tự chọ toán 8(Nâng cao)

I. ĐẶT VẤN ĐỀ: Một trong những các định hướng quan trọng của viêc đổi mới giáo dục của nhiều nước trên thế giới trong đó cóViêt Nam là : Tăng cường hơn nữa tính “ Phân hoá” trong giáo dục ,sự khẳng định này dựa trên cơ sở về sự tồn tại khách quan nhữngkhác biệt của người học về tâm lý , thể chất , năng lực và những khác biệt về yêu cầu và điều kiện kinh tế , xã hội . Chương trình giáo dục của nhiều nước thể hiện ngày càng rõ hơn tinh thần phân ban và dạy học tự chọn , đặc biệt ở các lớp cuối của bậc THCS Ở nước ta kế hoạch giáo dục của trường THCS ban hành kèm theo quyết định số 03/2002/QĐ – BGD&ĐT của Bộ Trưởng Bộ Giáo Dục và Đào tạo ngày 24 tháng 1 năm 2002 đã giành 2 tiết / tuần ở Lớp6 , Lớp7 , lớp8 , Lớp9 , cho việc dạy và học các chủ đề tự chọn .Như vậy , dạy học tự chọn đã trở thành hình thức dạy học có tính pháp qui cần được nghiên cứu và triển khai ở mức độ hợp lý cùng với các hình thức dạy học được qui định trong các quyết định số 03/2002/QĐ- BGD&ĐT Để dáp ứng nhu cầu và nguyện vọng học tập của các đối tượng học sinh khác nhau do vậy bản thân tôi chọn chủ đề nâng cao GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT trongmột số dạng cơ bản thường gặp ở bộ môn đại số và hình học lớp 8để giúp học sinh khá giỏilớp 8 phát huy về trí lực học tập của mình , có thể đầu sâu hơn các kiến thức đã học , tập dượt nghiên cứu một số vấn đề đơn giản góp phần chuẩn bị học lên để bước vào cuộc sống lao động II) GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : A)MỤC TIÊU : Sau khi học xong chủ đề này học sinh có khả năng *Nắm được các định nghĩa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất *Nắm được một số dạng cơ bản về giá trị lớn nhát(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) đại số *Nắm được một số phương pháp để giải toán cực trị(GTLN , GTNN) trong hình học *Có kĩ năng vận dụng các tính chất – các bất đẳng thức cơ bản để giải theo nhiều cách khác nhau B)THỜI LƯỢNG: Để học sinh khá giỏi nắm được hoàn chỉnh và đầy đủ các kiến thức và phương pháp giải , bản thân tôi chọn chủ đề này với số tiết là 12 tiết C)TÀI LIỆU THAM KHẢO *Sách giáo khoa toán8 . Tác giả:Phan Đức Chính – NXBGD *Toán nâng cao đại số 8 . Tác giả : Nguyễn Vũ Thanh - NXBGD *Toán nâng cao và phát triển TOÁN 8 . Tác giả : Vũ Hữu Bình - NXBGD *Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS . Tác giả : Vũ Dương Thuỵ, Trương Công Thành , Nguyễn Ngọc Đạm – NXBGD *Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 đại số và hình học .Tác giả : Vũ Hữu Bình , Tôn Thân , Đỗ Quang Thiều - NXB Hà Nội *500 bài toán chọn lọc 8 . Tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm , Nguyễn quang Hanh , Ngô Long Hậu NXB Đại học sư phạm D) THỰC HIỆN CHỦ ĐỀ : Chuyên đề này gồm hai phần : Đại số và hình học Phần đại số gồm các dạng tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất Phần hình học gồm các dạng cơ bản về toán cực trị(Giá trị lớn nhất , Giá trị nhỏ nhất) trong hình học Để học sinh nắm chắc tôi phân thời lượng như sau : 6 tiết đầu giành cho đại số , 5 tiết sau giành cho hình học , còn 1 tiết giành cho kiểm tra E) TIẾN HÀNH BÀI GIẢNG: Tiết: 1-2 I) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC: 1) Định nghĩa GTLN: Cho biểu thức f(x,y .) , ta nói M là GTLN của biểu thức f(x,y ) , kí hiệu maxf=M nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi x,y .