Bài viết khảo sát hiện tượng ngưng tụ vật chất trong hệ pha trộn hai thành phần trên cơ sở mô hình lí thuyết trường sigma tuyến tính. Thu được biểu thức của thế hiệu dụng Corwall-Jakiw-Tomboulis (CJT) trong gần đúng HF và từ đó rút ra các phương trình khe đối với các mật độ ngưng tụ và các phương trình SD cho hàm truyền.
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Natural Sciences, 2019, Volume 64, Issue 3, pp 36-44 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1059.2019-0004 NGƯNG TỤ CỦA VẬT CHẤT TRONG MƠ HÌNH SIGMA TUYẾN TÍNH CỦA HỆ PHA TRỘN HAI THÀNH PHẦN Lê Viết Hòa1 , Nguyễn Tuấn Anh2 , Đặng Thị Minh Huệ3 Đinh Thanh Tâm4 Khoa Vật lí, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Công nghệ Năng lượng, Trường Đại Học Điện Lực Khoa Năng lượng, Trường Đại Học Thủy Lợi Khoa Tốn - Lí - Tin, Trường Đại Học Tây Bắc Khoa Tóm tắt Bài báo khảo sát tượng ngưng tụ vật chất hệ pha trộn hai thành phần sở mơ hình lí thuyết trường sigma tuyến tính Thu biểu thức hiệu dụng Corwall-Jakiw-Tomboulis (CJT) gần HF từ rút phương trình khe mật độ ngưng tụ phương trình SD cho hàm truyền Các kết tính số chứng tỏ hệ tồn hai kịch ngưng tụ có loại hai loại ngưng tụ không đồng thời tùy thuộc vào ảnh hưởng nhiệt độ hay hóa Các q trình ngưng tụ thuộc chuyển pha loại II dù ngưng tụ hiệu ứng nhiệt hay hiệu ứng lượng tử Từ khóa: Tác dụng hiệu dụng CJT, định lí Goldstone, mơ hình sigma, phương trình khe (gap), phương trình Schwinger-Dyson (SD) Mở đầu Trong năm gần nhiều cơng trình [1-3] liên quan đến chuyển pha, phá vỡ phục hồi đối xứng, ngưng tụ Bose-Einstein thực khn khổ mơ hình sigma tuyến tính mơ hình coi thích hợp cho lí thuyết tượng lượng thấp sắc động lực học lượng tử (QCD) Tuy nhiên có khó khăn nghiêm trọng liên quan đến việc tái chuẩn hóa hiệu dụng thỏa mãn định lí Goldstone Ngồi mơ hình trước chủ yếu hạn chế trường (có thể có nhiều thành phần) hai trường trường hợp phi tương đối tính Do việc mở rộng mơ hình để mơ tả hệ pha trộn hai thành phần trường hợp tương đối tính cần thiết cho phép làm sáng tỏ nhiều hiệu ứng liên quan đến cấu trúc nội compac kiểu nơtron [4, 5], hay tồn chất quac pha màu-vị bị giam hãm mật độ đủ lớn nhiệt độ thấp [6] Bài báo trình bày kết nghiên cứu bước đầu theo hướng Ngày nhận bài: 19/1/2019 Ngày sửa bài: 4/3/2019 Ngày nhận đăng: 11/3/2019 Liên hệ: Lê Viết Hòa, địa e-mail: hoalv@hnue.edu.vn 36 Ngưng tụ vật chất mơ hình sigma tuyến tính hệ pha trộn hai thành phần Nội dung nghiên cứu 2.1 Các hệ thức tán sắc Chúng ta nghiên cứu ngưng tụ vật chất hỗn hợp hai thành phần mô tả mật độ Lagrangien: L = (∂ φ∗ )(∂0 φ) − (∂ a φ∗ )(∂a φ) − iµ1 [(∂ φ∗ )φ − φ∗ (∂0 φ)] + (µ21 − m21 )(φ∗ φ) + (∂ ψ ∗ )(∂0 ψ) − (∂ a ψ ∗ )(∂a ψ) − iµ2 [(∂ ψ ∗ )ψ − ψ ∗ (∂0 ψ)] + (µ22 − m22 )(ψ ∗ ψ) − λ1 (φ∗ φ)2 − λ2 (ψ ∗ ψ − λ(φ∗ φ)(ψ ∗ ψ) (2.1) Ở a = 1, 2, 3; ∂a = ∂ ∂ , ∂0 = ; φ = √ (φ1 + iφ2 ), ψ = √ (ψ1 + iψ2 ) ∂xa ∂x0 2 (2.2) Bằng phép dịch trường φ → φ0 + √ φ1 + iφ2 ; ψ → ψ0 + √ ψ1 + iψ2 , (2.3) viết lại Lagrangian (2.1) dạng: L = L0 + L1 + L2 , (2.4) L0 = (µM22 , G−1 (k) = −2µ2 ωn ωn2 + k2 + M32 2µ2 ωn ωn2 + k2 + M42 (2.14) Ở M12 = −µ21 + m21 + 6λ1 φ20 + λψ02 + Σφ1 = m21 + Σφ1 , M22 = −µ21 + m21 + 2λ1 φ20 + λψ02 + Σφ2 = m22 + Σφ2 , M32 = −µ22 + m22 + λφ20 + 6λ2 ψ02 + Πψ1 = m23 + Πψ1 , M42 = −µ22 + m22 + λφ20 + 2λ2 ψ02 + Πψ2 = m24 + Πψ2 (2.15) 39 Lê Viết Hòa, Nguyễn Tuấn Anh, Đặng Thị Minh Huệ Đinh Thanh Tâm λ λ G11 + β β β λ λ = λ1 D11 + 3λ1 D22 + G11 + β β β λ λ D11 + D22 + 3λ2 G11 + λ2 = β β β λ λ D11 + D22 + λ2 G11 + 3λ2 = β β β Σφ1 = 3λ1 D11 + λ1 D22 + Σ φ2 Πψ1 Πψ2 G22 , β G22 , β G22 , β G22 (2.16) β Các phương trình (2.14) (2.15) cho thấy định lí Goldstone khơng thỏa mãn gần HF Do đó, việc phải tiến hành điều chỉnh hiệu dụng để chúng thỏa mãn định lí 2.3 Khơi phục định lí Goldstone Để thu hiệu dụng thỏa mãn định lí Goldstone ta tiến hành [7] Cụ thể bổ sung vào hiệu dụng VβCJT (φ0 , ψ0 , D, G) lượng ∆VβCJT có dạng: ∆VβCJT = xλ1 2Pab Pba − Paa Pbb + yλ2 2Qab Qba − Qaa Qbb + zλPaa Qbb , (2.17) sử dụng kí hiệu Dab (k), Pab = β Gab (k) ; a, b = 1, Qab = (2.18) β Khi ta thu hiệu dụng mới: CJT Vβ (φ0 , ψ0 , D, G) = VβCJT (φ0 , ψ0 , D, G) + ∆VβCJT = (−µ21 + m21 )φ20 + (−µ22 + m22 )ψ02 + λ1 φ40 + λ2 ψ04 + λφ20 ψ02 + tr ln D −1 (k) + ln G−1 (k) + D0−1 (k; φ0 , ψ0 )D + G−1 (k; φ0 , ψ0 )G − 211 β 3λ1 3λ1 λ1 3λ2 3λ2 λ2 λ + P + P + P11 P22 + Q + Q + Q11 Q22 + P11 Q11 11 22 11 22 λ λ λ 2 + P11 Q22 + P22 Q11 + P22 Q22 + xλ1 P11 − P11 P22 − P22 P11 + P22 4 + yλ2 Q211 − Q11 Q22 − Q22 Q11 + Q222 + zλ P11 Q11 + P11 Q22 + P22 Q11 + P22 Q22 (2.19) Từ cách đòi hỏi định lí Goldstone thỏa mãn tìm x = y = −1/2, z = Như hiệu dụng mà định lí Goldstone khơi phục có biểu thức: CJT Vβ (φ0 , ψ0 , D, G) = (−µ21 + m21 )φ20 + (−µ22 + m22 )ψ02 + λ1 φ40 + λ2 ψ04 + λφ20 ψ02 tr ln D −1 (k) + ln G−1 (k) + D0−1 (k; φ0 , ψ0 )D + G−1 (k; φ0 , ψ0 )G − 211 β λ1 3λ1 λ2 λ2 3λ2 λ1 P11 + P22 + P11 P22 + Q211 + Q222 + Q11 Q22 + 4 4 λ λ λ λ + P11 Q11 + P11 Q22 + P22 Q11 + P22 Q22 , (2.20) 4 4 + 40 Ngưng tụ vật chất mơ hình sigma tuyến tính hệ pha trộn hai thành phần Dựa vào (2.20) thu phương trình khe SD thay cho (2.9) (2.10): −µ21 + m21 + 2λ1 φ20 + λψ02 + 3λ1 P11 + λ1 P22 + −µ22 + m22 + λφ20 + 2λ2 ψ02 + λ λ Q11 + Q22 = 0, 2 λ λ P11 + P22 + 3λ2 Q11 + λ2 Q22 = 0, 2 D −1 (k) = ωn2 + k2 + M12 −2µ1 ωn 2µ1 ωn ωn2 + k2 , G−1 (k) = ωn2 + k2 + M32 −2µ2 ωn 2µ2 ωn ωn2 + k2 (2.21) (2.22) Ở M12 = −µ21 + m21 + 6λ1 φ20 + λψ02 + λ1 P11 + 3λ1 P22 + M32 = −µ22 + m22 + λφ20 + 6λ2 ψ02 + λ λ Q11 + Q22 , 2 λ λ P11 + P22 + λ2 Q11 + 3λ2 Q22 2 (2.23) Các phương trình (2.20) - (2.23) chứa tồn thơng tin q trình nhiệt động xảy hệ Tuy nhiên phương trình tích phân khơng có nghiệm dạng giải tích Vì