giải tích 1 lê xuân đại id34 bài tập bài giải gioihanhamso sinhvienzone com

1|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố Bài 1: Tính giới hạn hàm sau: tan x  x I  lim x 0 x  sin x Giải 1: Thấy x  giới hạn cho có dạng bất định Áp dụng quy tắc L’Hospital: 1 tan x  x 1  cos x 1  cos x   lim  cos x    cos x lim  lim  lim x 0 x  sin x x 0  cos x x 0 x 0 cos x 1  cos x  cos x x e 1 x  x Giải 2: I  lim Zo Si nh Vi en Áp dụng quy tắc L’Hospital 1 1x e ex 1 x I  lim  lim  e0   x  x  1 x x2 Bài 3: Tính giới hạn sau đây: ln x I  lim x 0 x Giải 3: ne Khi x   giới hạn cho có dạng bất định C om Bài 2: Tính giới hạn sau đây: Khi x  giới hạn cho có dạng bất định   Áp dụng quy tắc L’Hospital ln x I  lim  lim x   x 0 x 0  x x Bài 4: Tính giới hạn n  N , a  xn I  lim x x  a Giải 4: Khi x   giới hạn có dạng bất định   Áp dụng quy tắc L’Hospital SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 2|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố xn nx n 1 n(n  1)x n 2 n! I  lim x  lim x  lim  lim  (vì n số)  x  a x  a ln a x  a x (ln a) x  a x (ln a) n Bài 5: Tính giới hạn sau   I  lim x  ln x x 0 Giải 5: Khi x0, giới hạn cho có dạng bất định 0. , ta đưa dạng bất định ln x x 0 x 0 x Áp dụng quy tắc L’Hospital    C om I  lim x  ln x  lim nh Vi en Zo ne ln x ln x x (  1) xx x x I  lim  lim    lim  lim  lim  lim 0  x 0 x 0 x x 0   x  (  1) x 0   x x 0   x x 0   x Bài 6: Tính giới hạn sau:   I  lim  cot x   x 0 x   Giải 6: Khi x  giới hạn cho có dạng bất định    Đưa    dạng  cos x   x cos x  sin x    I  lim  cot x    lim     lim   x 0 x  x 0  sin x x  x 0  x sin x   Si  x cos x  sin x  x cos x  sin x    lim    x 0 sin x   x sin x  Tới tiến hành thay VCB tương đương Khi x  ta có: xcosx ~ x sinx ~ x x2sinx ~ x3 Vậy xcosx + sinx ~ x + x = 2x xcosx – sinx khơng thay VCB tương đương x – x = 0x  x cos x  sin x  x cos x  sin x    x cos x  sin x   x cos x  sin x  I  lim   lim     lim   2  x 0 sin x sin x   x 0  x sin x  x0    x sin x   x cos x  sin x   2x   x cos x  sin x   lim  lim    2lim    x 0 x 0 x x3   x 0  x    Áp dụng quy tắc L’Hospital SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố  x cos x  sin x   cos x  x sin x  cos x    x sin x  I  2lim   2lim   2lim     2 x 0 x 0 x 0 x 3x      3x      sin x   1      lim       1      x 0  x   3 Bài 7: Tính giới hạn sau đây:   lim sin  x  sin1  lim x 0 x 0    2x ln cos x   ta tiến hành thay VCB C om sin  x  sin1 I  lim x 0  2x ln cos x  Giải 7: Nhận xét, vì: tương đương ne  x3  1  x3  1  x3  2cos sin 2cos1  sin sin  x  sin1 2 I  lim  lim  lim 5 x 0  2x ln cos x  x 0 x   2x ln cos x  1  2x ln cos x  Khi x  0, ta có: en Zo  x3  1  x3  1 x3 x3 sin ~ ~   2 2 2 2  x2   2x ln