để f(x,y ) xác định thì f(x,y ) ≤ M ( M là hằng số) (1) - Tồn tại x 0 , y 0 .sao cho f(x 0 ,y 0 ) = M (2) 2)Định nghĩa GTNN : Cho biểu thức f(x,y .) , ta nói m là GTNN của biểu thức f(x,y .) kí hiệu minf=m , nếu hai điều kiện sau được thoả mãn : - Với mọi x,y .để f(x,y ) xác định thì f(x,y .) ≥ m ( m là hằng số) (1 / ) -Tồn tại x 0 , y 0 .sao cho f(x 0 ,y 0 ) = m (2 / ) * Tiếng la tinh minimum là nhỏ nhất , maximum là lớn nhất Chú ý rằng nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1 / ) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức 3)Phương pháp giải: Chú ý rằng vì (x+a) 2 ≥ 0 với mọi giá trị của x và (x+a) 2 = 0 khi x = -a , nên (x+a) 2 +b ≥ b với mọi giá trị của x và (x+a) 2 +b = b khi x = -a .Do đó GTNN của (x+a) 2 +b = b khi x = -a Hoặc b - (x+a) 2 ≤ b với mọi giá trị của x và b - (x+a) 2 = b khi x = - a . Do đó GTLN của b - (x+a) 2 = b khi x = -a 4) Tìm GTLN , GTNN của một biểu thức là vấn đề không đơn giản , tôi sẽ đề cập môt số dạng đặc biêt a) Tìm GTNN , GTLN của biểu thức một biến Dạng 1: Tam thức bậc hai Bài1 : Tìm GTNN của A = x 2 - 4x +1 B = 2x 2 - 8x +1 Hướng dẫn giải A = x 2 - 4x +1= x 2 - 4x +4 -3 = (x-2) 2 - 3 ≥ -3 Vậy GTNN của A bằng -3 khi và chỉ khi (x-2) 2 = 0 ⇔ x = 2 B = 2x 2 - 8x + 1 = 2(x 2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2) 2 - 7 ≥ -7 Vậy GTNN của B bằng -7 khi và chỉ khi x = 2 Bài 2: Tìm GTLN của C = 1 + 6x - x 2 D = 2x - 2x 2 - 5 Hướng dẫn C = 1 + 6x - x 2 = - x 2 + 6x + 1 = -(x 2 - 6x - 1) = -(x 2 - 6x +9 -10) = -(x 2 - 6x + 9) +10 = 10 - (x - 3) 2 ≤ 10 Vậy GTLN của C bằng 10 khi và chỉ khi x = 3 D = -2x 2 + 2x -5 = -2(x 2 -x + 5/2) = -2(x 2 - 2x.1/2 + 1/4 - 1/4 + 5/2) = -2       +− 4 9 ) 2 1 ( 2 x = -2(x - 1/2) 2 - 9/2 = -9/2 -2(x - 1/2) 2 ≤ -9/2 Vậy GTLN của D bằng -9/2 khi và chỉ khi x = 1/2 Dạng 2: Tìm GTNN , GTLN CỦA ĐA THỨC BẬC CAO BÀI 1: a) Tìm GTNN của A = (x 2 + x +1) 2 Giải : Măt dù A ≥ 0 nhưng GTNN của A không phải bằng 0 vì x 2 + x + 1 ≠ 0 Ta có x 2 + x +1 = x 2 + x +1/4 + 3/4 = (x + 1/2) 2 + 3/4 ≥ 3/4 Do đó A min khi và chỉ khi (x 2 + x +1) 2 min Vậy GTNN của A bằng (3/4) 2 = 9/16 khi và chỉ khi x = -1/2 b) Tìm GTNN của B = x 4 - 6x 3 +10x 2 - 6x +9 Hướng dẫn : Viết biểu thức dưới dạng B = x 4 -6x 3 + 9x 2 + x 2 - 6x + 9 = (x 2 - 3x) 2 + (x - 3) 2 ≥ 0 Xãy ra đẳng thức khi và chỉ khi 3 3 3 0 =⇔      =    = = x x x x Vậy GTNN của biểu thức bằng 0 với x = 3 Bài tập về nhà 1) Tìm GTNN của A = 2x 2 - 20x + 53 Tìm GTLN của B = -5x 2 - 4x + 1 2) Tìm GTNN của C = x 4 - 2x 3 + 3x 2 -2x + 1 Tiết: 3-4 Cho HS sữa bài tập về nhà HS1: Tìm GTNN của A = 2x 2 - 20x + 53 = 2(x 2 - 10x + 25) +3 = 2(x- 5) 2 + 3 ≥ 3 GTNN của A = 3 khi và chỉ khi x = 5 HS2: Tìm GTLN của B = -5x 2 - 4x + 1 = -5(x 2 + 2x. 5 2 - 5 1 ) = -5(x 2 +2x. 5 2 + 25 4 25 4 − - 5 1 ) = -5       −+ 25 9 ) 5 2 ( 2 x = -5(x + 5 2 ) 2 + 5 9 = 5 9 -5(x + 5 2 ) 2 ≤ 5 9 Vậy GTLN của B bằng 5 9 khi x = - 5 2 HS3: Tìm GTNN của C = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x +1 = (x 2 - x + 1) 2 Có x 2 - x + 1 >0 với mọi x nên (x 2 - x + 1) 2 min khi và chỉ khi x = 2 1 Vậy C min = 16 9 khi và chỉ khi x = 2 1 Dạng3 : Tìm GTNN , GTLN của đa thức có dấu giá trị tuyệt đối Bài 1: Tìm GTNN của A = 1 − x + 3 − x Cách1: Hướng dẫn cách 1 chia khoảng a) Trong khoảng x < 1 thì A= 1 - x + 3 - x = 4 - 2x Do x < 1 nên -2x > -2 do đó 4 - 2x > 2 b) Trong khoảng 1 ≤ x ≤ 3 thì A= x - 1 + 3 -x = 2 c) Trong khoảng x > 3 thì A = x- 1 +x -3 = 2x -4 Do x>3 nên 2x - 4 > 2 So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên , ta thấy GTNN của A bằng 2 khi và chỉ khi 1 ≤ x ≤ 3 Cách2 : Vì giá trị của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyêt đối A = 1 − x + x − 3 ≥ xx −+− 31 = 2 Do đó minA = 2 khi và chỉ khi (x - 1)(3 - x) ≥ 0 khi và chỉ khi ⇔    ≥− ≥− 03 02 x x 1 ≤ x ≤ 3 Bài 2: Tìm GTNN của B = 971 −+−+− xxx Do chia khoảng khá phức tạp nên hướng dẫn HS làm cách 2 để nắm một cách chặt chẽ Giải: Vì giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối nên ≥−+−=−+− xxxx 9191 xx −+− 91 = 8 (1) Ta lại có : 07 ≥− x (2) Từ (1) và (2) suy ra A ≥ 8 Do đó minA = 8 ⇔ 7 7 09 01 =⇔      = ≥− ≥− x x x x Dạng4: Tìm GTLN , GTNN của phân thức có tử là hằng số , mẫu là tam thức bậc2 Bài1:Tìm GTLN của M = 544 3 2 +− xx Hướng dẫn giải: M = 544 3 2 +− xx = 4)42( 3 2 +− x Ta thấy (2x-1) 2 ≥ 0 nên (2x-1) 2 +4 ≥ 4 Do đó 4)42( 3 2 +− x ≤ 4 3 ( Theo qui tắc so sánh hai phân số cùng tử , tử và mẫu đều dương ) maxM = 4 3 khi và chỉ khi x = 2 1 Bài 2: Tìm GTNN của A = 2 956 2 xx −− Hướng dẫn giải A = 2 956 2 xx −− = 4)13( 2 569 2 22 +− − = +− − xxx Ta thấy (3x-1) 2 ≥ 0 nên (3x-1) 2 + 4 ≥ 4 . Do đó 4 1 4)13( 1 2 ≤ +− x (theo tính chất so sánh 2 phân số cùng tử và mẫu đều là dương) Suy ra 2 1 4 2 4)13( 2 − ≥⇒ − ≥ +− − A x Vậy minA=- 2 1 khi và chỉ khi 3x - 1 = 0 khi và chỉ khi x= 3 1 Dạng5: Tìm GTNN , GTLN của phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức Bài1: Tìm GTNN của A = 2 2 )1( 1 + +− x xx Hướng dẫn HS làm hai cách sau Cách1: Viết tử thức dưới dạng luỹ thừa của x + 1 rồi đổi biến , đặt y = 1 1 + x 4 3 4 3 ) 2 1 ( 1 )1( 1 1 1 1 )1( 1)1()12( 2 2 22 2 ≥+−= +−= + + + −= + ++−++ = y yy x x x xxx A Vậy minA = 4 3 khi và chỉ khi y= 2 1 ⇔ x = 1 Cách2: Viết A dưới dạng tổng của 3/4 với một biểu thức không âm A= 2 2 )1( 1 + +− x xx = 4 3 )1(2 1 4 3 )1(4 )1()1(3 )1(4 12363 )1(4 444 2 2 22 2 22 2 2 ≥       + − += + −++ = + +−+++ = + ++ x x x xx x xxxx x xx Vậy Amin bằng 3/4 khi và chỉ khi x=1 Bài 2:Tìm GTNN của B = 12 683 2 2 +− +− xx xx Cách1: B = 12 683 2 2 +− +− xx xx = 2 2 )1( 683 − +− x xx Đặt x - 1 = y thì x = y+1 Ta có B= 22 2 2 2 12 3 1236)1(8)1(3 y y y yy y yy +−= +− = ++−+ Lại đặt z y = 1 thì B= 3-2z+z 2 = (z - 1) 2 + 2 ≥ 2 minB = 2 ⇔ z = 1 ⇔ y = 1 ⇔ 1 1 − x =1 ⇔ x = 2 Cách 2: Viết A dưới dạng tổng của 2 với một biểu thức không âm A = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 12 44242 2 2 2 22 ≥ − − += +− +−++− x