Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình cộng thành trung bình bậc k > 1 tùy ý

Bài viết nghiên cứu về bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình cộng thành trung bình cộng, trung bình bậc hai và trung bình bậc k > 1 tùy ý và một số dạng toán liên quan.

ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 204(11): 137 - 141 BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CHUYỂN TIẾP TỪ TRUNG BÌNH CỘNG THÀNH TRUNG BÌNH BẬC k > TÙY Ý Phạm Thị Linh*, Nguyễn Thị Thu Hằng Trường Đại học Kinh tế Quản trị Kinh doanh – ĐH Thái Ngun TĨM TẮT Phương trình bất phương trình hàm nội dung khó Nội dung thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Lý thuyết phương trình bất phương trình hàm có mặt hầu hết lĩnh vực có nhiều ứng dụng đời sống kỹ thuật Sự phát triển đóng góp nhiều cho phát triển toán học ảnh hưởng nhiều đến lĩnh vực khác kinh tế học, sinh thái học, lý thuyết thông tin, thống kê, Trong báo nghiên cứu bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình cộng thành trung bình cộng, trung bình bậc hai trung bình bậc k > tùy ý số dạng tốn liên quan Keywords: Hàm, phương trình hàm, bất phương trình hàm, trung bình cộng, trung bình bậc hai Ngày nhận bài: 26/6/2019; Ngày hoàn thiện: 14/8/2019; Ngày đăng: 19/8/2019 FUNCTIONAL INEQUALITIES INDUCED BY ARITHMETIC MEAN TO MEAN OF DEGREE k > Pham Thi Linh*, Nguyen Thi Thu Hang University of Economics and Business Administration - TNU ABSTRACT Functional equalities and inequalities are difficult Many authors studied functional equa- tions and inequalities The development used to application in several areas - not only in mathematics but also in other disciplines Functional equalities and inequalities are applied computers, econimics, polynomials, engineering, infermation theory, reporducing scoring system, taxation, etc In this paper, we establish some functional inequalities induced by arithmetic mean to arithmetic mean, quadratic mean and mean of degree k > with k is a positive interger and their related problems Keywords: Functional, functional equalities, functional inequatlities, arithmetic mean, quadratic mean Received: 26/6/2019; Revised: 14/8/2019; Published: 19/8/2019 * Corresponding author Email: linhpham19101985@gmail.com http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 137 Một số kiến thức bổ trợ Trong báo này, chúng tơi khảo sát dạng tốn bất phương trình hàm chuyển tiếp từ Trung bình cộng đối số (xem [1, 2]) x+y ; x, y ∈ R; Trung bình bình phương đối số (xem [1, 2]) x2 + y ; x, y ∈ R+ Trung bình bậc k (k > 1) đối số xk + y k k ; x, y ∈ R+ ; thành đại lượng Trung bình cộng hàm số (xem [1, 2]) f (x) + f (y) ; Trung bình bình phương hàm số (xem [1, 2]) [f (x)]2 + [f (y)]2 ; +) Nếu f toàn ánh, tồn a: f (a) = (dùng phương trình cộng), tồn a: f (a) = (nếu phương trình có nhân) Chọn x, y phù hợp để triệt tiêu f (g(x, y)) có phương trình Hàm có x bên ngồi cố gắng đơn ánh toàn ánh +) Làm xuất f (x) +) f (x) = f (y) với x, y ∈ A suy f (x) = const với x ∈ A Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình cộng thành trung bình bậc tùy ý Trong mục này, chúng tơi xét dạng tốn bất phương trình hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình cộng đối số vào đại lượng trung bình cộng, trung bình cộng bậc hai trung bình bậc