cos x  ~  x ln cos x   x ln(1  cos x  1) ~  x(cos x  1) ~  x    5 5   nh Vi x3  Vậy: Si x3 cos1 I  lim  cos1  x 0 x3 Bài 8: Tính giới hạn sau đây: x   2x  x I  lim x2   x x  Giải 8: Vì lim x    x   2x  x    lim x    x   x   nên ta tiến hành thay VCL tương đương Khi x   ta tiến hành lượt bỏ VCL có bậc thấp hơn, chọn VCL có bậc cao tử mẫu x  ~ x Như vậy, ta có: SinhVienZone.com x2  ~ x https://fb.com/sinhvienzonevn 4|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố 3x   x  2x Bài 9: Tính giới hạn sau đây: ln 1  x tan x  I  lim x 0 x  sin x Giải 9: Vì, limln 1  x tan x    lim  x  sin x   nên ta thay VCB tương đương I  lim x 0 x 0 Khi x  0, ta tiến hành thay VCB tương đương: ln 1  x tan x  ~ x tan x ~ x x 0 en x 0 Zo ne C om sin x ~ x Dưới mẫu x  x , lượt bỏ VCB có bậc cao hơn, mẫu ta x2 Như vậy: x2 I  lim   x 0 x Bài 10: Tính giới hạn sau đây: ln  cos x  I  lim x 0 ln(1  x ) Giải 10: Vì limln  cos x    limln(1  x )  nên thay VCB tương đương Khi x  0, ta được: Si nh Vi x2 ln(cos x)  ln(1  cos x  1) ~ cos x  ~  2 ln(1  x ) ~ x Như vậy: x2  I  lim 22    x 0 x Bài 11: Tính giới hạn sau đây: sin  e x 1  1 I  lim x 1 ln x Giải 11: Vì limsin  e x 1  1   limln x  nên thay VCB tương đương x 1 I  lim sin  e x 1  1 x 1 sin  e x 1  1  lim x 1 ln(1  x  1) ln x Khi x  1, ta có: sin  ex 1  1 ~ ex 1  ~ x  x 1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 5|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố en Zo ne C om ln(1  x  1) ~ x  Vậy, x 1 I  lim 1  x 1 x  Bài 12: Tính giới hạn sau đây: e x  1  cos x  1  I  lim x 0 sin x  2x Giải 12: Vì lim  ex  1  cos x  1   lim sin x  2x   nên ta thay VCB tương đương x 0 x 0 Khi x0, ta có: x2 x e  ~ x cos x  ~  sin x ~ x Như vậy, x3  I  lim 23    x 0 x Bài 13: Tính giới hạn sau: sin 2x  2arctan 3x  3x I  lim x 0 ln  3x  sin x  xe x   Giải 13:     x 0 Vi Vì lim sin 2x  2arctan3x  3x   lim ln  3x  sin x  xe x   nên thay VCB x 0 Si nh tương đương Khi x0, ta có: sin 2x ~ 2x ; 2arctan3x ~ 6x ; ln 1  3x  sin x  ~ 3x  sin x ~ 3x  x xex ~ x.1  x Như vậy, ta được: 8x I  lim 2  x 0 4x Bài 14: Tính giới hạn sau đây: x   2x  x I  lim x2   x x  Giải 14: Vì lim x    x   2x  x    lim x    x   x   nên thay VCL tương đương Khi x   , ta có: x2  ~ x ; SinhVienZone.com x2  ~ x https://fb.com/sinhvienzonevn 6|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố Nhận thấy VCL bậc cao tử mẫu bậc 1, nên VCL có bậc < bị giản lược bớt Như vậy, ta có: 3x I  lim   x  2x Bài 15: Tính giới hạn sau đây: x  14  x I  lim x2   x Giải 15: x  x    x  14  x    lim x  Khi x   , ta có: Ta thấy: lim x    x  14  x   lim x     x   x   nên ta thay VCL tương đương  x   x   Nên ta tiến hành thay VCL tương đương x2   