u3 = + u2 = un = Ta có u1 = , , ,., với n ∈ N Do lim un = Câu 13 Giá trị A +∞ H = lim n ( ) bằng: 8n3 + n − 4n2 + B −∞ C − D Lời giải Trang 5/48 H = lim n ( ) 8n3 + n − 2n − lim n ( ) 4n2 + − 2n = − 1 lim 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷ n Câu 14 Tính giới hạn: A B C D Lời giải Cách 1: 1 lim 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷ = lim 1 − ÷1 + ÷1 − ÷1 + ÷ 1 − ÷1 + ÷ n n n n − n + 1 n +1 = lim = lim = 2 3 n n n 100 Cách 2: Bấm máy tính sau: Câu 15 Giá trị C = lim ÷ so đáp án ∏ 1 − x 3.2n − 3n 2n+1 + 3n+1 bằng: B +∞ A − C −∞ D C D −∞ Lời giải n Ta có: 2 3. ÷ − n n 3.2 − C = lim n+1 n+1 = lim n =− +3 2 2. ÷ + 3 n − 2n + lim + 5n Câu 16 Chọn kết : A B +∞ Lời giải n − 2n + lim = lim n × + 5n 1 − + ÷ ÷ n n ÷ = +∞ ÷ +5 ÷ n Trang 6/48 1 − + ÷ n n lim n = +∞; lim = +5 n Vì Câu 17 Tìm I = lim A I = 3n − n+1 C I = −2 B I = D I = Lời giải 2 n3 − ÷ 3− n n = lim = lim 3n − n1+ ÷ I = lim 1+ n n =3 n+1 Câu 18 Tính giới hạn dãy số un = (1− 1 )(1− ) (1− ) T1 T2 Tn B +∞ A Tn = n(n + 1) D C −∞ Lời giải 1− Ta có: (k − 1)(k + 2) = 1− = Tk k(k + 1) k(k + 1) n+ un = ⇒ lim un = n Suy n un = (u ) + n + n , ∀n = , , Tính giới hạn Câu 19 Cho dãy số n sau: A B lim ( u1 + u2 + + un ) x →+∞ C D Lời giải un = Ta có Ta có n ( 1+ n ) 2 − n2 u1 + u2 + + un = = 1 1 = − ( n + n + 1) ( n − n + 1) n − n + n + n + ÷ n 2 1 1 1 1 1 − 1 − + − + − + − + + ÷ 3 7 13 13 21 n − n +1 n + n +1 1 n +n = 1 − = ÷ n + n + n2 + n + Trang 7/48 lim ( u1 + u2 + + un ) Suy Câu 20 Giá trị M = lim ( 1+ n =1 = lim 1 1+ + 2 n n ) bằng: 1− n2 − 8n3 + 2n C B −∞ A D − 12 Lời giải M = lim Ta có: 1− n2 (1− n2 − 8n3 )2 − 2n3 1− n2 − 8n3 + 4n2 =− 12 Câu 21 Tính tổng S cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu A S= B S= u1 = công bội q=− C S = D S = C D Lời giải S= u1 = = 1− q 1+ 1 lim 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷ n Câu 22 Tính giới hạn: A B Lời giải Cách 1: 1 lim 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷ = lim 1 − ÷1 + ÷1 − ÷1 + ÷ 1 − ÷1 + ÷ n n n n − n + 1 n +1 = lim = lim = n n 2 3 n 100 Cách 2: Bấm máy tính sau: Câu 23 Giá trị lim ( 3n − 5n ) ÷ so đáp án ∏ 1 − x là: Trang 8/48 B A +∞ C −2 D −∞ C D Lời giải n lim ( − ) = lim ÷ − 1÷ = −∞ ÷ n n n n lim = +∞; lim ÷ − 1÷ = −1 ÷ Vì n Câu 24 Tìm lim un biết un = 2 42 43 n dau can B −∞ A +∞ Lời giải Ta có: un = n 1 1− ÷ 2 1 + + + n 22 =2 , nên lim un = lim ( 2n + 1) ( n + 2) C = lim Câu 25 Giá trị n 1 1− ÷ 2 n17 + A +∞ = bằng: C 16 B −∞ D Lời giải C = lim 2 ) n (1+ )9 (2 + )4.