QUÀ TẶNG MÙNG 1 tết CHỦ đề 2 TÍCH PHÂN

CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN Tác giả: Trần Cơng Diêu – Giám đốc: https://trungtamtcd.vn/ Trước đến với chủ đề 2, bạn đọc nên luyện kĩ chủ đề chương thật chương trình phổ thơng việc tính tích phân khơng khác q nhiều so với tính Nguyên Hàm Đừng cố gắng bỏ qua chủ đề cách học mẹo bấm máy tính cầm tay, điều khiến bạn bị gốc khơng thể hiểu làm gì, khó học tiếp phần tiếp theo, chưa kể lên ĐH sau Cơ sở lý thuyết a Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn: - Liên tục đoạn  a; b  - F ( x ) nguyên hàm f ( x ) đoạn  a; b  Lúc hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân từ a đến b kí hiệu b  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Chú ý: - a, b gọi cận tích phân - a = b b  a f ( x ) dx =  f ( x ) dx = a a  - Tích phân hàm số lẻ  f ( x ) dx = − - Tích phân hàm số chẵn với hàm f ( x ) lẻ  − ;       −  f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx với hàm f ( x ) chẵn  − ;     - Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số tức b b a a  f ( x ) dx =  f ( t ) dt = F ( b ) − F ( a ) b Tính chất tích phân: - b c a a b  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx với a  c  b c b b a a -  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k số b b b a a a -   f ( x )  g ( x )  dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx Như rõ ràng ta thấy với định nghĩa để tính tích phân từ a đến b , ta tiến hành b tìm ngun hàm sau thay cận vào theo công thức  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Các dạng toán Trong dạng toán tơi ln giải ví dụ phương pháp tự luận để học sinh hiểu rõ chất tính tốn, điều tốt cho người học lên đại học bạn sinh viên đa số điều phải học mơn tốn cao cấp Dạng Tính Tích Phân Khơng Đổi Biến Số Ví dụ Tích phân dx  x+3 A 16 225 C ln B log Hướng dẫn giải Ta có: dx D 15  x + = ln x + = ln + − ln + = ln Chọn C Ví dụ Tính I =  e3 x dx B I = e − A I = e3 − C e3 − D I = e3 + x = e3 − 1 = Hướng dẫn giải Ta có I =  e3 x dx = e3 x Chọn C x=0 3 1  Ví dụ Tính   − e x +1 dx  1 x A ln − e3 + e B ln − e3 + e C ln − e3 + e D ln − e3 + e 1  Hướng dẫn giải Ta có   − e x +1  dx = ln x − e x +1 = ln − e3 + e Chọn C  1 x   Ví dụ Tính:   2x + dx x  1 1031 1032 A B 3 C 1033 D 1034 8   1031 Hướng dẫn giải Ta có   x + Chọn A = x + 33 x =  3 x  1 ( x − 1) dx Ví dụ Tính  : 4x − 4x + A B ln C 14 ( x − 1) dx ln x − = ln Chọn B  2x − = 2 ) ( 2 Hướng dẫn giải Ta có D Dạng Phương Pháp Đổi Biến Số Cơ sở tính tích phân phương pháp đổi biến: Định lí Giả sử hàm số x = g ( t ) có đạo hàm liên tục đoạn  ;   cho g ( ) = a, g (  ) = b a  g ( t )  b, t   ;   Khi đó: b   f ( x ) dx =  f ( g ( t ) ) g ' ( t ) dx  a Định lí Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  cho   u ( x )   , x   a; b  Nếu f ( x ) = g ( u ( x ) ) u ' ( x ) , x   a; b  g ( u ) liên tục đoạn  ;   b  f ( x ) dx = a u(b)  g ( u ) du u(a) Ví dụ Cho I =  x + x dx u = x + Mệnh đề