x Giải 16:  Zo x  14  x   lim Si x   nh x  Vì lim en I  lim Vi x  14  x ne x  14 ~ x x2  ~ x Như vậy, 2x I  lim 1  x  2x Bài 16: Tính giới hạn sau đây: C om Vì lim x    x   x  nên ta thay VCL tương đương mà tính giới hạn thay VCB tương đương cách biến đổi biểu thức #CÁCH 1: 14 14  x  1 2 x  14  x x x I  lim  lim  lim x  x  x   x x      x x      x 1    1  x   x  Khi x   , ta có: x   2 14 14  2    ~      ~   ;     x2 x2 x2  x2  x2  x  Như vậy, 1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 7|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố C om I  lim x  7  x   x # CÁCH 2: Đặt t  x Như vậy, giới hạn cho trở thành:  t  14  t t   t t  14  t  t  14  t I  lim  lim   t  t   t t   t   t t   t t  14  t   14 t   t   lim   t   2 t  14  t   Khi t   , ta được: ne t  ~ t t  14 ~ t Như vậy, 14  14 2t  I  lim     7   t  2 2t   Si nh Vi en Zo Bài 17: VCL sau có bậc cao x   : 3x  ln x , x ln x , 3x , x(2  sin4 x) Giải 17: (Phương pháp: Giống thuật tốn tìm giá trị Max, ta gán phần tử xem max ban đầu, sau so sánh tiếp với phần tử khác Nếu có phần tử mà lớn phần tử gán ban đầu giá trị Max gán cho phần tử Tương tự, so sánh ta giá trị Max dãy) Chọn 3x  ln x Khi x   3x  ln x ~ 3x x ln x ln x  lim   So sánh với hàm xlnx: lim x  3x x  Như vậy: xlnx có bậc cao 3x + ln3x Có 3x  3x Như 3x + ln3x có bậc cao bé bậc xlnx bị loại Trong 3x có bậc 1/2 < nên bị loại Ta đem hàm xlnx so sánh với x(2 + sin4x): x(2  sin x) ~ 2x (do hàm sinx hàm bị chặn) 2x lim  lim   xlnx có bậc cao x(2 + sin4x) x  x ln x x  ln x Vậy: VCL có bậc cao xlnx  Bài 18: VCL sau có bậc cao x   : 2x, x2, x2 + sin4x, xlnx Giải 18: Tương tự 17 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 8|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố Nhận định 2x x2 ta thấy 2x VCL có bậc cao 2x tiến vô nhanh x2 Xét x  sin x ~ x (do hàm sinx hàm bị chặn) Nên 2x VCL có bậc cao x2 + sin4x Tương tự, ta thấy xlnx tiến vô chậm 2x, vậy: 2x VCL có bậc cao x    Bài 19: Tính giới hạn sau đây: I  lim xe x x x  #CÁCH 1: I  lim  te  1  t    t t   lim t t  e t t  Tiến hành dùng L’Hospital  1  t 1t  I  lim  Do lim 1   e   t  t   t t   t   e    t  #CÁCH 2: en t   t 1t  lim t e  (Do 0.1 = hàm t chạy vô chậm so với hàm et t  e nên –t/et = 0) x x  0  nh Vậy I  lim xe x Vi I  lim  te  1  t    t Zo ne Dạng C om Giải 19: Đặt t = -x, ta giới hạn sau: Bài 20: Tính giới hạn sau đây: x2 Si  x2   I  lim   x  x    Giải 20: Dạng bất định 1 x 4  x   x2      1  I  lim   lim    x  x  x     x 4     8x 8 Vì lim x  x  Bài 21: Tính giới hạn sau đây: I  lim 1  2x 8x x 4 e 8x x  x  lim  e8  sin x x 0 SinhVienZone.com  https://fb.com/sinhvienzonevn 9|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố Giải 21: Dạng bất định 1  I  lim 1  2x   lim 1  2x x 0 x 0  2x 2x Vì lim  lim   x 0 sin x x 0 x Bài 22: Tính giới hạn sau đây: sin x I  lim  ln  e  x   2x     2x sin x e lim 2x x x 0 sin 1 cot x x 0 I  lim  ln  e  x   cot x x 0    x    lim  ln e 1     x 0 e      cot x C om Giải 22: Dạng bất định 1   x   lim 1  ln 1    x 0 e     x ln 1  cot x cot x x 0 e e  nh I  lim  ln  e  x   cot x Vi en Zo ne    e  x lim ln 1  cot x  x  x    ln  x     lim 1  ln 1     e    e  e   e I2 x 0   e       x  cos x Tính I2  limln 1    x 0 e  sin x e   x x Vì x  ln 1   ~ ; cosx ~ 1; sinx ~ x e e  Như vậy: Si Bài 23: Tính giới hạn sau; I  lim 1  tan x  x 0 sin 2x Giải 23: Dạng bất định 1  tan x sin 2x    tan x I  lim 1  tan x   lim     tan x   e I2  x 0 x 0   sin x  2  tan x cos x  lim  sin x  lim  Tính I2  lim 2 2 x 0 sin 2x x 0 4sin x cos x x 0 4sin x cos x Như vậy, I  lim 1  tan x  x 0  sin 2x sin 2x e    Bài 24: Tính giới hạn sau đây: SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 10 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố I  lim  cos x  x x 0 Giải 24: Dạng bất định 1 I  lim  cos x  x 0 x2   I  lim 1  cos x  1 x 0  cos x 1   cos x 1 x2 e lim x 0 cos x 1 x2  e I2 Tính: cos x  x 0 x2 Khi x  0, cosx – ~ -x2/2 x cos x  1 I2  lim  lim 22   x 0 x 0 x x I  lim  cos x  x 0 x2 e  C om I2  lim  Zo x2 en  2x   I  lim   x  2x    Giải 25: Dạng bất định 1 ne Bài 25: Tính giới hạn sau đây: 2x 1  x2   2x      I  lim   lim 1    x  2x  x     2x       4x 2 Vì lim x  2x  Bài 26: Tính giới hạn sau đây: 4x 2x 1  e2  Si nh Vi x  1x  I  lim  e   x  x  Giải 26: Dạng bất định 1 Đặt t = 1/x, ta giới hạn sau t I  lim  e  t   e t t 0 lim ln(et  t)   t 0 t   e I2 Tính I2 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 11 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố 1 1 t   I  lim ln  e t  t    lim ln  e t  t    lim ln e t 1  t   t 0 t t 0 t t 0 t  e   1 t   lim ln e t  ln 1  t t 0 t  e  Như vậy, 1 t  1   t  t   lim 1  t      lim    t 0 t  e  t 0  e  x Si nh Vi en Zo ne C om  1 I  lim  e x    e2  x  x  SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn ... tương đương x 1 I  lim sin  e x 1  1 x 1 sin  e x 1  1  lim x 1 ln (1  x  1) ln x Khi x  1, ta có: sin  ex 1  1 ~ ex 1  ~ x  x 1 SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn... ln (1  cos x  1) ~ cos x  ~  2 ln (1  x ) ~ x Như vậy: x2  I  lim 22    x 0 x Bài 11 : Tính giới hạn sau đây: sin  e x 1  1 I  lim x 1 ln x Giải 11 : Vì limsin  e x 1  1   limln... https://fb .com/ sinhvienzonevn 5|B ÀI TẬP GI ỚI HẠN HÀM S Ố en Zo ne C om ln (1  x  1) ~ x  Vậy, x 1 I  lim 1  x 1 x  Bài 12 : Tính giới hạn sau đây: e x  1  cos x  1  I  lim x 0 sin x  2x Giải 12 : Vì lim