Chương Mặt bậc Nhận dạng mặt bậc C om (a) x2 + 2y + 4z − 2xy + 4yz − 2x − 4z = (b) x2 + 4y + 4z − 4xy + 4y − 2z = (c) x + − y + 2z − = (d) z + y2 + z2 + = (e) x2 + y − z = 2x + 2z x2 + y + z ≤ 2z z ≥ x2 + y x2 + y = 0, z = 1, z = Tìm hình chiếu V xuống Oxy, mặt mặt V en Cho V giới hạn z − + Tìm hình chiếu V xuống Oxy, mặt mặt V Zo Cho vật thể V : ne Ghi matlab: Lệnh vẽ mặt cầu sphere(n); lệnh vẽ mặt trụ tròn cylinder(r,n); lệnh vẽ mặt nón cylinder([r1:delta:r2],n) Cho V : x2 + z ≤ y ≤ − x2 − y Tìm hình chiếu V xuống Oyz, mặt mặt V Vi Cho V : x2 + y + z ≤ 2z, x2 + y + z ≤ 2y Tìm hình chiếu V xuống Oxy, mặt mặt V Cho V giới hạn y = x2 ; x = z; x = y; z = Tìm hình chiếu V xuống Oxy, mặt mặt V Si nh CHo V giới hạn y = x2 ; z = 3x; z = 0; y = Tìm hình chiếu V xuống Oxy, mặt mặt V SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Chương Đạo hàm riêng ứng dụng Đạo hàm riêng vi phân Bài 1: Cho z = euv , u = x3 y, v = x2 Tìm df Bài 2: Cho f (x, y) = x3 + 2y Tìm miền xác định fx (x, y) Bài 3: Cho f = arctan xy Tính df (1, 1), df (1, 1), d2 f (1, 1) Tính ” ” (x, y) = fxx + fyy Bài 4: Cho f (x, y) = ex (cos y + sin y) Tính d2 f (0, 0) x Bài 6: Cho u = ne Bài 5: Cho z = earctan y Tính d2 z .C om x+z , z = z(x, y) xác định từ hàm ẩn zez = xex + yey y+z Zo Bài 7: Tính đạo hàm riêng cấp hàm z = z(x, y) xác định hàm ẩn sau: ez = x2 + y + z en Bài 8: Cho f (x, y, z) = x2 + y + z Tính đạo hàm theo hướng u = (1, 1, 1) Tìm hướng u mà đạo hàm f theo hướng lớn nhất, bé nhất, triệt tiêu Bài 9: Cho f = f (u, v), u = x2 − y , v = exy Tính df Vi ” Bài 10: Cho f (u) = u3 + sin u, u = 2xy + ex Tính fxy Si nh xy , (x, y) = (0, 0) Bài 11: Tính đạo hàm cấp (0, 0) hàm số f (x, y) = x2 + y 0, (x, y) = (0, 0) √ Bài 12: Khai triển taylor f (x, y) = x + y M (0, −1) 2x − y (1, 2) đến cấp x−y x Bài 14: Khai triển taylor f (x, y) = (2x + y − 3) ln (1, 1) đến cấp y Bài 13: Khai triển taylor f (x, y) = Bài 15: Cho f (x, y) = x cos y Tính ∂ 32 f (0, 0) ∂x∂ 31 y Cực trị hàm nhiều biến Câu 1: z = x3 + y + 3x2 − 3xy + 3x − 3y Câu 5: z = x4 + 16y + 4x3 + 4x2 − 8y + 8xy + 8y Câu 2: z = x3 + 3xy − 15x − 12y Câu 6: z = x2 + y + xy − 12x − 3y Câu 3: z = x4 + y − 2(x − y)2 Câu 7: z = x3 y + 12x2 − 8y Câu 4: z = ex 3 +y −6xy−39x+18y Câu 8: z = x2 y (6 − x − y) Cực trị có điều kiện SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Câu 1: f (x, y) = 4x + 6y; x2 + y = 13 Câu 6: f (x, y) = x2 − y ; x2 + y = Câu 2: f (x, y) = x2 y; x2 + 2y = 2 Câu 7: f (x, y) = − 3x − 4y; x2 + y = 25 2 Câu 3: f (x, y) = x + y + xy; x + y = Câu 