sai? A I = 2 x ( x − 1) dx 1 B I =  u ( u − 1) du 3 1u u  C I =  −  2 1 D I = 13 2 u ( u − 1) du 1 Hướng dẫn giải I =  x + xdx Đặt u = x +  x = ( ( u − 1)  dx = u du , đổi cận: ) x =  u = , x =  u = Khi I =  u − u du Chọn B 1 Ví dụ Khi đổi biến x = tan t , tích phân I =  A I = B I = 3 18 dx bao nhiêu? x +3 C I = D I = Hướng dẫn giải Đặt x = tan t  dx = (1 + tan t ) dt   dx Khi x = t = ; Khi x = t = Ta có I =  = x +3    (1 + tan t ) (1 + tan t ) dt = 3 dt = Chọn B 18 Ví dụ Cho 4+2 x x +1 dx = a + b ln + c ln với a , b , c số nguyên Giá trị a + b + c A B C D Hướng dẫn giải Đặt t = x +  t = x +  x = t −  dx = 2tdt 2 Đổi cận: x =  t = ; x =  t = Khi đó: 2  t3  t2 −1 t −t   2 t d t = d t = t − t + − d t =  − t + 3t − 6ln t +  = − 12ln + 6ln   + 2t  t+2   t +2 1 3 1 a =  Suy b = −12  a + b + c = Chọn A c =  e x Ví dụ Với cách đổi biến u = + 3ln x tích phân A 22 ( u − 1) du 1 22 ( u − 1) du 1 B ln x + 3ln x dx ? C 2 ( u − 1) du D 2 u2 −1 du 1 u Lời giải Hướng dẫn giải u = + 3ln x  u = + 3ln x  ln x = u2 −1 dx 2u  = du x 3 u2 −1 2u ln x 22 du =  ( u − 1) du Chọn B dx =  Khi  u 91 1 x + 3ln x e Ví dụ Kết  A 2x + dx B C D Hướng dẫn giải Đặt t = x +  t = x +  2tdt = 2dx  tdt = dx Đổi cận: x =  t = , x =  t = Khi đó, ta có  2x + tdt 3 =  dt = t = t dx =  ln x  x dx là: Ví dụ Tích phân A B Hướng dẫn giải Ta thấy ln 5ln C D dx = d ( ln x ) nên ta đặt t = ln x x 2 ln x ln x ln Chọn B dx = ln xd ln x = = ( )  x  4 1 2 Ví dụ Tích phân  − x dx là: A 2 − B 2 − 2 − C D 2 −  −   Hướng dẫn giải Ta đặt x = 2sin t; t   ;  Ta có dx = 2cos tdt  2  Khi x =  t =  ; x =2t =  2 Khi ta có  − x dx =  − 4sin t 2cos tdt     6 2 sin 2t  2  =  4cos tdt =  (1 + cos 2t ) dt =  x + − Chọn B  =     Dạng Tích Phân Hàm Lượng Giác  Ví dụ Tích phân I =   dx bằng? sin x A cot  C − cot − cot   + cot  B cot  + cot D − cot Hướng dẫn giải Ta có I =   4 − cot      dx = − cot x sin x  = − cot  + cot  Chọn C  Ví dụ Tính tích phân  cos 2xdx A  B C Hướng dẫn giải Ta sử dụng công thức hạ bậc   2  D 5 D  + cos x sin x    cos x  1 cos xdx = dx =     +  dx =  x +  = Chọn A 0 0  Ví dụ Tính tích phân I =  cos x sin xdx −1 A B C Hướng dẫn giải Đặt t = cos x  dt = − sin xdx Đổi cận x =  t = 1, x =  2  I =  cos x(1 − cos x)sin xdx = −  t (1 − t ) dt = 1  (t − t )dt = 2  t = 2 −1 Vậy I = Chọn A 15  Ví dụ Tính tích phân I =  ln A dx ( cos x + sin x + 1) B C x 1 x  2dt Hướng dẫn giải Đặt t = tan  dt =  tan + 1 dx  dx = Đổi cận 2  t +1  x =  t = 0, x =  t = 1 dt dt ln ln I = = = Vậy I = Chọn D 2 2t 1+ t 2 1− t 2t + + + 1+ t2 1+ t2  12 Ví dụ Tính tích phân I =  cos x sin xdx A  + 192 128 384 C − B D  + 192 128 128 − D ln   12 Hướng dẫn giải I =  cos x sin xdx =  cos x sin 2 xdx 40 12 =   12 12 1 (1 − cos x) dx +  cos x sin 2 xdx 16 0 80   12 12  = (1 − cos x) dx + sin xd (sin x) = − +   16 16 192 128 384 Vậy I =  Chọn A + 192 128 384 − Dạng Tích Phân Từng Phần  Ví dụ Tính I =  x cos xdx  B I = C I = −1 Hướng dẫn giải Đặt u = x  du = dx dv = cos xdx  v = s inx A I = D I =    2  I =  x cos xdx = x sin x 02 −  sin xdx =  Ví dụ Tính   ln ( sin x ) cos x − Chọn B dx A ln  + ln − 12 B C D cos x  u = ln ( sin x )  du = sin x dx Hướng dẫn giải Đặt  Áp dụng công thức nguyên hàm dv = dx  v = tan x  cos x  phần ta có:   ln ( sin x ) cos x   dx = tan x.ln ( sin x ) 4 −  tan x 6  cos x dx sin x  = tan x.ln ( sin x ) − x 4 = ln  + ln − Chọn A 12 Ví dụ Biết  x ln ( x + ) dx = a ln + b ln + c , a , b , c số nguyên Giá trị biểu thức T = a + b + c A T = 10 B T = D T = 11 C T = 2x  du = dx  u = ln ( x + ) x + 9) (   Hướng dẫn giải Đặt  dv = xdx x2 +  v =  2 4 x2 + x + 2x Suy  x ln ( x + ) dx = ln ( x + ) −  dx = 25ln − 9ln − 2 x2 + 0 Do a = 25 , b = −9 , c = −8 nên T = Chọn C  Ví dụ Tích phân I = x.e2 x dx A I = 3e4 − B I = e4 C I = u = x Hướng dẫn giải Đặt  2x dv = e dx D I = 3e4 + 2 1 2x 1 3e + Chọn D x.e −  e2 x dx = x.e2 x − e2 x = e4 − e4 + = 4 4 20 0 I= − 3e4 2 Ví dụ Tính A ln x dx x  (1 − ln ) B −6 Hướng dẫn giải Đặt u = ln x  du = D C dx x 2 2 ln x 1 1 1 1 dv = dx  v = −   dx = − ln x +  dx = − ln x − = − ln − + x x 2 x x x x x1 1 1 = 1 − ln Chọn A 2 Dạng Tích Phân Liên Kết  xdx sin x + Ví dụ ( Dạng liên kết  ) Tính tích phân I =  A 8 B C D  Hướng dẫn giải Rõ ràng ta bấm máy tính kết quả, tơi muốn giới thiệu lời giải tự luận cho bạn đọc tham khảo Đặt x =  − t  dx = − dt Đổi cận ( − t ) dt  2 dt  2tdt  2 dt x =  t =  , x =   t = Lúc I = −2 = − = − 2I  sin t + sin t + sin t + sin t + t  −      2 d  3I dt dt   = 2 tan  t −   = 4  = = =    2 t   2 2 0 t t sin t + 0 cos −    cos + sin  2 4 2  8 Vậy I = Chọn A  Ví dụ ( Dạng liên kết A   sin 2018 x dx 2018 x + cos 2018 x sin ) Tính tích phân I =  B Hướng dẫn giải Đặt x =  C − t  dx = −dt Đổi cận x =  t = D  , x=   t =    sin 2018  − t  cos 2018 ( t )   Lúc I =  dt =  dt = J         0 sin 2018  − t  + cos 2018  − t  sin 2018  − t  + cos 2018  − t  2  2  2  2    Mà dễ thấy I + J =  dt =  I =J =   Chọn A  sin x cos n x  dx = dx = , n  Z  n n n n sin x + cos x sin x + cos x n Tổng quát   Ví dụ Biết I =  sin x dx = a a −1 ln + , ( a, b, c  N ) Giá trị a + b + c là: b c sin x + cos x A 17 B 20 C 15 Hướng dẫn giải Để tính trực tiếp I khó khăn nên ta kết hợp với D 23  J= cos x sin x + cos x dx để tính dễ Đầu tiên  I − 3J =   sin x − 3cos x sin x + cos x ) (  dx = 16 0 dx  tới đặt t = x +  sin  x +  3     Đổi cận ta x =  t = , x =  t = )  = − (1) Mà  I+J = ( dx =  sin x − cos x dx = − cos x − sin x sin x + cos x     dt = dx  sin tdt d (cost) cost − ln =−  = ln = Vì I + J =  ( 2) 2  sin t  − cos t cost +  3 ln  3 −1 I + J = Cuối từ (1) , ( )    I = ln +  a + b + c = 23 16  I − 3J = −  Chọn D  Ví dụ ( Dạng liên kết  ) Biết I =  ln (1 + tan x ) dx = a ln 2, ( a, b  N ) Giá trị a + b là: b A 17 B 20 C 15 D    Hướng dẫn giải Đặt x = − t  dx = −dt Đổi cận x =  t = , x =  t = Lúc : 4      − tan t    I = −  ln 1 + tan  − t   dt = −  ln 1 + dt = ln    dt     + tan t   + tan t     