Tiết 29-30: Phương trình mặt phẳng

Đ2.PHNG TRèNH MT PHNG n ãLp 10 ta học đường thẳng vec tơ pháp tuyến đường thẳng vec tơ có giá vng góc với đường thẳng Vậy khơng gian ta có định nghĩa tương tự không ? I.VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Định nghĩa r r Cho mặt phẳng (α ) Nếu vectơ n khác o vàcó r giá vuông góc với mặt phẳng (α ) n gọi làvectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) r A Vectơ u vtpt () r B Chỉ có vectơ n vtpt () r u r C Cả hai vectơ n m vtpt cđa () D vect¬ cđa () r r u &n lµ vtpt α r u r n u r m VËy hình biểu diễn mp(α) nhiªu Từ mét mặt phẳng có bao vect cỏc em vec chn phng ỏn ỳng sau hóy tơ pháp tuyến? õy? r r Chú ý: Nếu n VTPT mặt phẳng kn Theo đ/n mp(α) có bao với k ≠ , VTPT mặt phẳng r nhiêu VTPT nửa? n Cho ba véc tơ sau r a = (a1 ; a2 ; a3 ), r b = (b1 ; b2 ; b3 ) r  a2 n=  b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 α a2  ÷ b2  r n = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) Hãy tính tích tích vơ hướng sau r r rr rr rr a.n b n a.n = b n = r n Vectơ xác định gọi tích có hướng (hay tích vectơ ) củarhai r vectơ a b Kí hiệu : r b r a b a α r n r r r r r r n = a Λb hoăc n =  a , b    r r r Vectơ n =  a , b  gọi vectơ pháp   tuyến mp (α) Δ1? Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3) Hãy tìm tọa độ vectơ pháp tuyến mp(ABC) r uu ur Ta có : a = AB = (2;1; −2) r uu ur b = AC = (−12;6;0) r r r uu uu α ur ur ⇒ n =  a, b  =  AB, AC      = (12; 24; 24) = 12(1; 2; 2) n =[a ;b] a A B b C Trong không gian cho đg thẳng a mp(α) a c α Điều kiện để a ┴ (α) ? b II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲ 1.Trong không gian Oxyz cho mp(α) qua điểm Mo (xo;yo;zo) r nhận n = ( A; B; C ) Làm vectơ pháp tuyến Tìm điều kiện để điểm M(x;y;z) thuộc mp(α) n ( A;B;C ) α • M(x0 ;y0;z0) • M (x ;y;z) M (x ;y;z) ∈ (P) ⇔ n ⊥ M M ⇔ n M0M=0 ⇔ A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) =0 Tương tự B = Thì (α) song song chứa trục Oy z n ¬ ( α ) / /Oy r O j y ¬ ( α ) ⊃ Oy x Tương tự C=0 Thì (α) song song chứa trục Oz x n ¬ ( α ) / /Oz r O k z ¬ ( α ) ⊃ Oz y c) Hai hệ số A,B,C Cho A = B = 0; C khác r (α): Cz + D =0 ⇒ n = (0;0; C ) = C (0;0;1) r r n &k ? r r nr C.kr = n = C.k r   Ta coù: ( α ) ⊥ n (α ) ⊥ a ⇒ (α ) & ( β ) ? r   ( β ) ⊥ a ( oxy ) ⊥ k  Vậy (α) song song chứa mp(Oxy) z n ¬ ( α ) / / ( Oxy ) r k O ¬ ( α ) ≡ ( Oxy ) x y Tương tự B=C=0, A khác Thì (α) song song trùng với mp(Oyz) x n ¬ ( α ) / / ( Oyz ) r i O ¬ ( α ) ≡ ( Oyz ) z y Tương tự A=C=0, B khác Thì (α) song song trùng với mp(Oxz) y n ¬ ( α ) / / ( Oxz ) r i O x z ¬ ( α ) ≡ ( Oxz ) d) Nếu A,B,C ,D đồng thời khác không (α ) : Ax + By + Cz + D = ⇔ − Ax - By − Cz = D A B