Một số dạng Toán chủ đề Phương trình bậc hai

Mời các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu Một số dạng Toán chủ đề Phương trình bậc hai để hệ thống lại kiến thức lý thuyết, rèn luyện và nâng cao kỹ năng giải toán phương trình bậc hai để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi quan trọng sắp tới.

Bài t p ậ  áp d ng ụ :  

Bài 1. V i giá tr  nào c a m thì ph ng trình:ớ ị ủ ươ  

  a) x2 + 2mx  – 3m + 2 = 0 có 1 nghi m x = 2.ệ  Tìm nghi m còn l i.ệ ạ  

  b) 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0 có 1 nghi m x = ệ –2. Tìm nghi m còn l i.ệ ạ  

Bài 2. Cho ph ng trình xươ 2 ­ 2.(m ­ 1)x +2m ­ 3 = 0. Xác đ nh m đ  ph ng trình có ị ể ươ

1 nghi m b ng ệ ằ ­1 và khi đó hãy xác đ nh nghi m còn l i c a ph ng trình.ị ệ ạ ủ ươ  

Bài 3. Xác đ nh m trong ph ng trình b c haiị ươ ậ : x2 – 8x + m = 0 để 4 3 là nghi m ệ

c a ph ng trìnhủ ươ  V i m tìm đ c,ớ ượ  ph ng trình còn m t nghi m n aươ ộ ệ ữ  Tìm nghi m ệ còn l iạ  yấ ? 

( Đ  thi v ề ào l p 10 t nh Nam Đ nh năm 2002  ớ ỉ ị ­2003)

Bài 4. Cho ph ng trình ươ x2 + (2m ­ 5)x ­ 3n = 0. Xác đ nh mị  và n đ  ph ng trình cóể ươ   hai nghi m là 3 và ệ ­2. 

Bài 5. Cho ph ng trình ươ x2 3 m x m 4 0 v i ớ m là tham s ố  

a) Gi i ph ng trình khi ả ươ m 21  

   b) Khi ph ng trươ ình nh nậ  x 4 2018 là nghi mệ  Hãy tìm m. 

D ng ạ 2: Tìm đi u ki n đ  ph ng trình ề ệ ể ươ b c hai ậ ax2 bx c 0 có hai nghi m phân ệ

bi tệ (hai nghi m khác nhau)ệ , có nghi m kép (hai nghi m b ng nhau), có nghi m (hai ệ ệ ằ ệ nghi m), vệ ô nghi m.ệ  

D ng ạ 1: Tìm đi u ki n đ  ph ng trình b c hai ề ệ ể ươ ậ ax2 bx c 0  có nghi m là ệ x1= x0.  Tính nghi m còn l i ệ ạ x2? 

Ví dụ 1: Cho ph ng trình ươ x2 3 m x 2 m 5 0 v i ớ m là tham s ố  

       a) Ch ng minh r ng v i m i giá tr  c a ứ ằ ớ ọ ị ủ m ph ng trình luôn có nghi m ươ ệ x 2.          b) Tìm giá tr  c a ị ủ m đ  ph ng trình trên có nghi m ể ươ ệ x 1 2 2. 

(Đ  thi l p 10 t nh Nam Đ nh năm  ề ớ ỉ ị 2009­2010) 

HƯỚNG DÂN GIAI:̃ ̉  

Tuy nhiên n u bi t khai  ế ế thác k t qu  câu a và s  d ng H  th c Vi ế ả ử ụ ệ ứ ­et ta có th  đ a ra  ể ư

l i gi i h p lý h n nh  sau: ờ ả ợ ơ ư  

Cách 2: Vì ph ng trình luôn có nghi m ươ ệ x1 2. G iọ x2 là nghi m còn l i. ệ ạ  

Theo h  th c Việ ứ ­et ta có:  x1 x2 b m 3

V iớ  x1 2 ta có: x2 m 3 x1 m 3 2 m 5 

 Do đó ph ng trình có nghi m ươ ệ x 1 2 2   m 5 1 2 2   m 6 2 2. 

V y ậ m 6 2 2 là giá tr  c n tìm.ị ầ  

Ví d  2 ụ : Cho ph ng trình ươ x2 x 2m 0 v i ớ m là tham s ố  

        a) Gi i ph ng trình khi ả ươ m 1. 

        b) Tìm m đ  ph ng trình có hai nghi m phân bi t ể ươ ệ ệ x1, x2 tho  mãnả   2

( Đ  thi l p 10 ề ớ  môn Toán t nh Nam Đ nh  năm 2011) ỉ ị  

Ví dụ 1: Cho ph ng trìnhươ : x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0  (1)    ( m là tham s )ố  

    1) Gi i ph ng trìnhả ươ  (1) v i ớ  m = ­ 5. 