0 4   4 0 =  ln 2dt −  ln (1 + tan t ) dt =  ln −I I =  ln Chọn D  Ví dụ Biết I = cos x  2018x + dx −     Hướng dẫn giải Đặt x = −t  dx = − dt Đổi cận x = −  t = , x =  t = − Lúc này: 4 4 A −  I =−  B (1 + 2018 ) − cost dt = x + 2018 x  C  D  1   − cost dt = cost dt − I  I = cost dt =     2018x +     − − − 4 4 Chọn D Tổng quát Với a  0,   , hàm số f ( x ) chẵn liên tục đoạn  − ;     f ( x) dx =  x  f ( x ) dx − a + 10 Câu Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) Khi hiệu số F ( ) − F (1) 1 A  f ( x ) dx B  − F ( x ) dx C  F ( x ) dx 0 D  − f ( x ) dx 0 Câu Giá trị  dx A B C D Câu Tích phân  e − x dx A e − B −1 e C e −1 e D e C −2 D  Câu 10 Tính tích phân  sin 3xdx A −1 B Câu 11 Tích phân I =  e2 x dx e2 − 1 D e + 2 Câu 12 Cho hai số thực a, b tùy ý, F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) tập B e − A e − C Mệnh đề đúng? b A  b f ( x ) dx = f ( b ) − f ( a ) B a b C   f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a b f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) D  f ( x ) dx = F ( b ) + F ( a ) a a Câu 13 Tích phân  3x −1 dx A ln B 2ln C D     Câu 14 Tính tích phân I =  sin  − + x  dx   A I =  B I = −1 C I = D I = C e + e D e − e Câu 15 Tích phân I =  e x +1dx A e − B e − e 13 dx x+2 Câu 16 Tính tích phân I =  A I = 4581 5000 B I = log Câu 17 Tích phân x  x + dx C I = ln D I = −21 100 A log B ln ln C D ln Câu 18 Cho I =  x + xdx u = x + Mệnh đề sai? A I = 2 x ( x − 1) dx 1 B I =  u ( u − 1) du 3  u5 u3  C I =  −  2 1 D I = 13 2 u ( u − 1) du 1 x2 + x + b  x + dx = a + ln với a, b số nguyên Tính S = a − 2b Câu 19 Biết A S = −2 C S = B S = D S = 10   ( x − − sin x ) dx Câu 20 Kết tích phân  1 viết dạng   −  −  a b a, b  Khẳng định sau sai? A a + 2b = C 2a − 3b = D a − b = B a + b =  ( x − 1)( x − ) dx = ln a Câu 21 Tìm giá trị a để A 12 B C D Câu 22 Biết  x ln ( x + ) dx = a ln + b ln + c , a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức T = a + b + c A T = 10 B T = C T = Câu 23 Khi đổi biến x = tan t , tích phân I =    3 A I =  3dt 14 B I =  dx trở thành tích phân nào? x +3  dt D T = 11 C I =  3tdt  D I =  dt t Câu 24 Biết ln x b b dx = + a ln (với a số thực, b, c số nguyên dương phân c c x  số tối giản) Tính giá trị 2a + 3b + c B −6 A 4+2 Câu 25 Cho x x +1 C dx = D a + b ln + c ln với a, b, c số nguyên Giá trị a + b + c A B C D Câu 26 Tìm khẳng định khẳng định sau 1 0 1 0 B  cos (1 − x ) dx = −  cos xdx A  sin (1 − x ) dx =  sin xdx     2 x D  sin dx =  sin xdx 0 x C  cos dx =  cos xdx 0  Câu 27 Tính tích phân I =  tan xdx A I = −  C I = ln B I = D I =  12 Câu 28 Tính I =  xe x dx C I = 3e − 2e D I = e B I = −e A I = e a  ( x + 5) dx = a − Câu 29 Có giá trị thực AD để có A B Câu 30 Kết  A 2x + D Vô số C D dx B x Câu 31 Tập hợp nghiệm bất phương trình B ( −;0 ) A ( −; + ) C  t dt  (ẩn x ) là: t2 +1 C ( −; + ) \ 0 D ( 0; + ) Câu 32 Đặt I =  ( 2mx + 1) dx ( m tham số thực) Tìm m để I = 15 B m = −2 A m = −1 D m = C