để đến kết luận có ý nghĩa vật lí rõ ràng, cần phải tiến hành tính số Đây trình phức tạp mục báo nêu lên số kết bước đầu trình 2.4 Một số kết tính số Trong mục chúng tơi thực tính số để nghiên cứu ngưng tụ vật chất mơ hình sigma tuyến tính hệ pha trộn hai thành phần ứng với hai trình nhiệt độ thay đổi hóa thay đổi Đó hai q trình vật lí điển hình tương ứng với chuyển pha nhiệt chuyển pha lượng tử Để làm điều này, trước hết cần chọn thơng số cho mơ hình Dựa vào tài liệu [8] chúng tơi chọn khối lượng hóa tương ứng với kaon, cụ thể m1 = 5M eV, m1 = 4M eV, µ1 = 4, 5M eV ; số liên kết chọn λ1 = 0, 0048M eV, λ2 = 0, 005M eV, λ = 0, 02M eV * Ngưng tụ hiệu ứng nhiệt Để khảo sát ngưng tụ hiệu ứng nhiệt tức thay đổi nhiệt độ, chúng tơi chọn hóa cho trường ψ (khác chút so với trường φ thực chất xét cặp hạt gần giống cặp kaon, cặp pion ) µ2 = 2, 5M eV Tiến hành giải số phương (2.21) (2.23) với thông số chọn thu phụ thuộc nhiệt độ mật độ ngưng tụ φ0 ψ0 Hình Rõ ràng trường hợp tồn ngưng tụ trường ψ Hơn nhiệt độ tăng mật độ ngưng tụ ψ0 , mà xuất nhiệt độ gần T = 0, giảm đơn điệu khơng Đó dấu hiệu chuyển pha loại II nhiệt độ tới hạn Tc1 = 0, 25K Kết hoàn toàn phù hợp với phụ thuộc nhiệt độ M12 M22 cho Hình mà có M22 có phần dương tương ứng với tồn ψ0 41 Lê Viết Hòa, Nguyễn Tuấn Anh, Đặng Thị Minh Huệ Đinh Thanh Tâm Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ mật độ ngưng tụ φ0 ψ0 Hình Sự phụ thuộc nhiệt độ bình phương khối lượng hiệu dụng M12 M22 * Ngưng tụ hiệu ứng lượng tử Sự ngưng tụ hiệu ứng lượng tử ngưng tụ thay đổi hóa nhiệt độ xác định Hình biểu diễn phụ thuộc hóa µ2 φ0 ψ0 nhiệt độ T = 0, 26K Như thấy hình này, hóa µ2 tăng, mật độ ngưng tụ ψ0 giảm dần khơng sau thay mật độ ngưng tụ φ0 Với µ2c1 = 2, 96M eV < µ2 < µ2c2 = 3, 74M eV có vùng trống tương ứng với không tồn hai loại ngưng tụ Hơn biến thiên đơn điệu φ0 ψ0 cho thấy dấu hiệu chuyển pha loại II Sự phụ thuộc hóa khối lượng hiệu dụng biểu diễn Hình phù hợp với nhận xét trên: M12 M22 có phần dương ngăn cách vùng trống 42 Ngưng tụ vật chất mơ hình sigma tuyến tính hệ pha trộn hai thành phần Hình Sự phụ thuộc hóa µ2 mật độ ngưng tụ φ0 ψ0 Hình Sự phụ thuộc µ2 bình phương khối lượng hiệu dụng M12 M22 Kết luận Trong khuôn khổ báo này, với cách tiếp cận dựa vào hình thức luận tác dụng hiệu dụng CJT khảo sát ngưng tụ vật chất hệ pha trộn hai thành phần mơ tả mơ hình lí thuyết trường sigma tuyến tính Những kết là: 1-Thu biểu thức hiệu dụng CJT mà thỏa mãn định lí Goldstone Từ nhận phương trình khe mật độ ngưng tụ phương trình SD cho hàm truyền 2-Các kết tính số bước đầu cho phép nhận xét tồn hai kịch ngưng tụ là: có ngưng tụ thành phần hai (nhưng không đồng thời) tùy thuộc 43 Lê Viết Hòa, Nguyễn Tuấn Anh, Đặng Thị Minh Huệ Đinh Thanh Tâm vào ảnh hưởng nhiệt độ hay hóa Hơn dù ngưng tụ hiệu ứng nhiệt hay lượng tử trình