C ⇔ − x − y − z =1 D D D x y z (α ) : + + = 1(1); a b c D D D a = − ,b = − ,c = − A B C (1) gọi phương trình đoạn chắn z C c O x A a B b y Ví dụ Trong KG Oxyz cho M(3;0;0), N(0;2;0) P(0;0;1) Hãy viết ph trình mp(MNP) x y z ( MNP ) : + + = ⇔ x + y + z − = TÓM TẮT 1) ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0, A + B + C ≠ r VTPT : n = ( A; B; C ) 2 r a = ( a1 ;a ;a )  2) ( α ) : caëp VTCP  r b = ( b1 ; b ; b3 )  r  a a a a1 a1 a  ⇒ VTPT n =  ; ; ÷  b b3 b3 b1 b1 b  M ( x o ; yo ; z o ) ∈ ( α )  3)  r VTPT n = ( A; B;C )  ⇒ ( α ) : A ( x − x o ) + B ( y − yo ) + C ( z − z o ) = 5) ( α ) a)  ( α )  ( α ) b)  ( α )  ( α ) : By + Cz + D = ⇔ ⊃ Ox ( α ) : By + Cz =  / / Oy ( α ) : Ax + Cz + D = ⇔ ⊃ Oy ( α ) : Ax + Cz =  ( α ) / / Oz ( α ) : Ax + By + D = c)  ⇔ ( α ) ⊃ Oz ( α ) : Ax + By =   / / Ox ( α ) P(Oxy ) ( α ) : Cz + D = d)  ⇔ ( α ) ≡ (Oxy ) ( α ) : z =   ( α ) / /(Oyz ) ( α ) : Ax + D = e)  ⇔ ( α ) ≡ (Oyz ) ( α ) : x =   ( α ) / /(Oxz ) ( α ) : By + D = f ) ⇔ ( α ) ≡ (Oxz ) ( α ) : y =   x y z h) ( α ) : + + = a b c Ví dụ Trong KG tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) điểm M1(1;0;0) a.Viết phương trình mp(α) qua M, chứa Oy b.Viết phương trình mp(β) qua M,M1 song song với Oy c.Viết phương trình mp(α’) qua M song song mp(Oxy) d.Viết phương trình mp(β’) qua hình chiếu vng góc M lên trục tọa độ Mp(α) chứa Oy có dạng nào? a ( α ) ⊃ Oy ⇒ ( α ) : Ax + Cz = 0;(1); A + C ≠ M ∈ ( α ) ⇒ A + 3C = ⇔ A = −3C Mp(β) //Oy = Thế vào (1) ⇒ ( α ) : −3Cx + Cz = ⇔ −3 x + zcó dạng ? b ( β ) / / Oy ⇒ ( β ) : Ax + Cz + D = 0;(1); A + C ≠ M ∈ ( β ) ⇒ A + 3C + D = 0;(2), M1 ∈ ( β ) ⇒ A + D = 0(3) Từ (2) & (3) ⇒ C = & D = − A; vào (1) ta ( β ) : Ax − A = ⇔ x − = c ( α ' ) / / Oxy ⇒ ( α ' ) : Cz + D = 0; C ≠ Mp(α’)//(Oxy) có M ∈ ( α ' ) ⇒ 3C + D = ⇔ D dạng sao? = −3C Theá vaøo (1) ⇒ ( α ' ) : Cz − 3C = ⇔ z − = d Ta coù M1 (1; 0; 0), M2 (0;2; 0), M3 (0; 0;3) x y z Mp(β’) chắn ( β ') : + + = ⇔ x + 3y + x − = 03 trục tọa độ có dạng nào? Bài tập nhà: 1, 2, 3, 4, (SGK: trang 80) ... không ? I.VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Định nghĩa r r Cho mặt phẳng (α ) Nếu vectơ n khác o vàcó r giá vuông góc với mặt phẳng (α ) n gọi làvectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) r A Vectơ u vtpt ()... điểm M1(1;0;0) a.Viết phương trình mp(α) qua M, chứa Oy b.Viết phương trình mp(β) qua M,M1 song song với Oy c.Viết phương trình mp(α’) qua M song song mp(Oxy) d.Viết phương trình mp(β’) qua hình... din mp() v cỏc nhiêu T mặt phẳng cã bao vectơ em vec chọn phương án sau hóy tơ pháp tuyến? õy? r r Chỳ ý: Nếu n VTPT mặt phẳng kn Theo đ/n mp(α) có bao với k ≠ , VTPT mặt phẳng r nhiêu VTPT nửa?