    2) Ch ng minh r ng ph ng trình (1) luứ ằ ươ ôn có hai nghi m phân bi t ệ ệ v i m i m.ớ ọ  

(Đ  thi l p 10 t nh Nam Đ nh năm  ề ớ ỉ ị 2007­2008) 

Ví d  2: ụ  Cho ph ng trình:   xươ 2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. Tìm m đ  ph ng trìể ươ nh có 2  nghi m phân bi t, trongệ ệ  đó có 1 nghi m b ng ệ ằ ­ 2. 

HƯỚNG D N GI IẪ Ả  : 

Ta có ∆’ = b’2  ­ ac = (m + 1)2 ­ m2  =  2m + 1 

Ph ng trình có 2 nghi m phân bi tươ ệ ệ ∆’ > 0 

(m + 1)2 ­ m2 > 0  2m + 1 > 0 m > ­ 1

2 (*) 

Ph ng trình có nghi m x = ươ ệ ­ 2  4 ­ 4 (m + 1) + m2 = 0  

         m2 ­ 4m = 0  

m(m – 4) = 0   

 m = 0 ho c m = 4.ặ  

Ta th y  m = 0  và  m = 4 đ u tho  mãn đi u ki n (*).ấ ề ả ề ệ  

V y m = 0ậ  ;  m = 4 là các giá tr  c n tìm.ị ầ  

Bài t p áp d ng: ậ ụ  

Bài 1. Tìm m đ  các ph ng trình sau có nghi m kép:ể ươ ệ  

a) 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0.       

b) 5x2 + 2mx – 2m + 15 = 0. 

c) mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0.       

d) mx2 – 4(m – 1)x – 8 = 0. 

Bài 2. Tìm m đ  các ph ng trình sau có nghi m :ể ươ ệ  

a) 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0.      

b)  mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0. 

Bài 3. Tìm m đ  các ph ng trình sau có 2 nghi m phân bi t:ể ươ ệ ệ  

a)  x2 – 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0.   

b)  (m + 1)x2 + 4mx + 4m – 1 = 0. 

Bài 4. Chøng minh r»ng c¸ c phư¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm:

a) x2 – 2mx – m2 – 1= 0.       

b) x2 – 2(m ­ 1)x – 3 – m = 0. 

c) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0.       

d) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0. 

D ng ạ 3: Tìm đi u ki n liên quan đ n d u các nghi m c a ph ng trình bề ệ ế ấ ệ ủ ươ ậc hai. 

Ví dụ 1: Cho ph ng trình ươ x2 2x m 2017 0 v i ớ m là tham s  Tìm m đ  ph ng ố ể ươ trình có hai nghi m trái d u.ệ ấ  

Ví dụ 1: Cho ph ng trình xươ 2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0  (1) 

a) Tìm m đ  ph ng tể ươ rình (1) có 2 nghi m âm.ệ  

b)  Ch ng  minh  r ng  không  có  giá  tr   nào  c a  m  đ   ph ng  trình  (1)  có  hai ứ ằ ị ủ ể ươ nghi m d ng.ệ ươ  

Ví dụ 1: Cho ph ng trình xươ 2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0  (1) 

a) Tìm m đ  ph ng tể ươ rình (1) có 2 nghi m âm.ệ  

b)  Ch ng  minh  r ng  không  có  giá  tr   nào  c a  m  đ   ph ng  trình  (1)  có  hai ứ ằ ị ủ ể ươ nghi m d ng.ệ ươ  

Ví d :  ụ 2: Cho ph ng trình ươ m 1 x2 2m 3 x m 4 0 v i ớ m 1.V i giá tr  nào ớ ị

c a m thì ph ng trình có hai nghi m d ng.ủ ươ ệ ươ  

Ví d   ụ 1: Cho ph ngươ  trình x2 + 2mx + m – 1 = 0.  

a) Ch ng minh ph ng trình luôn có hai nghi m phân bi t v i m iứ ươ ệ ệ ớ ọ  m.  

b) Hãy xác đ nh giá tr  c a m đ  ph ng trình có nghi m d ngị ị ủ ể ươ ệ ươ   

( Đ  thi lóp 10 t nh Nam Đ nh năm 2008 ề ỉ ị ­2009) 

Ví d   ụ 2: Cho ph ngươ  trình x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m đ  ph ng trình có nghi m ể ươ ệ

âm. 