x xx xxxx minA = 2 khi và chỉ khi x = 2 Bài tập về nhà 1) Tìm GTNN của A = 52 −+− xx 2) Tìm GTNN của B = 42 1 2 −− xx 3) Tìm GTLN của C = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx Tiết : 5-6 Sữa bài tập về nhà HS1 Tìm GTNN của A = 52 −+− xx A= 35252 =−+−≥−+− xxxx Do đó minA = 3 52 05 02 ≤≤⇔    ≥− ≥− ⇔ x x x HS2 B = 3)1( 1 42 1 42 1 222 +− − = +− − = −− xxxxx Ta thấy (x-12) 2 ≥ 0 nên (x-1) 2 +3 ≥ 3 Do đó 1 3 1 3)1( 1 3 1 3)1( 1 22 ≥⇒ − ≥ +− − ⇒≤ +− B xx Bmin = 3 1 − khi và chỉ khi (x-1) 2 = 0 khi và chỉ khi x = 1 HS3 Tìm GTNN của C = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx = 3 + 2)1( 1 3 32 1 22 ++ += ++ xxx Ta thấy (x+1) 2 ≥ 0 nên (x+1) 2 +2 ≥ 2 Do đó 2 1 2)1( 1 2 ≤ ++ x suy ra 3+ 2 1 3 2)1( 1 2 +≤ ++ x ⇒ Cmin ≤ 3+ 1/2 =3,5 khi và chỉ khi (x+1) 2 = 0 khi và chỉ khi x = 1 HS4 Tìm GTNN của D = 2 2 2 2 )1( 33 12 33 − +− = +− +− x xx xx xx Đặt x - 1 = y thì x = y + 1 Ta có D = 22 2 2 2 2 2 11 1 1333123)1(3)1( y y y yy y yyy y yy +−= +− = +−−++ = ++−+ Đặt y 1 = z D = 1- z +z 2 = z 2 - 2z . 2 1 + 1 4 1 4 1 +− = (z - 2 1 ) 2 + 4 3 4 3 ≥ Dmin = 3212 2 11 2 1 0) 2 1 ( 4 3 2 =⇔=−⇔=⇔=⇔=⇔=−⇔ xxy y zz Vậy Dmin = 3 4 3 =⇔ x Dạng 6: Tìm GTNN , GTLN của các phân thức khác Bài 1: Tìm GTNN, GTLN của A= 1 43 2 + − x x Để tìm GTNN viết A dưới dạng ( Biến đổi tử sao cho có biểu thức ở mẫu ) A= 11 1 )2( 1 144 2 2 2 22 −≥− + − = + −−+− x x x xxx Amin = -1 khi và chỉ khi x = 2 Để tìm GTLN viết A dưới dạng ( Biến đổi tử sao cho có hiệu giữ một số với một phân thứckhông âm) A = 4 1 )12( 4 1 14444 2 2 2 22 ≤ + + −= + −−−+ x x x xxx Ama x = 4 khi và chỉ khi x = -1/2 Bài 2 :Tìm GTNN , GTLN của B = 9 1227 2 + − x x Để tìm GTNN viết B dưới dạng hiệu của một phân thức không âm với một số B = 11 9 )6( 9 )9()3612( 2 2 2 22 −≥− + − = + +−+− x x x xxx Bmin = -1 khi và chỉ khi (x-6) 2 = 0 khi và chỉ khi x = 6 Để tìmGTLN viết B dưới dạng hiệu của một số với một phân thức không âm B = 4 9 )32( 4 9 )9124()364( 9 1227 2 2 2 22 2 ≤ + + −= + ++−+ = + − x x x xxx x x Bma x = 4 2 3 0)32( 2 − =⇔=+⇔ XX Dạng7: Tìm GTNN , GTLN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến Bài 1: Tìm GTNN của A=x 3 +y 3 + xy biết rằng x + y = 1 Hướng dẫn : Sử dụng điều kiện đã có để rút gọn biểu thức A A = (x + y)(x 2 - xy + y 2 ) + xy = x 2 - xy + y 2 +xy = x 2 + y 2 Có thể đưa ra cách giải sau : Cách 1 : Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đó với x Thay y = 1 - x vào biểu thức A A = x 2 + (1-x) 2 = 2(x 2 - x) +1 = 2(x - 2 1 ) 2 + 2 1 2 1 ≥ Amin = 1/2 khi và chỉ khi (x - 1/2) 2 = 0 khi và chỉ khi x = 1/2 , y = 1 -1/2 =1/2 Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A x + y = 1 suy ra x 2 + 2x +y 2 = 1 (1) Mặt khác : (x - y) 2 ≥ 0 suy ra x 2 - 2xy + y 2 ≥ 0 (2) Cộng (1) với (2) ta được 2(x 2 +y 2 ) ≥ 1 suy ra x 2 + y 2 ≥ 1/2 Amin = 1/2 khi và chỉ khi x = y = 1/2 Cách3: Sử dụng điều kiện đã cho để vào một biến mới Đặt x = 1/2 +a thì y = 1/2 -a Biểu thị x 2 + y 2 theo a , ta được x 2 + y 2 (1/2+a) 2 + (1/2 - a ) 2 = 1/2 Amin = 1/2 khi và chỉ khi a = 0 khi và chỉ khi x = y = 1/2 Bài2 : Cho x + y +z = 3 Tìm GTNN của A = x 