Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Đắk Lắk

Nhằm chuẩn bị kiến thức cho kì thi học sinh giỏi sắp tới mời các bạn học sinh lớp 9 cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Đắk Lắk dưới đây để ôn tập cũng như rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán học. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TỐN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2019 Bài 1: (4 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A     33  12  37  30  x x  x  12 x   y y 2) Giải hệ phương trình   x  x   y Bài 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình x  x  x   m  (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M(0; 3) cắt parabol  P  : y  x hai điểm A, B Gọi C, D hình chiếu vng góc A, B lên trục Ox Viết phương trình đường thẳng d, biết hình thang ABDC có diện tích 20 Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: x  y  xy  x  y  20 2) Tìm tất số tự nhiên có bốn chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Bài 4: (4 điểm) Cho điểm A nằm ngồi đường tròn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE (O) cho ADE nằm hai tia AO AB; D, E  (O) Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC, AB P, Q 1) Gọi H giao điểm BC với OA Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp 2) Gọi K điểm đối xứng B qua E Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng Bài 5: (2 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh CB, CD lấy điểm M,   450 Chứng N (M không trùng với B C; N không trùng với C D) cho MAN minh đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích Bài 6: (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3 b2  c2  a  Hết G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 1) Ta có A     33  12  37  30  3   33  12  1     33  12   3   33 12 1    3                 12    3 21  12 2) (ĐK: x  0, y  ) 3   x x  x  12 x   y y  x   y  x 2  y  x   y      x  x   x   x  x   y  x  x   y  x  x   y   x   y   x   y  x   y   x    x   y     x 3   x  x   x   x  x    x   y  x     x                     y  1 vo ly  x 1 y 1 x  x    tm  Vậy nghiệm hệ   y 1 y 1 x 3 Bài 2: (4 điểm) 1) Ta có x  x  x   m   x   x   m   *  Đặt t  x   t   Khi (*) trở thành: t  2t  m   ** Do (*) có bốn nghiệm phân biệt  (**) có hai nghiệm dương phân biệt  t  1   m  1  m      Pt    m     1  m  m  1 S  20   t 2) Vì đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M(0; 3), nên phương trình đường thẳng d có dạng y  kx  Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x  kx   x  kx   * Vì ac  3  , nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt Vì (d) cắt (P) hai điểm A; B, nên hoành độ điểm A, B hai nghiệm (*) x  x  k Theo Vi ét ta có:  A B Lại có A  x A ; x A2  , B  xB ; xB2  , C  xA ;  , D  xB ;  x x    A B Do 20  S ABDC  AC  BD  CD   xA2  xB2    2 x A  xB  x  A  xB  2  xA xB   x A  xB  Đặt t  xA  xB , ta có: t  3 20   t  t  6t  40    t    t  4t  10     t   t       t    G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 22  t   x A  xB  16   xA  xB  2  x A2  xB2  x A xB   x A  xB   x A xB   3  k    k   k  2 Vậy phương trình đường thẳng d là: y  x  y  2 x  Bài 3: (4 điểm) 2 1) Ta có: x  y  xy  x  y  20   x  1   x  y    25 2 2 Vì 25  02  52  02   5   32   32   4    3   42   3    4  , nên có trường hợp sau:  x 1   x 1   x 1   x  1  x  1 x  ; )  ; )  ; )     y 4  y  6  y  6 x  y    x  y   5 x  y    x   5  x 1  x 1   x  6 x  x  ; )  ; )  ; )     y  y  x  y   x  y    x  y    y  2 x 1   x   4  x   3 x2  x  5  x  4 ; )  ; )  )      y  8 y   x  y   4 x  y    y  x  y    x 1   x   3  x   4 x3  x  4  x  5 ; )  ; )  )      y  2  x  y   3  y  8  x  y   4  x  y   3  y  Vậy cặp số  x; y  là:  1;  ,  1;   ,  4;   ,  6;  ,  2;  , 3;   ,  2;   ,  5;  ,  4;   3;   ,  4;   ,  5;  Cách khác: x  y  xy  x  y  20  x  3  y  x  y  y  20  * (*) có nghiệm      y    y  y  20     y  y  49   y  y  49    y  1  50  y    1   y  1   8  y  (vì y  Z ) (*) có nghiệm nguyên     y  y  49  k  k  N   y  8;  6;  2; 0; 4; x  x   x  1 *  x  x    x  3x     x  1 x      x  x  *  x  x  24   x  x  12    x   x       x  4  x  5 *  x  x  20   x  3x  10    x   x      x   x  1 *  x  14 x  12   x  x     x  1 x       x  6  x  4 *  x  18x  40   x  x  20    x   x       x  5 +) Với y  8; *  x  10 x  12   x  x     x   x      +) Với y  6; +) Với y  2; +) Với y  0; +) Với y  4; +) Với