tùy ý hàm số Một số trường hợp đơn giản xét tài liệu [3] Bài tốn (Trung bình cộng thành trung bình cộng) Cho số thực a, b Xác định hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f Trung bình bậc k (k > 1) hàm số [f (x)]k + [f (y)]k k x+y f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R (1) at + b, ∀t ∈ R (2) Để giải số tốn liên quan đến bất phương trình hàm, chúng tơi sử dụng phương pháp quy nạp, phương pháp thế, Chú ý Để sử dụng phương pháp thế, ta thường thay giá trị đặc biệt: +) Ví dụ thay x = a cho f (a) xuất nhiều phương trình +) x = a, y = b hốn vị, thay đổi để tìm liên hệ f (a) f (b) +) Đặt f (0) = b, f (1) = b, f (0) = b, f (t) Lời giải Thế x = t, y = −t vào (1), ta thu b = f (0) t + (−t) =f f (t) + f (−t) (at + b) + (−at + b) = b, với t ∈ R Suy f (t) ≡ at+b Thử lại, ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện (1)-(2) Vậy nghiệm toán cho Bài toán (Trung bình cộng thành trung bình bậc tùy ý) Cho số k > Tìm hàm số f (x) xác định, liên tục R thoả mãn điều kiện f (t) ≡ at + b f Từ đây, ta có hệ sau Hệ (xem [3]) Các hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: x+y f f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R (3) x+y f (0) = 0, f (t) 0, ∀t ∈ R, (4) hàm số f (x) ≡ [f (x)]k + [f (y)]k , ∀x, y ∈ R (6) f (0) = Lời giải Từ giả thiết suy f (x) 0, ∀x ∈ R Do x+y với ∀x, y ∈ R Hay (6) ⇔ f k k [f (x)]k + [f (y)]k , x+y g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R, 2 với g(x) = [f (x)]k Theo kết Hệ g(x) ≡ Suy f (x) ≡ Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện Kết luận: f (t) ≡ g Bài tốn (Trung bình cộng thành trung bình bậc hai) Tìm hàm số f (x) xác định, liên tục R thoả mãn điều kiện f x+y [f (x)]2 + [f (y)]2 , ∀x, y ∈ R (5) f (0) = Lời giải Từ giả thiết suy f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Do (5) ⇔ f x+y 2 [f (x)]2 + [f (y)]2 , với x, y ∈ R hay g x+y g(x) + g(y) , ∀x, y ∈ R, với g(x) = [f (x)]2 ≥ Theo kết Hệ g(x) ≡ Suy f (x) ≡ Thử lại ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện Vậy f (t) ≡ Một số dạng toán liên quan Trong mục này, ta xét số toán cụ thể liên quan đến bất phương trình hàm Các tốn tham khảo từ tài liệu số [1, 4, 5] Bài toán Xác định hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: f (t) ≥ 0, ∀t ∈ R, (7) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (8) Lời giải Thế x = 0, y = vào (8), ta thu f (0) ≥ 2f (0), suy f (0) ≤ Kết hợp với (7) ta f (0) = Tiếp theo, x = t, y = −t vào (8), ta có = f (0) = f (t + (−t)) ≥ f (t) + f (−t) ≥ với t ∈ R Suy f (t) ≡ Thử lại, ta thấy hàm thỏa mãn điều kiện (7) (8) Vậy nghiệm toán f (t) ≡ Bài toán Cho hàm số h(t) = at, a ∈ R Xác định hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: Ta nhận Bài toán Như (i) f (t) ≥ h(t), ∀t ∈ R Suy f (t) = at Thử lại ta thấy hàm số f (t) = at thỏa mãn điều kiện (ii) f (x + y) ≥ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Lời giải Để ý h(x + y) = h(x) + h(y) Đặt f (t) = h(t) + g(t) Khi ta thu điều kiện (i) g(t) ≥ 0, ∀t ∈ R (ii) g(x + y) ≥ g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Lặp lại cách giải Bài toán 4, thay t = vào điều kiện đầu bài, ta thu g(0) ≥ g(0) ≤ ⇔ g(0) = Nhận xét - Với < a < ta có at > + t, với t < at < + t, ∀t ≥ 0; - Với a ≥ ta có at > + t, với t < 0; at ≤ + t, với t ∈ [0; 1) at ≥ + t, với t ≥ Một câu hỏi