(1+ )9 n = lim n n n 1 n17(1+ 17 ) 1+ 17 n n n8(2 + Ta có: Suy C = 16 Câu 26 Tìm lim 8n − n + 4n + 2n + A C B D Lời giải 1 n5 − + ÷ 8− + n n n n =8 =2 = lim lim 8n − n + n5 + + ÷ lim 4+ + n n = 4n + 2n + n n Ta có Câu 27 Giá trị B = lim ( ) bằng: n3 + 9n2 − n Trang 9/48 B A −∞ C D +∞ C D Lời giải Ta có: B = lim ( ) n3 + 9n2 − n 9n2 = lim ( n + 9n ) 2 + n3 n3 + 9n2 + n2 = lim 9 1+ n ÷ + 1+ n + =3 1 lim + + + n ( 2n + 1) 1.3 3.5 Câu 28 Tính giới hạn A B Lời giải Đặt: A= 1 + + + 1.3 3.5 n ( 2n + 1) ⇒ 2A = 2 + + + 1.3 3.5 n ( 2n + 1) 1 1 1 ⇒ A = − + − + − + + − 3 5 n 2n + 1 2n ⇒ 2A = 1− = 2n + 2n + n ⇒ A= 2n + 1 n 1 lim + + + = lim = = lim n ( n + 1) 2n + 1.3 3.5 2+ n Nên Câu 29 Tính giới hạn dãy số A D = lim B −∞ ( ) n2 + n + − 23 n3 + n2 − + n C − D +∞ Lời giải Trang 10/48 Lời giải Ta có: (k + 1) k + k k + Suy un = 1− n+ = k − ⇒ lim un = k+ n cos 2n lim − ÷ n + là: Câu 99 Kết A B C D –4 Lời giải Với n ∈ ¥ ta có − n n cos 2n n ≤ ≤ n +1 n +1 n +1 1 n n lim − ÷ = lim n = lim = lim n = 1 n + n +1 1+ 1+ n n Ta có ; − n cos 2n n cos 2n ⇒ lim ÷ = ⇒ lim − ÷= n +1 n +1 Câu 100 Giá trị N = lim A +∞ ( ) bằng: n3 + 3n2 + − n C B −∞ D Lời giải N = lim 3n2 + (n3 + 3n2 + 1)2 + n.3 n3 + 3n2 + + n2 Câu 101 Cho dãy số Đặt Sn = A ( xn ) =1 x1 = , xn +1 = xn2 + xn ,∀n ≥ xác định 1 + +L + x1 + x2 + xn + Tính lim Sn B +∞ C −∞ D Lời giải Từ công thức truy hồi ta có: xn +1 > xn , ∀n = 1, 2, Trang 34/48 Nên dãy ( xn ) dãy số tăng Giả sử dãy ( xn ) dãy bị chặn trên, tồn lim xn = x Với x nghiệm phương trình: x = x + x ⇔ x = < x1 Do dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn = +∞ 1 1 = = − Mặt khác: xn +1 xn ( xn + 1) xn xn + 1 = − Suy ra: xn + xn xn +1 Dẫn tới: Sn = 1 1 − = 2− ⇒ lim Sn = − lim =2 x1 xn +1 xn +1 xn +1 n − 2n + lim + 5n Câu 102 Chọn kết A B −∞ C +∞ D Lời giải n − 2n + lim = lim n × + 5n 1 − + ÷ ÷ n n ÷ = +∞ ÷ +5 ÷ n 1 − + ÷ n n lim n = +∞; lim = +5 n Vì Câu 103 Giá trị K = lim ( ) bằng: n3 + n2 − − 4n2 + n + + 5n B +∞ A C −∞ D − 12 Lời giải Ta có: K = lim ( ) n3 + n2 − − n − 3lim ( ) 4n2 + n + − 2n Trang 35/48 Mà: lim Do đó: ( ) n3 + n2 − − n = K= lim 3; ( ) 4n2 + n + − 2n = − =− 12 n Câu 104 Giá trị lim a với a> bằng: A +∞ C B −∞ D Lời giải Nếu a= ta có đpcm a = 1+ • Giả sử a> Khi đó: Suy ra: < n a − 1< ( n ) n