Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————————  Bài 1:     a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và  a  b  c  1    Chứng minh rằng có  a b c ít nhất 1 trong ba số a, b, c bằng 1  b) Cho n ngun dương. Chứng minh rằng A  23n 1  23n1   là hợp số  Bài 2:  a) Giải phương trình  x  x  x  x     x  xy  12 y  b) Giải hệ phương trình  2  x  y  12  Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn    P  a  ab  b  1     Tìm GTLN của  a b c   b  bc  c  c  ca  a   Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam  giác ABC đồng quy tại H  a) Chứng minh rằng  cos BAC  cos CBA  cos ACB    b) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn (O). Gọi M, I lần lượt là trung điểm các  đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh rằng  MI  AP   Bài 5:    a) Tìm các số nguyên tố p sao cho p2  p    là lập phương của một số tự nhiên  b) Cho 5 số thực khơng âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn.  Chứng minh rằng ln tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích khơng  lớn hơn        —Hết—  Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………….