8: f (x, y) = − 4x − 8y; x2 − 8y = Câu 4: f (x, y) = 2x2 + 12xy + y ; x2 + 4y = 25 Câu 5: f (x, y) = − 5x − 4y; x2 − y = Câu 9: f (x, y) = 2x2 + 3y + 4z ; x + y + z = 13 Tìm giá trị lớn nhỏ miền D Câu 1: f (x, y) = + xy − x − 2y, D = {(x, y) : ≤ x ≤ 4; ≤ y ≤ 5} Câu 2: f (x, y) = x2 + y − xy + x + y, D : x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3 Câu 3: f (x, y) = + 4x − 5y, D miền tam giác với đỉnh O(0, 0); A(2, 0); B(0, 3) Câu 4: f (x, y) = x2 − 2xy, D : x2 + y ≤ 4x; y ≥ .C om Câu 5: f (x, y) = 4x + 6y − x2 − y , D = {(x, y) : x2 + y ≤ 25} Câu 6: f (x, y) = (x − 6)2 + (y + 8)2 , D = {(x, y) : x2 + y ≤ 25} Câu 7: f (x, y) = x2 − y , D = {(x, y) : x2 + y ≤ 25} Câu 8: f (x, y) = (y − x2 )e1−x +y , D = {(x, y) : x2 + y ≤ 4} ne Câu 9: f (x, y) = + x + 2y, (a) D : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ Zo (b) D : x ≥ 0; y ≤ 0; x − y ≤ Câu 10: f (x, y) = x3 + y − 3xy, D : ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ en Câu 11: f (x, y) = x2 − y , D : x2 + y ≤ Câu 12: f (x, y) = x2 + y − 12x + 16y, D : x2 + y ≤ 25 (2x2 + 3y ), D : |x| ≤ π ; |y| ≤ π Tính tích phân kép (x2 + y)dxdy, D : x = y , x + y = Câu 1: Si −y nh Câu 14: f (x, y) = e−x Vi Câu 13: f (x, y) = x2 y(4 − x − y), D : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ D D yexy dxdy, D : y = 1, y = 2, x = 0, xy = Câu 2: ABC x2 ydxdy, D : y = x2 , 4y = x2 , y = D (x + y)3 (x − y)2 dxdy, D : |x + y + 2| ≤ 1, |x − y| ≤Câu 9: Câu 4: D (x2 + x)dxdy, D : x = y , x + y = D |2x − y |dxdy, D : |x − 1| ≤ 1, |y| ≤ Câu 5: |x + y|dxdy, D : |x| ≤ 1, |y| ≤ Câu 10: D D Đổi thứ tự lấy tính phân tính(nếu được) 2−y Câu 1: (x2 + x)dxdy, D : x = y , x + y = Câu 8: D (x + y)dxdy, A = (1, 0), B(−1, −1), C(2, 3) Câu 7: D Câu 3: (2x − y)dxdy, D : |x + y| ≤ 1, |2x − y| ≤ Câu 6: √ 4−x2 f (x, y)dxdy y Câu 2: 0 xe2y dxdy 4−y √ √ y Câu 3: f (x, y)dxdy y 1+ f (x, y)dx Đổi sang tọa độ cực tính tích phân SinhVienZone.com 1−y Câu 4: https://fb.com/sinhvienzonevn 2−y ex Câu 1: +y dxdy, D : ≤ x2 + y ≤ 4, x ≤ D D x2 + y D D D D Câu 13: , D : x2 + y ≤ 1, x + y ≤ ne Câu 12: V x2 + y , z = x2 + y en V (xz +y−3z)dxdydz, V : y = x2 +z , y+x2 +z = V Câu 16: Vi xdxdydz, V : x2 + y + z ≤ 4, y + z ≥ 3x ydxdydz, V : y = x2 , z + y = 1, z = nh dxdydz , V : x = y = z = 0, x + y + z = (1 + x + y + z)3 Câu 17: xdxdydz, V : z = 1−x2 −y , y = x, y = Câu 18: (x + y + z)dxdydz, V : x + y + z ≤ 1, z ≤ V ydxdydz, V : x2 + y ≤ 2y, x2 + y + z ≤ dxdydz x2 + y + z (x + y)dxdydz, V : z = x2 + y , z = xy, (x ≥ 0, y ≥ Câu 20: V x2 + y V 3x, z = V