tự nhiên đặt ra: Trong Bài tốn 6, thay hàm số g(t) = at hàm số để toán có nghiệm khơng tầm thường? Từ Nhận xét 1, ta xét hàm số g(t) = t + Khi ta có tốn sau Bài tốn Xác định hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: Vậy nên = g(0) = g(x + (−x)) ≥ g(x) + g(−x) ≥ Điều kéo theo g(t) ≡ hay f (t) = at Thử lại, ta thấy hàm số f (t) = at thỏa mãn điều kiện đầu Bài toán Cho số dương a Xác định hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f (t) ≥ ϕ(t) = (ln a)t at , ∀t ∈ R (ii) f (x + y) ≥ f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Lời giải Để ý f (t) > 0, ∀t ∈ R Vậy ta logarit hóa hai vế bất đẳng thức điều kiện cho: (i) ln f (t) ≥ (ln a)t, ∀t ∈ R (ii) ln f (x + y) ≥ ln f (x) + ln f (y), ∀x, y ∈ R (i) f (x + y) ≥ f (x)f (y), ∀x, y ∈ R; (ii) f (t) ≥ + t, ∀t ∈ R Lời giải Ta có f (t) = f t t t + ≥ f2 ≥ 0, x ∈ R 2 Nếu f (x0 ) = 0, = f (x0 ) = f x0 x0 + 2 ≥ f2 x0 x0 = Bằng phương pháp quy x0 nạp, ta có f n = với số nguyên dương n Tuy nhiên, từ điều kiện thứ hai toán suy f (x) > với x gần Do điều giả thiết mâu thuẫn Vậy f (x) > 0, x ∈ R Tiếp theo, ta chứng minh f khả vi điểm x ∈ R f (x) = f (x) Thật vậy, từ (i) (ii), với h > đủ nhỏ, ta có Do f Đặt ln f (t) = ϕ(t), ta thu (i) ϕ(t) ≥ ln at, ∀t ∈ R (ii) ϕ(x + y) ≥ ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ R f (x + h) − f (x) ≥ f (x)f (h) − f (x) = (f (h) − 1)f (x) ≥ hf (x) Do f (x + h) − f (x) ≥ f (x) h Mặt khác, từ (i) (ii), với h > đủ nhỏ, ta có f (x) = f (x + h − h) ≥ f (x + h)f (−h) ≥ (1 − h)f (x + h) Suy (1 − h)f (x) + hf (x) ≥ (1 − h)f (x + h) tồn f (x), với x ∈ R Từ đó, với x ∈ R, ta có f (x) ex = f (x) − f (x) = ex Do f (x) = C.ex , C số Hơn nữa, từ (i) ta có f (0) ≥ f (0) hay f (0) ≤ từ (ii) ta có f (0) ≥ Do C = f (0) = Thử lại, hàm f (x) = ex thỏa mãn điều kiện (i) (ii) Như vậy, với g(x) = ax g(x) = + x (6) (7) giải Tài liệu tham khảo Do hf (x) ≥ (1 − h)(f (x + h) − f (x)) hay f (x + h) − f (x) f (x) ≤ h 1−h Vậy, với h > đủ nhỏ, ta có f (x) ≤ f (x) f (x + h) − f (x) ≤ h 1−h Tương tự, bất đẳng thức chiều ngược lại, với h < đủ nhỏ Do đó, ta có f (x + h) − f (x) h→0 h f (x) = lim [1]Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2016), Phương trình hàm với đối số biến đổi, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Phạm Thị Vi (2014), Phương trình bất phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình, Luận văn Thạc sỹ, ĐHKH, ĐH Thái Nguyên [4] Titu Andresscu, Iurie Boreico (2007), Functional equations - 17 Chapters and 199 Problems with Solution, Electronic Edition [5]Trịnh Đào Chiến (2012), Giải bất đẳng thức hàm phương pháp chuyển qua giới hạn dãy số, Kỷ yếu HTKH, Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi, Quy Nhơn, 1415/04/ 2012  ... với x ∈ A Bất phương trình hàm chuyển tiếp từ trung bình cộng thành trung bình bậc tùy ý Trong mục này, chúng tơi xét dạng tốn bất phương trình hàm chuyển tiếp từ đại lượng trung bình cộng đối... [1, 2]) x2 + y ; x, y ∈ R+ Trung bình bậc k (k > 1) đối số xk + y k k ; x, y ∈ R+ ; thành đại lượng Trung bình cộng hàm số (xem [1, 2]) f (x) + f (y) ; Trung bình bình phương hàm số (xem [1, ... lượng trung bình cộng, trung bình cộng bậc hai trung bình bậc tùy ý hàm số Một số trường hợp đơn giản xét tài liệu [3] Bài tốn (Trung bình cộng thành trung bình cộng) Cho số thực a, b Xác định hàm