a − > n ( n ) a− a →0 n n nên lim a = 1 > 1⇒ lim n = 1⇒ lim n a = a • Với < a < a n Tóm lại ta ln có: lim a = với a> Câu 105 Tính lim 2n + 1 + n kết B A C D Lời giải 1 n2 + ÷ 2+ 2n + n n = 2+0 = lim = lim = lim 1+ n 1 +1 +1 n + 1÷ n n Ta có Câu 106 Mệnh đề sau đúng? A C lim ( −2n + 1) = −∞ lim = +∞ n B D lim −3 = −2n + lim 2−n = −∞ 3n Lời giải Trang 36/48 1 lim ( −2n + 1) = lim n −2 + ÷ = −∞ n Ta có: Câu 107 Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số nhân lùi vô hạn? n n−1 3 1 27 1 1 − − ÷ − ÷ A , , ,…, ,… B , , , , 16 ,…, ,… C , , 27 ,…, n 2 1 1 ÷ ,… D , , 27 ,…, 3n ,… Lời giải n 3 3 27 q = >1 ÷ dãy CSN vơ hạn có cơng bội , nên dãy , , ,…, ,… dãy lùi vô hạn Câu 108 Tính giới hạn: lim + + + + ( 2n + 1) 3n + C B A D Lời giải + + + + ( 2n + 1) n2 1 lim = lim = lim = 3n + 3n + 3+ n Ta có: Câu 109 Giá trị N = lim ( 4n2 + − 8n3 + n A +∞ ) bằng: C B −∞ D Lời giải Ta có: N = lim lim Mà: lim ( ( ( ) 4n2 + − 2n − lim ) 4n2 + − 2n = lim ) 8n2 + n − 2n = lim ( ) 8n3 + n − 2n 4n2 + + 2n =0 n (8n2 + n)2 + 2n3 8n2 + n + 4n2 =0 Vậy N = Câu 110 Giá trị lim n ( ) n +1 − n −1 là: Trang 37/48 A B D −1 C +∞ Lời giải lim n ( n ( n + − n + 1) n + − n − = lim = lim n n + + n − Câu 111 Cho dãy số A ) ( un ) có lim un = Tính giới hạn B +∞ lim ( n + 1/ n + − 1/ n ) =1 3un − 2un + −1 C D 2 C D Lời giải Từ lim un = ta có lim 3un − 3.2 − = = 2un + 2.2 + 1 1 lim + + + 1.3 2.4 n ( n + 2) Câu 112 Tính giới hạn B A Lời giải 1 1 1 2 lim + + + + + = lim + 1.3 2.4 n ( n + 2) 1.3 2.4 n ( n + 2) Ta có : 1 1 1 1 = lim − + − + − + − ÷ 2 n n+2 1 1 = lim 1 + − ÷= 2 n+2 Câu 113 Giá trị A = lim 2n2 + 3n + 3n2 − n + bằng: B A +∞ C D −∞ Lời giải + n n2 = A = lim 3− + n n Ta có: 2+ Câu 114 Tính giới hạn I = lim 2n + 2017 3n + 2018 Trang 38/48 A I = B I= C I= 2017 2018 D I= Lời giải 2017 n = lim 2n + 2017 2018 I = lim = 3+ n 3n + 2018 Ta có 2+ Câu 115 Giá trị B = lim ( ) bằng: 2n2 + − n A +∞ B −∞ C D C D +∞ Lời giải B = lim n + − 1÷ = +∞ n ÷ Ta có: 3n − 4.2n −1 − lim 3.2n + 4n Câu 116 bằng: A B −∞ Lời giải n n 2 1 1 − ÷ − ÷ ÷ 3 3 ÷ 3n − 4.2n −1 − 3n − 2.2n − lim = lim = lim n n n n n 3.2 + 3.2 + 2 4n ÷ + 1÷ 4 ÷ n n n 2 1 − 4. ÷ − 3. ÷ ÷ n 3 3 ÷ 3 =0 = lim ÷ n 2 4 ÷ + 1÷ ÷ 4 Câu 117 lim − n2 2n + A B − C D Lời giải Trang 39/48 −1 n2 = lim − n2 1 lim 2+ = − 2n + n Ta có 1 1 lim + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) Câu 118 Tính giới hạn A B D C