m = Câu 33 Tính tích phân I =  ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? B 10ln + A 10 ln 19 C 19 19 − 10ln D 10ln − 4 k Câu 34 Tìm tất giá trị thực tham số k để có  ( x − 1) dx = 4lim x →0 e Câu 35 Biết  ln x dx = a e + b với a, b  Tính P = a.b x A P = C P = −4 B P = −8 Câu 36 Biết I =   k = −1 D  k =2  k = −1 C   k = −2  k =1 B   k = −2 k =1 A  k = x +1 −1 x dx ( x + 1) x + x x +1 D P = = a − b − c với a , b , c số nguyên dương Tính P = a + b + c A P = 24 D P = 46 C P = 18 B P = 12 b Câu 37 Có số thực b thuộc khoảng ( ;3 ) cho  4cos xdx = ?  A B e Câu 38 Biết  ( x + 1) ln x + + x ln x a b A C D  e +1 dx = a.e + b ln   a, b số nguyên Khi tỉ số  e  B C Câu 39 Biết  ln ( x3 − 3x + ) dx = a ln + b ln + c , với a, b, c  D Tính S = a.b + c C S = 12 B S = −23 A S = 60 Câu 40 Cho số thực a, b khác không Xét hàm số f ( x ) = Biết f ' ( ) = −22  f ( x ) dx = Tính a + b 16 ? D S = −2 a ( x + 1) + bxe x với x  −1 A 19 B Câu 41 Biết C D 10  x2 + 3x dx = a ln + b ln ( a, b  Z ) Mệnh đề sau đúng? A a + 2b = C a − b = B 2a − b = t ( D a + b = ) Câu 42 Tìm giá trị lớn M hàm số f ( t ) =  cos x + 2sin x dx khoảng ( 0; + ) A M = 3 B M =  Câu 43 Biết  ( + 4sin x ) dx = C M = D M = a c a − , a, b nguyên dương tối giản Tính b b a +b + c A B 16 C 12 Câu 44 Cho biết tích phân I =  ( x + ) ln ( x + 1) dx = a ln + D 14 −7 a, b số nguyên b dương Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A a = b B a  b  Câu 45 Biết m số thực thỏa mãn  x ( cos x + 2m ) dx = 2 + đúng? A m   ( x + 1) e x dx = ae4 + b A T =  − Mệnh đề sau C  m  B  m  Câu 46 Biết tích phân D a = b + C a  b 2x + B T = D m  Tính T = a − b C T = D T = Câu 47 Với số nguyên dương n ta kí hiệu I n =  x (1 − x ) dx Tính lim A B C n n →+ I n +1 In D m  10  Câu 48 Tìm tất giá trị dương m để  x ( − x ) dx = − f    , với f ( x ) = ln x15 9 A m = 20 B m = C m = D m = 17  x + ( x + cos x ) cos x + − sin x Câu 49 Cho tích phân I =  x + cos x dx = a + b − ln số hữu tỉ Tính giá trị biểu thức P = ac + b A P = B P = C P = Câu 50 Cho  (x + x ) ex x + e− x  với a, b, c D P = dx = ae + b ln ( e + c ) với a, b, c  Tính P = a + 2b − c B P = −1 A P = c D P = −2 C P = BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.C 21.B 31.C 41.D 2.C 12.B 22.C 32.C 42.B 3.C 13.A 23.B 33.D 43.D 4.C 14.C 24.A 34.D 44.A 5.B 15.B 25.A 35.B 45.D 6.A 16.C 26.A 36.D 46.B 7.D 17.C 27.A 37.C 47.A 8.A 18.B 28.A 38.B 48.D 9.C 19.C 29.A 39.B 49.D 10.D 20.B 30.C 40.D 50.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Ta có: dx  x + = ln x + = ln − ln = ln Chọn C  Câu Ta có I =    dx     = − cot x ( )  = − cot   + cot   Chọn C sin x 3 4 4  ( x − 1) dx = ( x b Câu Ta có: − x ) = b2 − b − ( a − a ) b a a b Mà  ( x − 1) dx =  b − b − a + a =  b − a = b − a + Chọn C a e3 − Câu Ta có I =  e dx = e3 x = Chọn C 3 0 1 3x Câu Dựa vào tính chất tích phân, A, C, D nên B sai Chọn B b Câu Theo định nghĩa ta có:  f ( t ) dt = F ( t ) a = F ( b ) − F ( a ) Suy