Bài t p áp d ng: ậ ụ  

Bài 1.  Cho ph ng trình xươ 2 – 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0. 

a) Ch ng minh ph ng trình luôn cứ ươ ó nghi m v i m i m.ệ ớ ọ  

b) Tìm m đ  ph ng trình có hai nghi m d ng.ể ươ ệ ươ  

Bài 2. Cho ph ng trình b c hai  xươ ậ 2 + 2(m ­ 1).x + 1 ­ 2m = 0  (v i m là tham s )ớ ố  

a) Ch ng t  ph ng trình luôn có hai nghi m v i m i m.ứ ỏ ươ ệ ớ ọ  

b) Tìm giá tr  c a m đ  ph ng trình trên có hai nghiị ủ ể ươ ệm âm. 

Bài 3. Cho ph ng trìnhươ  x2 2(m 1)x m  6 0 1   

a) Ch ng minh r ng ph ng trình (1) luôn luôn có nghi m v i m i m.ứ ằ ươ ệ ớ ọ  

b) Tìm m đ  ph ng trình (1) có 2 nghi m trái d u.ể ươ ệ ấ  

c) Tìm m đ  ph ng trình (1) có ể ươ  nghi m ệ d ng.ươ  

d) Tìm m đ  ph ng trình (1) có 2 nghi m đ i nhau.ể ươ ệ ố  

Ví dụ 2: Tìm m đ  ph ng trìnhể ươ   x2 2x m2 2m 1 0 (v i ớ m là tham số) có hai  nghi m trái d u.ệ ấ  

D ng ạ 4: Tìm đi u ki n đ  ph ng trình ề ệ ể ươ b c hai ậ ax2 bx c 0 có hai nghi m xệ 1; x2 

th a mãn đi u ki nỏ ề ệ  liên quan đ n các nghi m c a ph nế ệ ủ ươ g trình có tính đ i x ng, ố ứ

ch ng h n:ẳ ạ  

1) p(x1 + x2) = q. x1. x2.      2) 

1 2

x x .        3) (x1 - m)( x2 - m) = b.    4) x1(a ­ x2) +  x2( a ­ x1) < c.      5)  2 2

1 2

x x d.    6)  3 3

1 2

x x có GTNN… 

Ví d   ụ 1: Cho ph ng trình ươ ( n xẩ ): x2 – x  + m = 0. Tìm các giá tr  c a m đ  ph ng ị ủ ể ươ trình có hai nghi m  xệ 1, x2 th a mãn:  (xỏ 1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ). 

Ví d   ụ 2: Cho ph ng trình xươ 2 – 2mx + m2 – m – 1 = 0 (1) v i m là tham s ớ ố  

a) Gi i ph ng trìnhả ươ  (1) khi m = 1. 

b) Xác đ nh m đ  ph ng trình (1) có hai nghi m xị ể ươ ệ 1, x2 th a mãn đi u ki n:ỏ ề ệ

x1(x1 + 2) + x2(x2 + 2) = 10  

(Đ  thi l p 10 t nh Nam Đ nh năm h c 2013  ề ớ ỉ ị ọ – 2014) 

Ví d   ụ 3. Cho ph ng trình  : ươ x2 (m 5)x 3m 6 0 (x là  n s ). ẩ ố  

     a) Ch ng minh ph nứ ươ g trình luôn có nghi m vệ ới m iọ  m. 

     b) Tìm m đ  ph ng trình có hai nghi m ể ươ ệ x1, x2 là đ  dài hai c nh góc vuông c a m t ộ ạ ủ ộ tam giác có đ  dài c nh huy n b ng 5.ộ ạ ề ằ  

Bài t p áp d ng: ậ ụ  

Bài 1. Cho ph ng trình ươ x2 2mx m2 9 0 (m là tham s ). ố Tìm m đ  ph ng trình ể ươ

có hai nghi m xệ 1 và x2 th a mãn ỏ 2

Bài 2. Cho ph ng trình xươ 2 – 2(m + 1)x + 4m = 0     (1) 

a) Gi i ph ng trình (1) v i m = 2.ả ươ ớ  

b) Tìm m đ  ph nể ươ g trình (1) có nghi m xệ 1, x2 th a mãnỏ : 

(x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12. 

Bài 3. Cho ph ng trình ươ x2 ­ 2(m + 1)x + 4m = 0. Tìm m đ  ph nể ươ g trình có nghi m ệ

x1, x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 ­ x1x2 nh nậ  GTNN. 

Bài 4. Cho ph ng trình xươ 2 + (m + 2)x  + 2m = 0. Tìm m đ  ph nể ươ g trình có nghi m ệ phân bi t ệ x1, x2 sao cho 2x1 x2 x1 2x2 0.