Lời giải 1 1 1 1 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) = − + − + L + n − − n + n − n + = − n + Ta có: 1 1 lim + + + + = lim 1 − ÷= 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) n + Vậy Câu 119 Trong giới hạn hữu hạn sau, giới hạn có giá trị khác với gi ới hạn l ại? A lim 2n + 2n − B lim 4n + 3n − C lim n +1 n −1 D lim 3n − 3n + Lời giải Ta có 1 3− 2+ 3n − n + n = =1 n = =1 lim = lim lim = lim 1 3n + 2n − lim = lim = 3+ 2− n n n n ; 1 4+ 1+ 4n + n + n= n =1 lim = lim lim = lim 1 3n − n − lim = lim = 3− 1− n n n n ; Câu 120 Kết A −2 lim n−2 3n + bằng: B C D − Lời giải 2 n 1 − ÷ 1− n−2 n n =1 lim = lim = lim 1 3n + 3+ n3+ ÷ n n Ta có Trang 40/48 Câu 121 Tính I = lim 2n − n + 3n + B I = +∞ A I = C I = D I = −∞ Lời giải 2 n2 − ÷ − n n n n2 = lim = lim 2n − n2 + + ÷ 2+ + I = lim n n n n =0 2n + 3n + − n + 2n + lim 3n + Câu 122 Kết − A : B C − 3 D − Lời giải lim − n + 2n + 3n + ( −1 + / n + 1/ n ) = −1 + + = − = lim 3+ / n Câu 123 Trong dãy số A un = un = C 3 ( un ) cho đây, dãy số có giới hạn khác ? 2 + +K + 1.3 3.5 ( 2n + 1) ( 2n + 3) n ( n − 2018) ( n − 2017 ) 3+ u1 = 2018 un +1 = ( un + 1) , n ≥ B 2017 2018 D un = n ( n + 2020 − 4n + 2017 ) Lời giải + Với phương án un = n ( n − 2018) ( n − 2017 ) un = 2017 2018 → 2 + +K + 1.3 3.5 ( 2n + 1) ( 2n + 3) n.n 2017 →1 n 2018 u1 = 2018 un +1 = ( un + 1) , n ≥ + Với phương án un = n ( ) n + 2020 − n + 2017 → n ( ) n − 4n → n ( − n ) → −∞ Trang 41/48 un = n ( n − 2018) ( n − 2017 ) + Với phương án 2017 2018 1 1 1 1 un = 1 − ÷+ − ÷+ K + − → ÷= 1− 2n + 3 3 5 2n + n + + Với phương án un +1 = un = n ( n + 2020 − n + 2017 ) 1 ( un + 1) ⇔ un +1 − = ( un − 1) 2 v1 = 2017 +1 = , n ≥ Đặt = un − , ta có v Suy dãy ( n ) cấp số nhân có số hạng đầu 2017 , công bội nên n −1 1 = 2017 ÷ 2 ( n ≥ 1) n −1 1 un = 2017 ÷ + ( n ≥ 1) , lim un = 2 Suy Chú ý: Ở phương án un = n ( n + 2020 − 4n2 + 2017 ) , ta chứng minh u n >1 với n ≥ u u ( n ) dãy giảm nên ( n ) có giới hạn Gọi lim un = a Khi từ un +1 = Câu 124 Giới hạn dãy số A 1 a = ( a + 1) ⇔ a = ( un + 1) , n ≥ 2 suy , lim un = ( un ) với un = 3n − n 4n − là: B C −∞ D +∞ Lời giải lim un = lim 3n − n / n3 − = lim n3 = −∞ 4n − 4−5/ n Trang 42/48 Vì lim n3 = +∞; lim / n3 − 1 =− 4−5/ n sin 2018n n Câu 125 Tính n→+∞ lim B +∞ A C 2018 D Lời giải sin 2018n sin 2018n ≤ lim = lim =0 n n mà n→+∞ n n Ta có: nên theo định lý kẹp n →+∞ Câu 126 Phát