HSG huyện thọ xuân 2014 2015 mã 03

PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn thi: Tốn Lớp ĐỀ MÃ SỐ 03 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015   10 − x2   x A = + + ÷:  x − + x + ÷  x − 2− x x + 2   Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết | x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c −a a+c −b a+b−c Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 ĐỀ MÃ SỐ 03 HƯỚNG DẪN CHẤM 3 3 (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z  Bài 1: (2 điểm) a) ( 2 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) y − yz + z ( ) ) = ( y + z ) 3x + 3xy + 3yz + 3zx = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )  = ( x + y) ( y + z) ( z + x ) (1 điểm) b)x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = (x4 - x) + (2015x2+2015x+2015) = x(x3- 1) + 2015 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2015 (x2+x+1) = (x2+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x2+x+1) (x2 –x + 2015) (1 điểm)   10 − x2   x + + Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức: A =  ÷:  x − + x + ÷  x − 2− x x + 2   a) Rút gọn kết qủa: A = b) x = −1 x− 1 −1 ⇒ x = x = 2 ⇒ A= A= c) A < ⇔ x - >0 ⇔ x >2 d) A ∈ Z ⇔ (0,75 điểm) (0,25 điểm) (0,75 điểm) (0,25 điểm) −1 ∈ Z ⇔ x-2 ∈ Ư(-1) ⇔ x-2 ∈ { -1; 1} ⇔ x ∈ {1; 3} (0,5 điểm) x−2 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; điểm) ĐKXĐ : x ≠ − 4; x ≠ − 5; x ≠ − 6; x ≠ − Phương trình trở thành : (0,25 điểm) 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (0,25 điểm) (0,25 (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; (0,25 điểm) b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 Từ suy a= ta A= (0,25 điểm) y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 2 (0,25 điểm) y+z x+z x+ y 1 y x x z y z  + + = ( + ) + ( + ) + ( + )  2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ (0,25 điểm) (0,25 điểm) Bài 4: (3,5 điểm) a)Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) ⇒ BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g ) ⇒ BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành CH CB = ⇒ CH CD = CK CB CK CD c)Chứng minh : ∆ AFD ∽ ∆ AKC(g-g) ⇒ (0,25 điểm) (1 điểm) (0,25 điểm) AF AD = ⇒ AD AK = AF AC AK AC (0,25 điểm) Chứng minh : ∆ CFD ∽ ∆ AHC(g-g) ⇒ Mà : CD = AB ⇒ (0,5 điểm) (0,25 điểm) b) Chứng minh: ∠ ABC= ∠ ADC ⇒ ∠ HBC= ∠ KDC ⇒ ∆ CHB ∽ ∆ CKD(g-g) ⇒ (0,25 điểm) CF CD = AH AC (0,25 điểm) CF AB = ⇒ AB AH = CF AC AH AC (0,25 điểm) Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC (0,25 điểm) H C B F O A E D K Thay vào ... điểm) b)x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = (x4 - x) + (2015x2+2015x +2015) = x(x3- 1) + 2015 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2015 (x2+x+1) = (x2+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x2+x+1) (x2 –x + 2015) (1 điểm)