thuộc chuyển pha loại II Để có kết luận đầy đủ trình nhiệt động xảy hệ cần phải tiến hành nghiên cứu số cách toàn diện cấu trúc pha hệ, hướng nghiên cứu thời gian tới Lời cảm ơn Bài báo nằm khuôn khổ Đề tài nghiên cứu khoa học cấp số B2015-25-33 Bộ Giáo dục Đào tạo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] G Amelino-Camelia, 1997 Phys Lett B 407, 268, hepph/ 9702403 J.T Lenaghan, D.H Rischke, 2000 J Phys G 26, 431, nucl-th/9901049 Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh and Le Viet Hoa, 2004 On the chiral phase transition in the Linear Sigma Model, European Physical Journal A Vol 19, Number 3, p 359 M Prakash, I Bombaci, P I Ellis, J M Lattimer and R Knorren, 1997 Phys Rep 280, and references herein J A Pons, S Reddy, P J Ellis, M Prakash and J M Lattimer, 2000 Phys Rev C 62, 035803 M G Alford, K Rajagopal and F Wilczek, 1999 Nucl Phys B537, 443 Yu B Ivanov, F Riek and J Knoll, 2005 Phys Rev D 71, 105016 M G Alford, M Braby and A Schmitt, 2008 J Phys G 35, 025002 ABSTRACT The condensation of the matter in the linear sigma model of the two-component mixing system Le Viet Hoa1 , Nguyen Tuan Anh2 , Đang Thi Minh Hue3 , Đinh Thanh Tam4 Faculty of Physics, Hanoi National University of Education Faculty of Energy Technology, Electric Power University Faculty of Energy, Water Resources University Faculty of Mathematics Physics - Informatics, University of Tay Bac The paper examines the phenomenon of condensation in the two-component mixing system based on the linear sigma field theory model The expression of Corwall-Jakiw-Tomboulis (CJT) effective potential is obtained in HF approximation and thereby leaded to gap equations for condensate density and SD equations for the generators The numerical results show that two condensation scenarios can exist in only one type or both types of condensation (but not simultaneously) depending on the effect of temperature or chemical potential These condensation processes belong to the phase transition of second order whether condensation is due to thermal effects or due to quantum effects Keywords: The CJT effective action, the Goldstone theorem, the linear sigma model, the gap equations, the Schwinger-Dyson (SD) equations 44 .. .Ngưng tụ vật chất mơ hình sigma tuyến tính hệ pha trộn hai thành phần Nội dung nghiên cứu 2.1 Các hệ thức tán sắc Chúng ta nghiên cứu ngưng tụ vật chất hỗn hợp hai thành phần mô tả mật... kết tính số Trong mục chúng tơi thực tính số để nghiên cứu ngưng tụ vật chất mô hình sigma tuyến tính hệ pha trộn hai thành phần ứng với hai trình nhiệt độ thay đổi hóa thay đổi Đó hai q trình vật. .. λ λ λ + P11 Q11 + P11 Q22 + P22 Q11 + P22 Q22 , (2.20) 4 4 + 40 Ngưng tụ vật chất mơ hình sigma tuyến tính hệ pha trộn hai thành phần Dựa vào (2.20) thu phương trình khe SD thay cho (2.9) (2.10):