y  6; 2) Gọi abcd số tự nhiên phải tìm 1000  abcd  9999  3 Ta có abcd   a  b  c  d   1000   a  b  c  d   9999  10  a  b  c  d  21 +) Nếu a  b  c  d  10  abcd  1000  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  11  abcd  1331  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  12  abcd  1728  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  13  abcd  2917  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  14  abcd  2744  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  15  abcd  3375  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  16  abcd  4096  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  17  abcd  4913  nhan  ; G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 33 +) Nếu a  b  c  d  18  abcd  5832  nhan  ; +) Nếu a  b  c  d  19  abcd  6859  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  20  abcd  8000  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  21  abcd  9261  loai  B Vậy abcd  4913; 5832 E K I Bài 4: (4 điểm) K' Q D P A H O 1) Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp C Ta có: AB = AC (AB, AC hai tiếp tuyến (O)), OB = OC (bán kính) Nên OA trung trực BC Xét ABO:  ABO  900 (AB tiếp tuyến (O)), BH  OA (OA trung trực BC)  AB  AH AO a  ABD   AED  sd BD (góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây) Xét ABD AEB:   (góc chung) Vậy ABD BAD AEB (g.g)  AB AD   AB  AD.AE  b  AE AB AH AE  AD AO AH AE   chung  Vậy AHD Xét AHD AEO:   cmt  , HAD AD AO    AHD  AEO Do tứ giác OEDH tứ giác nội tiếp (đpcm) Từ (a) (b) suy  AH AO  AD AE  AEO (c.g.c) 2) Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng   Ta có: ODE cân O (do OD = OE)  EDO AHD   AEO  cmt   EDO AEO mà  AHD   EHO  (tứ giác OEDH nội tiếp) Lại có: EDO   900     BHA    EHO   BHD   BHE   AHD  EHO AHD  900  EHO AHD  BHO Nên HB phân giác DHE, mà HA  HB (cmt) nên HA phân giác HD ID AD    c  (I giao điểm HB DE) HE IE AE DP ID DIP, DP // BE (gt)    d  (hệ Ta Lét) BE IE DQ AD ABE, DQ // BE (gt)    e  (hệ Ta Lét) BE AE DP DQ Từ c), d), e)    DP  DQ BE BE DP AD Gọi K’ giao điểm AP BE AEK’, DP // EK’ (gt)   EK  AE DQ DP Từ e), f)   mà DP  DQ  cmt   BE  EK  BE EK  Mặt khác BE  EK  gt   K   K Vậy A, P, K thẳng hàng (đpcm) DHE  f G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 44 Bài 5: (2 điểm) A Tứ giác ABMF: B 45   450  gt  , MBF   450 (BD đường chéo hình vng) MAF E Vậy tứ giác ABMF nội tiếp   AFM  1800   ABM  1800  900  900   450 , AFM:  AFM  900 , FAM K F nên AFM vuông cân F  AF = MF Tương tự AENvuông cân E  AE = NE D M H N C AFH   AEH  900  cmt  (H giao điểm MF NE) Tứ giác AEHF:    MHE   EAF   450 nên tứ giác AEHF nội tiếp  NHF Kẻ EK  MF (K  MF) NFH vng F; EKH vng K nên có:   NH  sin 450 , EK  EH  sin MHE   EH  sin 450 NF  NH  sin NHF Ta có: S MNFE  S MHN  S NHF  S FHE  S EHM 1   HF  EK  HM  HE  sin MHE  HM  NF  HN  HF  sin NHF 2 2   HM  HN  sin 450  HN  HF  sin 450  HF  HE  sin 450  HM  HE  sin 450    HM  HF   HN   HF  HM   HE   sin 450 1  MF   HN  HE   sin 450  MF  NE  sin 450  AF  AE  sin 450  S AEF 2  Bài 6: (2 điểm) Ta chứng minh  a  b  c    ab  bc  ca  * Thật *  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c  ab  bc  ca   2   a  b    b  c    c  a   (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a  b  c Áp dụng (*), ta có: 32   ab  bc  ca   ab  bc  ca  2  a  1 b a   a  1  b  1  b  Lại có:   a     b 1 b2  b2  Vì b   2b    a  1   a  1 b  b 1 Tương tự có: Vậy 1  a  1 b   a  1 b   a  1 b    a  1 b    a  1 b   b  2b b2  2b b2   a  1   a  1 b  a 1 ab  b   a  1  b 1  b   b 1 bc  c c 1 ca  a   b  1  ;   c  1  2 c 1 a 1 a 1 b 1 c 1  ab  bc  ca    a  b  c         a  b  c   b 1 c 1 a 1 2 Dấu “=” xảy a  b  c  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS N Ngguuyyễễnn C Chhíí TThhaannhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ttrraanngg 55 ... Với y  6; 2) Gọi abcd số tự nhiên phải tìm 1000  abcd  99 99  3 Ta có abcd   a  b  c  d   1000   a  b  c  d   99 99  10  a  b  c  d  21 +) Nếu a  b  c  d  10  abcd... * (*) có nghiệm      y    y  y  20     y  y  49   y  y  49    y  1  50  y    1   y  1   8  y  (vì y  Z ) (*) có nghiệm nguyên     y  y  49  k... +) Nếu a  b  c  d  19  abcd  68 59  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  20  abcd  8000  loai  ; +) Nếu a  b  c  d  21  abcd  92 61  loai  B Vậy abcd  491 3; 5832 E K I Bài 4: (4