biểu sau sai ? n ( q > 1) A lim q = C lim B = ( k > 1) nk lim =0 n D lim un = c ( un = c số) Lời giải n ( q < 1) Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn dãy số lim q = D = lim Câu 127 Giá trị A 4n + n + 3n + bằng: C +∞ B D −∞ Lời giải D = Câu 128 Cho dãy số lim ( un ) xác định u1 = un+1 = un + 4n + , ∀n ≥ Biết un + u4 n + u42 n + + u42018 n un + u2 n + u22 n + + u22018 n = a 2019 + b c với a , b , c số nguyên dương b < 2019 Tính giá trị S = a + b − c A S = B S = 2017 C S = 2018 D S = −1 Lời giải Ta có Trang 43/48 u2 = u1 + 4.1 + u3 = u2 + 4.2 + un = un−1 + ( n − 1) + Cộng vế theo vế rút gọn ta un = u1 + ( + + + n − 1) + ( n − 1) = n ( n − 1) + ( n − 1) = 2n + n − , với n ≥ Suy u2 n = ( n ) + n − u22 n = ( 2 n ) + 2 n − u22018 n = ( 22018 n ) + 22018 n − u4 n = ( n ) + n − u42 n = ( n ) + n − u42018 n = ( 42018 n ) + 42018 n − lim Do un + u4 n + u42 n + + u42018 n un + u2 n + u22 n + + u22018 n 42018 − + 2.42 + − + + ( 42018 ) + − n n n n n n = lim 2018 3 + − + 2.22 + − + + ( 22018 ) + − n n n n n n 2+ = ( + + 42 + + 42018 ) ( + + 22 + + 22018 ) 2019 Vì − 42019 = −2019 42019 − 22019 + 1− = = 22019 − 1− a = b = > 2019 xác định nên c = Vậy S = a + b − c = Trang 44/48 Câu 129 Giá trị C = lim 3.3n + 4n 3n+1 + 4n+1 bằng: C B +∞ A D Lời giải C= Câu 130 Cho dãy số có giới hạn lim un ( un ) u1 = un +1 = , n ≥ − un xác định bởi: Tìm kết B A −1 Lời giải C D u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 = ; Ta có: Dự đốn un = n n + với n ∈ ¥ * Dễ dàng chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp n = lim =1 n +1 1+ n Từ 4n + 3n + B = lim (3n − 1)2 bằng: Câu 131 Giá trị lim un = lim A −∞ B C +∞ D C D Lời giải B= Câu 132 Tính giới hạn: A Lời giải lim n +1 − n +1 + n B −1 Trang 45/48 1 + − n +1 − n n n = =0 lim = lim n +1 + n 1 + +1 n n Ta có: D = lim Câu 133 Giá trị n+ n ( 3n + − 3n2 − 1) bằng: 2 A +∞ B −∞ C D Lời giải D= 3 nπ lim n sin − n3 ÷ bằng: Câu 134 Kết A B −2 C −∞ D +∞ C D Lời giải nπ sin n π − ÷ = −∞ lim n sin − 2n3 ÷ = lim n3 ÷ n ÷ nπ sin ÷ lim n = +∞; lim − ÷ = −2 < n ÷ Vì nπ nπ sin ≤ ; lim = ⇒ lim − ÷ = −2 ÷ n n n n ÷ sin Câu 135 Giá trị − A K = lim 3.2n − 3n 2n+1 + 3n+1 bằng: B −∞ Lời giải Trang 46/48 n 2 3 ÷ − K = lim n =− 2 2 ÷ + 3 10 lim Câu 136 n + n + bằng: A −∞ B 10 D +∞ C Lời giải 10 lim n + n +1 = lim Ta có: Nhưng Nên lim + lim n2 10 1 1+ + n n 1 10 + =1 lim = n n n 10 n + n2 + = n q