phương án A sai b a Chọn A Câu Ta có:  − f ( x ) dx = − F ( x ) 18 = −  F (1) − F ( )  = F ( ) − F (1) Chọn D Câu  dx = x = Chọn A   e −1 Câu Ta có:  e− x dx = −e− x = −  − 1 = Chọn C e e   −1  Câu 10 Ta có  sin 3xdx = − cos3x = ( −1 − 1) = Chọn D 3 1 e2 − Câu 11 Ta có: I =  e2 x dx = e2 x = Chọn C 2 0 b  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) Chọn B Câu 12 Theo định nghĩa, ta có a 2 1 Câu 13 Ta có  3x −1 dx =  3x −1 d ( x − 1) =  3x −1 Chọn A = ln ln      2  − Câu 14 I =  sin  − + x  dx = cos  − x  = cos    4 0      − cos   = Chọn C  4 Câu 15 Ta có I =  e x +1dx = e x+1 = e − e Chọn B Câu 16 Ta có: I =  dx = ln x + = ln Chọn C x+2 2 x d ( x + 3) 1 dx =  = ln x + = ln Chọn C Câu 17 Ta có:  2 x +3 2 x +3 Câu 18 I =  x + xdx Đặt u = x +  x = Khi I = (u − 1)  dx = udu , đổi cận: x =  u = 1, x =  u = 13 (u − 1) u du Chọn B 1 5 x2 + x + 1  25  1  Câu 19 Ta có  dx =   x + + ln − − ln = + ln  dx =  x + ln x +  = x +1 x +1 2 2 3 3 Vậy, a = 8, b = Suy S = a − 2b = − 2.3 = Chọn C   2   1 −1 =   −  −1  2 Vậy a = 4, b = Suy a + b = Vậy B sai Chọn B  ( x − − sin x ) dx = ( x Câu 20 − x + cos x ) = − 19   dx =  ( x − 1)( x − )   x − − x −  dx 3 Câu 21 x−2 = ln x −1 4 2  = ln − ln = ln   = ln = ln a  a = Chọn B 3 3  2x  du = dx  u = ln ( x + ) x + 9) (   Câu 22 Đặt  dv = xdx x2 +  v =  2 Suy  x ln ( x + ) dx = 4 x2 + x + 2x ln ( x + ) −  dx = 25ln − 9ln − 2 x + 0 Do a = 25 , b = −9 , c = −8 nên T = Chọn C Câu 23 Đặt x = tan t  dx = (1 + tan t ) dt   dx Khi x = t = ; Khi x = t = Ta có I =  = x +3  (1 + tan t ) (1 + tan t )  dt =  dt Chọn B Câu 24 Đặt u = ln x  du = dx x 1 dv = dx  v = − x x 2 2 ln x 1 1 1 b 1 d x = − ln x +  x2 dx = − x ln x − x = − ln − + = − ln = c + a ln x x 1 1   1  a = − , b = , c =  2a + 3b + c = 2. −  + 3.1 + = Chọn A  2 Câu 25 Đặt t = x +  t = x +  x = t −  dx = 2tdt Đổi cận: x =  t = ; x =  t = Khi đó: 2  t3  t2 −1 t −t    + 2t 2tdt =  t + dt =   t − 2t + − t +  dt =  − t + 3t − 6ln t +  = − 12ln + 6ln 1  1 a =  Suy b = −12  a + b + c = Chọn A c =  Câu 26 Xét tích phân  sin (1 − x ) dx Đặt − x = t  dx = −dt 20 1 1 0 Khi x =  t = ; Khi x =  t = Do  sin (1 − x ) dx =  sin t ( −dt ) =  sin tdt =  sin xdx Chọn A     4 − cos x sin x   = = −  dx d d x x Câu 27 Ta có: I =  tan xdx =     2 cos x   cos x 0 cos x 4   = ( tan x − x ) 04 = − Chọn A  du = dx  u=x Câu 28 Đặt   x x  dv = e dx  v = e 2 Khi I = x e x −  e x dx = 2e2 − e − e x = 2e − e + e + e = e Chọn A 1 a Câu 29 Ta có  ( x + 5) dx = a −  ( x + 5x ) = a − ( H ) y = x − a 0 Chọn A Câu 30 Đặt t = x +  t = x +  2tdt = 2dx  tdt = dx Đổi cận: x =  t = 1, x =  t = Khi đó, ta có  x Câu 31 Ta có  t t2 +1 dt   2x + tdt 3 =  dt = t = Chọn C t 1 dx =  x 1 2 d t +   t +   x2 + −  ( ) 0 t + x  x +   x   x  Chọn C Câu 32 Ta có I =  ( 2mx + 1) dx = ( mx + x ) = ( 4m + ) − ( m + 1) = 3m + I =  3m + =  m = Chọn C  du = dx  u = ln ( x − 3)  x−3 Câu 33 Đặt   dv = x + v = x + x  2 5 5 2x +x 1  I =  x + x  ln ( x − 3) −  dx = 35 ln − x − + dx − x − + 3dx  x −3 4 x−3 2  2 4 x − = 19 35 19  ln −  + + 9ln  − (1 + 3ln ) = 10ln − Chọn D 2  21 ( x − 1) 1k Câu 34 Ta có:  ( x − 1) dx =  ( x − 1) d ( x − 1) = 21 k x +1 −1 = 4lim x →0 x Mà 4lim x →0 ( )( x +1 −1 x ( ) = 4lim x +1 +1 ) x +1 +1 x →0 k = ( 2k − 1) 1 x +1 +1 − =2 ( 2k − 1) − =  2k − =   k = x +1 −1 Khi đó:  ( x − 1) dx = 4lim  ( )  k = −1 x →0 x  k Chọn D dx   u = ln x   du = x Câu 35 Đặt  dx    dv = x dv = x   e Suy  ln x x e e dx = x ln x − 2 1 e a = −2 = x ln x − x = −2 e +   x  b=4 dx Vậy P = ab = −8 Chọn B x + − x  , x  1;  nên: Câu 36 Ta có: I = = dx ( x + 1) x + x x +1 ( x ( x + 1) ( dx = x ( x + 1) ) x )( ( x +1 + x x + − x dx x +1 + x +1 − x   =  −  dx = x − x + x x +1  1 ( ) ) = ( ) ) x + − x dx x ( x + 1) = − − = 32 − 12 −  a = 32  Mà I = a − b − c nên b = 12 Suy ra: P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 Chọn D c =     b = 12 + k Câu 37 Ta có:  4cos xdx =  2sin x  =  sin 2b =    b = 5 + k  12 Do đó, có số thực b thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C b e Câu 38 Ta có:  22 b ( x + 1) ln x + + x ln x e e d (1 + x ln x ) + x ln x + + ln x dx =  dx +  + x ln x 1 1 + x ln x e dx =  = x + ln (1 + x ln x ) = e − + ln (1 + e ) = e + ln e a e +1 Suy a = b = Vậy = Chọn B b e Câu 39 Ta có  ln ( x3 − 3x + ) dx = x.ln ( x3 − 3x + ) −  xd ln ( x − 3x + ) 3 2 x ( x − 3) = 3ln 20 − 4ln −  2 ( x − 1) ( x + ) dx = 3ln 20 − 4ln −  3x ( x + 1) ( x − 1)( x + ) dx = 3ln + 2ln −  ( x − 1)( x + ) + ( x − 1)( x + ) 3 3   = 3ln + 2ln − ( 3x ) − 2  −  dx = 3ln + 2ln − − 2ln x − + 2ln x + 2 = 5ln − 4ln − x+2  x −1 Suy a = 5; b = −4; c = −3 Do S = ab + c = 23 Chọn B −3a Câu 40 Ta có f ' ( x ) =  ( x + 1) + be x + bxe x nên f ' ( ) = −3a + b = −22 (1) 1  dx x + bxe dx = a + b xe x dx = aI + bJ    3  0 ( x + 1)  ( x + 1) 1 a  f ( x ) dx =   1 Tính I =  dx ( x + 1) =− ( x + 1) =  du = dx  u=x Tính J =  xe x dx Đặt   x x  dv = e dx  v = e Khi J = ( xe x ) −  e x dx = e − e x = Suy 1 0 a+b =5 ( 2) −3a + b = −22 a =  Từ (1) ( ) ta có  3a Vậy a + b = 10 Chọn D  b =  + b = 5  1 d x =  x + 3x   x − x +  dx = ( ln x − ln x + ) = ln − ln  a = b = −1 1 Câu 41 Ta có: a + b = Chọn D t ( ) Câu 42 Ta có: f ( t ) =  cos x + 2sin x dx = ( sin x − cos x ) t     f ( t ) =  sin 2t − cos 2t  + = 2sin  2t −  +  6    Dấu xảy t =      ( + 4sin x ) dx =  3 + (1 − cos x ) dx =  ( − 2cos x ) dx Câu 43 Ta có: Vậy giá trị lớn M hàm số Chọn B 6 0 23 dx = 5 3 Suy a = 5, b = 6, c = Vậy a + b + c = 14 Chọn D − 6    u = ln ( x + 1) du = x + dx Câu 44 Đặt   dv = ( x + ) dx  v = x + x    x   1 x2 + 4x 1  I =  + x  ln ( x + 1)  −  dx = ln −   x + −  dx 2 x + 2 x +1 0   0   x2 = ln −  + 3x − 3ln ( x + 1)  = 4ln − Suy a = 4, b = Vậy a = b 2 0 Chọn A    2 0  x ( cos x + 2m ) dx =  x.cos xdx +  2mxdx Câu 45 =I+J    du = dx  u=x +) I =  x cos xdx Đặt    dv = cos xdx v = sin x    Khi I = x.sin x 02 −  sin xdx = x sin x + cos x 02 =  +) J =  2mxdx = mx  = 2  Suy  x ( cos x + 2m ) dx = Theo giả thiết ta có Câu 46 Ta có I =  ex Xét I1 =  2x + 2 m+ x +1 2x + −1 m 2   m+  −1 − = 2 + e x dx =  −  m = Chọn D  2x + x 14 ex x e dx = x + e dx + dx      2x + 20 2x +  dx  du = e x dx u = e    2 x + ( ) dx  Đặt  Do v = dx = = 2x + dv =    2 x + 2x +    x 4 I1 = e x x + −  e x x + 1dx 24 Suy I = 3e4 − −1 Khi a = , b =  T = − = Chọn B 2 4 Câu 47 Cách Tự luận: Xét I n =  x (1 − x ) n In = − x (1 − x ) n +1 + n +1 du = dx u = x  n +1 dx Đặt   − − x2 n dv = x (1 − x ) dx v = ( n + 1)  ( ) 1 n +1 1 n +1 − x d x = − x ) dx ( ) (   ( n + 1) ( n + 1) 0  I n +1 = n +1 1 − x )(1 − x ) dx (  ( n + 2)  I n +1 = n +1 1  n +1 − x d x − x (1 − x ) dx  )  (  ( n + 2)  0   I n +1 = I I 2n +  lim n +1 = Chọn A  ( n + 1) I n − I n +1   n +1 = n →+ In 2n + In ( n + 2) Cách Trắc nghiệm: Ta thấy  (1 − x )  với x   0;1 , nên I n +1 =  x (1 − x ) n +1 dx =  x (1 − x ) (1 − x ) dx   x (1 − x ) dx = I n , suy n n I I n +1  , nên lim n +1  Dựa vào đáp án, ta chọn A Chọn A In In Câu 48 + Từ f ( x ) = ln x15  f  ( x ) = 15 x14 15 −15  10  −243 =  f  ( x ) = f    = 15 x 20 x x 9 + Tính tích phân I =  x ( − x ) dx : m • Đặt t = − x  x = − t , dx = −dt , x t 3 25 • Do I =  ( − t ) t m ( −dt ) =  ( 3t − t m m +1 m+ m +1 m+ ) dt = 3mt + − mt + = ( m + 13)( m + 2) 3m + 243 3m + 35 m  10  + Ta có  x ( − x ) dx = − f     =  = 9 ( m + 1)( m + ) 20 ( m + 1)( m + ) 4.5 Thay giá trị m đáp án, nhận giá trị m = Chọn D Chú ý: - Việc giải phương trình 3m 33 không cần thiết nên chọn phương pháp = ( m + 1)( m + ) 4.5 đáp để làm trắc nghiệm - Để giải phương trình 3m 3m 33 33 ta xét hàm f ( m ) = = − ( m + 1)( m + ) 4.5 ( m + 1)( m + ) 4.5 với m  chứng minh phương trình có nghiệm m =  Câu 49 Ta có I =  x + ( x + cos x ) cos x + − sin x x + cos x  = ( x + cos x ) + − sin x x + cos x    x2  2 − sin x   2  =   x + cos x + dx = + sin x + ln x + cos x = + + ln = + − ln    x + cos x  8  0  0  a = , b = 1, c = P = ac + b = Chọn D Câu 50 Ta có: I =  (x + x ) ex x + e− x = ( x + 1) e x xe x xe x + dx Đặt t = xe x +  dt = (1 + x ) e x dx Đổi cận: x =  t = 1; x =  t = e + Khi đó: I = e +1  e +1 e +1 t −1  1 dt =  1 −  dt = ( t − ln t ) = e − ln ( e + 1) t t  Suy ra: a = 1; b = −1; c = Vậy: P = a + 2b − c = −2 Chọn D 26 Tìm đọc sách tác giả Trần Cơng Diêu: https://trungtamtcd.vn/giai-ma-mon-toan 27 ... sin 2 xdx 40 12 =   12 12 1 (1 − cos x) dx +  cos x sin 2 xdx 16 0 80   12 12  = (1 − cos x) dx + sin xd (sin x) = − +   16 16 19 2 12 8 384 Vậy I =  Chọn A + 19 2 12 8 384 − Dạng Tích Phân. .. = 1 dt dt ln ln I = = = Vậy I = Chọn D 2 2t 1+ t 2 1? ?? t 2t + + + 1+ t2 1+ t2  12 Ví dụ Tính tích phân I =  cos x sin xdx A  + 19 2 12 8 384 C − B D  + 19 2 12 8 12 8 − D ln   12 ... a + 2b − c B P = ? ?1 A P = c D P = ? ?2 C P = BẢNG ĐÁP ÁN 1. C 11 .C 21 . B 31. C 41. D 2. C 12 .B 22 .C 32. C 42. B 3.C 13 .A 23 .B 33.D 43.D 4.C 14 .C 24 .A 34.D 44.A 5.B 15 .B 25 .A 35.B 45.D 6.A 16 .C 26 .A