Câu 11: √ V V Câu 10: zdxdydz, V : x2 + y + z ≤ 2x, z ≤ x (x + z)dxdydz, V : z = 0, z = y, x2 + y = 1(y ≤ 0) Câu 19: Câu 9: √ V V Si , V : x2 +y +z ≤ 2x, x2 +y +z ≤ zdxdydz, V : x2 + y + z ≤ 1, x + y + z ≤ ydxdydz, V : x = 0, y = 0, z = 0, z = x + y, x + y = V + y2 + z2 V (x + y)dxdydz, V : y = x2 , x = z, x = y, z = V dxdydz x2 V Câu 15: V Câu 8: √ x2 y + ≤ 1, 2y ≤ 3x, 2y +3x ≥ V Câu 14: (x+y+z)2 dxdydz, V : x2 +y ≤ 2z, x2 +y +z ≤ V Câu 7: y, x + y = zdxdydz, V : x2 + y + z ≤ 4, z ≤ Câu 13: (x2 + y )dxdydz, V : z = Câu 6: √ 2y Zo (1 + x2 y − z)dxdydz, V : x = y + z , x = V Câu 5: 3x, x = D 2xdxdydz, V : x2 + y ≤ z ≤ 4, x, y ≥ Câu 4: √ dxdy, D : x3 + y ≤ axy, a > Câu 14: V Câu 3: (x−y)dxdy, D : D Tính tích phân bội Câu 2: x2 + y ,D : y = C om x2 + y dxdy Câu 12: D Câu 1: , D : x2 + y ≤ 4x, x ≥ xdxdy, D : x2 + (y − 1)2 ≤ 9, x2 + y ≥ 2y Câu 11: xdxdy, D : 2x ≤ x2 + y ≤ 4x, y ≤ x Câu 6: x2 + y D dxdy x dxdy D dxdy Câu 10: (a) D : ≤ x2 + y ≤ 2x (b) D : x2 + y ≤ 2x, x2 + y ≤ Câu 5: dxdy, D : x2 + y ≤ 1, x + y ≤ dxdy, D : x2 + (y − 1)2 ≤ 9, x2 + y ≥ 2y Câu 9: (a) D : x2 + y ≤ 2x, x ≥ |y| (b) D : x2 + y ≤ 2x, x ≥ (c) D : x2 + y ≤ 2x, x ≥ 12 Câu 4: + 2x − x2 − y D dxdy Câu 3: , D : x2 +y +2x ≤ 0, x2 +y +2y ≤ Câu 8: D − x2 − y D x(1 + x2 y)dxdy, D : ≤ x2 + y ≤ 4, x ≤ −|y| Câu 2: dxdy Câu 7: 0) , V : x2 + y + z ≤ 2x, z ≤ x xdxdydz, V : z = − x2 − y , 2z = + x2 + y Câu 21: V Tính diện tích mặt khơng gian Câu 1: Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y + z ≤ nằm phía mặt phẳng z = Câu 2: Tính diện tích phần mặt phẳng x + y + z = bị cắt mặt trụ x = y mặt phẳng x = Câu 3: Tính diện tích phần mặt paraboloid eliptic x = z + y nằm phía sau mặt phẳng x = √ Câu 4: Tính diện tích phần mặt trụ x2 = 2z bị cắt mặt phẳng x − 2y = 0, y = 2x, x = 2 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Câu 5: Tính diện tích phần mặt trụ x2 + y = 2y nằm mặt cầu x2 + y + z = x2 + y nằm mặt trụ x2 + y = 2x √ Câu 7: Tính diện tích phần mặt cầu nằm mặt phẳng z = y, z = y Câu 6: Tính diện tích phần mặt nón z = Câu 8: Tính diện tích phần xung quanh vặt thể tạo mặt trụ x2 + y = 1, y + z = 1, z + x2 = 10 Tính tích phân đường loại Câu 1: (x + y)dl, với C tam giác ∆OAB : A(2, 2), B(−2, 2) C x−y Câu 2: x2 C + y − 2x dl, C : (x − 1)2 + y = 4, x ≤ (x − 1)2 y2 + = 1, x ≥ C √ √ 3 Câu 4: ( x4 + y )dl, C : x2 + y = xydl, C : C om Câu 3: C z (x − z)dl, với C giao tuyến mặt z = x2 + y , x2 + y = x + C 11 Tính tích phân đường loại ne Câu 5: ydx − (x + y)2 dy, C : y = 2x − x2 nối từ điểm (2; 0) đến điểm O(0; 0) Câu 