2 + y 2 + z 2 Hướng dẫn : Bình phương 2 vế của đẳng thức x + y + z = 3 ta được X 2 + y 2 +z 2 +2(xy + yz +zx ) =9 (1) Tức là A + 2B = 9 Ta luôn có A ≥ B (2) Xãy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z Từ (1) và (2) suy ra 3A ≥ A + 2B = 9 , nên A ≥ 3 Do đó Amin = 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1 Bài 3: Tìm GTNN và GTLN của a) Biểu thức A , biết rằng A(A - 1) ≤ 2 b) Biểu thức A = 2 - x -y -z biết rằng (2 - x - y - z) 2 = 4 - x 2 - y 2 -z 2 Hướng dẫn a) Ta dùng phương pháp xét dấu một tích để tìm GTLN , GTNN của A Biến đổi : A(A - 1) ≤ 2 khi và chỉ khi A 2 - A - 2 ≤ 0 khi và chỉ khi (A - 1)(A - 2) ≤ 0 Lập bảng xét dấu A -1 2 A + 1 - 0 + + A - 1 - - 0 + (a+1)(A-2) + 0 - 0 + Do đó -1 ≤ A ≤ 2, minA = -1 ; ma xA = 2 b) Từ giả thiết ta có : x + y +z = 2 - A x 2 + y 2 + z 2 = 4 - A 2 Ta đưa ra một bbất đẳng thức trong đó có chứa x + y +z và x 2 + y 2 +z 2 Ta có : (x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 +2(xy + yz +zx) (1) Mạt khác ta luôn có xy + yz +xz ≤ x 2 + y 2 +z 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra (x +y +z) 2 ≤ 3(x 2 + y 2 + z 2 ); xãy ra bất dẳng thức khi và chỉ khi x = y = z do đó ( 2 - A) 2 ≤ 3(4 - A 2 . Biến đổi bất dẳng thức này ta được A 2 - A - 2 ≤ 0 ⇔ (A +1)(A - 2) ≤ 0 Lập bảng xét dấu A -1 2 A + 1 - 0 + + A - 1 - - 0 + (A+1)(A-2) + 0 - 0 + minA = -1    == =++ ⇔ zyx zyx 3 ⇔ x = y = z = 1 maxA = 2    == =++ ⇔ zyx zyx 0 ⇔ x = y =z =0 6)Các chú ý khi tìm GTNN , GTLN của một biểu thức * Khi tìm cực trị ( GTNN, GTLN ) của biểu thức , ta có thể đổi biến * Tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biẻu thức khác đạt cực trị. Chẳng hạn : -A lớn nhất khi và chỉ khi A nhỏ nhất B 1 lớn nhất khi và chỉ khi B nhỏ nhất với B > 0 C lớn nhất khi và chỉ khi C 2 lớn nhất với C >0 * Khi giải toán cực trị nhiều khi ta cần xét từng khoảng giá trị của biến , sau đó so sánh các giá trị của biểu thức trong các khoảng ấy đẻ tìm GTNN, GTLN * Tìm cực trị của một biểu thức , người ta thường sử dụng các bất đẳng thức đã biết * Trong các hăng đẳng thức , cần chú ý đến 2 mệnh đề sao cho ta GTLN của tích , GTNN của tổng : - Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi số đó có tổng bằng nhau - Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau - Nếu hai số dương a và b có ab = p (hằng số ) thì a + b nhỏ nhất khi và chỉ khi (a + b) 2 nhỏ nhất , do đó min (a + b) 2 = 4p khi và chỉ khi a = b Bài tập về nhà: 1) Tìm GTNN và GTLN của A = 14 38 2 + + x x 2) Cho các số dương x và y x và y thoả mãn 2 2 11 y x + = 2 1 3)Tìm trị nhỏ nhất của (a +b)( ) 11 ba + với a,b>0 Tiết 7-8 Phần hình học : I) Bài toán cực trị trong hình học Phương pháp giải Các bài toán cực trị có dạng chung như sau :Trong tất cả các hình có chung mọt tính chất , tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó (như độ dài đoạn thẳng ,số do góc ,số đo diện tích , .)có GTLN , GTNN . Các bài toán cực trịthường được trình bày theo hai cách Cách1: Trong các hình có tính chất của đề bài chỉ ra một hình rồi chứng minhmọi hình khác đều có giá trị (của đại lượng phải tìm cực trị ) lớn hơn (hoặc nhỏ hơn )giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra Cách2:Thay điều kiện 1 đại lượng cực trị ( lớn nhất hoặc nhỏ nhát )bằng các điều kiện tương đương , cuối cùng dẫn đến một đều kiện mà ta xác định được vị trí của các điểm để đạtcực trị Lời giải trình bày theo cách 2 tự nhiên hơn nó mang tính chất tìm kiếm Dưới đây một số bài tập giải theo 2 cách để học sinh phát huy được trong quá trình giải toán một cách thuận lợi Bài1: Trong các tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích , hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất Hướng dẫn Cách1: Xét tam giác EBC cân tại E và ∆ ABC bất kỳ có cùng diện tích (A và E nằm cùng phía đối với BC , A khác E ) ta có AE//BC . Ta sẽ chứng minh rằng chuvi ∆ EBC nhỏ hơn chu vi ∆ ABC , bằng cách chứng minh BE + EC < BA +AC Gọi D là điểm đối xứng với C qua E ,ta có BE + EC = DC (1) ∆ BDC có DE = EC , EA // BC nên EA đi qua trungA điểm của BD . Ta lại có DB ⊥ BC (vì ∆ BDC có đường trung tuyến BE bằng nữa CD), nên EA ⊥ BD . Suy ra AE là đường trung trực của BD , nên AB = AD . Do đó C BA +AC = DA +AC (2) ∆ ADC có DC < DA + AC (3) Từ (1),(2),(3) suy ra BE + EC < BA + AC .Vậy trong tam giác ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích , tam giác cân đáy BC có chu vi nhỏ nhất Cách2: Xét tam giác ABC có cạnh đáy BC không đổi và có cùng diện tích . Do chiều cao ứng với BC khong đổi và có cùng nên A chuyển động trên đường thẳng d // BC . Gọi D là điẻm đói xứng với B qua d , ta có AB = DA Chu vi ∆ ABC nhỏ nhất ⇔ AB + AC nhỏ nhất nhỏ nhất Ta có : AB + AC = DA + AC ≥ DC ( khong đổi ) AB +AC = DC ⇔ D , A , C thẳng hàng Khi đó A ở vị trí giao điểm E của DC và d ∆ EBC cân tại E Vậy trong các ∆ ABC có cùng cạnh BC và cùng diện tích Tam giác cân với cạnh đáy BC có chu vi nhỏ nhất Bài2:Cho góc xÔykhác góc bẹt và điểm M thuộc miền trong của góc . Dựng đường thẳng đi qua M và cắt cạnh của góc thành một tam giác có diẹn tích nhỏ nhất Hướng dẫn: Cách1: Qua M dựng đường thẳng song song với Ox, cát Oy ở D Dựng B đói xứng với O qua D ; BM cắt Ox ở A . Ta sẽ chứng minh rằng ∆ OAB có diện tích nhỏ nhất .Qua M vẽ đường thẳng bất kỳ ( không trùng với AB )cắt Ox ,Oy theo thứ tự ở A / , B / .Ta sẽ chứng minh rằng S OAB < S 0AB , Thật vậy ,có duy nhất một đường thẳng qua M căt Ox ,Oy ở A , B sao cho M là trung điểm của AB nên MA / , MB / khong bằng nhau . Giả sử MA / > MB / , trên tia MA / ta lấy ME = MB / , thì S MBB , =S MAE < S MA A , . Do đó S OAB < S 0AB , Cách2 :Vẽ MH // OH , MK // OB thì S OHMK không đổi . Đặt S OHMK = S 3 , S AKM = S 1 S NHB = S 2 , S ABC = S . Đặt MA = a , MB =b . Ta có S 3 = S - (S 1 + S 2 ) Nên S SS S S 21 3 1 + −= Các tam giác AKM , MHB , AOB đồng đồng nên 2 2 2 2 1 ,)(       + = + = ba b S S ba a S S 2 2 )( )( 2 )( 1 2 3 22 22 3 ≥ + =⇒ + = + + −=⇒ ab ba S S ba ab ba ba S S ( áp dụng bất dẳng thức (a+b) 2 ≥ 4ab , xã y ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b) Vậy S ≥ 2S 3 Do đó diện tích AOB nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b , khi đó M là trung điểm của AB II) CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ Dạng1: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Quan hệ này thường được sử dụng dưới dạng : - Trong các tam giá vuông ( có thể suy biến thành đoạn thẳng ) có ccs cạnh góc vuông AH và cạnh hyuền AB thì AB ≥ AH , xãy ra dấu bằng khi và chỉ khi B trùng H -Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến điểm thuộc đường thẳng , đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất - Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song , đoan thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất Bài tập : Cho hình vuông ABCD . Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình vuông có diện tích nhỏ nhất Hướng dẫn : Gọi EFGH nội tiếp trong hình vuong ABCD Tâm của hai hình vuông này phải trùng nhau tại một điểm 0 Ta có S EFGH = 2 20 2 20.20 2 . E FEFHEG == Như vậy S nhỏ nhất ⇔ 0E nhỏ nhất . Gọi K là trung điểm của AB , ta có OE ≥ OK ( hằng số) ; OE = OK ⇔ E trùng với K Vậy diện tích EFGH nhỏ nhất khi các đỉnh E , F ,G ,H là trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD Dạng2: Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu Trong hai đường xiên cùng kẻ từ nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó , đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn Bài tập: Cho tam giác ABC . Qua A dựng đường thẳng dcắt cạnh BC của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từB và C đến d có giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn : Gọi D là giao điểm của d và cạnh BC , vẽ BB / , CC / vuông góc với d . Với mọi vị trí cảu D trên cạnh BC ta có : S BAD + S CAD = S ABC ⇒ 2 1 AD.BB / + 2 1 AD.CC / = S ⇒ BB / +CC / = AD S2 Do đó BB / +CC / nhỏ nhất khi và chỉ khi AD S2 nhỏ nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất Giả sử AC ≥ AB thì trong hai đường xiên AD , AC , đường xiên AD có hình chiếu nhỏ hơn , do đó AD ≤ AC( hằng số ) ; AD = AC ⇔ D trùng với C Vậy đường thẳng d phải dựng là là đường thẳng chứa lớn nhất trong hai cạnh AB và AC Bài tập về nhà: 1) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD , BIẾT AB = AD =a , BC = CD =b [...]... xin đón nhận và tiếp thu những ý kiến đóng góp quí báu của các thầy cô giáo dạy toán , cũng như các em học sinh yêu toán để cho chủ đề này thêm phong phú hơn về cách giải nhiều thể loại , có thể áp dụng lâu dài trong việc dạy tự chọn bộ môn toán lớp 8 Điện Tiến: Ngày 30-3-2007 Người viết: Mai Tám KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN - THỜI GIAN : 45 Phút Điểm Lời phê: Họ và tên : Lớp : 8/ : ĐỀ: Bài1:... đó M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC Chú ý2:Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến bài toán tìm tập hợp điểm Trong tập hợp các hình có chung mọt tính chất , khi ta cố định một số yếu tố không đổi của hình , các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đường nhất định viẹc theo dõi vị trí của chúng giúp ta tìm được cực trị của bài toán Ví dụ: Trong các hình bình hành có diện tích và một đường... 