1: Zo C (x − y)2 dx + (x + y)2 dy, C : x = t2 , y = t + 2, t = → Câu 2: C en (x2 y + yey )dy − (xy + x cos(x2 ))dx, C biên miền giới hạn y = x2 , y = x + 2, chiều kim đồng hồ Câu 3: C (yexy + 2xy + 3y)dx + (xexy + x2 + 4xy)dy, C : nửa trái đường tròn đơn vị từ lên Câu 4: Vi C ((1 + xy)exy + 2xy + 2) dx + (x2 exy + x2 )dy, C : y = x2 − từ A(−2; 3) đến B(1; 0) Câu 5: C xdy − ydx , x2 + y (a) (b) (c) (d) (e) C C C C C là là chu tuyến khơng bao quanh O(0; 0) đường tròn B(O, r), ngược chiều kim đồng hồ đường tròn x2 + y = 2x + 3, theo chiều kim đồng hồ đường cong không tự cắt, bao quanh O(0; 0), nối A(1; 0) đến B(2; 0) đường cong không tự cắt, bao quanh O(0; 0), nối A(−1; 0) đến B(2; 0) Si Câu 6: xdx + ydy Câu 7: x2 + y C nh C , C : y = − x2 nối A(−2; 0) đến B(2; 0) (x2 + y cos xy)dx + ( Câu 8: C x Câu 9: C x2 + y2 + yexy x3 + xy − x + x cos xy)dy, C nửa đường tròn B(O, r) từ trái sang phải dx + xy x2 + y2 + xexy Câu 10: Cho P = x2 + y + 2x, Q = 2y, h = h(x), I = dy, C nửa đường tròn đơn vị từ phải sang trái h(x)(P dx + Qdy) Hãy tìm hàm h(x) cho h(0) = tích phân C khơng phụ thuộc đường Với h(x) vừa tìm được, Tính I với C đường cong nối từ A(2; 1) đến B(−1, 3) (3;2) Câu 11: (1;1) (x + 2y)dy + ydx , Với C đường cong không cắt đường thẳng y = x (x − y)2 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 12 Tính tích phân mặt loại Câu 1: (x + y + z)ds, S biên vật thể giới hạn mp x + y + z = trục tọa độ S Câu 2: xyzds, S hình lập phương x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = S xydydz + yzdxdz + xzdxdy, S biên vật thể giới hạn x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y = 1, z = 0, z = Câu 3: S (xy + 2yz + z )ds, S mặt cầu B(O, r) Câu 4: S (x2 + z )ds, S phần mặt y = x2 + z nằm mặt cầu x2 + y + z = Câu 5: S (xy + z)ds, S biên vật thể giới hạn z + = x2 + y , z = 2x − Câu 6: S y + z nằm phía mặt nón y + z = 2z (xy + yz + zx)ds, S : x = S 13 Tính tích phân mặt loại ydxdz, S mặt bên trái mặt y = x2 + z , ≤ y ≤ Câu 1: S C om Câu 7: x2 + y , z ≤ ne xdydz + ydxdz + zdxdy, S mặt phần mặt nónz = Câu 2: S xydydz + yzdxdz + xzdxdy, S mặt vật thể gh x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y = 1, z = 0, z = Câu 3: Zo S ydydz + xydxdz − zdxdy, S mặt vật thể cho x2 + y ≤ 1, ≤ z ≤ x2 + y Câu 4: S en Câu 5: Tính phương pháp xdydz + ydxdz + zdxdy, S mặt mặt cầu đơn vị x2 + y + z = 1, y ≤ S xydydz + yzdxdz + xzdxdy, S mặt vật thể gh x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y = Vi Câu 6: Dùng cơng thức G-O, tính S nh 1, z = 0, z = xydydz + (zcosx + y)dxdz + xy dxdy, S mặt mặt Paraboloid eliptic z = x2 + y (z ≤ 1) Câu 7: S Si x3 dydz + y dxdz + z dxdy, S mặt mặt nón z = Câu 8: S x2 + y (z ≤ 1) xzdydz + yzdxdz + dxdy, S phía ngồi phần mặt cầu x2 + y + z = 25(z ≥ 3) Câu 9: S xdydz + ydxdz + zdxdy Câu 10: x2 + y + z S , S mặt vật thể cho ≤ x2 + y + z ≤ (6x2 + 2y)dydz + (y + x2 z)dxdz + Câu 11: S dxdy x2 + y , S phía ngồi mặt nón x2 + y = 1(0 ≤ z ≤ 1) Ơn tập tích phân mặt Câu 1: Tính diện tích phần mặt z = x2 + y nằm phía mặt phẳng z = Câu 2: Tính diện tích phần mặt cầu z = R2 − x2 − y nằm phía mặt trụ x2 + y = Rx x2 dydz + y dxdz + z dxdy với S nửa mặt cầu x2 + y + z = 2z, phía Câu 3: Tính S Câu 4: Tìm thể tích vật thể giới hạn y = − x2 , y = 1, z = 0, z = 3x SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 14 Tính tích phân đường loại không gian ydx + (x + z)dy + xdz, C giao tuyến x2 + y = z = y + 1, chiều kđh nhìn từ hướng dương oz Câu 1: C (x + y)dx + (2x − z)dy + ydz, C giao tuyến x2 + y + z = x + y + z = ngược chiều kđh nhìn từ hướng Câu 2: C dương Oz (3x − y )dx + (3y − z )dy + (3z − x2 )dz, C giao tuyến z = x2 + y z = − 2y chiều kđh theo hướng dương Câu 3: C Oy (x + y)dx + (2x − z)dy + ydz, C tam giác ∆ABD : A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), D(0; 0; 6), ngược chiều kđh nhìn từ hướng Câu 4: C dương Oy yzdx + xzdy + xydz với C giao x2 + y = 1, z = y , lấy ngược kđh từ hướng dương Oz Câu 5: Tính Xét hội tụ chuỗi số ∞ ∞ Câu 3: Câu 6: ∞ Câu 7: n=1 ∞ ln n n=1 n (n + 1)n n2 n n=1 n ∞ sin n + cos 2n 2n − 3n2 n=1 Câu 9: ∞ + 3n n=1 − 4n ∞ (3n + 1)! 8n n2 n=1 Câu 10: n n=1 1+ en Câu 5: n−1 n+1 ∞ Câu 8: ∞ Câu 4: (2n − 1)!! 2n n=1 (n − 1)! (−1)n n=1 n(n−1) ∞ Câu 12: n=1 n n2 n+1 2n2 − ∞ Câu 13: n+1 (−1)n √ n−n n=1 Câu 14: (−1)n √ n n n=1 (−1) − ∞ ∞ Câu 15: n=1 sin n n nh Si SinhVienZone.com 2n−1 + 2n+1 + (−1)n+1 Vi abc ∞ Câu 11: ne + 3n n=1 − 4n √ ∞ 2+ 2n − Câu 2: − 4n 7n n=1 Câu 1: Zo 15 C om C https://fb.com/sinhvienzonevn ... x2 + y ≤ 2x (b) D : x2 + y ≤ 2x, x2 + y ≤ Câu 5: dxdy, D : x2 + y ≤ 1, x + y ≤ dxdy, D : x2 + (y − 1 )2 ≤ 9, x2 + y ≥ 2y Câu 9: (a) D : x2 + y ≤ 2x, x ≥ |y| (b) D : x2 + y ≤ 2x, x ≥ (c) D : x2... y ≤ 2x, x ≥ 12 Câu 4: + 2x − x2 − y D dxdy Câu 3: , D : x2 +y +2x ≤ 0, x2 +y +2y ≤ Câu 8: D − x2 − y D x(1 + x2 y)dxdy, D : ≤ x2 + y ≤ 4, x ≤ −|y| Câu 2: dxdy Câu 7: 0) , V : x2 + y + z ≤ 2x,... Tính tích phân bội Câu 2: x2 + y ,D : y = C om x2 + y dxdy Câu 12: D Câu 1: , D : x2 + y ≤ 4x, x ≥ xdxdy, D : x2 + (y − 1 )2 ≤ 9, x2 + y ≥ 2y Câu 11: xdxdy, D : 2x ≤ x2 + y ≤ 4x, y ≤ x Câu 6: x2