2 8 a HK = Có vô số tứ giác như vậy 2 BH + KC = KH = *Các chú ý khi giải toán cực trị Chú ý1: Khi giải toán cực trị nhiều khi ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị của đại lương này thanh điều kiện cực trị của đại lượng khác Ví dụ: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , M là điểm bất kỳ nằm trên cạch BC Goi E ,F theo thứ tự la hình chiếu của M trên AB , AC Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ... của d và đoạn B/D Khiđó AB = AD Vì vậy hình bình hànhcó chu vi nhỏ nhất khi nó là hình thoi Chú ý3: Khi giải các bài toán cực trị , có khi ta tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) trong từng trường hợp , ròi so sánh các giá trị ấy với nhau để tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất ) của bài toán Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn nhất... d ⊥ CE c) Tường hợp BÂC = 900 Ta có BC = CE Do đó ma x(BB/ +CC/ ) = BC =CE ⇔ d ⊥ BC hoặc d ⊥ CE III)KẾT LUẬN: Trên đây là ý tưởng của bản thân tôi chọn chủ đề này với thời lượng 12 tiết giúp HS khá và giỏi lớp 8 để rèn luyện và giải thành thạo các bài toán tìm GTNN , GTLN với một số dạng cơ bản trong nhiều tình huống đơn giản và phức tạp Khi áp dụng dạy cho học sinh bản thân tôi thấy rất khả quan... có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuong và 2 cạnh đáy song song với một dường chéo của hình vuông 2) Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Các điểm D , E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB , AC Gọi H và K theo thứ tự là các hình chiếu của D và E trên BC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác DEKH Tiết 11 - 12 Goị 2 HS làm bài tâp cho về nhà HS1 :1) Đặt CF = x ,DH = y SE FGH = SABNCD -...2) Cho tam giác ABC vuông tại A , điểm M nằm giữa B và C Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếucủa m trên AC , AB Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất Tiết 9-10 Sữa bài tập (7p) Gọi 2 HS lên bảng HS1 : 1) Có SABCD ≤ 2SABC ≤ ab MaxSABCD =ab ⇔ AB ⊥ BC Khi đó 0 ˆ ˆ B = D =90... cách từ B và C đến d Xét trường hợp : 1) Đường thẳng d cắt cạnh BC tại D BB/ + CC/ ≤ BD + CD = BC ( chú ý góc B hoặc góc C lớn hơn 900 thì dấu bằng không đạt được , nhưng điều đó không ảnh hưởng đến bài toán ) 2) Đường thẳng d không cắt cạnh BC Khi đó d cắt cạnh CE với E là điểm đối xứng với B qua A Ta có BB/ ≤AB =AE( E là điểm đối xứng với B qua A) CC/ ≤ AC Suy ra : BB/ + CC/ ≤ AE + AC ≤EC Bây giờ ta... x, y , z ,t có tổng bằng 2 Tìm GTNN của C = ( x + y + z )( x + y ) xyzt BÀI 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A , BC = 2a Một đường thẳng d bất kỳ đi qua a và không cắt cạnh BC Gọi I và K theo thứ tự là các hình chiếu của B và C trên d , gọi H là trung điểm của BC Tính diện tích lớn nhất của tam giác HIK Đáp án : Bài 1: (4đ) a) Phân tích A = x2 - 2xy +y2 +x2 -2x +1 +2 (x-y)2 + (x - 1)2 +2 (x-y)2 . ở Lớp6 , Lớp7 , lớp8 , Lớp9 , cho việc dạy và học các chủ đề tự chọn .Như vậy , dạy học tự chọn đã trở thành hình thức dạy học có tính pháp qui cần được. giả : Nguyễn Vũ Thanh - NXBGD *Toán nâng cao và phát triển TOÁN 8 . Tác giả : Vũ Hữu Bình - NXBGD *Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS . Tác giả : Vũ Dương